இங்கு பக்க அளவு a = 10 செமீ
கனச்சதுரத்தின் கனஅளவு = a³
= 10 \(\times\) 10 \(\times\) 10
= 1000 செமீ³

விளையாட்டு வீரர் ஒரு குறிப்பிட்ட ஆட்டத்தில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு=p(A)=0.72
அந்த விளையாட்டில் தோல்வியடைவதற்கான நிகழ்தகவு  p(A')=1-p(A)
= 1 - 0.72 = 0.28
p(A')=0.28

E என்பது நாளை மழை பொழிவிற்கான நிகழ்ச்சி எனில், E′ என்பது நாளை மழை பொழியாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி ஆகும்.
P (E) =   \(\frac { 91 }{ 100 } \)
P(E) = 0.91
P(E) = 1 - 0.91 
= 0.09
எனவே, மழை பொழியாமல் இருக்க நிகழ்தகவு 0.09 ஆகும்  

இந்தச் சோதனையில் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் அணி I ஆனது அணி II ஐ எதிர்கொள்கிறது. அணி I வெற்றி பெறுவதற்கான நிலையைக் கருதுவோம்.
இங்கே மொத்தம் 10 முயற்சிகள் உள்ளன. அவற்றில் அணி I முதலாவது, ஆறாவது மற்றும் ஒன்பதாவது ஆட்டங்களில் வெற்றி பெற்றுள்ளது. அணி I வெற்றி பெறுவதற்கான ஒப்பீட்டு நிகழ்வெண் நிகழ்தகவு = \(\frac { 3 }{ 10 } \) அல்லது  0.3        

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a=10செமீ, b=24செமீ மற்றும் c=26செமீ 
ஹெரான் சூத்திரத்தின் படி முக்கோணத்தின் பரப்பு  \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \) ச.அலகுகள் 
S=\(\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 10+24+26 }{ 2 } =\frac { 60 }{ 2 } \)=30செமீ 
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\sqrt { 30(30-10)(30-24)(30-26) } \)
\(=\sqrt { 30\times 20\times 6\times 4} \)
\(=\sqrt { 600\times24}\)
\(=\sqrt { 14400}\)
= 120 செமீ²
முக்கோணத்தின் பரப்பு =120 ச.செமீ 
ii) முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a=1.8மீ, b=8மீ மற்றும் c =8.2மீ 
S=\(\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 10+24+26 }{ 2 } =\frac { 60 }{ 2 } \)=9மீ 
 முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \) ச.அலகுகள் 
\(=\sqrt { 9(9-1.8)(9-8)(9-8.2) } \)
\(=\sqrt { 9\times \frac { 72 }{ 10 } \times 1\times \frac { 8 }{ 10 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 9\times 9\times 8\times 8 }{ 10\times 10 } } \)
\(=\frac { 9\times 8 }{ 10 } =\frac { 72 }{ 10 } =\)7.2ச.மீ 
முக்கோணத்தின் பரப்பு =7.2ச.மீ

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-5,11) மற்றும் B(4,-7) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத்துண்டு AB ஐ 7:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாக பிரிக்கும் புள்ளி என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின் படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு x₁=5, y₁=-11
x₂=4, y₂=-7
m=7, n=2
∴ P(x,y)=P\(\left( \frac { 7(4)+2(-5) }{ 7+2 } ,\frac { 7(-7)+2(11) }{ 7+2 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 28-10 }{ 9 } ,\frac { -49+22 }{ 9 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 18 }{ 9 } ,\frac { -27 }{ 9 } \right) \)
=P(2,-3)
உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி P(2,-3)

இரண்டு மகிழுந்துகளின் வேகம் x, y என்க, அவை ஒன்றையொன்று எதிர்நோக்கி பயணித்தால்
அவை 1 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும் எனில் d = 100; \(\frac{d}{s}=t\)
i.e., \(\frac{100}{x+y}=1 \Rightarrow x+y=100\)                ....(1)
இரண்டு மகிழுந்துகளும் ஒரே திசையில் பயணித்தால் அவை 2 மணி நேரத்தில் சந்திக்கும்.

