9489757678

10ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதம் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதம் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 5

28 x 5 = 140

கொடுக்கப்பட்ட f(x), g(x), h(x) ஆகியவற்றைக் கொண்டு (f o g) o h = f o(g o h) எனக் காட்டுக.
f(x) = x², g(x) = 2x மற்றும் h(x) = x + 4

ΔABC-ல், D,E F ஆகிய புள்ளிகள் முறையே BC, CA, AB மீது உள்ளது. AB, AC மற்றும் BC ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே 13, 14 மற்றும் 15 ஆகும்.
\(\frac { AF }{ FB } =\frac { 2 }{ 5 } \)மற்றும் \(\frac { CE }{ EA } =\frac { 5 }{ 8 } \) எனில், BD மற்றும் DC காண்க.

\(\Delta \)ABC -யில் C ஆனது செங்கோணம் ஆகும். பக்கங்கள் CA மற்றும் CB-யின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P மற்றும் Q எனில் 4(AQ²+ BP²) = 5AB² என நிறுவுக.

கலங்கரை விளக்கம் இருக்கும் இடத்திலிருந்து கடலில் எதிரெதிர் திசையில் இரு கப்பல்கள் பயணம் செய்கின்றன. கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து இரு கப்பல்களின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 60° மற்றும் 45° . கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு 200 \(\left( \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } } \right) \) மீ எனில், கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் காண்க.

80 மீ உயரமுள்ள மரத்தின் உச்சியில் ஒரு பறவை இருக்கிறது. தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து பறவையின் ஏற்றக்கோணம் 45°. பறவை ஒரே உயரத்தில் கிடைமட்டத்தில் பறந்து செல்கிறது. 2 வினாடிகள் கழித்து அதே புள்ளியிருந்து பறவையின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், பறவை பறக்கும் வேகத்தினைக் காண்க. (\(\sqrt3\) = 1.732)

\(A=\left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right]\) எனில், A²- 5A + 7I₂= 0 என நிறுவுக.

\(A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) ,I=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \)எனில் A² - (a + d) A = (bc - ad) I₂ என நிறுவுக.

ஒரு கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து எதிரெதிர் பக்கங்களில் உள்ள இரண்டு கப்பல்கள் 30° மற்றும் 60° இறக்கக்கோணத்தில் பார்க்கப்படுகின்றன. கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் h மீ. இரு கப்பல்கள் மற்றும் கலங்கரை விளக்கத்தின் அடிப்பகுதி ஆகியவை ஒரே நேர்கோட்டில் அமைகின்றன எனில், இரண்டு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(\frac { 4h }{ \sqrt { 3 } } \)மீ என நிரூபிக்க.

10.

‘r’ மீ ஆரம் கொண்ட அரைக்கோளக் குவிமாடத்தின் மீது ‘h’ மீ உயரமுள்ள ஒரு கொடிக்கம்பம் நிற்கிறது. குவிமாடத்தின் அடியிலிருந்து 7 மீ தொலைவில் ஒருவர் நிற்கிறார். அவர் கொடிக்கம்பத்தின் உச்சியை 45ϒ ஏற்றக் கோணத்திலும் நிற்குமிடத்திலிருந்து மேலும் 5 மீ தொலைவு விலகிச் சென்று கொடிக்கம்பத்தின் அடியை 30ϒ ஏற்றக் கோணத்திலும் பார்க்கிறார் எனில், (i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் (ii) அரைக் கோளக் குவிமாடத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றைக் காண்க.
(\(\sqrt 3\) = 1.732)

11.

52 சீட்டுகள் கொண்ட சீட்டுக் கட்டிலிருந்து ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகின்றது அந்தச் சீட்டு இராசா அல்லது ஹார்ட் அல்லது சிவப்பு நிறச் சீட்டாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

12.

5 + 55 + 555+... என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

13.

இரு கப்பல்கள் கலங்கரை விளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்து கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45°ஆகும். கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200 மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.\(\left( \sqrt { 3 } =1.732 \right) \)

14.

ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் 343 மற்றும் அவற்றின் கூடுதல் \(\frac { 91 }{ 3 } \) எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

15.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில், k–யின் மதிப்பைக் காண்க.
(5k - 6)x²+ 2kx + 1 = 0

16.

2x² எண்ணிக்கையுடைய கருப்பு தேனீக்களின் கூட்டத்திலிருந்து கூட்டத்தின் பாதியின் வர்க்கமூல எண்ணிக்கை கொண்ட தேனீக்கள் ஒரு மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீண்டும் கூட்டத்திலிருந்து ஒன்பதில் எட்டுப் பங்கு கொண்ட தேனீக்கள் அதே மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீதமுள்ள இரண்டு தேனீக்கள் மணம் கமழும் மலரில் சிக்கிக் கொண்டன எனில், மொத்தத் தேனீக்களின் எண்ணிக்கை எத்தனை?

17.

S₁, S₂ மற்றும் S₃ என்பன முறையே ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n, 2n மற்றும் 3n உறுப்புகளின் கூடுதல் ஆகும். S₃= 3(S₂- S₁) என நிறுவுக.

18.

என்பது n-வது உறுப்பு எனில் a₈ மற்றும் a₁₅ காண்க.

19.

24, 26, 33, 37, 29, 31 ஆகியவற்றின் மாறுபாட்டுக் கெழுவைக் காண்க.

20.

\(\cfrac { { 4x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } +\cfrac { 20x }{ y } +13-\cfrac { 30y }{ x } +\cfrac { { 9y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \) என்ற கோவையின் வர்க்கமூலம் காண்க.

21.

கொடுக்கப்பட்ட f(x), g(x), h(x) ஆகியவற்றைக் கொண்டு (f o g) o h = f o(g o h) எனக் காட்டுக.
(i) f(x) = x - 1, g(x) = 3x + 1 மற்றும் h(x) = x²
(ii) f(x) = x², g(x) = 2x மற்றும் h(x) = x + 4
(iii) f(x) = x - 4, g(x) = x² மற்றும் h(x) = 3x - 5

22.

ஓர் இறகுப்பந்தின், மேற்புறம் கூம்பின் இடைக்கண்ட வடிவிலும், கீழ்ப்புறம் அரைக்கோள வடிவிலும் உள்ளது. இடைக்கண்டத்தின் விட்டங்கள் 5 செ.மீ மற்றும் 2 செ.மீ ஆகவும் இறகுபந்தின் மொத்த உயரம் 7 செ.மீ ஆகவும் இருக்குமானால், இறகுப் பந்தின் புறப்பரப்பைக் காண்க.

23.

ஒரு திண்மத்தின் அடிப்புறம் 6 செ.மீ ஆரம் உடைய அரைக்கோள வடிவிலும் மேற்புறம் 12 செ.மீ உயரமும் 6 செ.மீ ஆரமும் கொண்ட கூம்பு வடிவிலும் உள்ளது. முழுவதும் நீரால் நிரப்பப்பட்ட ஓர் உருளையின் அடிப்புறத்தைத் தொடுமாறு அத்திண்மம் வைக்கப்படும்போது வெளியேறும் நீரின் கனஅளவைக் காண்க. உருளையின் ஆரம் 6 செ.மீ மற்றும் உயரம் 18 செ.மீ எனக் கொள்க.

24.

ஓர் உருளையின் மீது ஓர் இடைக்கண்டம் இணைந்தவாறு அமைந்த ஒரு புனலின் (funnel) மொத்த உயரம் 20 செ.மீ. உருளையின் உயரம் 12 செ.மீ மற்றும் விட்டம் 12 செ.மீ ஆகும். இடைக்கண்டத்தின் மேற்புற விட்டம் 24 செ.மீ எனில், புனலின் வெளிப்புறப் பரப்பைக் கணக்கிடுக

25.

(8,6) , (5,11), (-5,12) மற்றும் (-4,3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

26.

A = {1,2,3,4} மற்றும் B = {2,5,8,11,14} என்பன இரு கணங்கள் என்க. f : A ⟶ B எனும் சார்பு f(x) = 3x - 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு
(i) அம்புக்குறி படம்
(ii) அட்டவணை
(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
(iv) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.

27.

2.4 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு திண்ம உருளையின் விட்டம் 1.4 செ.மீ ஆகும். உருளையினுள் அதே ஆரமுள்ள கூம்பு வடிவக் குழிவு (படம்) உருளையின் உயரத்திற்கு ஏற்படுத்தப்படுகிறது எனில், மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு காண்க.

28.

A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8 -ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில், கீழ்கண்டவற்றைச் சரிபார்க்க.
(i) (A ⋂ B) x C = (A x C) ⋂ (B x C)
(ii) A x (B - C)=(A x B) - (A x C)

Generic 2

22 x 2 = 44

29.

மூலங்கள் சமமெனில் கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டில் k-யின் மதிப்பை காண்க.
(k-12)x²+2(k-12)x+2=0

30.

ஒரு இடைக்கண்ட வடிவிலான வாளியின் மேற்புறம் மற்றும் அடிப்புற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ. அதன் உயரம் 45செ.மீ எனில், அதன் கொள்ளளவைக் காண். (\(\pi =\frac { 22 }{ 7 } \) பயன்படுத்தி)

31.

A (-5, 7), B (-4, -5), C (-1, -6) மற்றும் D (4, 5) உச்சிகளைக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

32.

பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையைக் கூறுக
\(\sqrt { { 2 }^{ } }t^2 -3t+3\sqrt { 2 } =0\)

33.

இரண்டு பொது மைய வட்டங்களில், 16 செ.மீ நீளமுடைய பெரிய வட்டத்தின் நாணானது 6 செ.மீ ஆரமுள்ள சிறிய வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக அமைந்தால், பெரிய வட்டத்தின் ஆரம் காண்க.

