ΔABC இன் முனைகள் A(0,0), B(2a,0) மற்றும் C(2b,2c) என்க.
D, E முறையே AC, BC யின் நடுப்புள்ளிகள்
AC யின் நடுப்புள்ளிகள் D\(\left( \frac { 0+2b }{ 2 } ,\frac { 0+2c }{ 2 } \right) \)
=D(b,c)
BC யின் நடுப்புள்ளிகள் E \(\left( \frac { 2a+2b }{ 2 } ,\frac { 0+2c }{ 2 } \right) \)
=(a+b,c)
தொலைவு d =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
ABயின் தொலைவு =\(\sqrt { (2a-0)^{ 2 }+(0-0)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { (2a)^{ 2 } } =2a\)
DE யின் தொலைவு =\(\sqrt { (a+b-b)^{ 2 }+(c-c)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { a^{ 2 } } \)=a
தொலைவு DE =a =1/2 x 2a =1/2 x AB யின் தொலைவு.

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு d = \(\sqrt {(x _ 2-x _ 1)^ 2+(y _ 2-y _ 1)^ 2}\)
= \(\sqrt {(c-a)^2+(b-b)^2}\)
= \(\sqrt{(c-a)^2+0^2}\)
= \(\sqrt{(c-a)^2}\)
= c - a

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு d = \(\sqrt {(x _ 2-x _ 1)^ 2+(y _-y _ 1)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-7-3)^ 2+(2-4)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-10)^ 2+(-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {100+4}\)
= \(\sqrt {104}\)
= \(\sqrt {4\times 26}\)
= \(2\sqrt {26}\)

  P(-7, 6) = II காற்பகுதி, Q(7, -2) = IV காற்பகுதி,
R(-6, -7) = III காற்பகுதி, S(3, 5) = I காற்பகுதி, T(3, 9) = I காற்பகுதி.

x -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y – ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே , (–7,3) என்ற புள்ளி II ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்

ØABC இன் முனைகள் A(x₁, y₁), B(x₂ , y₂ ) மற்றும் C(x₃ , y₃) என்க. மேலும் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே (5, 1), (3, -5) மற்றும் (-5, -1) என்க.
\(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =5\)\(\Rightarrow \)x₁ + x₂ = 10 ----(1)
\(\frac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } =3\)\(\Rightarrow \)x₂ + x₃ = 6 ----(2)
\(\frac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } =-5\)\(\Rightarrow \)x₃ + x₁ = –10 ----(3)
(1), (2) மற்றும் (3) ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது, 
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6
2 ஆல் வகுக்க,
x₁ + x₂ + x₃ = 3 -----(4)
(4) − (2) \(\Rightarrow \) x₁ = 3 − 6 = −3
(4) − (3) \(\Rightarrow \) x₂ = 3 + 10 = 13
(4) − (1) \(\Rightarrow \) x₃ = 3 −10 = −7
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } =1\)\(\Rightarrow \)y₁ + y₂ = 2 ------(5)
\(\frac { { y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } =-5\)\(\Rightarrow \)y₂ + y₃ = –10 -----(6)
\(\frac { { y }_{ 3 }+{ y }_{ 1 } }{ 2 } =-1\)\(\Rightarrow \)y₃ + y₁ = –2 …(7)
(5), (6) மற்றும் (7) ஐக் கூட்ட கிடைப்பது
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = −10
2 ஆல் வகுக்க
y₁ + y₂ + y₃ = −5 ------(8)
(8) − (6) \(\Rightarrow \) y₁ = −5 +10 = 5
(8) − (7) \(\Rightarrow \) y₂ = −5 + 2 = −3
(8) − (5) \(\Rightarrow \) y₃ = −5 − 2 = −7
முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் A(-3, 5), B(13, -3) மற்றும் C(-7, -7) ஆகும்.