(1) \(\Rightarrow\) x + y = 100
y = -x + 100

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் 
(0, 100), (100, 0)
(2) \(\Rightarrow\) x - y = 50
-y = -x + 50
y = x - 50

வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் (0, -50), (50, 0)
x + y = 100                                    ....(1)
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட, 0 + y = 100 \(\Rightarrow\) y = 100
A(0, 100) ஆனது நேர்க்கோடு (1) ன் மீது அமையும் புள்ளி
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட, x + 0 = 100 \(\Rightarrow\) x = 100
B (100, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும் (1)
வரைபடத்தில் A & B புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (1) கிடைக்கும்.
மேலும்   x - y = 50                 .....(2)
x = 0  என (2), ல் பிரதியிட 0 - y = 50
\(\Rightarrow\) y = -50
P(0, -50) ஆனது ஒரு புள்ளியாகும் (2)
y = 0 என (2) ல் பிரதியிட, x - 0 = 50
\(\Rightarrow\) x = 50
Q (50, 0) ஆனது மற்றொரு புள்ளியாகும்
வரைபடத்தில் P & Q புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்க நேர்க்கோடு (2) கிடைக்கும்
இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று (75, 25) என்ற புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. எனவே நேர்கோடுகள் (1) & (2) ன் தீர்வு (75, 25) ஆகும்
எனவே இரண்டு மகிழ்ந்துகளின் வேகம் முறையே x மற்றும் y ஆனது
x = 75 கி.மீ
y = 25 கி.மீ

(i) tan 45^o = 1 sec 60^o = 2 sin 90^o = 1
cosec 30^o = 2 cot 45^о = 1 cos 0^o = 1
\(\frac {\tan45° }{ cosec30° } +\frac { \sec60° }{ \cot45° } -\frac { 5\sin90° }{ 2\cos0° } \)
= \(\frac12+\frac12-\frac{5\times1}{2\times1}\)
\(\frac 12+\frac21-\frac52=\frac{1+4-5}{2}=\frac{5-5}{2}=0\)
(ii)  sin90° = 1, cos60° = 1/2 cos 45° = 1/2
sin30° = 1/2, cos0° = 1, cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt2}\)
(sin90° + cos60° + cos 45°) X (sin30° − cos0° + cos 45°)
\(=\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } -1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\left( \frac { 2\sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { \sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } +2 }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \)
\(\left( \frac { 2+3\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { 2\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \right) \)
\(\frac { 4+6\sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } -6 }{ 8 } =\frac { 4\sqrt { 2 } -2 }{ 8 } \)
\(\frac { 2(2\sqrt { 2 } -1) }{ 8 } \frac { 2\sqrt { 2 } -1 }{ 4 } \)
(iii) \({ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }{ -2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 3 }+3(1)4\)

\(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) -\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) +3=3\)

\(\sin\theta =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \) எனில் 
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,

\(AB=\sqrt { { AC }^{ 2 }{ -BC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { { \sqrt { ({ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }) } } }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }{ +b }^{ 2 }{ -a }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { b }^{ 2 } } =2\)

b sin θ = a cos θ
\(b \sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
\(\sin\theta =b\times \frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \)
∴ b sin θ = a cos θ
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,
\(AC=\sqrt { { AB }^{ 2 }-{ BC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 9+4 } =\sqrt { 13 } \)
AC = \(\sqrt { 13 } \)

இத்தரவில் 20, 21, 22 என்ற எண்கள் ஒவ்வொன்றும் இருமுறை இடம்பெறுவதால், இத்தரவுகளுக்கு 20, 21, 22 ஆகிய மூன்று முகடுகள் உள்ளன.

இத்தரவில் ரூ. 800 அதிகமான(மூன்று) முறை இடம் பெற்று, மற்றவை இரண்டு அல்லது ஒருமுறை இடம்பெற்றிருப்பதால், முகடு ரூ. 800 ஆகும்.

