ஒரு இந்தியர் ஒரு நாளில் செய்யும் வேலையின் வீதத்தை \(\frac{1}{x}\) என்க
ஒரு சீனர் ஒரு நாளில் செய்யும் வேலையின் வீதத்தை \(\frac{1}{y}\) என்க
\(\begin{aligned} \therefore \frac{4}{x}+\frac{4}{y} & =\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{5}{y} & =\frac{1}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{1}{x} & =a, \frac{1}{y}=b \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4 a+4 b & =\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 4 a+4 b-\frac{1}{3} & =0 \end{aligned}\)                ....(1)
\(2a+5b=\frac{1}{4}\)
\(\begin{aligned} 2 a+5 b-\frac{1}{4} & =0 \end{aligned}\)                ....(2)
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\begin{gathered} \frac{a}{-1+\frac{5}{3}}=\frac{b}{-\frac{2}{3}+1}=\frac{1}{20-8} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{3 a}{2}=3 b=\frac{1}{12} \end{gathered}\)
\(\begin{array}{l|r} \therefore \quad \frac{3 a}{2}=\frac{1}{12} & 3 b=\frac{1}{12} \end{array}\)
\(\begin{array}{l|r} a=\frac{1}{12} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{18} & b=\frac{1}{36} \end{array}\)

\(\therefore\) ஒரு சீனர் அந்த குறிப்பிட்ட வேலை செய்ய = \(\frac{1}{b}\) = y = 36 நாட்கள் ஆகும்
ஒரு இந்தியர் அந்த குறிப்பிட்ட வேலை செய்ய = \(\frac{1}{a}\) = x = 18 நாட்கள் ஆகும்

ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணம் =x என்க
குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் =y என்க
அமுதா 6 நாட்களுக்கு செலுத்திய தொகை =22
(2+4 நாட்கள்), 4x + y = 22      .........(1)
சாகர் 4 நாட்களுக்கு செலுத்திய தொகை =16
(2+2 நாட்கள்), 2x + y = 16......(2)
சமன்பாடு (1)-(2)
   4x+. y= 22
(-)2x +(-)y = (-)16
           2x =6
            x =3
x =3 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,
4x+y =22
4(3)+ y = 22
12 +y = 22
y = 22 -12 = 10
y= 10
ஒரு நாளுக்குரிய கட்டணம் =3
குறிப்பிட்ட நிலையான கட்டணம் =10

அர்ச்சுனனின் வயது =x என்க
இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதல் =y என்க.
கணக்கின் படி, x = 2y
x - 2y = 0    -----  (1)
20 ஆண்டுகள் கழித்து, அர்ச்சுனன் வயது =x +20
இரு மகன்களுடைய வயதுகளின் கூடுதல் =y + 20 + 20 = y + 40
கணக்கின் படி, x + 20 =y + 40
x - y = 40 - 20 = 20
x - y = 20      ...........(2)
சமன்பாடு (1) - (2)
x-2y = 0
(-) x (+) Y = (-) 20
-y          =-20
y          =20
y =20 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x - 2y =0
x - 2(20)= 0
x-40 = 0
x=40
அர்ச்சுனனின் வயது =40

இரண்டு எண்களின் விகிதங்கள் x, y  என்க.
\(\frac{x}{y}=\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow\)      6x = 5y
6x - 5y =0                                           ....(1)
\(\frac{x-8}{y-8}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow\) 5(x - 8) = 4(y - 8)
5x - 40 = 4y - 32
5x - 4y = 40 - 32
5x - 4y = 8                                          .....(2)

y = 48 என (1) ல் பிரதியிட
6x - 5(48) = 0
6x - 240 = 0
6x = 240
x = \(\frac{240}{6}=40\)
\(\therefore\) அந்த எண்கள் 40 : 48 என்ற விகிதத்தில் இருக்கும்.

ஓர் வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°.
\(\angle\)A + \(\angle\)C = 180°
4y + 20° + 4x = 180
4x + 4y = 180 - 20

x + y = 40°                                  ....(1)
\(\angle\)B + \(\angle\)D = 180°
3y - 5 + 7x + 5 = 180
73 + 3y = 180                             .....(2)

                                                        y = 25°
y = 25° என (1) ல் பிரதியிட
x + 25° = 40°
x = 40° - 25°
x = 15°
\(\angle\)A = (4y + 20)° = (4 \(\times\) 25° + 20°) = 100° + 20° = 120°
\(\angle\)B = (3y - 5)° = (3 \(\times\) 25° - 5) = 75° - 5° = 70°
\(\angle\)C = (4x)° = 4 \(\times\) 15° = 60°
\(\angle\)D = (7x + 5)° = (7 \(\times\) 15° + 5°) = 105° + 5° = 110°
\(\therefore\) \(\angle\)A = 120°, \(\angle\)B = 70°, \(\angle\)C = 60°, \(\angle\)D = 110°

