60 x 2 = 120^o

CP = 11 செ.மீ;  BC = 7 செ.மீ 
∴ CQ  = 11 செ.மீ BQ = 11 - 7 = 4 செ.மீ = BR = 4 செ.மீ

APBO என்ற நாற்கரத்தில்
\(70^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle A O B =360^{\circ}  \)
\(\angle A O B =360^{\circ}-250^{\circ}=110^{\circ}\)

\(\mathrm{PQ}^2 =6^2+8^2=36+64=100 \)
PQ = 10 செ.மீ
எனவே \( \mathrm{PQ}^2+\mathrm{QR}^2 =10^2+24^2 \)
= 100 + 576 = 676 
\(=26^2=\mathrm{PR}^2  \)
\(\therefore \angle P Q R =90^{\circ}\)

AC = 11 - 6 = 5 மீ 
செங்கோண ΔABC இல்
\(\mathrm{AB}^2 =\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2=12^2+5^2 \)
= 144 + 25 = 169 
AB = 13 மீ 

\(\frac{A B}{A C} =\frac{B D}{D C}  \)
\(\frac{8}{A C} =\frac{6}{3}  \)
\(A C =\frac{8}{6} \times 3=4\) செ.மீ 

AE = x எனில், EC = 2.4 - x
\(\mathrm{AB}=3.6, \mathrm{AD}=2.1  \therefore \mathrm{DB}=3.6-2.1=1.5  \)
\(\frac{A D}{D B} =\frac{A E}{E C}  \)
\(\frac{2.1}{1.5} =\frac{x}{2.4-x}  \)
\(\frac{7}{5} =\frac{x}{2.4-x}  \)
\(7[2.4-\mathrm{x}] =5 \mathrm{x}\) 
\(16.8 =5 \mathrm{x}+7 \mathrm{x}=12 \mathrm{x} \)
\(\mathrm{x} =\frac{16.8}{12}=1.4 \) செ.மீ 

\(\triangle A B C \sim \triangle P Q R\) எனில்,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P Q}=\) ΔABC இன் சுற்றளவு / ΔPQR இன் சுற்றளவு
AB + BC + CA = 36 செ. மீ 
\(\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}=\) 24 செ.மீ 
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{36}{24} \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{36 \times 10}{24}\)
AB = 15 செ.மீ

\(\left(\frac{P Q}{S P}\right)^2 \) = ΔPQR இன் பரப்பு / ΔPST இன் பரப்பு
\(P Q =P S+S Q=2+3=5 \)
\(\therefore\left(\frac{5}{2}\right)^2 \)= (ΔPQR)  இன் பரப்பு / (ΔPST) இன் பரப்பு
\(=\frac{25}{4} \Rightarrow 25: 4\)

\(A B^2 =A C^2+B C^2  \)
\(=5^2+5^2=50  \)
\(A B =\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\) 5 செ.மீ  

\(\triangle L M N \sim \triangle P Q R\) எனில்
\(\angle R =\angle N=180-(60+50)  \)
\(=180-110=70^{\circ}\)

x² - kx - 6 மற்றும் x² - 2x - 24 மீ.பொ.வ (x - 6)
∴ x² - kx - 6 என்பது (x - 6) ஆல் வகுபடும்.
\((6)^2-\mathrm{k}(6)-6 =0  \)
\(\Rightarrow \quad 36-6 \mathrm{k}-6 =0\)
6k = 30
\(\Rightarrow k=\frac{30}{6}=5\)

AB = \(\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1+4+0 \ \ 0-2 + 6 \\ 3+4+0 \ 0-2+2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right] \)
\(\begin{gathered} A B+C=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right]+\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{array}\right] \\ \end{gathered}\)
இது சரி 
(ii) \(\begin{gathered} B C=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \end{gathered}\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 0+0 \ 1+0 \\ 0+2 \ 2-5 \\ 0-4 \ 0+7 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
இது சரி 
(iii) BA \(=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \left(\begin{array}{rr} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{array}\right)\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1+0 & 2+0 & 3+0 \\2-3 & 4-2 &6-1 \\ 0+6 & 0+4 & 0+2 \end{array}\right] \)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2& 3\\ -1 & 2 & -5 \\ 6&4&2 \end{array}\right]\)
BA + C காண இயலாது 
(AB)C = \(=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right]+\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll} 0-8 & 5+20 \\ 0+0 & 7+0 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} -8 & 25 \\ 0 & 7 \end{array}\right] \)
இது சரியல்ல எனவே (i) மற்றும் (ii) மட்டுமே சரியானது 

A ன் வரிசை = 3 x 2
B ன் வரிசை = 3 x 3
(i) A என்பது சதுர அணி அல்லாததால் A² சாத்தியமல்ல.
(ii) B என்பது சதுர அணி என்பதால் B² சாத்தியம்.
(iii) AB என்பது சாத்தியமல்ல. ஏனெனில் A-ல் நிரல்களின் எண்ணிக்கை \(\neq \mathrm{B}\)- ல் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.
(iv) BA என்பது சாத்தியமாகிறது. ஏனெனில் B ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = A ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.