(5x+4y)(5x-4y) [ஏனெனில்,(a+b)(a-b)=a²-b²]
(5x+4y) (5x-4y)=(5x)²-(4y)²   [a=5x,b=4y எனப் பிரதியிட]
=25x²-16y²

(i) விகிதப்படுத்தும் காரணியான \( \sqrt{14}\) ஆல் பகுதி மற்றும் தொகுதியைப் பெருக்குக.
\({7\over \sqrt{14}}={7\over\sqrt{14}}\times {7\sqrt{14}\over \sqrt{14}}={\sqrt{14}\over 2}\)
(ii) \({5+\sqrt{3}\over 5-\sqrt{3}}={(5+\sqrt{3})\over(5-\sqrt{3})}\times {(5+\sqrt{3})\over(5+\sqrt{3})}={(5+\sqrt{3})^2\over 5^2-(\sqrt{3})^2}\)
\(={5^2+(\sqrt{3})^2+2\times 5\times \sqrt{3}\over 25-3}\)
\(={25+3+10\sqrt{3}\over 22}={28+10\sqrt{3}\over22}={2\times [14+5\sqrt{3}]\over 22}\)
\(={14+5\sqrt{3}\over 11}\)

S = ஆங்கில மெய்யெழுத்துக்களின் கணம்.

(i) B = {x : x என்பது மட்டைப்பந்து வீரர், x ∈ ஒரு நாள் ஆட்டங்களில் இரட்டைச் சதமடித்த இந்திய வீரர்கள்}
(ii) \(C=\{ x:x=\frac { n }{ n+1 } ,n\in N\} \)
(iii) D = {x : x என்பது ஓர் ஆண்டிலுள்ள தமிழ் மாதங்கள்}
(iv) E = {x : x என்பது ஒற்றை எண், x ∈ W, x < 9, W என்பது முழு எண்களின் கணம்}

n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
n = 1 எனில் y = 1/2n = 1/2(1) = 1/2
n = 2 எனில் y = 1/2n = 1/2(2) = 1/4
n = 3 எனில் y = 1/2n = 1/2(3) = 1/6
n = 4 எனில் y = 1/2n = 1/2(4) = 1/8
n = 5 எனில் y = 1/2n = 1/2(5) = 1/10
\(B=\{ \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 6 } ,\frac { 1 }{ 8 } ,\frac { 1 }{ 10 } \} \).

(i) (1, 2) மற்றும் (4, 3)
(1, 2) மற்றும் (4, 3) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள
தொலைவு d = \(\begin{aligned} & \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \end{aligned}\)
= \(\begin{aligned} \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{(3)^2+(1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \end{aligned}\) அலகுகள்
(ii) (3, 4) மற்றும் (-7, 2)
(3, 4) மற்றும் (-7, 2) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள
தொலைவு d = \(\begin{aligned} \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=\sqrt{(-7-3)^2+(2-4)^2} \end{aligned}\)
=\(\begin{aligned} \sqrt{(-10)^2+(-2)^2}=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}=2 \sqrt{26} \end{aligned}\) அலகுகள்
(iii) (a, b) மற்றும் (c, b)
(a, b)  மற்றும் (c, b) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள
தொலைவு d \(\begin{aligned} =\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{(c-a)^2+(b-b)^2}=\sqrt{(c-a)^2}=(c-a) \end{aligned}\)அலகுகள்
(iv) (3, -9) மற்றும் (-2, 3)
(3, -9) மற்றும் (-2, 3) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள
தொலைவு d = \(\begin{aligned} \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=\sqrt{(-2-3)^2+(3+9)^2} \end{aligned}\)
=\(\begin{aligned} \sqrt{(-5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \end{aligned}\) அலகுகள்

பல்லுறுப்புக் கோவை

27⁰ ன் நிரப்புக்  கோணம் = 90⁰ - 27⁰ = 63⁰

x -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y – ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே , (–7,3) என்ற புள்ளி II ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்

இங்கு மொத்தப்புறப்பரப்பு = 486 செமீ²
6a² = 486 \(\Rightarrow \)a²=\(\frac {486}{6}\), a²=81 \(\Rightarrow \)a=9
கனச்சதுரத்தின் பக்க அளவு=9 செமீ
கனச்சதுரத்தின் பக்கப்பரப்பு=4a² = 4 × 9² = 4 × 81 = 324 செமீ²

(i) 8x - 3y = 12; 5x - 2y = 7
8x - 3y = 12     .......(1)
5x - 2y  = 7      .......(2)
8x - 3y - 12 = 0
5x - 2y - 7 = 0
குறுக்குப் பெருக்கல் முறையில் சமன்பாட்டில் உள்ள கெழுக்களை பின்வருமாறு அமைப்போம்
\(\begin{gathered} \frac{x}{(-3)(-7)-(-2)(-12)}=\frac{y}{(-12)(5)-(-7)(8)}=\frac{1}{(8)(-2)-(5)(-3)} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{21-24}=\frac{y}{-60+56}=\frac{1}{-16+15} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \frac{x}{-3}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \therefore \frac{x}{-3}=\frac{1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{-1} \end{gathered}\)
-x = -3 -y = -4
\(\therefore\) x = 3; y = 4