(i) A(3,–2), B (7,6),C (–1,2) மற்றும் D (–5, –6) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt{(7-3)^2+(6-(-2))^2}\)
= \(\sqrt{4^2+(6+2)^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) அலகுகள் 
தொலைவு BC = \(\sqrt{(-1-7)^2+(2-6)^2}\)
= \(\sqrt{(-8)^2+(-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) அலகுகள் 
தொலைவு CD = \(\sqrt{(-5-(-1))^2+(-6-2)^2}\)
= \(\sqrt{(-5+1)^2+(-8)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}= 4\sqrt{5}\) அலகுகள் 
தொலைவு AD = \(\sqrt{(-5-3)^2+(-6(-2))^2}\)
= \(\sqrt{(-8)^2+(-6+2)^2}=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}= 4\sqrt{5}\)அலகுகள் 
தொலைவு AC = \(\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-2))^2}\)
= \(\sqrt{(-4)^2+(2+2)^2}=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\)அலகுகள் 
நான்கு பக்கங்கள் சமம் மூலைவிட்டங்கள் சமமல்ல.
தொலைவு BD = \(\sqrt{(-5-7)^2+(-6-6)^2}\)
= \(\sqrt{(-12)^2+(-12)^2}=\sqrt{144+144}=\sqrt{288}\)அலகுகள் 
AB = BC = CD = AD அனைத்து பக்கங்களும் சமம்.
AC \(\ne \) BD மூலைவிட்டங்கள் சமமல்ல.
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் சாய்சதுரத்தை அமைக்கும்.
(ii) A (1,1), B(2,1),C (2,2) மற்றும் D(1,2) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt{(2-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1\) அலகு 
தொலைவு BC = \(\sqrt{(2-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1\)அலகு
தொலைவு CD = \(\sqrt{(1-2)^2+(2-2)^2}=\sqrt{(-1)^2+0^2}=\sqrt{1}=1\)அலகு
​​​​​​​தொலைவு AD = \(\sqrt{(1-1)+(2-1)^2}=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1\)அலகு
​​​​​​​தொலைவு AC = \(\sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) அலகு
​​​​​​​தொலைவு BD = \(\sqrt{(1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) அலகு
AB = BC = CD = DA = 1 அலகு மற்றும் விட்டங்கள் சமம்.
AC = BD மூலைவிட்டங்கள் சமம்.
எனவே கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரு சாய்சதுரத்தை அமைக்காது இது ஒரு சதுரம்.

A(3,5), B(6,2), C(3, –1), மற்றும் D(0,2) என்பன ஏதேனும் ஒரு நாற்கரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க
\(d=\sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2 -y_1)^2}\)
தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
\(AB=\sqrt{(6-3)^2+(2-5)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(BC=\sqrt{(3-6)^2 +(-1-2)^2}=\sqrt{(-3)^2 +(-3)^2}=\sqrt{9+9}\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(CD=\sqrt{(0-3)^2 +(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(AD=\sqrt{(0-3)^2 +(2-5)^2}=\sqrt{(-3)^2 +(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=\sqrt3{2}\)
மேலே உள்ள முடிவுகளில் இருந்து, AB=BC=CD=DA=\(3\sqrt{2}\)
. ஆகவே அதன் நான்குப் பக்கங்களும் சமம்.
மேலும், புள்ளிகள் A(3, 5), C(3, –1)
மூலை விட்டம் AC=\(\sqrt{(3-3)^2 +(-1-5)^2}=\sqrt{(0)^2 +(-6)^2}=\sqrt{36}=6\)
மூலை விட்டம் BD=  \(\sqrt{(0-6)^2 +(2-2)^2}=\sqrt{(-6)^2 +(0)^2}=\sqrt{36}=6\)
மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து நாம் காண்பது, AB = CD = 6
எனவே , ABCD என்பது ஒரு சதுரம்