34.

\(\Delta \)ABC-யில் ∠A யின் இருசமவெட்டி AD ஆனது பக்கம் BC -ஐ D-யில் சந்திக்கிறது. AB = 10 செ.மீ, AC= 14 செ.மீ மற்றும் BC = 6 செ.மீ எனில், BD மற்றும் DC -ஐக் காண்க

35.

வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQR-ன் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில், AB -ஐக் காண்க.

36.

பின்வரும் அணிச் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y மற்றும் z -களின் மதிப்புகளைக் காண்க.
\(\left( \begin{matrix} x-3 & 3x-z \\ x+y+7 & x+y+z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \)

37.

\(\left( \begin{matrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \) என்ற அணி சமன்பாட்டிலிருந்து a, b, c, d மதிப்புகளைக் காண்க.

38.

20 மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சியில் ஒரு விளையாட்டு வீரர் அமர்ந்துகொண்டு தரையிலுள்ள ஒரு பந்தை 60ϒ இறக்கக்கோணத்தில் காண்கிறார் எனில், கட்டட அடிப்பகுதிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க. (\(\sqrt 3\) = 1.732)

39.

1³+ 2³+ 3³+ ....+ k³ = 44100 எனில், 1 + 2 + 3+...+ k யின் மதிப்பு காண்க.

40.

கூடுதல் காண்க:
(i) 1³+ 2³+ 3³+...+16³
(ii) 9³+ 10³+.....+21³

41.

நன்கு கலைத்து அடுக்கப்பட்ட 52 சீட்டுகள் கொண்ட சீட்டுக் கட்டிலிருந்து ஒரு சீட்டு எடுக்கும்போது ஓர் இராசா அல்லது ஓர் இராணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

42.

ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் \(\frac { 24 }{ 5 } \) எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.

43.

முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்ட விலக்கத்தைக் காண்க.

44.

10⁴ ≡ x (மட்டு 19) என்றவாறு அமையும் x மதிப்பைக் கணக்கிடுக.

45.

மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கல் கீழ்க்காணுமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன எனில், அவற்றுக்குத் தகுந்த இருபடிச் சமன்பாடுகளைக் கண்டறிக.
(i) 9, 14
(ii) \(-\cfrac { 7 }{ 2 } ,\cfrac { 5 }{ 2 } \)
(iii) \(-\cfrac { -3 }{ 5 } ,-\cfrac { 1 }{ 2 } \)

46.

ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (-6, -4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5, 11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

47.

r அலகுகள் ஆரம் கொண்ட ஒரு திண்ம அரைக் கோளத்திலிருந்து வெட்டி எடுக்கப்படும் கூம்பின் மீப்பெரு கனஅளவு என்ன?

48.

If f(x) = 3x - 2, g(x) = 2x + k மற்றும் f o g = g o f எனில், k யின் மதிப்பைக் காண்க.

49.

X = {1,2,3,4}, Y = {2,4,6,8,10} மற்றும் R = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} எனில், R ஆனது ஒரு சார்பு எனக் காட்டுக. மேலும் அதன் மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க.

50.

ஒரு கோள வடிவ வளிக்கூண்டினுள் (balloon) காற்று உந்தப்படும்போது அதன் ஆரம் 12 செ.மீ-லிருந்து 16 செ.மீ ஆக உயருகிறது. இரு புறப்பரப்புகளின் விகிதம் காண்க.

Generic 8

10 x 8 = 80

51.

6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து PA மற்றும் PB என்ற இரு தொடுகோடுகள் வரைந்து அவற்றின் நீளங்களை அளவிடுக.

52.

படத்தில் செங்கோண முக்கோண ABC-யில் கோணம் B ஆனது செங்கோணம் மற்றும் D, E என்ற புள்ளிகள் பக்கம் BC-ஐ மூன்று சமப்பகுதிகளாக பிரிக்கிறது எனில், 8AE²= 3AC²+ 5AD² என நிறுவுக.

53.

ΔPQR-யில் அடிப்பக்கம் QR-க்கு செங்குத்தாக உள்ள PS ஆனது QR-ஐ S யில் சந்திக்கிறது மேலும், QS = 3 SR, எனில் 2PQ²= 2PR²+ QR² என நிறுவுக.

54.

அடிப்பக்கம் BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60° மற்றும் ∠A-யின் இருசமவெட்டியானது BC-ஐ D என்ற புள்ளியில் BD = 6 செ.மீ என்றவாறு சந்திக்கிறது எனில், முக்கோணம் ABC வரைக.

55.

இரண்டு பகடைகள் ஒரு முறை உருட்டப்படுகின்றன. முதல் பகடையில் முக மதிப்பு இரட்டைப் படை எண் அல்லது முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 8 ஆகக் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

56.

y = 2x² என்ற வரைபடம் வரைந்து அதன் மூலம் 2x²- x - 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

57.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வரைபடம் வரைக. அவற்றின் தீர்வுகளின் தன்மையைக் கூறுக.
x²- 9x + 20 = 0

58.

2x²- x - 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(\alpha \) மற்றும்\(\beta \) எனில், கீழே கொடுக்கப்பட்ட மூலங்களையுடைய இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(i) \(\cfrac { 1 }{ \alpha } ,\cfrac { 1 }{ \beta } \)
(ii) \({ \alpha }^{ 2 }\beta ,{ \beta }^{ 2 }\alpha \)
(iii) \(2\alpha +\beta ,2\beta +\alpha \)

59.

நன்கு கலைத்து அடுக்கப்பட்ட 52 சீட்டுகளைக் கொண்ட சீட்டுக்கட்டிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது
(i) சிவப்பு நிறச் சீட்டு
(ii) ஹார்ட் சீட்டு
(iii) சிவப்பு நிற இராசா
(iv) முக சீட்டு
(v) எண் சீட்டாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிக.

60.

தாத்தா, தந்தை மற்றும் வாணி ஆகிய மூவரின் சராசரி வயது 53. தாத்தாவின் வயதில் பாதி, தந்தையின் வயதில் மூன்றில் ஒரு பங்கு மற்றும் வாணியின் வயதில் நான்கில் ஒரு பங்கு ஆகியவற்றின் கூடுதல் 65. நான்கு ஆண்டுகளுக்கு முன் தாத்தாவின் வயது வாணியின் வயதைபோல் நான்கு மடங்கு எனில் மூவரின் தற்போதைய வயதைக் காண்க?

Multiple Choice Question

13 x 1 = 13

61.

கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், PR = 26 செ.மீ, QR = 24 செ.மீ, ㄥPAQ = 90⁰, PA = 6 செ.மீ மற்றும் QA = 8 செ.மீ எனில் ㄥPQR -ஐக் காண்க.

(a)

80⁰

(b)

85⁰

(c)

75⁰

(d)

90⁰

62.

\(A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix} \right) ,B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{matrix} \right) \)ஆகிய அணிகளைக் கொண்டு எவ்வகை அணிகளைக் கணக்கிட முடியும்?
(i) A² (ii) B² (iii) AB (iv) BA

(a)

(i), (ii) மட்டும்

(b)

(ii), (iii) மட்டும்

(c)

(ii), (iv) மட்டும்

(d)

அனைத்தும்

63.

ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ______ ஆகும்.

(a)

நேர்கோடு

(b)

வட்டம்

(c)

பரவளையம்

(d)

அதிபரவளையம்

64.

(2x - 1)² = 9 யின் தீர்வு

(a)

-1

(b)

(c)

-1,2

(d)

இதில் எதுவும் இல்லை

65.

sin θ + cos θ = a மற்றும் sec θ + cosec θ = b எனில் b(a² -1) -ன் மதிப்பு _____.

(a)

(b)

(c)

(d)

2ab

66.

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6 வது உறுப்பின் 6 மடங்கும் 7 வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 13-வது உறுப்பு _____.

(a)

(b)

(c)

(d)

67.

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின் படி, a மற்றும் b என்ற மிகை முழுக்களுக்கு தனித்த மிகை முழுக்கள் q மற்றும் r, a = bq + r என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு r ஆனது, ______.

(a)

1 < r < b

(b)

0 < r < b

(c)

0 ≤ r < b

(d)

0 < r ≤ b

68.

சராசரியிலிருந்து கிடைக்கப் பெற்ற தரவுப் புள்ளிகளுடைய விலக்கங்களின் கூடுதலானது_______.

(a)

எப்பொழுதும் மிகை எண்

(b)

எப்பொழுதும் குறை எண்

(c)

பூச்சியம்

(d)

பூச்சியமற்ற முழுக்கள்

69.

(2, 1) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள் ____.

(a)

x - y - 3 = 0; 3x - y - 7 = 0

(b)

x + y = 3; 3x + y = 7

(c)

3x + 3y = 0; x + y = 7

(d)

x + 3y - 3 = 0; x - y - 7 = 0

70.

ஒரு சுவரின் அருகே நடந்து சென்று கொண்டிருக்கும் ஒரு நபருக்கும் சுவருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 10 அலகுகள். சுவரை Y -அச்சாகக் கருதினால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை என்பது _______.

(a)

x = 10

(b)

y = 10

(c)

x = 0

(d)

y = 0

71.

x செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்மக் கோளம் அதே ஆரமுள்ள ஒரு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது எனில், கூம்பின் உயரம் ______.

(a)

3x செ.மீ

(b)

x செ.மீ

(c)

4x செ.மீ

(d)

2x செ.மீ

72.

A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில், n[(A U C) x B] ஆனது

(a)

(b)

(c)

(d)

73.