(ii) 6x + 7y - 11 = 0; 5x + 2y - 13 = 0
6x + 7y - 11 = 0
5x + 2y - 13 = 0
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91-(-22)} & =\frac{y}{-55-(-78)}=\frac{1}{12-35} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{x}{-91+22} & =\frac{y}{-55+78}=\frac{1}{-23} \end{aligned}\)
\(\frac{x}{-69}=\frac{y}{23}=\frac{1}{-23}\)


x = 3    y = -1
\(\therefore\) x = 3; y = -1
(iii) \(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5 ; \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}-5 & =0 \end{aligned}\)                       ....(1)
\(\begin{aligned} \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+9 & =0 \end{aligned}\)                       ....(2)
(1), (2) ல் \(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b எனக் கொள்க
(1) \(\Rightarrow\) 2a + 3b - 5 = 0
(2) \(\Rightarrow\) 3a - b + 9 = 0
குறுக்கு பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி
\(\begin{aligned} \frac{a}{(3)(9)-(-1)(-5)} & =\frac{b}{(-5)(3)-(9)(2)}=\frac{1}{(2)(-1)-(3)(3)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{27-5} & =\frac{b}{-15-18}=\frac{1}{-2-9} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \frac{a}{22} & =\frac{b}{-33}=\frac{1}{-11} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \frac{a}{22} & =\frac{1}{-11} \left\lvert\, \frac{b}{-33}=\frac{1}{-11}\right. \end{aligned}\)


a = -2 b = 3
\(\begin{aligned} \therefore x=\frac{1}{a}=\frac{-1}{2} & y=\frac{1}{b}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore x=-\frac{1}{2} \quad y=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

64⁰34' = 64⁰30' + 4' என எழுதலாம் 
அட்டவணையிலிருந்து  sin 64⁰30'  = 0.9026
பொது வித்தியாசம்                4 = 5  (sine-ற்குப் பொது வித்தியாசத்தைக் கூட்டவும் )
                                          __________________
                                         sin 64⁰34 = 0.9031
                                        ___________________ 

(i) sin74° = sin(90° - 16° ) (ஏனெனில், 90° - 16° = 74° )
வலப்பக்கமானது sin(90°- θ) cos θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, sin74° = cos16°
(ii) tan12° = tan(90° - 78° ) (ஏனெனில், , 12° - 90° = 78° )
வலப்பக்கமானது tan(90° - θ ) cot θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, tan12° = cot78°
(iii) cosec39° = cosec(90° - 51°) (ஏனெனில், 39° - 90° = 51°)
வலப்பக்கமானது cosec(90° - θ ) sec θ என்ற வடிவில் உள்ளது.
எனவே, cosec39° = sec51°

A(−11,4) மற்றும் B(9,8)ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை நான்கு சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P, Q, R என்க. இங்கு AP = PQ = QR = RB .
இங்கு AB இன் நடுப்புள்ளி P மற்றும் QB இன் நடுப்புள்ளி R என்க.
AB இன் நடுப்புள்ளி Q=\((\frac {-11+9}{2}, \frac{4+8}{2})=(\frac {-2}{2},\frac{12}{2})\)=(-1, 6)
AQ இன் நடுப்புள்ளி P=\((\frac {-11-1}{2}, \frac{4+6}{2})=(\frac {-12}{2},\frac{10}{2})\)=(-6, 5)
QB இன் நடுப்புள்ளி R=\((\frac {-1+9}{2}, \frac{6+8}{2})=(\frac {8}{4},\frac{14}{2})\)=(4, 7)
எனவே கோட்டுத்துண்டு AB ஐ நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P(-6, 5), Q(-1, 6) மற்றும் R(4, 7) ஆகும்.