A = (7, 10), B = (–2, 5), C = (3,–4)
\(AB=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -2-7 \right) ^{ 2 }+\left( 5-10 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -9 \right) ^{ 2 }+\left( -5 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 81+25 \right) } \)
\(=\sqrt { 106 } \)
\(A{ B }^{ 2 }=106\)......1
\(BC=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 3-\left( -2 \right) \right) ^{ 2 }+\left( -4-5 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 5 \right) ^{ 2 }+\left( -9 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 81+25 \right) } \)
\(=\sqrt { 106 } \)
\({ BC }^{ 2 }=106\)   ......(2)
\(BC=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 3-7 \right) ^{ 2 }+\left( -4-10 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( -4 \right) ^{ 2 }+\left( -14 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 16+196 \right) } \)
\(=\sqrt { 212 } \)
\({ AC }^{ 2 }=212\).....(3)
(1), (2) மற்றும் (3) இல் இருந்து
AB² + BC² = 106 + 106 = 212 = AC²
அதாவது AB² + BC² = AC² 
ஆகவே தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் உச்சி  B இல் செங்கோணத்தைக் கொண்ட செங்கோண ΔABC ஐ அமைக்கும்.

A(6,−1), B(8,3) மற்றும் C(10,−5) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக்  கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G(x, y)
G(x, y) =G\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 3 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 } }{ 3 } \right) \)
கொடுக்கப்பட்டது  (x₁, y₁) = (6,−1); (x₂ , y₂ ) = (8,3);

(x₃ , y₃) = (10,−5)
முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்
G(x, y) =G\(\left( \frac { 6+8+10 }{ 3 } ,\frac { -1+3-5 }{ 3 } \right) \)
=G\(\left( \frac { 24 }{ 3 } ,\frac { -3 }{ 3 } \right) \) =G=(8, -1)

(i) A(–3, 1), B(–6, –7), C (3, –9) மற்றும் D(6, –1) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt {(x _ 2-x _ 1)^ 2+(y _ 2-y _ 1)^ 2}\)
AB = \(\sqrt {(-6-(-3))^ 2+(-8)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-6+3)^ 2+(-8)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-3)^ 2+(-8)^ 2}\)
= \(\sqrt {9+64}\)
= \(\sqrt {73}\) அலகுகள் 
தொலைவு BC = \(\sqrt {(3-(-6))^ 2+(-9+7)^ 2}\)
= \(\sqrt {(3+6)^ 2+(-9+7)^ 2}\)
= \(\sqrt {9^ 2+(-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {81+4}\)
= \(\sqrt {85}\) அலகுகள் 
தொலைவு CD = \(\sqrt {(6-3)^ 2+(-1-(-9))^ 2}\)
= \(\sqrt {3^ 2+(-1+9)^ 2}\)
= \(\sqrt {3^ 2+8^ 2}\)
= \(\sqrt {9+64}\)
= \(\sqrt {73}\) அலகுகள் 
தொலைவு AD = \(\sqrt {(6-(-3))^ 2+(-1-1)^ 2}\)
= \(\sqrt {(6+3)^ 2+(-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {9^ 2+(-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {81+4}\)
= \(\sqrt {85}\) அலகுகள் 
நாம் பெறுவது AB = CD = \(\sqrt {73}\) மற்றும் BC = AD = \(\sqrt {85}\) அலகுகள் (எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமம்)
எனவே புள்ளிகள் இணைகரத்தை அமைக்கும்.
(ii) A (–7, –3), B(5,10), C(15,8) மற்றும் D(3, –5) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள்

தொலைவு d = \(\sqrt {(x _ 2-x _ 1)^ 2+(y _ 2-y _ 1)^ 2}\)
தொலைவு  AB = \(\sqrt {(5-(-7))^ 2+(10-(-3))^ 2}\)
= \(\sqrt {(5+7)^ 2+(10+3)^ 2}\)
= \(\sqrt {12^ 2+13^ 2}\)
= \(\sqrt {144+169}\)
= \(\sqrt {313}\) அலகுகள் 
தொலைவு  BC = \(\sqrt {(15-5)^ 2+(8-10)^ 2}\)
= \(\sqrt {(10)^ 2+(-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {100+4}\)
= \(\sqrt {104}\)அலகுகள் 
தொலைவு  CD = \(\sqrt {(3-15)^ 2+(-5-8)^ 2}\)
= \(\sqrt {(-12)^ 2+(-13)^ 2}\)
= \(\sqrt {144+169}\)
= \(\sqrt {313}\) அலகுகள் 
தொலைவு  AD = \(\sqrt {(3-(-7))^ 2+(-5-(-3))^ 2}\)
= \(\sqrt {(3+7)^ 2+(-5+3)^ 2}\)
= \(\sqrt {10^ 2+(-2)^ 2}\)
= \(\sqrt {100+4}\)
= \(\sqrt {104}\) அலகுகள் 
நாம் பெறுவது AB = CD = \(\sqrt {313}\) மற்றும் BC = AD = \(\sqrt {104}\) அலகுகள்  (எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமம்)
எனவே புள்ளிகள் இணைகரத்தை அமைக்கும்.