A = {1,2}, B = {1,2,3,4} C = {5,6} மற்றும் D = {5, 6, 7, 8} எனில் கீழே கொடுக்கப்பட்டவைகளில் எது சரியான கூற்று?

(a)

(A x C) ⊂ (B x D)

(b)

(B x D) ⊂ (A x C)

(c)

(A x B) ⊂ (A x D)

(d)

(D x A) ⊂ (B x A)

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 5

28 x 5 = 140

\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+4 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})] \)
\(=\mathrm{f}(2 \mathrm{x})=(2 \mathrm{x})^2=4 \mathrm{x}^2 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[\mathrm{x}+4] \)
\(=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}[\mathrm{x}+4]=2(\mathrm{x}+4) \)
\(f \circ(g \circ h) =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{h}(\mathrm{x}))]=\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x}+4)] \)
\(=\mathrm{f}[2(\mathrm{x}+4)]=[2(\mathrm{x}+4)]^2=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ =f \circ(g \circ h)\)

கொடுக்கப்பட்டது AB = 13, AC = 14 மற்றும் BC = 15.
BD = x மற்றும் DC = y என்க.
சீவாஸ் தேற்றத்தின்படி,\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { CE }{ EA } \times \cfrac { AF }{ FB } =1\)
\(\cfrac { AF }{ FB } \) மற்றும் \(\cfrac { CE }{ EA } \) -யின் மதிப்புகளை (1) –யில் பிரதியிட,
\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { 5 }{ 8 } \times \cfrac { 2 }{ 5 } =1\)
\(\cfrac { x }{ y } \times \cfrac { 10 }{ 40 } =1\) ⇒, \(\cfrac { x }{ y } \times \cfrac { 1 }{ 4 } =1\). எனவே, x = 4y ..(2)
BC = BD + DC = 15. எனவே, x + y = 15 ...(3)
x = 4y ஐ (3) –யில் பிரதியிட
4y + y = 15 ⇒ 5y = 15 எனவே y = 3
y = 3 -ஐ (3) –யில் பிரதியிட, x = 12. எனவே, BD = 12, DC = 3.

\(\Delta \)AQC யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், AQ² = AC²+ QC² ...(1)
\(\Delta \)BPC- யில் C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், BP²= BC²+ CP²...(2)
\(\triangle A B C\)-யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், \(A B^2=A C^2+B C^2 \ldots3\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, AQ² + BP²= AC²+ QC²+ BC²+ CP²
4(AQ²+ BP²) = 4AC²+ 4QC²+ 4BC²+ 4CP²
= 4AC²+ (2QC)²+ 4BC²+ (2CP)²
= 4AC²+ BC²+ 4BC²+ AC² (P மற்றும் Q என்பது நடுப்புள்ளி என்பதால்)
= 5(AC²+ BC²) (சமன்பாடு (3)-லிருந்து)
4(AQ²+ BP²) = 5AB²

AB என்பது கலங்கரை விளக்கம், C மற்றும் D இரு கப்பல்கள் என்க.
\(\angle X A C =\angle A C B=45^{\circ} \)
\(\angle Y A D =\angle A D B=60^{\circ} \)
\(C D =200\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)\) மீ
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B D\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{A B}{B D} \)
\(\sqrt{3} =\frac{A B}{B D} \)
\(\mathrm{BD} =\frac{A B}{\sqrt{3}}\) ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் ABC லிருந்து
\(\tan 45^{\circ}=\frac{A B}{B C} \)
\(1=\frac{A B}{B C} \)
\(B C=A B \) ....(2)
\((1)+(2) \Rightarrow B D+B C=\frac{A B}{\sqrt{3}}+A B \)
\(\mathrm{CD}=A B\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right) \quad[\because C B+B D=C D] \)
\(\frac{C D}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)} =\mathrm{AB} \)
\(\mathrm{AB} =\frac{200\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)}\)
AB = 200 மீ
\(\therefore\) கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200 மீ.

பறவை முதலில் மரத்தில் A என்ற நிலையிலும் 2 வினாடிகளுக்குப்பின் D என்ற நிலையிலும் உள்ளது எனக் கொள்வோம்.
AC = D E = 80 மீ
\(\angle A B C =45^{\circ} \)
\(\angle D B C =30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து \(\tan 45^{\circ}=\frac{A C}{B C}\)
\(1=\frac{80}{B C}\)மீ
B C=80
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D B E\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ}=\frac{D E}{B E} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{80}{B C+C E} \)
\(\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{80}{80+C E} \)
\(80+C E=80 \sqrt{3} \)
\(C E=(80 \sqrt{3}-80) \)
\(=80(\sqrt{3}-1)\)
= 80(1.732 - 1)
= 80 x 0.732
CE = 58.56 மீ
\(\therefore\) 2 வினாடிகளில் பறவை 58.56 மீ தூரம் பறக்கிறது.
பறவையின் வேகம் = கடந்த தொலைவு / எடுத்துக்கொண்ட காலம்
\(=\frac{58.56}{2} \)
= 29.28 மீ/வி
\(\therefore\) பறவை பறக்கும் வேகம் = 29.28 மீ/வி

\(A=\left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right]\)
A² = A.A
= \(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} (9-1) & (3+2) \\ (-3-2) & (-1+4) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
5A = 5\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{matrix} \right] \)
\(7 I_2=7\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right)\)
∴ A²- 5A + 7I₂ = \(\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] \)
\(=\left(\begin{array}{rr} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right)\)
=\(\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0
நிறுவப்பட்டது

A =\(\left[\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 8 \end{matrix} \right] ,B=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
(AB) =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 8 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 7 \\ 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} (5+2+45) & (35+4-9) \\ (1+2+40) & (7+4-8) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 52 & 30 \\ 43 & 3 \end{matrix} \right] \)
(AB)^T=\(\left[ \begin{matrix} 52 & 43 \\ 30 & 3 \end{matrix} \right] \)
\(B^{ T }=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 7 & 2 & -1 \end{matrix} \right] ,{ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 5 & 1 \\ 2 & 2 \\ 9 & 8 \end{matrix} \right] \) ....(1)
\(\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ 7 & 2 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 5 & 1 \\ 2 & 2 \\ 9 & 8 \end{array}\right]\)
B^TA^T =\(\left[ \begin{matrix} (5+2+45) & (1+2+40) \\ (35+4-9) & (7+4-8) \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 52 & 43 \\ 30 & 3 \end{matrix} \right] \) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\((\mathrm{AB})^{\mathrm{T}}=\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}\)
நிறுவப்பட்டது.

\(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right], \mathrm{I}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)
\(\mathrm{A}^{2}=\mathrm{A} \cdot \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{ll} a^{2}+b c & a b+b d \\ a c+c d & b c+d^{2} \end{array}\right]\)
\((a+d) A=(a+d)\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{ll} a(a+d) & b(a+d) \\ c(a+d) & d(a+d) \end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{ll} a^{2}+a d & a b+b d \\ a c+c d & a d+d^{2} \end{array}\right]\)
A² - ( a + d) A
\(=\left[\begin{array}{ll} a^{2}+b c & a b+b d \\ a c+c d & b c+d^{2} \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} a^{2}+a d & a b+b d \\ a c+c d & a d+d^{2} \end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{cc} b c-a d & 0 \\ 0 & b c-a d \end{array}\right]\) ...(1)
இப்போது \((b c-\mathrm{ad}) \mathrm{I}_2=(b c-a d)\begin{aligned} \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} &=\left(\begin{array}{cc} b c-a d & 0 \\ 0 & b c-a d \end{array}\right) \end{aligned}\) .....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A^2-(a+d) A=(b c-a d) I_2\) நிறுவப்பட்டது.

D மற்றும் C என்பன இரு கப்பல்கள் மற்றும் AB என்பது கலங்கரை விளக்கம் என்க.
AB = 'h' மீ
\(\angle E B D =\angle B D A=30^{\circ} \)
\(\angle F B C =\angle B C A=60^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B A C\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{A B}{A C} \)
\(\sqrt{3} =\frac{h}{A C} \)
\(A C =\frac{h}{\sqrt{3}}\) ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B A D\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{A D} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{h}{A D} \)
\(A D=h \sqrt{3} \) ....(2)
\((1)+(2) \Rightarrow A C+A D=\frac{h}{\sqrt{3}}+h \sqrt{3} \)
\(\mathrm{DC}=\frac{h+h \sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\(\mathrm{DC}=\frac{h+3 h}{\sqrt{3}}=\frac{4 h}{\sqrt{3}} \)
\(\therefore\) இரு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் \(=\frac{4 h}{\sqrt{3}}\) மீ

10.

BD என்பது குவிமாடத்தின் ஆரம் மற்றும் AD என்பது கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் என்க.
(i) செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABE}\) -இலிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{A B}{B E} \)
\(1 =\frac{r+h}{r+7} \)
\(\mathrm{r}+7 =\mathrm{r}+\mathrm{h} \)
\(\mathrm{r}+\mathrm{h}-\mathrm{r} =7\)
h = 7 மீ
\(\therefore\) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் = 7 மீ
(ii) செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B D C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ}=\frac{B D}{B C}=\frac{r}{r+7+5} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{r+12} \)
\(\mathrm{r}+12=\sqrt{3} r \)
\(12 =\sqrt{3} r-r \)
\(12 =r(\sqrt{3}-1) \)
r(\(\sqrt3-1\))\(\times (\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1})\)
\(12\times\frac{r(3-1)}{\sqrt3+1}\Rightarrow \frac{12\sqrt3+1}{2}\\ r = 6(\sqrt3+1)= 6(1.732+1)\\ =6\times2.732=16.39\)
\(\mathrm{r} =\frac{12}{1.732-1}=\frac{12}{0.732}=16.39 \) மீ
(i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் = 7 மீ
(ii) குவிமாடத்தின் ஆரம் = 16.39 மீ

11.