A என்பது தமிழ், B என்பது ஆங்கிலம் மற்றும் C என்பது பிரெஞ்சு மொழி பேசும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை n(A∪B∪C)=100, n(A)=85 ,n(B)=40, n(C)=20
n(A⋂B)=32, n(B⋂C)=13, n(A⋂C)=10.
விதியின் படி,
n(A∪B∪C)=n(A) +n(B) +n(C)-n(A⋂B) - n(B⋂C) - n(A⋂C) + n(A⋂B⋂C)
100=85+40+20-32-13-10+ n(A⋂B⋂C)
n(A⋂B⋂C)=100-90=10
ஆகவே, 10 மாணவர்கள் மூன்று மொழிகளையும் பேசுவார்கள்.

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆  என்ற தரவுகளின் சராசரி \(\frac { \sum _{ i-1 }^{ n }{ { x }_{ i } } }{ 6 } =45\) என்க 
ஒவ்வொரு தரவுடன் 4 ஐக் கூட்டினால் கிடைக்கும் புதிய சராசரி,
\(\bar { X } =\frac { \sum _{ i-1 }^{ 6 }{ ({ x+4) } } }{ 6 } \)
\(=\frac { \left( { x }_{ 1 }+4 \right) \left( { x }_{ 2 }+4 \right) \left( { x }_{ 3 }+4 \right) \left( { x }_{ 4 }+4 \right) \left( { x }_{ 6 }+4 \right) }{ 6 } \)
\(=\frac { \sum _{ i-1 }^{ 6 }{ { x }_{ i }+24 } }{ 6 } =\frac { \sum _{ i-1 }^{ 6 }{ { x }_{ i } } }{ 6 } +4\)
\(\bar { X } =45+4=49\)

\(\Delta\)LMN - ல்
LM = 7.5 செ.மீ 
MN = 5 செ.மீ 
LN = 8 செ.மீ 
வரைமுறை:
படி 1: \(\Delta\)LMN ஐ வரை
படி 2: ஏதேனும் இரு பக்கங்களுக்கு (LN, MN) மையக் குத்துக் கோடுகள் வரை
படி 3: பக்கங்களின் மையப்புள்ளியையும் எதிர்முனையையும் சேர்த்து நடுக்கோடுகள் (LD, ME) வரைக.
படி 4: நடுக்கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி G நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

(i) \(A\cup \left( B\cap C \right) \)

(ii) \(A\cap (B\cap C)\)

(iii) \((A\cup B)\cap C\)

(iv)  \((A\cap B)\cup C\)

படி = 6

i) ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
ii) AB = 9.3 செ.மீ. எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
iii) BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை ‘C’ எனக் குறிக்கவும்
iv) AC இக்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப் புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்
v) O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரை வட்டம் வரையவும்
vi) BD இக்குச் செங்குத்தாக B இல் AB என்ற கோடு வரையவும்.
vii) இப்போது, BD = \(\sqrt { 9.3 } \) இதை எண்கோட்டில் BE = BD =\(\sqrt { 9.3 } \) எனக் குறிக்கலாம்

(-4, 3), (2,-3) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
\(d=\sqrt { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ^{ 2 }+\left( y_{ 2 }-y_{ 1 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( 2+4 \right) ^{ 2 }+\left( -3-3 \right) ^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \left( { 6 }^{ 2 }+\left( -6 \right) ^{ 2 } \right) } =\sqrt { \left( 36+36 \right) } \)
\(=\sqrt { 36\times 2 } \)
\(=6\sqrt { 2 } \)

lbh = 660
lb = 33
33 h = 660
h = 20

4a² = 600 ⇒ a² = 150
6a² = 6 x 150 = 900

\(\sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)சதுர அலகுகள்
\(s = \frac {3+4+5}{2}= \frac {12}{2}= 6\)
\(\therefore A = \sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt {6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt {36} = 6\)
6 செமீ²

\(s = \frac {a + b +c }{2}\)
\(s = \frac {15+20+25}{2} = \frac {60}{2} = 30\)

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

நிகழ்தகவின் மதிப்பு இடைவெளி 0 மற்றும் 1

tan θ = cot 37^o 
tan (90^o - 37^o) = cot 37^o 
θ = 90^o - 37^o = 53^o

\(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) பிரிவுச் சூத்திரப்படி 
x அச்சுத் தொலைவு = 0
\(\frac{\mathrm{m}(2)+(-5) \mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}} =0 \)
\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} =\frac{5}{2} \)
\(\mathrm{~m}: \mathrm{n} =5: 2 \)
BD ன் நடுப்புள்ளி (3, 4) 

