\(\frac { 1 }{ 11 } \) இன் தசம விரிவு = 0.09090909 ....= 0.\( \overline{09}\)
\(\begin{aligned} \therefore \frac{1}{33} & =\frac{1}{11} \times \frac{1}{3}=0 . \overline{09} \times \frac{1}{3}=0.03030303 \cdots \cdots=0 . \overline{03} \\ \end{aligned}\)
மேலும், \(\begin{aligned} \frac{71}{33} & =2 \frac{5}{33}=2+\frac{5}{33}=2+\left(5 \times \frac{1}{33}\right) \end{aligned}\)
= 2 + (5 \(\times\) 0.\( \overline{03}\))
= 2 + (5 \(\times\) 0.030303...)
= 2 + 0.151515........
=2.151515......... = 2.\( \overline{15}\)

(i) \(\sqrt { 3 } \)

(i) ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
(ii) AB = 3 செ.மீ எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்,
(iii) BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை 'C' எனக் குறிக்கவும்.
(iv) AC க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப்புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.
(v) O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரைவட்டம் வரையவும்.
(vi) ABக்குச் செங்குத்தாக B இல் BD என்ற கோடு வரையவும்.
vii) இப்போது BD = \(\sqrt { 3 } \). இதை எண்கோட்டில் BE = BD = \(\sqrt { 3 } \) எனக் குறிக்கலாம்.
(ii) \(\sqrt { 4.7 } \)

(i) ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
(ii) AB = 4.7 செமீ எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்,
(iii) BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை 'C' எனக் குறிக்கவும்.
(iv) AC க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப்புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.
(v) O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரைவட்டம் வரையவும்.
(vi) ABக்குச் செங்குத்தாக B இல் BD என்ற கோடு வரையவும்.
(vii) இப்போது BD = \(\sqrt { 4.7 } \). இதை எண்கோட்டில் BE = BD = \(\sqrt { 4.7 } \) எனக் குறிக்கலாம்.
(iii) \(\sqrt { 6.5 } \)

(i) ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
(ii) AB = 6.5 செமீ எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்,
(iii) BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை 'C' எனக் குறிக்கவும்.
(iv) AC க்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப்புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.
(v) O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரைவட்டம் வரையவும்.
(vi) ABக்குச் செங்குத்தாக B இல் BD என்ற கோடு வரையவும்.
(vii) இப்போது BD = \(\sqrt { 6.5 } \)  . இதை எண்கோட்டில் BE = BD = \(\sqrt { 6.5 } \) எனக் குறிக்கலாம்.

(i) \(\sqrt { 10 } \) ஒரு விகிதமுறா எண் (ஏனெனில் 10 ஒரு முழுவர்க்க எண் அல்ல).
(ii) \(\sqrt { 49 } =7=\frac { 7 }{ 1 } \)  ஒரு விகிதமுறு எண் (49 ஒரு முழு வர்க்க எண்).
(iii) 0.025 ஒரு விகிதமுறு எண் (இது ஒரு முடிவுறு தசம எண்).
(iv) \(0.7\overline { 6 } \) = 0.7666….  ஒரு விகிதமுறு எண் (இது ஒரு முடிவுறாச் சுழல் தசம எண்).
(v) 2.505500555…. ஒரு விகிதமுறா எண் (இது விகிதமுறாச் சுழல் தன்மையற்ற தசம எண்).
(vi) \(\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } =\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)  ஒரு விகிதமுறா எண் (2 ஒரு முழு வர்க்க எண் அல்ல).

(i) a = 2  + \(\sqrt { 3 } \) , b = 2 - \(\sqrt { 2 } \)  எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
x = a + b  = ( 2 + \(\sqrt { 3 } \)) + (2 - \(\sqrt { 3 } \)) = 4 ஒரு விகிதமுறு எண்.
y = a - b = (2 +  \(\sqrt { 3 } \) ) - (2 - \(\sqrt { 3 } \)) = 2\(\sqrt { 3 } \)  ஒரு விகிதமுறா எண்.
(ii)  a  = \(\sqrt { 2 } \) + 7 , b = \(\sqrt { 2 } \) - 7  எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
x = a + b = (\(\sqrt { 2 } \) + 7) + (\(\sqrt { 2 } \) - 7) = 2\(\sqrt { 2 } \) ஒரு விகிதமுறு எண்.
y = a -b  = (\(\sqrt { 2 } \) + 7 ) - (\(\sqrt { 2 } \) - 7) = 14 ஒரு விகிதமுறா எண்.
(iii) a = \(\sqrt { 75 } \) , b = \(\sqrt { 3 } \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
x = ab = \(\sqrt { 75 } \times \sqrt { 3 } =\sqrt { 75\times 3 } =\sqrt { 5\times 5\times 3\times 3 } =5\times 3=15\) ஒரு விகிதமுறு எண்
\(y=\frac { a }{ b } =\frac { \sqrt { 75 } }{ \sqrt { 3 } } =\sqrt { \frac { 75 }{ 3 } } =\sqrt { 25 } =5\)ஒரு விகிதமுறு எண்.
(iv) a =  \(\sqrt { 18 } \) , b = \(\sqrt { 3 } \)  எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(x=ab=\sqrt { 18 } \times \sqrt { 3 } =\sqrt { 18\times 3 } =\sqrt { 6\times 3\times 3 } =3\sqrt { 6 } ,\) ஒரு விகிதமுறா எண்,
\(y=\frac { a }{ b } =\frac { \sqrt { 18 } }{ \sqrt { 3 } } =\sqrt { \frac { 18 }{ 3 } } =\sqrt { 6 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்.