சீட்டுகளின் வகைகள்	ஸ்பேட்	ஹார்ட்	கிளாவர்	டைமண்ட்
ஒவ்வொரு வகையிலும் உள்ள சீட்டுகள்	A	A	A	A
	2	2	2	2
	3	3	3	3
	4	4	4	4
	5	5	5	5
	6	6	6	6
	7	7	7	7
	8	8	8	8
	9	9	9	9
	10	10	10	10
	J	J	J	J
	Q	Q	Q	Q
	K	K	K	K
ஒவ்வொரு வகையிலும் உள்ள சீட்டுகளின் தொகுப்பு	13	13	13	13

மொத்த சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 52; n(S) = 52
A ஆனது இராசா சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.n(A)=4
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 4 }{ 52 } \)
B ஆனது ஹார்ட் சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. n(B) = 4
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 13 }{ 52 } \)
C ஆனது சிவப்பு நிறச் சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. n(C) = 26
\(P(C)=\frac { n(C) }{ n(S) } =\frac { 26 }{ 52 } \)
P(A\(\cap\)B) = P(ஹார்ட் மற்றும் இராசா சீட்டு கிடைக்க) =\(\frac {1}{52}\)
P(B\(\cap\)C) = P(சிவப்பு நிற ஹார்ட் சீட்டு கிடைக்க) = \(\frac {13}{52}\)
P(A\(\cap\)C) = P(சிவப்பு நிற இராசா சீட்டு கிடைக்க) =\(\frac {2}{52}\)
P(A\(\cap\)B\(\cap\)C) = P(ஹார்ட், இராசா சீட்டு சிவப்பு நிறத்தில் கிடைக்க) =\(\frac {1}{52}\)
தேவையான நிகழ்தகவானது
P(A\(\cup\)B\(\cup\)C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\(\cap\)B) - P(B\(\cap\)C) - P(B\(\cap\)C) + P(A\(\cap\)B\(\cap\)C)
\(=\frac { 4 }{ 52 } +\frac { 13 }{ 52 } +\frac { 26 }{ 52 } -\frac { 1 }{ 52 } -\frac { 13 }{ 52 } -\frac { 2 }{ 52 } +\frac { 1 }{ 52 } =\frac { 7 }{ 13 } \)

12.

5 + 55 + 555+.... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையும் அல்ல, பெருக்குத் தொடர்வரிசையும் அல்ல. எனவே, இந்தத் தொடரை இரு தொடர்களாகப் பிரித்துக் கூடுதல் காண்போம்.
5 + 55 + 555+... n உறுப்புகள் வரை = 5[1 + 11 + 111+.... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[9 + 99 + 999+...n உறுப்புகள் வரை]
=\(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10 + 100 + 1000+... n உறுப்புகள் வரை) - n]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \left[ \frac { 10(10^{ n }-1) }{ (10-1) } -n \right] =\frac { 50(10^{ n }-1) }{ 81 } -\frac { 5n }{ 9 } \)

13.

கலங்கரை விளக்கம் AB என்க. C மற்றும் D என்பன இரு கப்பல்கள் இருக்கும் இடங்கள் என்க.
மேலும், AB = 200 மீ.
ㄥACB = 30°, ㄥADB = 45°
செங்கோண Δ BAC -ல்
tan 30° = \(\frac {AB}{AC }\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac{200}{AC}\) ⇒ AC = 200\(\sqrt3\) .....(1)
செங்கோண Δ BAD -ல் tan 45° = \(\frac {AB}{AD }\)
1 = \(\frac{200}{AD}\) ⇒ AD = 200 ...(2)
தற்போது, CD = AC + AD = 200\(\sqrt3\) [(1), (2) -லிருந்து]
CD = 200(\(\sqrt3\) + 1) = 200 x 2.732 = 546.4
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு 546.4 மீ ஆகும்.

14.

அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் அந்த மூன்று உறுப்புகளை நாம் \(\frac { a }{ r } \), a, ar என எடுத்துக் கொள்வோம்.
உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் = 343
\(\frac { a }{ r } \) x a x ar =343
a³= 7³ ⇒ a = 7
உறுப்புகளின் கூடுதல் =\(\frac { 91 }{ 3 } \)
ஆகவே, a\(\left( \frac { 1 }{ r } +1+r \right) =\frac { 91 }{ 3 } \)-
\(7\left( \frac { 1+r+r^{ 2 } }{ r } \right) =\frac { 91 }{ 3 } \)
3 + 3r + 3r²= 13r ⇒ 3r²- 10r + 3 = 0
(3r - 1)(r - 3) = 0 ⇒ r = 3 அல்லது r = \(\frac{1}{3}\)
a = 7, r = 3 எனில், தேவையான மூன்று உறுப்புகள் \(\frac { 7 }{ 3 } \), 7, 21
a = 7, r = \(\frac{1}{3}\) எனில், தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 21, 7, \(\frac { 7 }{ 3 } \).

15.

(5k - 6)x²+ 2kx + 1 = 0
\(\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0\) உடன் ஒப்பிட
\(\mathrm{a}=5 \mathrm{k}-6, \mathrm{~b}=2 \mathrm{k}, \mathrm{c}=1\)
கொ.ப : மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.
\(\therefore \mathrm{b}^2-4 \mathrm{ac}=0 \)
\((2 \mathrm{k})^2-4(5 \mathrm{k}-6)(1) =0 \)
\(4 \mathrm{k}^2-20 \mathrm{k}+24 =0\)
4 ஆல் வகுக்க,
\(k^2-5 k+6 =0 \)
\((k-3)(k-2) =0 \)
k = 2,3

16.

கொடுக்கப்பட்டது : தேனீக்களின் மொத்த எண்ணிக்கை = 2x²
கூட்டத்தின் பாதியின் வர்க்கமூலம் \(=\left(\frac{2 x^2}{2}\right)^{1 / 2}\)
ஒன்பதில் எட்டுப்பங்கு தேனீக்கள் \(= \frac{8}{9}(2x)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து
\(x^2-x-\frac{5}{9}(x)=2 \)
\(18 x^2-9 x-16 x^2=18 \)
\(2 x^2-x-18=0 \)
\(2 x^2-12 x+3 x-18=0 \)
\(2 x(x-6)+3(x-6)=0 \)
\((x-6)(2 x+3)=0\)
\(x=6, x=\frac{-3}{2}[\because x=-\frac{3}{2} \) சாத்தியமல்ல]
∴ x = 6
∴ கூட்டத்திலுள்ள மொத்த தேனீக்களின் எண்ணிக்கை = 2x² = 2(6)² = 72

17.

S₁, S₂ மற்றும் S₃ என்பன முறையே ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n, 2n மற்றும் 3n உறுப்புகளின் கூட்டல் எனில்,
\(S_1=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d], \ S_2=\frac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d], S_3=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]\)
தற்போது, S₂- S₁=\(\frac { 2n }{ 2 } \) [2a + (2n - 1)d] -\(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n - 1)d
=\(\frac { n }{ 2 } \)[4a + 2(2n - 1)d - [2a + (n - 1)d]]
S₂- S₁= \(\frac { n }{ 2 } \) x [2a + (3n - 1)d]
3(S₂- S₁) = \(\frac { 3n }{ 2 } \)[2a + (3n - 1)d]
3(S₂- S₁) = S₃

18.

a₈ஐ காண, 8 ஒர் இரட்டை எண் என்பதால்
n = 8 என, \(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{n^2-1}{n+3}\) இல் பிரதியிட
\(a_8=\frac{8^2-1}{8+3}=\frac{64-1}{11}=\frac{63}{11}\)
a₁₅ ஐக் காண, 15 ஒர் ஒற்றை எண் என்பதால்
n = 15 என, \( \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{n^2}{2 n+1}\) இல் பிரதியிட
\(a_{15}=\frac{15^2}{2(15)+1}=\frac{225}{30+1}=\frac{225}{31}\)
\(\therefore a_8=\frac{63}{11}\) மற்றும் \(\mathrm{a}_{15}=\frac{225}{31}\)

19.

தரவுகள் ஏறுவரிசையில் : 24, 26, 29, 31, 33, 37
திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{\frac{\sum d_i^2}{N}-\left(\frac{\sum d_i}{N}\right)^2}\)
ஊகச் சராசரி A = 31 என்க.

x_i	\(d_i=x_i-A\\ d_i=x_i-31\)	d_i²
24	-7	49
26	-5	25
29	-2	4
31	0	0
33	2	4
37	6	36
	\(\Sigma d_i=-6\)	\(\Sigma d_i^2=118\)

\(\therefore \quad \sigma=\sqrt{\frac{118}{6}-\left(\frac{-6}{6}\right)^2} \)
\(\sigma=\sqrt{19.67-(-1)^2}=\sqrt{19.7-1} \)
\(\sigma=\sqrt{18.67}=4.3\)
சராசரி \(\bar{x}=\frac{\Sigma x_i}{N}\)
சராசரி \(\bar{x}=\frac{24+26+29+31+33+37}{6}\)
\(\bar{x}=\frac{180}{6}=30\)
மாறுபாட்டுக் கெழு C.V \(=\frac{\sigma}{x} \times 100 \%\)
\(\mathrm{C} V =\frac{4.3}{30} \times 100 \%=0.1433 \times 100 \% \)
= 14.4 %
தரப்பட்ட தரவுகளின் மாறுபாட்டுக் கெழு = 14.4 %

20.