கொடுக்கப்பட்டது \(\begin{aligned} 2 x &+\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 2 x &=\left[\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x &=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}\)

A ன் வரிசை = 2 x 3
B ன் வரிசை = 3 x 4
AB ன் வரிசை = 2 x 4
AB ல் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = 4

\(\begin{aligned} &A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 9 & 11 & 13 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A ன் வரிசை = 3 x 4 
\(\begin{aligned} &\mathrm{~A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 9 \\ 3 & 4 & 11 \\ 5 & 6 & 13 \\ 7 & 8 & 15 \end{array}\right), \end{aligned}\) A^T ன் வரிசை = 4 x 3

\(x^2+4 x+4 =0   \)
\((x+2)^2 =0\)
x = -2 (இருமுறை) 
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.
∴ X-அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1.

α,β என்பன \(\mathrm{qx}^2+\mathrm{p} \dot{\mathrm{x}}+\mathrm{r}=0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha+\beta=\frac{-p}{q}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(\alpha \beta=\frac{r}{q}\)
\(\alpha^2, \beta^2\) என்பன \(\mathrm{q}^2 \mathrm{x}^2+\mathrm{p}^2 \mathrm{x}+\mathrm{r}^2=0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha^2+\beta^2=\frac{-p^2}{q^2}\)
ஆனால் \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta\)
\(\therefore\left(\frac{-p}{q}\right)^2-\frac{2 r}{q}=\frac{-p^2}{q^2} \)
\(\frac{p^2}{q^2}+\frac{p^2}{q^2}=\frac{2 r}{q} \)
\(\frac{2 p^2}{q^2}=\frac{2 r}{q} \Rightarrow \frac{p^2}{q^2}=\frac{r}{q}\)
p²=qr⇒p என்பது பெருக்குச் சராசரி மற்றும் q, p, r ஆகியன பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் அமையும்.

\(\sqrt{4 x^4-24 x^3+76 x^2+a x+b}\)

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு முழு வர்க்கமாதலால்,
a + 120 = 0, b - 100 = 0
∴ a = -120, b = 100

\((2 \mathrm{x}-1)^2  =9   \)
\(2 \mathrm{x}-1  =\pm 3  \)
\(2 \mathrm{x}-1  =3 \quad 2 \mathrm{x}-1  =-3 \)
\(2 \mathrm{x} =4  \quad 2 \mathrm{x} =-2\)
\(\mathrm{x} =2  \quad \mathrm{x}  =-1\)
தீர்வு x = -1,2

\(x^4+64+16 x^2 =x^4+16 x^2+64 \)
\(=\left(x^2\right)^2+2(8)\left(x^2\right)+(8)^2 \)
\(=\left(x^2+8\right)^2\)

\(\sqrt{\frac{256 x^8 y^4 z^{10}}{25 x^6 y^6 z^6}}=\frac{16}{5}\left|\frac{x^4 y^2 z^5}{x^3 y^3 z^3}\right|=\frac{16}{5}\left|\frac{x z^2}{y}\right|\)

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

\(y^2+\frac{1}{y^2}\) என்பது \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\) க்கு சமமல்ல.
ஏனெனில், \(y^2+\frac{1}{y^2} \neq y^2+\frac{1}{y^2}+2\)

\(\frac{3 y-3}{y} \div \frac{7 y-7}{3 y^2}=\frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3 y^2}{7(y-1)}=\frac{9 y}{7}\)

x + y - 3z = -6    .....(1)
-7y + 7z = 7  ........(2)
3z  = 9 ⇒ z = 3     ......(3)
(2) ⇒-7y + 7z = 7 (÷7)
-y + z = 1
-y + 3 = 1
y = 3- 1 = 2
(1) ல் பிரதியிட,
x + 2 - 3(3) = -6 
x + 2 - 9 = -6 
x = -6 + 7 = 1
∴ தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P^{\prime}\) லிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{h+(x+h)}{O M} \)
\(1 =\frac{x+2 h}{O M} \)
\(O M =x+2 h\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P\) லிருந்து
\(\tan \beta =\frac{x}{O M} \)
\(O M =\frac{x}{\tan \beta}\)
(1) மற்றும் (2).லிருந்து
\(x+2 \mathrm{~h} =\frac{x}{\tan \beta} \)
\(\frac{x}{\tan \beta}-x =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 h \)
\(x(1-\tan \beta) =2 h \tan \beta \)
\(x =\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(\mathrm{PN} =x+\mathrm{h}=\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta}+h \)
\( \frac{2 h \tan \beta+h-h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h \tan \beta+h}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
\(\therefore\) ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம்
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)