நெடுஞ்சாலையில் A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் =70 கி.மீ
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =x கி.மீ/மணி, y கி.மீ/மணி
இரு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் இவற்றின் நெருங்கும் வேகம் =x -y  கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி, =\(\frac { +70 }{ x-y } \)=7
x-y=\(\frac { +70 }{ 7 } \)=10
x-y=10     ........(1)

இரு மகிழுந்துகளும் ஒன்றை நோக்கி மற்றொன்று பயணித்தால் நெருங்கும் வேகம் =x +y கி.மீ/மணி

கணக்கின் படி,  1=\(\frac { 70 }{ x+y } \)
x+y=70   ......(2)
சமன்பாடு (2) + (1)
x - y = 10
x + y = 70
_________
2x    =80
x     =40
x=40 என சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிட
x+y=70
40+y=10
y=70-40=30
y=30
x=40; y=30
இரு மகிழுந்துகளின் வேகங்கள் =40 கி.மீ/மணி, 30 கி.மீ/மணி.

ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி x என்க.
அதன் பகுதி y என்க
x + y = 12                    ....(1)
\(\frac{x}{y+3}=\frac{1}{2}\)
2x = y + 3
2x - y = 3                     ....(2)

                                           y = 7
y = 7 என (1) ல் பிரதியிட
x + 7 = 12
x = 12 - 7 = 5
\(\therefore\) \(\frac{x}{y}=\frac{5}{7}\)

அதிக விட்டமுடைய குழாய் நீர் நிரப்ப எடுக்கும் நேரம் x என்க
குறைந்த விட்டமுடைய குழாய் நீர் நிரப்ப எடுக்கும் நேரம் y என்க.
1 மணி நேரத்தில் அதிக விட்டமுடைய குழாயால் நீர் நிரம்புவது = \(\frac{1}{a}\)
1 மணி நேரத்தில் குறைந்த விட்டமுடைய குழாயால் நீர் நிரம்புவது =  \(\frac{1}{b}\)
\(\begin{aligned} \therefore \quad \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{1}{24} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{8}{x}+\frac{18}{y} & =\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b\) எனில்
a + b = \(\frac{1}{24}\)
24a + 24b = 1
24a + 24b - 1 = 0             ......(1)
8a + 18b = \(\frac{1}{2}\)
16a + 36b = 1
16a + 36b - 1 = 0             ......(2)
குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காகக் கெழுக்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\begin{aligned} \frac{a}{-24+36} & =\frac{b}{-16+24}=\frac{1}{864-384} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{12} & =\frac{b}{8}=\frac{1}{480} \end{aligned}\)

\(\begin{array}{l|l} \therefore \frac{a}{12}=\frac{1}{480} & \frac{b}{8}=\frac{1}{480} \end{array}\)

\( a=\frac{1}{a}=40\)   \(b=\frac{1}{b}=60\)
\(\therefore\)  x = 40                 y = 60
\(\therefore\)  நீச்சல் குளத்தை நிரப்ப அதிக விட்டமுடைய குழாய் எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் 40 மணி நேரம் நீச்சல் குளத்தை நிரப்ப குறைந்த விட்டமுடைய குழாய் எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் 60 மணி நேரம்

2 ரூபாய் நாணயங்களின் எண்ணிக்கை = x
5 ரூபாய் நாணயங்களின் எண்ணிக்கை = y
x + y = 80

2x + 5y = 220
x + y - 80 = 0
2x + 5y - 220 = 0
\(\begin{aligned} \frac{x}{-220+400} & =\frac{y}{-160+220}=\frac{1}{5-2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{180} & =\frac{y}{60}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{180} & =\frac{1}{3} \quad \frac{y}{60}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

x = 60   y = 20
\(\therefore\) 2 ரூபாய் நாணயங்கள் = 60, 5 ரூபாய் நாணயங்கள் = 20

ஒரு மனிதனின் தற்போதைய வயது = x என்க
5 வருடங்களுக்கு முன் அவருடைய வயது = x - 5
அவருடைய மகனின் தற்போதைய வயது = y என்க
5 வருடங்களுக்கு முன் மகனின் வயது = y - 5
x - 5 = 7(y - 5)
x - 5 = 7y - 35
x - 7y = -35 + 5
x - 7y = - 30                        ... (1)
5 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு தந்தையின் வயது = x + 5
5 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு மகனின் வயது = y + 5
\(\therefore\) x + 5 = 4 (y + 5)
x + 5 = 4y + 20
x - 4y = 20 - 5
x - 4y = 15                          ... (2)

y = 15
y = 15 என (1) ல் பிரதியிட 
x - 7 (15) = -30
x - 105 = -30
x = -30 + 105 = 75
\(\therefore\) தந்தையின் வயது = 75, மகனின் வயது = 15