எனவே,\(\sqrt { \cfrac { 4x^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } +\cfrac { 20x }{ y } +13-\cfrac { 30y }{ x } +\cfrac { { 9y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } } =\left| \cfrac { 2x }{ y } +5-\cfrac { 3y }{ x } \right| \)

21.

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}- 1, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}+1, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}[3 \mathrm{x}+1] \)
\(=(3 \mathrm{x}+1)-1=3 \mathrm{x} \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)\left[\mathrm{x}^2\right]=3 \mathrm{x}^2 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}\left[\mathrm{x}^2\right]=3 \mathrm{x}^2+1 \)
\(f \circ(g \circ h) =\mathrm{f}\left[3 \mathrm{x}^2+1\right] \)
\(=\left(3 \mathrm{x}^2+1\right)-1=3 \mathrm{x}^2 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ h =f \circ(g \circ h) \)
(ii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+4 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})] \)
\(=\mathrm{f}(2 \mathrm{x})=(2 \mathrm{x})^2=4 \mathrm{x}^2 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[\mathrm{x}+4] \)
\(=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}[\mathrm{x}+4]=2(\mathrm{x}+4) \)
\(f \circ(g \circ h)\)\(=\mathrm{f}[2(\mathrm{x}+4)]=[2(\mathrm{x}+4)]^2=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ h =f \circ(g \circ h)\)
(iii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}-4, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}-5 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2\right)=\mathrm{x}^2-4 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[3 \mathrm{x}-5] \)
\(=(3 \mathrm{x}-5)^2-4=9 \mathrm{x}^2-30 \mathrm{x}+25-4 \)
\(=9 \mathrm{x}^2-30 \mathrm{x}+21 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})] \)
\(=\mathrm{g}(3 \mathrm{x}-5)=(3 \mathrm{x}-5)^2\)
f o (g o h) = f(3x - 5)²= (3x - 5)² - 4
\(=9 \mathrm{x}^2-30 \mathrm{x}+25-4=9 \mathrm{x}^2=30 \mathrm{x}+21 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ h =f \circ(g \circ h)\)

22.

இறகுப்பந்தின் புறப்பரப்பு =இடைக்கண்டத்தின் புறப்பரப்பு +அரைக்கோளத்தின் புறப்பரப்பு

இடைக்கண்டத்தின் புறப்பரப்பு=π(R+r)l சதுர அலகுகள்
இங்கு R=\(\frac{5}{2}\)செ.மீ
r=\(\frac{2}{2}=1\) செ.மீ.
\(l=\sqrt { (R-r{ ) }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { { (2.5-1) }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } \)
\(\\ =\sqrt { { 1.5 }^{ 2 }+36 } \)
\(=\sqrt { 2.25+36 } \)
\(=\sqrt { 38.25 } \)
≅6.18
அரைக்கோளத்தின் புறப்பரப்பு
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 1\times 1=6.28\)செமீ²
∴ இறகுப் பந்தின் புறப்பரப்பு
=67.1+6.28
=73.38செமீ²
73.39 செ.மீ²(தோராயமாக)

23.

அரைக்கோளத்தின் ஆரம் = 6 செ.மீ
அரைக்கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac{2}{3} \pi r^3\) கன அலகுகள்
\(=\frac{2}{3} \pi(6)^3 \)
\(=\frac{2}{3} \pi(216) \)
\(=144 \pi\) செ.மீ³
கூம்பின் அடிப்பக்க ஆரம் = 6 செ.மீ
கூம்பின் உயரம் = 12 செ.மீ
கூம்பின் கனஅளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \pi(6)^2(12) \)
\(=144 \pi\) செ.மீ³
திண்மத்தின் கன அளவு = கூம்பின் கன அளவு + அரைக் கோளத்தின் கன அளவு
\(=144 \pi+144 \pi=288 \pi\)
வெளியேறும் நீரின் கன அளவு = உருளையில் வைக்கப்பட்ட திண்மத்தின் கன அளவு
\(=288 \pi=288 \times \frac{22}{7}=905.14\) செ.மீ³

24.

h₁ மற்றும் h₂ என்பன முறையே இடைக்கண்டம் மற்றும் உருளையின் உயரம் என்க.
R மற்றும் r என்பன இடைக்கண்டத்தின் மேல் மற்றும் கீழ்ப்புற ஆரங்கள் என்க.
இங்கு, R = 12 செ.மீ, r = 6 செ.மீ, h₂ = 12 செ.மீ h₁= 20 - 12 = 8 செ.மீ
இடைக்கண்டத்தின் சாயுயரம் \(l=\sqrt { { (R-r) }^{ 2 }+{ h }_{ 1 }^{ 2 } } \)அலகுகள்
\(=\sqrt { 36+64 } \)
l = 10 செ.மீ
வெளிப்புறப் பரப்பு = 2πrh₂+ π(R + r)l ச.அலகுகள்
= π[2rh₂+ (R + r)l]
= π[(2 x 6 x 12) + (18 x 10)]
= π[144 + 180]
= \(\frac{22}{7}\times\)324 = 1018.28
ஆகவே, புனலின் வெளிப்புறப் பரப்பு 1018.28 ச.செ.மீ² ஆகும்.

25.

நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவேண்டும்.
A(8,6), B(5,11), C(–5,12) மற்றும் D(–4,3) என்பன முனைப் புள்ளிகள் ஆகும்.
எனவே, நாற்கரம் ABCD - யின் பரப்பு
= \(\frac 12\) {(x₁y₂+ x₂y₃+ x₃y₄+ x₄y₁) − (x₂y₁+ x₃y₂ + x₄y₃+ x₁y₄)}
= \(\frac 12\) {(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)}
= \(\frac 12\) {109 + 49}
= \(\frac 12\) {158} = 79 ச.அலகுகள்

26.

A = {1,2,3,4}; B = {2,5,8,11,14}; f(x) = 3x - 1
f(1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2; f(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
f(3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8; f(4) = 4(3) - 1 = 12 – 1 = 11
(i) அம்புக்குறி படம்
சார்பு f :A ⟶B - ஐ ஒரு அம்புக்குறி படத்தால் குறிப்போம். (படம்.1.19).

(ii) அட்டவணை அமைப்பு
சார்பு f-ஐ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையால் குறிப்போம்.

x	1	2	3	4
f(x)	2	5	8	11

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
சார்பு f-ஐ வரிசை சோடிகளின் கணமாக எழுதலாம்.
f = {(1,2),(2,5),(3,8),(4,11)}
(iv) வரைபடம்
படம் 1.20 உள்ள XY-தளத்தில் ஒரே நேர்கோட்டில் (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) ஆகிய புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

27.

h மற்றும் r என்பன கூம்பு மற்றும் உருளை ஆகியவற்றின் உயரம் மற்றும் ஆரம் என்க.
l என்பது கூம்பின் சாயுயரம் என்க.
இங்கு, h = 2.4 செ.மீ, d = 1.4 செ.மீ; r = 0.7 செ.மீ
மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = உருளையின் வளைபரப்பு + கூம்பின் வளைபரப்பு + அடிப்பரப்பு
= 2\(\pi\)rh + \(\pi\)rl + \(\pi\)r² ச.அ
தற்போது, l =\(\sqrt { { r }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } } =\sqrt { 0.49+5.76 } =\sqrt { 6.25 } =2.5\) செ.மீ
l = 2.5 செ.மீ
மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \(\pi\)r(2h + l + r) ச.அ
\(=\frac { 22 }{ 7 } \times 0.7\times [(2\times 2.4)+2.5+0.7]\)
= 17.6
ஆகவே, மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு 17.6 ச.செ.மீ ஆகும்.

28.

கொடுக்கப்பட்டது: 'A' என்பது 8 -க்கு குறைவான இயல் எண்களின் கணம்.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
'B' என்பது 8 க்கு குறைவான பகா எண்களின் கணம் B = {2, 3, 5, 7}
'C' என்பது இரட்டைப் படை பகா எண்ணின் கணம்
C = {2}
(i) \( (A \cap B) \times C=(A \times C) \cap(B \times C) \)
\(A \cap B=\{2,3,5,7\} \)
\((A \cap B) \times C=\{2,3,5,7\} \times\{2\} \)
\(=\{(2,2),(3,2), (5,2),(7,2)\} \quad \ldots(1) \)
\(A \times C=\{1,2,3,4,5,6,7\} \times\{2\} \)
\(=\{(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(7,2)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{C}=\{2,3,5,7\} \times\{2\} \)
\(=\{(2,2),(3,2),(5,2),(7,2)\} \)
\((A \times C) \cap(B \times C) =\{(2,2),(3,2),(5,2),(7,2)\} \quad \ldots(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து \((A \cap B) \times C=(A \times C) \cap(B \times C)\) எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) A x ( B - C) = (A x B) - (A x C)
B - C = {2,3,5,7} - {2} = {3,5,7}
A x (B - C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {3, 5, 7}
={(1, 3),(1, 5),(1, 7),(2, 3),(2, 5),(2, 7) (3, 3),(3, 5),(3, 7),(4, 3),(4, 5),(4, 7), (5, 3),(5, 5), (5, 7), (6, 3),(6, 5),(6, 7),(7, 3),(7, 5),(7, 7)} ....(1)
A x B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {2, 3, 5, 7}
= {(1, 2),(1, 3),(1, 5),(1, 7),(2, 2),(2, 3),(2, 5),(2, 7) (3, 2),(3, 3),(3, 5),(3, 7),(4, 2),(4, 3),(4, 5),(4, 7) (5, 2),(5, 3),(5, 5),(5, 7),(6, 2),(6, 3),(6, 5),(6, 7) (7, 2),(7, 3),(7, 5),(7, 7)}
A x C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {2}
= {(1, 2),(2, 2),(3, 2),(4, 2),(5, 2), (6, 2), (7, 2)}
(A x B) - (A x C) = {(1, 3),(1, 5),(1, 7),(2, 3) (2, 5),(2, 7),(3, 3),(3, 5) (3, 7),(4, 3),(4, 5),(4, 7), (5, 3),(5, 5),(5, 7),(6, 3) (6, 5),(6, 7),(7, 3),(7, 5),(7, 7)} ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\mathrm{A} \times(\mathrm{B}-\mathrm{C})=(\mathrm{A} \times \mathrm{B})-(\mathrm{A} \times \mathrm{C})\)
எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.