AB மற்றும் DE - இரு நபர்கள்
AB = 2 DE
\(\mathrm{BD}=x \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{x}{2}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{A B}{B C} \)
\(\tan \theta=\frac{2 D E}{B C}=\frac{2 D E}{\frac{x}{2}}=\frac{4 D E}{x} \ldots \text { (1) }\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle E D C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{C D}{E D}=\frac{\frac{x}{2}}{E D} \)
\(\tan \theta=\frac{x}{2 E D}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{4 D E}{x} =\frac{x}{2 E D} \)
\(8 \mathrm{DE}^2 =\mathrm{x}^2 \)
\(\mathrm{DE}^2 =\frac{x^2}{8} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{\sqrt{8}} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B D\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{B D}{A B} \)
\(\sqrt{3}=\frac{B D}{A B} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{B D}{\sqrt{3}}\)   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D E C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{D C}{E C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{D C}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3}\)   .....(2)
(1) மற்றும் (2). லிருந்து
\(\frac{B D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(\frac{B C+C D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(B C+C D =D C \times 3 \)
\(\mathrm{BC} =3 \mathrm{CD}-\mathrm{CD} \)
\(\mathrm{BC} =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{AE} =2 \mathrm{CD} \)
\(20 =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{CD} =\frac{20}{2} \)
=10 மீ
கட்டடத்தின் உயரம்
\(\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=20+10=30\) மீ
இரு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3} \quad[\because\)(2) லிருந்து ]
\(=10 \sqrt{3}\) மீ

படத்தில் AB - கோபுரம்
BC - ஏற்றக்கோணம் 45^o ஆக இருக்கும்போது கோபுர நிழல்
\(\tan 45^{\circ}=\frac{A B}{B C} \)
\(1 =\frac{60}{B C} \)
BC = 60 மீ .....(1)
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B D} \)
\(=\frac{60}{B C+C D}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{60+x} \quad[\therefore\) (1) லிருந்து]
\(60+x=60 \sqrt{3} \)
\(x=60 \sqrt{3}-60 \)
\(=60(\sqrt{3}-1)\)
= 60(1.732 - 1)
= 60 x 0.732
= 43.92 மீ

AB மின்கம்பம் என்க.
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{A B}{B C} \)
\(B C =A B \sqrt{3}\)  ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D C B\) இல்
\(\tan 60^{\circ} =\frac{D C}{B C} \)
\(\sqrt{3} =\frac{b}{B C} \)
\(B C =\frac{b}{\sqrt{3}}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(A B \sqrt{3} =\frac{b}{\sqrt{3}} \)
\(A B =\frac{b}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{b}{3}\)

\(\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2=(a \cot \theta+b \operatorname{cosec} \theta)^2-(b \cot \theta+a \operatorname{cosec} \theta)^2 \)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -\left(b^2 \cot ^2 \theta+a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\right)\)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -b^2 \cot ^2 \theta-a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta-2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\)
\(=a^2\left(\cot ^2 \theta-\operatorname{cosec}^2 \theta\right)+b^2\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta\right) \)
\(=a^2(-1)+b^2(1) \)
\(=-a^2+b^2 \)
\(=\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2\)

\((1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta) \)
\(=\left(1+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^2-1^2}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
= 2

\( x=a \tan \theta \quad y=b \sec \theta \)
\(x^2=a^2 \tan ^2 \theta \quad y^2=b^2 \sec ^2 \theta \)
\(\frac{x^2}{a^2}=\tan ^2 \theta \quad \frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta \)
\(\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} \)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(5 x=\sec \theta \Rightarrow 25 x^2=\sec ^2 \theta \)   ...(1)
\(\frac{5}{x}=\tan \theta \Rightarrow \frac{25}{x^2}=\tan ^2 \theta \)   .....(2)
\((1)-(2) \Rightarrow 25 x^2-\frac{25}{x^2}=\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta \)
\(25\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right) =1 \)
\(x^2-\frac{1}{x^2} =\frac{1}{25}\)