\(x^4-y^4=\left(x^2\right)^2-\left(y^2\right)^2=\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right) \)
\(x^2-y^2=x^2-y^2 \)
மீ.பொ.வ \(=x^2-y^2\)

\(\bar{X} = \frac{5 + 9+ x+17+21}{5} = \frac{52 + x}{5} = 13\)
52 + x = 65 
x = 65 - 52
x = 13

2 - 3x = 0 ⇒ 3x = 2
x = 2/3

OR = \( \sqrt{17^2-15^ 2} = \sqrt{289-225} = \sqrt{64} = 8\) செமீ
RS = 17 - 8 செமீ = 9 செமீ

OE = \( \sqrt{15^2-12^ 2} = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9\) செமீ

ㄥAOB = 2ㄥACB = 2 x 40^o = 80^o

n(A∪B∪C)=n(A) +n(B) +n(C)-n(A⋂B) - n(B⋂C) - n(C⋂A) + n(A⋂B⋂C)
100 = 4x + 6x + 5x - 20 - 15 - 25 + 10
100 = 15x - 60 + 10
100 = 15x - 50
\(\therefore\) 15x = 100 + 50 = 150
x = 10

(i) \(\sqrt { 32 } \times \sqrt { 2 } = \sqrt {64} = 8\)
(ii) \(\frac { \sqrt { 27 } }{ \sqrt { 3 } } = \sqrt {\frac {27}{3}} = \sqrt {9}= 3\)
(iii) \(\sqrt { 72 } \times \sqrt { 8 } = \sqrt {9 \times 8 \times 8} = \sqrt {3^ 2 \times 8^ 2} = 3 \times 8= 24\)
(iv) \(\frac { \sqrt { 54 } }{ \sqrt { 18 } } = \frac {\sqrt {2 \times 3 \times 3\times 3}}{\sqrt {3 \times 3\times 2}}= \frac {\sqrt {6 \times 3^ 2}}{\sqrt 3^ 2 \times 2} = \frac {\sqrt {6} \times 3}{3 \times \sqrt {2}}\) \(= \sqrt {6/2} = \sqrt {3}\)

\(5 \times \frac { 1 }{ 7 } = 5 \times 0.\overline { 142857 } = 0.\overline { 714285 } \)

C(3, a–3) புள்ளி x - அச்சின் மீது உள்ளது 
a - 3 = 0 
a = 3

x ஆனது 0 மற்றும் y ஆனது + ve 

(2)² = 4 மற்றும் (2.5)² = 6.25 = 4 மற்றும் 6.25 - க்கு இடையே 5 சாய்கிறது. 2 மற்றும் 2.5 - க்கு \(\sqrt { 5 } \) இடையே  சாய்கிறது

2x + 5 = 0 என்க.
2x = -5
x = -5/2

A = {20, 30, 60, 75, 85}
B = {20, 30, 70, 90}
A Δ B= (A - B) U (B-A)
A - B = {60, 75, 85}
B - A = (70,90}
A Δ B = {60, 70, 75, 85, 90}
n (A Δ B)=5
n[P(AΔB)] = 2⁵ = 32

ΔABC ≅ ΔFED 
(50^o, 70^o,60^o)

AC இணைக்கவும் 
\(\triangle \mathrm{ACD},\) ல் \(\angle \mathrm{D}=42^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{DAC}+\angle \mathrm{ACD}=138^{\circ}(180-42) \)
\(\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACD}=69^{\circ} \)
(எதிர்பக்கம் சமம் கோணங்கள் சமம்)
\(\triangle \mathrm{ABC} \) ல் \( \angle \mathrm{B}=108^{\circ} \)
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{BCA}=72^{\circ}(180-108) \)
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BCA}=36^{\circ}\)
(எதிர்பக்கம் சமம் கோணங்கள் சமம்)
\(\angle \mathrm{BCD}=\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACD} \)
\(=36^{\circ}+69^{\circ}=105^{\circ}\)

இங்கு இனிப்புப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 22செமீ, அகலம் (b) = 18 செமீ, உயரம் (h) = 10செமீ.
ஓர் இனிப்புப் பெட்டியின் கன அளவு = l \(\times\) b \(\times\) h
= 22 \(\times\) 18 \(\times\) 10 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியின் நீளம் (l) = 1மீ = 100 செமீ,