Generic 2

22 x 2 = 44

29.

\(\cfrac { (k-12) }{ a } { x }^{ 2 }+\cfrac { 2(k-12) }{ b } x+\cfrac { 2 }{ c } =0\)
\({ \Delta }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-4ac=(2(k-12))^{ 2 }\)
= 4(k-12)[(k-12)-2]
= 4(k-12)(k- 14)
\(\Delta =0\) ஏனெனில் மூலங்கள் சமமானவை
\(\Rightarrow 4(k-12)(k-14)=0\)
k-12=0 அல்லது k-14=0
k=12,14

30.

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

31.

B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

32.

\(\sqrt{2} t^2-3 t+3 \sqrt{2}=0 \)
இங்கு
\(a =\sqrt{2}, b=-3, c=3 \sqrt{2} \)
\(b^2-4 a c =(-3)^2-4(\sqrt{2})(3 \sqrt{2}) \)
= 9 - 24 = -15 < 0
∴ மூலங்கள் மெய் அல்ல.

33.

பொது மைய வட்டங்களின் மையம் O என்க. APB என்பது 16 செ.மீ நீளமுடைய பெரிய வட்டத்தின் நாண். அது சிறு வட்டத்தை P இல் தொட்டுச் செல்கிறது.
எனவே OP 丄 A B. மேலும் P ஆனது AB இன் நடுப்புள்ளி.
\(\therefore \mathrm{AP}=\mathrm{PB}=8\) செ.மீ
\(\triangle O P A\) இல்,
\(\mathrm{OA}^2 =\mathrm{OP}^2+\mathrm{AP}^2 \)[பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி]
\(\mathrm{OA}^2 =6^2+8^2 \)
\(\mathrm{OA}^2 =36+64 \)
\(\mathrm{OA}^2 =100\)
OA = 10 செ.மீ
∴ வட்டத்தின் ஆரம் 10 செ.மீ.

34.

∠BAD = ∠CAD = θ
BD = y என்க.

BC - CD = y
6 - CD = y
CD = 6-y
∠ADB = ∝ என்க.
∠ADC = 180 - ∝
ΔABD யில் \(\frac { BD }{ sin\theta } =\frac { AB }{ sin\alpha } \Rightarrow \frac { y }{ sin\theta } =\frac { 10 }{ sin\alpha } \)
\(\Rightarrow sin\alpha =\frac { 10 }{ y } sin\theta \) ...(1)
ΔACD யில், \(\frac { CD }{ sin\theta } =\frac { AC }{ sin(180-\alpha ) } \)
⇒ \(\frac { 6-y }{ sin\theta } =\frac { 14 }{ sin\alpha } \) ....(2)
(1) ஐ (2)ல் பிரதியிட,
\(\frac { 6-y }{ sin\theta } =\frac { 14 }{ \frac { 10 }{ y } sin\theta } \Rightarrow 6-y=\frac { 14y }{ 10 } \)
\(\Rightarrow y\left( 1+\frac { 14 }{ 10 } \right) =6\Rightarrow y\left( \frac { 24 }{ 10 } \right) =6\)
\(\Rightarrow y=\frac { 60 }{ 24 } \Rightarrow y=2.5\)

∴ BD = 2.5 செ.மீ மற்றும் CD = 3.5 செ.மீ

35.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த சுற்றளவுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
\(\Delta ABC\sim \Delta PQR\) ஆகையினால்,
\(\cfrac { AB }{ PQ } =\cfrac { BC }{ QR } =\cfrac { AC }{ PR } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)
\(\cfrac { AB }{ PQ } =\cfrac { 36 }{ 24 } \) ⇒ \(\cfrac { AB }{ 10 } =\cfrac { 36 }{ 24 } \)
\(AB=\cfrac { 36\times 10 }{ 24 } \) = 15 செ.மீ

36.

\(\left( \begin{matrix} x-3 & 3x-z \\ x+y+7 & x+y+z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \)
ஒத்த உறுப்புகளைச் சமப்படுத்த,
x - 3 = 1
x = 1 + 3 = 4
3x - z = 0
3(4) - z = 0
12 = z
x + y + 7 = 1
4 + y + 7 = 1
y = -10
∴ x = 4, y = -10, z = 12

37.

கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம். எனவே ஒத்த உறுப்புகள் சமம்.
ஆகையால், a - b = 1 ...(1)
2a + c = 5 ...(2)
2a - b = 0 ...(3)
3c + d = 2 ...(4)
(3)-லிருந்து நாம் பெறுவது 2a - b = 0
2a = b …(5)
2a = b  என்பதை (1) -யில் பிரதியிட, a - 2a = 1 ⇒ a = −1
a = −1 என்பதை (5) -யில் பிரதியிட, 2(-1) = b ⇒ b = −2
a = −1 என்பதை (2) -யில் பிரதியிட, 2(-1) + c = 5  ⇒ c = 7
c = 7  என்பதை (4) -யில் பிரதியிட, 3(7) + d = 2 ⇒ d = −19
எனவே a = -1, b = -2, c = 7, d = -19

38.

கட்டடத்தின் உயரம் BC என்க. தரையில் பந்து இருக்கும் இடத்தை A என்க. BC = 20 மீ, மேலும் ㄥXCA = 60° = ㄥCAB

AB = x மீ என்க.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 60° = \(\frac {BC}{AB}\)
\(\sqrt 3 = \frac {20}{x }\)
x = \(\frac { 20\times \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } =\frac { 20\times 1.732 }{ 3 } \) = 11.55 மீ
எனவே, கட்டடத்தின் அடிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு = 11.55 மீ.

39.

\(1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3 =\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2=44100=(210)^2 \)
\(=\frac{k(k+1)}{2}=210 \)
\(1+2+3+\ldots+k =\frac{k(k+1)}{2}=210\)

40.

(i) 1³+ 2³+ 3³+...+16³ = \(\left[ \frac { 16\times (16+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\) = (136)² = 18496
(ii) 9³+ 10³+...+21³ = (1³ + 2³+ 3³+...+21³) - (1³+ 2³+ 3³+...+8³)
=\(\left[ \frac { 21\times (21+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }-\left[ \frac { 8\times (8+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\)= (231)²- (36)² = 52065

41.

மொத்தச் சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 52
இராசா சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 4
இராசா சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{4}{52}\)
இராணி சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை = 4
இராணி சீட்டுகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{4}{52}\)
இராசா மற்றும் இராணி சீட்டுகள் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் என்பதால்,
P(A\(\cup\)B) = P(A) + P(B)
எனவே, இராசா சீட்டு மற்றும் இராணி சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது \(=\frac { 4 }{ 52 } +\frac { 4 }{ 52 } =\frac { 2 }{ 13 } \)

42.

'x' என்பது ஓர் எண் என்க.
∴ இதன் தலைகீழி \(\frac{1}{x}\)
கொடுக்கப்பட்டது \( x-\frac{1}{x}=\frac{24}{5}\)
\(\frac{x^2-1}{x} =\frac{24}{5} \)
\(5 \mathrm{x}^2-5 =24 \mathrm{x} \)
\(5 \mathrm{x}^2-24 \mathrm{x}-5 =0 \)
\(5 \mathrm{x}^2-25 \mathrm{x}+\mathrm{x}-5 =0 \)
\(5 \mathrm{x}(\mathrm{x}-5)+1(\mathrm{x}-5) =0 \)
\((\mathrm{x}-5)(5 \mathrm{x}+1) =0 \)
\(\mathrm{x} =5,-\frac{1}{5} \)
∴ அந்த எண் '5' அல்லது '-1 / 5'

43.

முதல் n இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம்
\(=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\)
\(\therefore\) முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம்
\(=\sqrt{\frac{21^2-1}{12}} \)
\(=\sqrt{\frac{441-1}{12}}=\sqrt{\frac{440}{12}} \)
\(=\sqrt{36.6666}=6.05\)
முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்ட விலக்கம் = 6.05

44.

10²= 100 ≡ 5 (மட்டு 19)
10⁴ = (10²)² ≡ 5² (மட்டு 19)
10⁴ ≡ 25 (மட்டு 19)
10⁴ ≡ 6 (மட்டு 19) (ஏனெனில், 25 ≡ 6 (மட்டு 19))
எனவே, x = 6.

45.

(i) மூலங்கள் கொடுக்கப்பட்டால், இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம் x²- (மூலங்களின் கூடுதல்)x + மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 0
x²- 9x + 14 = 0
(ii) \({ x }^{ 2 }-\left( -\cfrac { 7 }{ 2 } \right) x+\cfrac { 5 }{ 2 } =0\) ⇒ 2x²+ 7x + 5 = 0
(iii) \({ x }^{ 2 }-\left( -\cfrac { 3 }{ 5 } \right) x+\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) =0\Rightarrow \cfrac { { 10x }^{ 2 }+6x-5 }{ 10 } =0\)
⇒ 10x²+ 6x - 5 = 0

46.

