(i)sin 30⁰ + cos 30⁰ = \(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } \)
(ii) tan 60⁰ cot 60⁰ = \(\sqrt { 3 } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =1\)
(iii) \(\frac { tan45° }{ tan30°+tan60° } \) = \(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } } =\frac { 1 }{ \frac { 1+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { 1 }{ \frac { 1+3 }{ \sqrt { 3 } } } = \frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } \)
(iv) sin²45⁰ + cos²45⁰ = \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }=\frac { 1^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } +\frac { 1^{ 2 } }{ \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =1\)

In the figure,
\(\triangle\)OPM, \(\triangle\)OQN are similar triangles. In similar triangles the sides are in the same proportional.
\(\cfrac { QN }{ PM } =\cfrac { QO }{ PO } \)
\(\cfrac { h }{ 5 } =\cfrac { 35 }{ 25 } \)
\(h=\cfrac { 5\times 35 }{ 25 } \)

h = 7m

In\(\triangle\)ABC
AC² = 15²= 225- - - - - (1)
BC² = 20² = 400 - - - - (2)
AB²= (9 + 16)²
From (1), (2), (3)
AB² = AC² + BC²
625 = 225 + 400 = 625
\(\therefore \angle C=\theta +\Phi ={ 90 }^{ 0 }\)
( \(\therefore\) By Pythagoras theorem, in a right angled triangle square of hypotenuse is equal to sum of the squares of other two side)
And also in the figure. \(\triangle\)ADC, \(\triangle\)DBC are two other triangles.
As per the data given,
9²+ 12²= 81 + 144 = 225 = 15²
\(\therefore\) \(\triangle\)ADC is a right angled triangle.
then 12²+ 16² = 144 + 256 = 400 = 20²
\(\therefore\) \(\triangle\)DBC is also a right angled triangle.
\(sin\alpha =\cfrac { 12 }{ 15 } =\cfrac { 4 }{ 5 } ,cos\beta =\cfrac { 16 }{ 20 } =\cfrac { 4 }{ 5 } ,tan\phi =\cfrac { 16 }{ 12 } =\cfrac { 4 }{ 3 } \)

\(cos\theta :sin\theta =1:2\)
\(\cfrac { cos\theta }{ sin\theta } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } sin\theta \)
\(\sin\theta =2 \cos\theta \)

\(\therefore \cfrac { 8cos\theta -2sin\theta }{ 4cos\theta +2sin\theta } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)

\(sin\ \theta =\cfrac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
\(cos\ \theta =\cfrac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
\(b\ sin\ \theta =b\times \cfrac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } -\cfrac { ab }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)    ... (1)
\(a\ cos\ \theta =a\times \cfrac { b }{ \sqrt { a^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\cfrac { ab }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)    ...(2)
(1) = (2)\(\Rightarrow\) LHS = RHS
Hence proved

By By the Pythagoras theorem
BC² = AC² + AB²
= \(\left( \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \right) ^{ 2 }-{ a }^{ 2 }\)
= a²+b²-a²
= b²
BC = b

\(sinA=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(tanA=\cfrac { 4 }{ 3 } \)
\(\therefore \cfrac { sinA-cosA }{ 2tanA } =\cfrac { \frac { 4 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } }{ 2\times \frac { 4 }{ 3 } } =\cfrac { \frac { 1 }{ 5 } }{ 2\times \frac { 4 }{ 3 } } =\cfrac { 1 }{ 4 } \times \cfrac { 1 }{ 5 } \times \cfrac { 3 }{ 4 } =\cfrac { 3 }{ 40 } \)

By the Pythagoras theorem
x=\(\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 25-9 } \)
= \(\sqrt { 16 } =4\)

If \(2cos\theta =\sqrt { 3 } \)
\(cos\theta =\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(x=\sqrt { { 2 }^{ 2 }-\sqrt { { 3 }^{ 2 } } } =\sqrt { 4-3 } =\sqrt { 1 } =1\)
\(\therefore sin\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(cos\theta =\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(tan\theta =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(coseec\theta =2\)
\(sec\theta =\cfrac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(cot\theta =\sqrt { 3 } \)

(i) \(sinB=\cfrac { 12 }{ 13 } \)
(ii) \(secB=\cfrac { 1 }{ cosB } \)
=  \(\cfrac { 1 }{ 5/3 } =\cfrac { 13 }{ 5 } \)
(iii) \(cotB=\cfrac { 1 }{ tanB } =\cfrac { 1 }{ 12/5 } =\cfrac { 5 }{ 2 } \)
(iv) 

(v) \(\tan C=\cfrac { 12 }{ 16 } =\cfrac { 3 }{ 4 } \)
(vi)  \(cosecC=\cfrac { 1 }{ sinC } =\cfrac { 1 }{ 12/20 } =\cfrac { 20 }{ 12 } =\cfrac { 5 }{ 3 } \)

By the pythagoras theorem,
\(AD=\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 169-25 } \)
= \(\sqrt { 144 } =12\)
AC =\(\sqrt { { 12 }^{ 2 }+{ 16 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 144 }+{ 256 } } \)
= \(\sqrt { 400 } =20\) 

By the Pythagoras theorem
In \(\triangle\)OAB, \(x=\sqrt { { 10 }^{ 2 }-{ 8 }^{ 2 } } =\sqrt { 100-64 } =\sqrt { 36 } \)
\(sin\theta =\cfrac { 8 }{ 10 } =\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(cos\theta =\cfrac { 6 }{ 10 } =\cfrac { 3 }{ 5 } \)
\(tan\theta =\cfrac { 8 }{ 6 } =\cfrac { 4 }{ 3 } \)
\(cosec\theta =\cfrac { 10 }{ 8 } =\cfrac { 5 }{ 4 } \)
\(sec\theta =\cfrac { 10 }{ 6 } =\cfrac { 5 }{ 3 } \)
\(cot\theta =\cfrac { 6 }{ 8 } =\cfrac { 3 }{ 4 } \)
Study these thoroughly
\(sin\theta =\cfrac { Opp.side }{ Hypotenuse } \)
\(cos\theta =\cfrac { Adj.side }{ Hypotenuse } \)
\(tan\theta =\cfrac { Opp.side }{ Adj.side } \)
\(cosec\theta =\cfrac { Hypotenuse }{ Opp.side } \)
\(sec\theta =\cfrac { Hypotenuse }{ Opp.side } \)
\(cot\theta =\cfrac { Adj.side }{ Opp.side } \)

sin B = \(\frac { 9 }{ 41 } \);
cos B = \(\frac { 40 }{ 41 } \);
tan B =\(\frac { 9 }{ 40 } \) ;
cosec B = \(\frac { 1 }{ sinB } \) = \(\frac { 41 }{ 9 } \);
sec B =\(\frac { 1 }{ cotB } \) = \(\frac { 41 }{ 40 } \);
cot B =\(\frac { 1 }{ tanB } \) = \(\frac { 40 }{ 9 } \)