அகலம் (b) = 88 செமீ, உயரம் (h) = 63 செமீ.
அட்டைப் பெட்டியின் கனஅளவு =  l \(\times\) b \(\times\) h
= 100 \(\times\) 88 \(\times\) 63 செமீ³
அட்டைப் பெட்டியில் அடுக்க இயலும் இனிப்புப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை

\(=\frac { 100\times 88\times 63 }{ 22\times 18\times 10 } \)
= 140 பெட்டிகள்

நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள்  = 1184 ஆகவே  n  = 1184
(i) E₁ என்பது கணிதத்தில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால் n(E₁)  = 233, அதாவது  r₁ = 233
P(E₁) = \(\frac { { r }_{ 1 } }{ n } =\frac { 233 }{ 1184 } \)
(ii) E₂ என்பது அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெற்ற மாணவர்கள் உள்ள நிகழ்ச்சி என்க.
ஆகையால்  n(E₂ ) = 1069 , அதாவது , r₂ = 106
P(E₂) = \(\frac { { r }_{ 2 } }{ n } =\frac { 106 }{ 1184 } \)
ஆகவே அறிவியலில் நூற்றுக்கு நூறு பெறாதவராக இருக்க  நிகழ்தகவு
 P(E'₂) = 1 - P(E₂)
= 1 - \(\frac { 106 }{ 1184 } \) = \(\frac { 1078 }{ 1184 } \)

(i) sin θ = 0.9858 = 0.9857 + 0.0001
அட்டவணையிலிருந்து  0.9857 = 80⁰18'
பொது வித்தியாசம்                 1 =        2'  (பொது வித்தியாசத்தை கூட்டவும் )
                                              _______________ 
                                             0.9858  = 80⁰20'
                                              ________________
sin θ = 0.9858 = sin 80⁰20'
θ = 80⁰20'
(ii)  cosθ = 0.7656= 0.7660 + 0.0004
அட்டவணையிலிருந்து  0.7660= 40⁰0'
பொது வித்தியாசம்                 4 =     2'  (பொது வித்தியாசத்தை கழிக்கவும் )
                                              _______________ 
                                             0.7656 = 40⁰2'
                                              ________________
cos θ = 0.7656 = cos 40⁰2'
θ = 40⁰2'

T,E ஆகியன முறையே தமிழ் மற்றும் ஆங்கில செய்தித்தாளை வாங்குபவர்களின் கணம் என்க. 
n(T) =65; n(E) =55; n(TUE) = 100; n(T⋂E)=x என்க.
(i) தமிழ் மற்றும் ஆங்கில செய்தித்தாள்கள் இரண்டையும் வாங்குபவர்களின் எண்ணிக்கை 
65-  ̶x̶ ̶+ ̶x̶ ̶+55-x = 100
120-x  = 100
-x = 100 - 120
-x = -20
x = 20
(ii)  தமிழ் செய்தித்தாள் மட்டும் வாங்குபவர்களின் எண்ணிக்கை 65-x 
=65 - 20
= 45
(iii) ஆங்கில செய்தித்தாள் மட்டும் வாங்குகின்றவர்களின் எண்ணிக்கை =55-x 
=55-20=35

சராசரி = 66 முகடு = 60
முகடு ≈ 3 இடைநிலை அளவு - 2 சராசரி 
60 ≈ 3 இடைநிலை அளவு - 2(66)
3 இடைநிலை அளவு ≈ 60 + 132
இடைநிலை அளவு ≈ \(\frac { 192 }{ 3 } \) ≈ 64

(i) \(\sqrt[3]{5}, \sqrt[9]{4}, \sqrt[6]{3}\)
\(\sqrt[3]{5}, \sqrt[9]{4}, \sqrt[6]{3}\) ஆகியவற்றின் வரிசைகள் 3, 9, 6. 3, 9, 6 ன் மீ.பொ.ம = 18
\(\begin{aligned} \sqrt[3]{5} & =\sqrt[3 \times 6]{5^6}=\sqrt[18]{15625} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[9]{4} & =\sqrt[9 \times 2]{4^2}=\sqrt[18]{16} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[6]{3} & =\sqrt[6 \times 3]{3^3}=\sqrt[18]{27} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[18]{15625} & >\sqrt[18]{27}>\sqrt[18]{16} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text { i.e, } \sqrt[3]{5} & >\sqrt[6]{3}>\sqrt[9]{4} \end{aligned}\)