A என்ற புள்ளியில் பூனை இருப்பதாகவும், B என்ற புள்ளியில் பால்புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளதாகவும் கொள்க.
கொடுக்கப்பட்டது: A(-6,-4), B(5,11)
\(\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1\right),\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2\right) \)ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு.
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)
\(\frac{y+4}{11+4} =\frac{x+6}{5+6} \)
\(11(y+4) =15(x+6) \)
\(11 y+44 =15 x+90 \)
\(15 x-11 y+46 =0\)

47.

அரைக்கோளத்தின் ஆரம் = r அலகுகள்
கூம்பின் ஆரம் = அரைக்கோளத்தின் ஆரம்
கூம்பின் உயரம் = அரைக்கோளத்தின் ஆரம்
\(\therefore\) கூம்பின் மீப்பெரு கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\) கன. அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \pi\left(r^2\right) r=\frac{1}{3} \pi r^3 \)கனஅலகுகள்

48.

f(x) = 3x - 2, g(x) = 2x + k
f o g(x) = f(g(x)) = f(2x + k) = 3(2x + k) - 2 = 6x + 3k - 2
எனவே, f o g(x) = 6x + 3k - 2
g o f(x) = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + k
எனவே, g o f(x) = 6x - 4 + k
f o g = g o f எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
6x + 3k - 2 = 6x - 4 + k
\(6 x-6 x+3 k-k=-4+2 \Rightarrow 2 k=-2 \Rightarrow k=-1\)

49.

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

50.

r₁ மற்றும் r₂என்பன வளிக்கூண்டின் ஆரங்கள் என்க.
இங்கு, \(\\ \frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 12 }{ 16 } =\frac { 3 }{ 4 } \)
எனவே, புறப்பரப்புகளின் விகிதம் \(=\frac { 4\pi { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ 4\pi { r }_{ 2 }^{ 2 } } =\frac { { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ { r }_{ 2 }^{ 2 } } ={ \left( \frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 2 }=\frac { 9 }{ 16 } \)
ஆகவே, புறப்பரப்புகளின் விகிதம் 9:16 ஆகும்.

Generic 8

10 x 8 = 80

51.

விட்டம் (d) = 6 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் \(\left( r \right) =\frac { 6 }{ 2 } \) = 3 செ.மீ

வரைமுறை
படி 1 : O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : 8 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற ஒரு கோடு வரைக.
படி 3 : OP-க்கு மையக்குத்துக் கோடு வரைக. அது OP-ஐ M -ல் சந்திக்கும்.
படி 4 : M-யை மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B -யில் சந்திக்கிறது.
படி 5 : AP மற்றும் BP யை இணைக்கவும். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோட்டின் நீளம் PA = PB = 7.4 செ.மீ.
சரிபார்த்தல் : செங்கோண முக்கோணம் OPA-யில் PA² = OP² - OA² = 8² – 3² = 64 – 9 = 55
PA = \( \sqrt{55} = 7.4\) செ.மீ (தோராயமாக) .

52.

D மற்றும் E ஆனது BC ஐ மூன்று சம பகுதிகளாக பிரிக்கும் புள்ளிகள். எனவே.
\(\mathrm{BD}=\dot{\mathrm{DE}}=\mathrm{CE} \)
\(\mathrm{BD}=\mathrm{DE}=\mathrm{CE}=\mathrm{X}\) என்க.
BE = 2x மற்றும் BC = 3x
செங்கோண முக்கோணங்கள் \(\triangle \mathrm{ABD}, \triangle \mathrm{ABE}\) மற்றும் \(\triangle \mathrm{ABC}\) இல்,
\(A D^2 =A B^2+B D^2 \)
\(\Rightarrow A D^2 =A B^2+x^2\) ...(1)
செங் ΔABE இல்
\(\mathrm{AE}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BE}^2 \)
\(\Rightarrow \mathrm{AE}^2=\mathrm{AB}^2+(2 \mathrm{x})^2 \)
\(\Rightarrow A E^2=A B^2+4 x^2\) ....(2)
செங்கோண ΔABC இல்
\(A C^2 =A B^2+B C^2 \)
\(\Rightarrow A C^2 =A B^2+(3 x)^2 \)
\(8 A E^2-3 A C^2-5 A D^2=8\left(A B^2+4 x^2\right)- 3\left(A B^2+9 x^2\right)-5\left(A B^2+x^2\right) \)
\(=8 A B^2+32 x^2-3 A B^2-27 x^2-5 A B^2-5 x^2 \)
\(\Rightarrow 8 A E^2-3 A C^2-5 A D^2=0 \) ....(3)
\(8 A E^2=3 A C^2+5 A D^2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

53.

கணக்கின்படி QS = 3 SR
\(\mathrm{QR} =\mathrm{QS}+\mathrm{SR}=3 \mathrm{SR}+\mathrm{SR} \)
\(\mathrm{QR} =4 \mathrm{SR} \)
\(\mathrm{SR} =\frac{1}{4} \mathrm{QR} \) ....(a)
\(\mathrm{SR} =\frac{1}{4} \mathrm{QR} \) மற்றும்
\(\mathrm{QS} =3 \mathrm{SR}=3 \times \frac{1}{4} \mathrm{QR} \)
\(\mathrm{QS} =\frac{3}{4} \mathrm{QR}\) ...(1)
ΔPSQ ஆனது செங்கோண முக்கோணம் ㄥS = 90^o
PQ² = PS²+ SQ² .....(2)
ΔPSR இல் ㄥS = 90^o
\(\therefore \ P R^2=\mathrm{PS}^2+\mathrm{SR}^2 \) ....(3)
\((2)-(3) \Rightarrow \mathrm{PQ}^2-\mathrm{PR}^2=\mathrm{SQ}^2-\mathrm{SR}^2 \)
\(\mathrm{PQ}^2=\mathrm{PS}^2+\mathrm{SQ}^2 \)
\(P^2-P^2 =\left(\frac{3}{4} Q R\right)^2-\left(\frac{1}{4} Q R\right)^2 \)
(∵ (1),(2) இலிருந்து)
\(=\frac{9}{16} Q R^2-\frac{Q R^2}{16} \)
\(=\frac{1}{16}\left(9 Q R^2-Q R^2\right)=\frac{8 Q R^2}{16} \)
\(P Q^2-P^2 =\frac{1}{2} Q^2 \)
\(2\left(P^2-P^2\right) =Q R^2 \)
\(2 P Q^2-2 R^2 =Q^2 \)
\(2 P Q^2 =2 R^2+Q^2 \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

54.

படி 1: BC = 8 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
படி 2: புள்ளி B வழியே ∠CBE = 60°என இருக்கும்படி BE வரைக.
படி 3: புள்ளி B வழியே ∠EBF = 90° என இருக்கும்படி BF வரைக.
படி 4: BC-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடானது BF-ஐ O-விலும், BC-ஐ G-யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O-வை மையமாகவும், OB-யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
படி 6: புள்ளி B -யிலிருந்து BC-யில் 6 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளிக்கு ஒரு வில் வரைக
படி 7: மையக்குத்துக்கோடானது வட்டத்தை I என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. ID-யை இணைக்கவும்.
படி 8: ID-யை வட்டத்தில் A-யில் சந்திக்குமாறு நீட்டவும். AB மற்றும் AC-யை இணைக்கவும்.\(\Delta \) ABC என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

55.

இரு பகடைகள் ஒருமுறை உருட்டப்படும்போது
கூறுவெளி
S = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
n(S) = 36
முதல் பகடையின் முகமதிப்பு இரட்டைப்படை எண் கிடைக்கும் நிகழ்வு 'A' என்க.
A = {(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
n(A) = 18
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{18}{36}\)
முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 8 கிடைக்கும் நிகழ்வு 'B' என்க
\(\mathrm{B}=\{(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{B})=5\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{5}{36} \)
\(A \cap B =\{(4,4)(6,2)(2,6)\} \)
\(\mathrm{n}(A \cap B) =3 \)
\(\mathrm{P}(A \cap B) =\frac{\mathrm{n}(A \cap B)}{n(S)}=\frac{3}{36} \)
இப்போது \(\mathrm{P}(A \cup B) =\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(A \cap B) \)
\( =\frac{18}{36}+\frac{5}{36}-\frac{3}{36} \)
\(\mathrm{P}(A \cup B)=\frac{18+5-3}{36} =\frac{23-3}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\)
முதல் பகடையின் முகமதிப்பு இரட்டைப்படை எண் அல்லது முகமதிப்புகளின் கூடுதல் 8 கிடைக்க நிகழ்தகவு \(=\frac{5}{9}\)

56.

படி 1 : y = 2x² -ன் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

x	-2	-1	0	1	2
y	8	2	0	2	8

படி 2 : 2x²- x - 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்பதற்கு, முதலில் y = 2x²லிருந்து 2x²- x - 6 = 0 ஐ கழிக்க வேண்டும்.

y = x + 6 என்பது ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும். y = x + 6 நேர்கோட்டின் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

x	-2	-1	0	1	2
y	4	5	6	7	8

படி 3 : y = 2x² என்ற பரவளையம் மற்றும் y = x + 6 என்ற நேர்கோடு வெட்டும் புள்ளிகள் (–1.5, 4. 5) மற்றும் (2, 8).
படி 4 : இப்புள்ளிகளின் x- ஆயத் தொலைவுகள் -1.5 மற்றும் 2 ஆகும்.
எனவே, சமன்பாடு 2x²- x - 6 = 0 -யின் தீர்வுகள் –1.5 மற்றும் 2 ஆகும்.