A, B யின் மாதாந்திர வருமானம் = x என்க
A, B யின் மாதாந்திர செலவுகள் = y என்க
3x - 5y = 5000         ....(1)
4x - 7y = 5000         ....(2)

y = 5000 என (1) ல் பிரதியிட
3x - 5 (5000) = 5000
3x - 25000 = 5000
3x = 5000 + 25000

\(\therefore\) A ன் மாதாந்திர வருமானம்  = 3x = 3 \(\times\) 10000 = ரூ 30000
B ன் மாதாந்திர வருமானம் = 4x = 4 \(\times\) 10000 = ரூ 40000

இராமனின் வயது = X என்க.
இரு மகன்களின் வயதின் கூடுதல் = y
இப்பொழுது x = 3y \(\Rightarrow\) x - 3y = 0                   ....(1)
5 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு,
x + 5 = 2(y + 10)
x + 5 = 2y + 20
x - 2y = 20 - 5
x - 2y = 15                                                         .....(2)
படி (1)
சமன்பாடு (1) லிருந்து
x = 3y
படி (2)
x = 3y என (2) ல் பிரதியிட
3y - 2y = 15
y = 15
படி (3)
y = 15 என (1) ல் பிரதியிட
x = 3y = 3 \(\times\) 15
x = 45
\(\therefore\) இராமனின் வயது 45 ஆகும்.

இரண்டு மகிழுந்துகளின் வேகம் x, y என்க, அவை ஒன்றையொன்று எதிர்நோக்கி பயணித்தால்
அவை 1 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும் எனில் d = 100; \(\frac{d}{s}=t\)
i.e., \(\frac{100}{x+y}=1 \Rightarrow x+y=100\)                ....(1)
இரண்டு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் அவை 2 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும்.

(1) \(\Rightarrow\) x + y = 100
y = -x + 100

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் 
(0, 100), (100, 0)
(2) \(\Rightarrow\) x - y = 50
-y = -x + 50
y = x - 50

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (0, -50), (50, 0)
x + y = 100                                    ....(1)
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட, 0 + y = 100 \(\Rightarrow\) y = 100
A(0, 100) ஆனது நேர்க்கோடு (1) ன் மீது அமையும் புள்ளி
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட, x + 0 = 100 \(\Rightarrow\) x = 100
B (100, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும் (1)
வரைபடத்தில் A & B புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (1) கிடைக்கும்.
மேலும்   x - y = 50                 .....(2)
x = 0  என (2), ல் பிரதியிட 0 - y = 50
\(\Rightarrow\) y = -50
P(0, -50) ஆனது ஒரு புள்ளியாகும் (2)
y = 0 என (2) ல் பிரதியிட, x - 0 = 50
\(\Rightarrow\) x = 50
Q (50, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும்
வரைபடத்தில் P & Q புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (2) கிடைக்கும்
இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று (75, 25) என்ற புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. எனவே நேர்கோடுகள் (1) & (2) ன் தீர்வு (75, 25) ஆகும்
எனவே இரண்டு மகிழ்ந்துகளின் வேகம் முறையே x மற்றும் y ஆனது
x = 75 கி.மீ
y = 25 கி.மீ

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு 3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
x=1/4 என பிரதியிட,
3(x+1)=3(5-x)-2(5+x)
3(1/4+1)=3(5-1/4)-2(5+1/4)
\(3\left( \frac { 1+4 }{ 4 } \right) =3\left( \frac { 20-1 }{ 4 } \right) -2\left( \frac { 20+1 }{ 4 } \right) \)
\(3\times \frac { 5 }{ 4 } =3\times \frac { 19 }{ 4 } -2\times \frac { 21 }{ 2 } \)
\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 57 }{ 4 } -\frac { 42 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \)
=\(\frac { 15 }{ 4 } =\frac { 15 }{ 4 } \) சமம்
எனவே 1/4 என்பது 3(x + 1) = 3( 5–x) – 2( 5 + x) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

5x-3=0; 4P=-12