x-y =4, xy=5
x³-y³=(x-y)³+3xy(x-y)
=4³-3(5)(4)
=124

(i) 27x²+125y³=(3x)³+(5y)³
=(3x+5y)((3x)²-(3x)-(3x)(5y)+(5y)²) [ஏனெனில் (a³+b³)=(a+b)(a²-ab+b²)]
=(3x+5y)(9x²-15xy+25y²) 
(ii) 216m³-343n³=(6m)³-(7n)³  [ஏனெனில் (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)]
=(6m-7n)((6m)²+(6m)(7n)+(7n)²)
=(6m-7n)(36m²+42mn+49n²)
(iii) 2x⁴-16xy³=2x(x³-8y³)
=2x(x³-(2y)³) [ஏனெனில் (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)]
=2x((x-2y)(x²+(x)(2y)+(2y)²))
=2x(x-2y)(x²+2xy+4y²)
(iv) 8x³+27y³+64z³-72xyz
=(2x)³+(3y)³+(4z)³-3(2x)(3y)(4z)
=(2x+3y+4z)(4x²+9y²+16z²-6xy-12yz-8xz)

25a²-10a+1=(5a)²-2(5a)(1)+1²
=(5a-1)² [ஏனெனில் a²-2ab+b²=(a-b)²]

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab (a + b)
\(a^{3}+\left ( \frac{1}{a} \right )^{3}=\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{3}-3 \not a\times \frac{1}{\not a}\left ( a+\frac{1}{a} \right )\)
\(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=6^{3}-3\times 6=216-18=198\)

x - y = 5, xy = 14
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) = 5³ + 3 \(\times\) 14 \(\times\) 5 = 125 + 210 = 335

(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=a³+b³+c³-3abc என்பது நாம் அறிந்ததே!
(2x+3y+4z)(4x²+9y²+16z²-6xy-12yz-8zx)
=(2x)³+(3y)³+(4z)³-3(2x)(3y)(4z)
=8x³+27y³+64z³-72xyz

(x-y)³ = x³ -3x² ​​​​​y​​+3xy²-y³ என்பது நாம் அறிந்தது 
(5a-3b)³ =(5a)³−3(5a)²(3b)+ 3(5a)(3b)² –(3b)³
=125a³-3(25a²​​​)(3b)+3(5a)(9b²)-(3b)³
=125a³-225a²b+135ab²-27b³
\(x^3+y^3+z^3-3 x y z \equiv(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\right)\)
மேற்கண்ட முற்றொருமையை வலப்புறமுள்ள கோவைகளைப் பெருக்கிச் சரிபார்க்கலாம்.

(x+y)³ =x³ +3 x² y+3xy²​​​​​​​+y³ ​​​​​​​
(2x+3y)³ ​​​​​​​=(2x)³ ​​​​​​​+3(2x)²​​(3y)​​​ +3(2x)(3y)³ ​​​​​​​+(3y)³ ​​​​​​​
=8x³ ​​​​​​​+3(4x²​​​​​​​)(3y)+3(2x) (9y²​​​)+27 y³ ​​​​​​​
=8x³ ​​​​​​+36x²y​​​​​​ +54 xy² ​​​​​​​+27 y³ ​​​​​​​

(2a-3b)²  [ஏனெனில்,(x-y)²=x²+2xy+y²]
(2a-3b)² =(2a)²-2(2a)(3b)+(3b)²  [x=2a,y=3b எனப் பிரதியிட]
=4a²-12ab+9b²

P(x) = x² - 2x - 8 என்க.
காரணி தேற்றத்தின்படி, (x + 2) ஆனது P(x)- ன் காரணி எனில், P(-2) = 0
\(\therefore\) P(-2) = (-2)² - 2(-2) -8 = 4 + 4 - 8 = 0
\(\therefore\) (x - 4) ஆனது P(x)- ன் ஓர் காரணியாக இருக்க வேண்டும் எனில் P(4) = 0
\(\therefore\) P(4) = 4² - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0
\(\therefore\) (x + 2), (x - 4) என்பன செவ்வகத்தின் பக்கங்களாகும்.
x² - 2x - 8 என்பது செவ்வகத்தின் பரப்பு ஆகும்.