57.

y = x²- 9x + 20 = 0
y = x²- 9x + 20 என்க
அட்டவணை மதிப்புகள்

x	-1	0	1	2	3	4	5	6
x²	1	0	1	4	9	16	25	36
-9x	9	0	-9	-18	-27	-36	-45	-54
20	20	20	20	20	20	20	20	20
y	30	20	12	6	2	0	0	2

வரைபடத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்க, நமக்குக் கிடைப்பது y = x²- 9x + 20
பரவளையம் X-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, தீர்வு x =4 ,5
பரவளையம் X-அச்சை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.

58.

2x²- x - 1 = 0 இங்கு a = 2, b = -1, c = -1
\(\alpha +\beta =\cfrac { -b }{ a } =\cfrac { -\left( -1 \right) }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } ;\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \)
(i) கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் \(\cfrac { 1 }{ \alpha } ,\cfrac { 1 }{ \beta } \)
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\cfrac { 1 }{ \alpha } +\cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { \alpha +\beta }{ \alpha \beta } =\cfrac { \frac { 1 }{ 2 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } } =-1\)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\cfrac { 1 }{ \alpha } \times \cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { 1 }{ \alpha \beta } =-\cfrac { 1 }{ -\frac { 1 }{ 2 } } =-2\)
தேவையான சமன்பாடு x²- (மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
x²- (-1)x - 2 = 0 ⇒ x² + x − 2 = 0
(ii) கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் \({ \alpha }^{ 2 }\beta ,{ \beta }^{ 2 }\alpha \)
மூலங்களின் கூடுதல் \({ \alpha }^{ 2 }\beta +{ \beta }^{ 2 }\alpha =\alpha \beta \left( \alpha +\beta \right) =-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =-\cfrac { 1 }{ 4 } \)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் \(\left( { \alpha }^{ 2 }\beta \right) \times \left( { \beta }^{ 2 }\alpha \right) ={ \alpha }^{ 3 }{ \beta }^{ 3 }=\left( \alpha \beta \right) ^{ 3 }=\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }=-\cfrac { 1 }{ 8 } \)
தேவையான சமன்பாடு x²-(மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
\({ x }^{ 2 }-\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } \right) x-\cfrac { 1 }{ 8 } =0\) ⇒ \({ 8x }^{ 2 }+2x-1=0\)
(iii) \(2\alpha +\beta ,2\beta +\alpha \)
மூலங்களின் கூடுதல் \(2\alpha +\beta +2\beta +\alpha =3\left( \alpha +\beta \right) =3\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\cfrac { 3 }{ 2 } \)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\left( 2\alpha +\beta \right) \left( 2\beta +\alpha \right) =4\alpha \beta +{ 2\alpha }^{ 2 }+{ 2\beta }^{ 2 }+\alpha \beta \)
= \(5\alpha \beta +2\left( { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 } \right) =5\alpha \beta +2\left| \left( \alpha +\beta \right) ^{ 2 }-2\alpha \beta \right| \)
= \(5\left( { -\cfrac { 1 }{ 2 } } \right) +2[\cfrac { 1 }{ 4 } -2\times \left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ]=0\)
தேவையான சமன்பாடு x²-மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
\(x^2-\frac{3}{2} x+0=0 \Rightarrow 2 x^2-3 x=0\)

59.

சீட்டுகளின் வகைகள்	ஸ்பேட்	ஹார்ட்	கிளாவர்	டைமண்ட்
ஒவ்வொரு வகையிலும் உள்ள சீட்டுகள்	A	A	A	A
	2	2	2	2
	3	3	3	3
	4	4	4	4
	5	5	5	5
	6	6	6	6
	7	7	7	7
	8	8	8	8
	9	9	9	9
	10	10	10	10
	J	J	J	J
	Q	Q	Q	Q
	K	K	K	K
ஒவ்வொரு வகையிலும் உள்ள சீட்டுகளின் தொகுப்பு	13	13	13	13

n(S) = 52
(i) A என்பது சிவப்புச் சீட்டு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
n(A) = 26
சிவப்பு சீட்டுகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P(A)=\frac { 26 }{ 52 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
(ii) B என்பது ஹார்ட் சீட்டு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
n(B) = 13
ஹார்ட் சீட்டுகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P(B)=\frac { n\left( B \right) }{ n(S) } =\frac { 13 }{ 52 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
(iii) C என்பது சிவப்பு நிற இராசா சீட்டு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
n(C) = 2
எனவே, சிவப்பு நிற இராசா சீட்டு கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P(C)=\frac { n\left( C \right) }{ n(S) } =\frac { 2 }{ 52 } =\frac { 1 }{ 26 } \)
(iv) D என்பது முகச்சீட்டு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. முகச்சீட்டுகளாவன மந்திரி (J) அரசி (Q) மற்றும் இராசா (K).
n(D) = 4 x 3 = 12
முகச்சீட்டுகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P(D)=\frac { n\left( D \right) }{ n(S) } =\frac { 12 }{ 52 } =\frac { 13 }{ 13 } \)
(v) E என்பது எண் சீட்டு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. எண் சீட்டுகளாவன 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 மற்றும் 10
n(E) = 4 x 9 = 36
எண் சீட்டுகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P(E)=\frac { n\left( E \right) }{ n(S) } =\frac { 36 }{ 52 } =\frac { 9 }{ 13 } \)

60.

வாணி, தந்தை மற்றும் தாத்தா ஆகியோரின் தற்போதைய வயது முறையே x, y, z என்க.
∴ கொ.ப: \(\frac{x+y+z}{3}=53\)
\(\therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z} =159 \) .....(1)
\(\frac{z}{2}+\frac{y}{3}+\frac{x}{4} =65 \)
\(6 \mathrm{z}+4 \mathrm{y}+3 \mathrm{x} =780 \) .....(2)
\((\mathrm{z}-4) =4(\mathrm{x}-4) \)
\(4 \mathrm{x}-\mathrm{z} =12\) .......(3)
(1), (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
x + y + z = 159 ......(1)
4x - z = 12 ......(3)
一一一一一一
(1) + (3) ⇒ 5x + y = 171
(2) , (3) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
3x + 4y + 6z = 780 ......(2)
(3) x (6) ⇒ 24x - 6z = 72 ......(5)
一一一一一一
(2) + (5) ⇒ 27x + 4y = 852
(4) , (6) ஆகியவற்றைக் கருதுக.
(4) x 4 ⇒ 20x + 4y = 684 ......(7)
(6) x 1 27x + 4z = 852 ......(6)
一一一一一一
(7) - (6) ⇒ 7x = 168
\(=\frac{168}{7}=24\)
x = 24 என (4) ல் பிரதியிட, .
5(24 ) + y = 171
y = 171 - 120 = 51
x = 24, y = 51 என (1) ல் பிரதியிட,
24 + 51 + z = 159
z = 159 - 75 = 84
∴ வாணியின் தற்போதைய வயது = 24 வருடங்கள்
தந்தையின் தற்போதைய வயது = 51 வருடங்கள்
தாத்தாவின் தற்போதைய வயது = 84 வருடங்கள்.

Multiple Choice Question

13 x 1 = 13

61.

\(\mathrm{PQ}^2 =6^2+8^2=36+64=100 \)
PQ = 10 செ.மீ
எனவே \( \mathrm{PQ}^2+\mathrm{QR}^2 =10^2+24^2 \)
= 100 + 576 = 676
\(=26^2=\mathrm{PR}^2 \)
\(\therefore \angle P Q R =90^{\circ}\)

62.

A ன் வரிசை = 3 x 2
B ன் வரிசை = 3 x 3
(i) A என்பது சதுர அணி அல்லாததால் A² சாத்தியமல்ல.
(ii) B என்பது சதுர அணி என்பதால் B² சாத்தியம்.
(iii) AB என்பது சாத்தியமல்ல. ஏனெனில் A-ல் நிரல்களின் எண்ணிக்கை \(\neq \mathrm{B}\)- ல் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.
(iv) BA என்பது சாத்தியமாகிறது. ஏனெனில் B ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = A ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.

63.

(a)
நேர்கோடு

64.

\((2 \mathrm{x}-1)^2 =9 \)
\(2 \mathrm{x}-1 =\pm 3 \)
\(2 \mathrm{x}-1 =3 \quad 2 \mathrm{x}-1 =-3 \)
\(2 \mathrm{x} =4 \quad 2 \mathrm{x} =-2\)
\(\mathrm{x} =2 \quad \mathrm{x} =-1\)
தீர்வு x = -1,2

65.

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

66.

(a)
0

67.

68.

69.

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

70.

x = 10
இது y-அச்சிற்கு இணையான கோடு

71.

கோளத்தின் ஆரம்= 'x' செ.மீ
கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi x^3\) செ.மீ
கூம்பின் ஆரம் = 'x' செ.மீ
உயரம் = h.
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi x^2 h\)
கூம்பின் கன அளவு = கோளத்தின் கன அளவு \([\because\) கோளம் 'உருக்கப்பட்டு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது]
\(\frac{1}{3} \pi x^2 h =\frac{4}{3} \pi x^3 \)
\(\Rightarrow \mathrm{h} =4 x\) செ.மீ

72.

\(A=\{a, b, p\}, \quad B=\{2,3\}, \quad C=\{p, q, r, s\} \)
\(A \cup C =\{a, b, p, q, r, s\} \)
\(n(A \cup C) =6 \)
\(n(B) =2 \)
\(\therefore n[(A \cup C) \times B] =6 \times 2=12\)

73.

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6} மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)