\(\frac { cot\theta }{ tan\left( 90°-\theta \right) } +\frac { cos\left( 90°-\theta \right) tan\theta sec\left( 90°-\theta \right) }{ sin\left( 90°-\theta \right) cosec\left( 90°-\theta \right) } \)

 tan 15° tan 30° tan 45° tan 60° tan 75°

= tan 15° \(\times\) tan (90 - 15°) = tan 15°\(\times\) cot 15°
= tan 15° \(\times\)\(\frac { 1 }{ { \tan15 }^{ 0 } } \) = 1

 \(\frac { cos70° }{ sin20° } +\frac { cos59° }{ sin31° } +\frac { cos\theta }{ sin\left( 90°-\theta \right) } -8cos^{ 2 }60°\)
= \(\cfrac { cos\left( { 90 }^{ 0 }-{ 20 }^{ 0 } \right) }{ sin{ 20 }^{ 0 } } +\cfrac { cos\left( { 90 }^{ 0 }-{ 31 }^{ 0 } \right) }{ sin{ 31 }^{ 0 } } +\cfrac { cos\theta }{ cos\theta } -8\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { { sin20 }^{ 0 } }{ { sin20 }^{ 0 } } +\cfrac { sin31^{ 0 } }{ sin{ 31 }^{ 0 } } +\cfrac { cos\theta }{ cos\theta } -8\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { { sin20 }^{ 0 } }{ { sin20 }^{ 0 } } +\cfrac { sin31^{ 0 } }{ sin{ 31 }^{ 0 } } +\cfrac { cos\theta }{ cos\theta } -8\times \cfrac { 1 }{ 4 } =1+1+1-2=1\)

(i) sin \(\theta\) = 0.9858  = 0.9857 + 0.0001
From the sine table 0.9857 = 80^o 18'
Mean difference 1 = 2′
0.9858 = sin 80⁰20'
sin\(\theta\) = 0.9858 = sin 80⁰20'
\(\theta\) = 80⁰20'
(ii) cos \(\theta\) = 0.7656 =  0.7660 - 0.0004
From the natural cosine table
0.7660 = 40°0′
Mean difference 4 = 2′       
0.7656 = 40°0′         
cos \(\theta\) = 0.7656 = cos 40°2'
\(\theta\) = 40°2'                                                                                          

(i) (cos0⁰ + sin 45⁰ + sin 30⁰) (sin 90⁰ - cos 45⁰ + cos 60⁰)
= \(\left[ 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \left[ 1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \right] \)
= \(\left[ \frac { 2\sqrt { 2 } +2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 2\sqrt { 2 } -2+\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right] =\left[ \frac { 3\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \left[ \frac { 3\sqrt { 2 } -2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right] \)
= \(\frac { 18-4 }{ 4\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 } } =\frac { 14 }{ 4\times 2 } =\frac { 7 }{ 4 } \) 
(ii) tan²60⁰ - 2tan²45⁰ - cot²30⁰ +2sin²30⁰ + \(\frac { 3 }{ 4 } \) cosec²45⁰
= \(\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }-2(1)^{ 2 }-\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }+2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\)
= \(3-2-3+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \)
= -2 + \(\frac { 4 }{ 2 } \) = -2 + 2 = 0