(i) \(x=0.\overline { 3 } \)=0.3333 என்க  ...(1)
(இங்குக் காலமுறைமை = 1 எனவே, (1) ஐ 10 ஆல் பெருக்குக)
10x = 3.3333....     (2)
(2) - (1) : 9x-3 அல்லது \(x=\frac { 1 }{ 3 } \)
(ii) \(x=2.\overline { 124 } \) = 2.124124124…     (1)
(இங்கு தசமங்களின் காலமுறைமை 3 தசம புள்ளிக்கு அடுத்துள்ள மூன்று இலக்கங்களை குறிக்கும். எனவே (1) ஐ 1000 -ஆல் பெருக்குக.)
1000 x = 2124.124124124…   (2)
(2)–(1): 999 x = 2122  \(x=\frac { 2122 }{ 999 } \)
(iii) x=\(0.4\overline { 5 } \) = 0.45555…      (1)
(இங்கு (1) ஐ 10-ஆல் பெருக்குக.)
10 x = 4.5555…     (2)
(இங்குத் தசமங்களின் காலமுறைமை 1, எனவே (2) ஐ 10 ஆல் பெருக்குக.)
100 x = 45.5555…     (3)
(3) – (2):  90 x = 41 மற்றும் \(x=\frac { 41 }{ 90 } \)
(iv) x=\(0.\overline { 568 } \) = 0.5686868…     (1)
(இங்கு (1) ஐ 10-ஆல் பெருக்குக.)
10 x = 5.686868…   (2)
(இங்குத் தசமங்களின் காலமுறைமை 2, எனவே (2) ஐ 100-ஆல் பெருக்குக.)
1000 x = 568.686868…  (3)
(3) – (2): 990 x = 563 அல்லது  \(x=\frac { 563 }{ 990 } \)

(i)                                   (ii)
 
எனவே, \(\frac { -4 }{ 11 } =-0.\overline { 36 } \)
\(\frac { 11 }{ 75 } =0.14\overline { 6 } \)
எனவே , ஒரு விகிதமுறு எண்ணானது,
(i) முடிவுறும் தசம விரிவாகவோ அல்லது
(ii) முடிவுறாச் சுழல் தசம விரிவாகவோ இருக்கும். இதன் மறுதலையும் உண்மையே. அதாவது, ஓர் எண்ணின் தசம விரிவானது முடிவுற்றோ அல்லது முடிவுறாச் சுழல் தன்மையுடையதாகவோ இருந்தால் அவ்வெண் ஒரு விகிதமுறு எண் ஆகும்.

0.12, 0.13 என்ற எண்களுக்கு இடையே உள்ள 3 விகிதமுறா எண்கள் 0.12010010001…, 0.12040040004…, 0.12070070007…

எனவே , நீள் வகுத்தல் முறைப்படி  \(\sqrt { 3 } \)  = 1.7320508…
மேலும் முழு வர்க்கமற்ற மிகை எண்களின் வர்க்க மூலம் அனைத்தும் விகிதமுறா எண்கள் எனக் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. \(\sqrt { 2 } ,\sqrt { 3 } ,\sqrt { 5 } ,\sqrt { 6 } ,\sqrt { 7 } \)அனைத்தும் விகிதமுறா எண்களே.

x = 17.  =17.2151515 .......என்க
  1000x  = 17215.1515  .....
(-)   10x  =     172.1515 ......
\(\overline { \underline { 90x\quad =\quad 17043.0000.... } } \)
999x = 17043
x  = \(\frac { 17043 }{ 90 } =\frac { 5681 }{ 330 } \)
\(17.2\overline { 15 } \)=\(\frac { 5681 }{ 330 } \)

x =\(2.\overline { 327 } \)= 2.327327....என்க
100x =  2327.327327....
(-)x   =        2.32327....
\(\overline { \underline { 999x\quad =\quad 2325.000000... } } \)
999x = 2325
x  = \(\frac { 2325 }{ 999 } \)
\(2.\overline { 327 } \)=\(\frac { 2325 }{ 999 } \)

0.343434
0.344444
________ 
0.687878

(i) \(\sqrt { 32 } \times \sqrt { 2 } = \sqrt {64} = 8\)
(ii) \(\frac { \sqrt { 27 } }{ \sqrt { 3 } } = \sqrt {\frac {27}{3}} = \sqrt {9}= 3\)
(iii) \(\sqrt { 72 } \times \sqrt { 8 } = \sqrt {9 \times 8 \times 8} = \sqrt {3^ 2 \times 8^ 2} = 3 \times 8= 24\)
(iv) \(\frac { \sqrt { 54 } }{ \sqrt { 18 } } = \frac {\sqrt {2 \times 3 \times 3\times 3}}{\sqrt {3 \times 3\times 2}}= \frac {\sqrt {6 \times 3^ 2}}{\sqrt 3^ 2 \times 2} = \frac {\sqrt {6} \times 3}{3 \times \sqrt {2}}\) \(= \sqrt {6/2} = \sqrt {3}\)

\(\frac { 1 }{ \not 3 } \times \frac {\not 3}{10} = 1/10 = 0.1\)