(i) (7, -2), (5, 1), (3, 4)
A(7, -2), B(5, 1) மற்றும் C(3, 4) என்க
தொலைவு வாய்பாட்டின்படி,
\(\begin{aligned} A B=\sqrt{(5-7)^2+(1+2)^2}=\sqrt{(-2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} B C=\sqrt{(3-5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} C A=\sqrt{(7-3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{(4)^2+(-6)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} A B+B C=1 \sqrt{13}+1 \sqrt{13}=2 \sqrt{13}=C A \end{aligned}\)
\(\therefore\) ஆகவே, தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே கோடமையும் புள்ளிகள் ஆகும்.
(ii) (a, -2), (a, 3), (a, 0)
A(a, -2), B(a, 3) மற்றும் C(a, 0) என்க.
தொலைவு வாய்பாட்டின்படி,
\(\begin{aligned} \mathrm{AB}=\sqrt{(a-a)^2+(3+2)^2}=\sqrt{(5)^2}=\sqrt{25}=5 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{BC}=\sqrt{(a-a)^2+(0-3)^2}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{CA}=\sqrt{(a-a)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2 \end{aligned}\)
CA + BC = 2 + 3 = 5 = AB
\(\therefore\) ஆகவே, தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே கோடமையும் புள்ளிகள் ஆகும்.

P(x, y) A(3, 4) மற்றும் B(-5, 6) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு \(P A =\sqrt{(3-x)^2+(4-y)^2}=\sqrt{9}+x^2-6 x+16+y^2-8 y \)
\(=\sqrt{x^2+y^2-6 x-8 y+25} \)
தொலைவு \(P B =\sqrt{(-5-x)^2+(6-y)^2}=\sqrt{25+x^2+10 x+36+y^2-12 y} \)
\(=\sqrt{x^2+y^2-10 x-12 y+61}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த.
\(x^2+y^2-6 x-8 y+25 =x^2+y^2+10 x-12 y+61 \)
\(-8 y+12 y =10 x+6 x+6 1-25 \)
\(4 y =16 x+36 \)
\(y =4 x+9\)

A (x, x) மற்றும் B(1, 3) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 
தொலைவு d = \(\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
AB = \(\sqrt {(1-x)^2+(3-x)^2}=\sqrt {(1-2x +x^2+9 - 6x+ x ^2}\)
\(= \sqrt {2x ^2 - 8x + 10}\)
\(= \sqrt {2x ^2 - 8x + 10}\) = 10 (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)
இருபுறமும் வர்க்கப் படுத்த,
2x² - 8x + 1 + 9 = 100
x² - 4x - 45 = 0
(x - 9)(x + 5)  = 0
x - 9 = 0 அல்லது x + 5 = 0
x = 9 அல்லது x = -5
\(\therefore \) A இன் அச்சு தொலைவு  (9, 9) அல்லது (-5, -5) ஆகும்.

m : n = 2 : 1
\(\left(\frac{m x_2+mx_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right) =\left(\frac{2(5)+1[2)}{2+1}, \frac{2(7)+1(4)}{2+1}\right) =(4,6) \)

x ஆனது 0 மற்றும் y ஆனது + ve 

x ஆனது + ve மற்றும் y ஆனது -ve