(ii) \(\sqrt[2]{\sqrt[3]{5}}, \sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}, \sqrt{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt[2]{\sqrt[3]{5}}, \sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}, \sqrt{\sqrt{3}}\) ஆகியவற்றின் வரிசைகள் 6, 12, 4
6, 12, 4 ன் மீ.பொ.ம = 12
\(\begin{aligned} \sqrt[2]{\sqrt[3]{5}} & =\sqrt[6]{5}=\sqrt[6 \times 2]{5^2}=\sqrt[12]{25} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[3]{\sqrt[4]{7}} & =\sqrt[12]{7}=\sqrt[12]{7^1}=\sqrt[12]{7} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{3}} & =\sqrt[4]{3}=\sqrt[4 \times 3]{3^3}=\sqrt[12]{27} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \sqrt[12]{27} & >\sqrt[12]{25}>\sqrt[12]{7} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text { i.e, } \sqrt{\sqrt{3}} & >\sqrt[2]{\sqrt[3]{5}}>\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}} \end{aligned}\)

\(\Delta\)OMN - ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) அடிப்பக்கம் \(\times\) உயரம்
\(A_1=\frac{1}{2} \times a \times h\)

இணைகரம் DMNC - ன் பரப்பு = அடிப்பக்கம் \(\times\) குத்துயரம்
= a \(\times\) CE = a \(\times\) H
= a \(\times\) 2h (OF || CE, \(\Delta\)MOF, \(\Delta\)MCE வடிவொத்தவை)
= 2ah = 4A₁
இணைகரம் ABCD - ன் பரப்பு = 2 (இணைகரம் M பரப்பு) = 2 \(\times\)2ah = 4ah = 8A₁    ....(1)
\(\Delta\)QMA \(\cong\) \(\Delta\)DCM (\(\because\) கோ-ப-கோ)
||^ly \(\Delta\) BNP \(\cong\) \(\Delta\)DCN மேலும் \(\Delta\)DCM \(\cong\) \(\Delta\)DCN
\(\therefore\) \(\Delta\)QOP - ன் பரப்பு = \(\Delta\)QMA-ன் பரப்பு + \(\Delta\)MNO -ன் பரப்பு + இணைகரம்
MNBA-ன் பரப்பு + \(\Delta\)NPB - ன் பரப்பு
= 2A₁ + A₁ + 4A₁ + 2A₁ = 9A₁                  ....(2)
(1), (2) லிருந்து
\(\Delta\)QPO- ன் பரப்பு =இணைகரம் ABCD இன் பரப்பளவில்   \(\frac{9}{8}\) மடங்கு என நிரூபிக்கப்பட்டது.

A(3,5), B(6,2), C(3, –1), மற்றும் D(0,2) என்பன ஏதேனும் ஒரு நாற்கரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க
\(d=\sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2 -y_1)^2}\)
தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
\(AB=\sqrt{(6-3)^2+(2-5)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(BC=\sqrt{(3-6)^2 +(-1-2)^2}=\sqrt{(-3)^2 +(-3)^2}=\sqrt{9+9}\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(CD=\sqrt{(0-3)^2 +(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(AD=\sqrt{(0-3)^2 +(2-5)^2}=\sqrt{(-3)^2 +(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=\sqrt3{2}\)
மேலே உள்ள முடிவுகளில் இருந்து, AB=BC=CD=DA=\(3\sqrt{2}\)
. ஆகவே அதன் நான்குப் பக்கங்களும் சமம்.
மேலும், புள்ளிகள் A(3, 5), C(3, –1)
மூலை விட்டம் AC=\(\sqrt{(3-3)^2 +(-1-5)^2}=\sqrt{(0)^2 +(-6)^2}=\sqrt{36}=6\)
மூலை விட்டம் BD=  \(\sqrt{(0-6)^2 +(2-2)^2}=\sqrt{(-6)^2 +(0)^2}=\sqrt{36}=6\)
மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து நாம் காண்பது, AB = CD = 6
எனவே , ABCD என்பது ஒரு சதுரம்