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

\((\sin \alpha+\operatorname{cosec} \alpha)^2+(\cos \alpha+\sec \alpha)^2 \)
\(= \sin ^2 \alpha+\operatorname{cosec}^2 \alpha+2 \sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha +\cos ^2 \alpha+\sec ^2 \alpha+2 \cos \alpha \sec \alpha \)
\(=\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)+\operatorname{cosec}^2 \alpha+\sec ^2 \alpha +2 \sin \alpha \frac{1}{\sin \alpha}+2 \cos \alpha \frac{1}{\cos \alpha} \)
\(= 1+\operatorname{cosec}^2 \alpha+\sec ^2 \alpha+2+2 \)
\(= 5+1+\cot ^2 \alpha+1+\tan ^2 \alpha \)
\(= 7+\tan ^2 \alpha+\cot ^2 \alpha \)
\(k+ \tan ^2 \alpha+\cot ^2 \alpha \) உடன் ஒப்பிட
k = 7

\(\tan \theta \operatorname{cosec}^2 \theta-\tan \theta =\tan \theta\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-1\right) \)
\(=\tan \theta \cot ^2 \theta \)
\(=\tan \theta \times \frac{1}{\tan ^2 \theta} \)
\(=\frac{1}{\tan 0}=\cot \theta\)

\(\sin ^2 \theta+\frac{1}{1+\tan ^2 \theta} =\sin ^2 \theta+\frac{1}{\sec ^2 \theta} \)
\(=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\)

\( \mathrm{n}=31, \mathrm{t}_{16}=\mathrm{m} \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} +15 \mathrm{~d}=\mathrm{m}  \)
\(\mathrm{s}_{31} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \) \(=\frac{31}{2}[2a+30 d]\)
\( =\frac{31}{2}[2(a+15d)] \) \(=\frac{31}{2}[2 m]=31 \mathrm{~m}\)

a = 1, d = 4
t_n = a + (n - 1) d = 1 + (n - 1) 4 = 4n - 3
எண்ணானது 4n - 3 என்ற வடிவில் இருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்ட விடையிலிருந்து 7881 மட்டுமே 4n - 3 என்ற வடிவில் இருக்கும்.

F₁ = 1, F₂ = 3, F₃ = F₂ + F₁ = 3 + 1 = 4,
F₄ = F₃ + F₂ = 4 + 3 = 7, F₅ = F₄ + F₃ = 7 + 4 = 11

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 இவற்றின் மீ.பொ.ம 2520

\(1729=7^1+13^1+19^1\)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3

65 மற்றும் 117  இன் மீ.பொ.வ = 13 
\(65 \mathrm{~m}-117=13  \)
\(65 \mathrm{~m}=13+117=130  \)
\(\mathrm{~m}=\frac{130}{65}=2\)

S = {a, b ,.......,z} என்க
n(S) = 26
தேர்ந்தெடுக்கும் எழுத்து x க்கு முந்தைய எழுத்தாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க
A = {a, b, c, ......., w }
n(A) = 23
\(P(A) =\frac{\pi(A)}{\pi(5)}=\frac{23}{25}\)

குலுக்கலில் வெற்றி பெறும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A)=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \Rightarrow \frac{n(A)}{135}=\frac{1}{9}\)
\(n(A)=\frac{135}{9}=15\)

வேலை கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A) + P(\bar{A}) =1 \)
\(\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =1 \)
\(\frac{x+2}{3} =1 \)
x + 2 = 3
x = 3 - 2
x = 1 .

பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்புகளின் கூறுவெளி
S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
n(S) = 10 .
பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்பு 7 ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க.
A = {0,1,2,3,4,5,6}
n(A) = 7
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{10}\)

மொத்த பந்துகள் = p சிவப்பு + q நீலம் + r பச்சை
\(\mathrm{n}(\mathrm{S})=\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}\)
சிவப்பு பந்து, எடுக்கும் நிகழ்வு A என்க.
\(\mathrm{n}(\mathrm{A})=\mathrm{P} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{n(A)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{p}{p+q+r}\)

\(\mathrm{C} . \mathrm{V} =\frac{\sigma}{x} \times 100 \% \)
\(87.5 \% =\frac{\sigma}{4} \times 100 \% \)
\(87.5 \times 4 =\sigma \times 100 \)
\(350.0 =\sigma \times 100 \)
\(\sigma =\frac{350}{100}=3.5\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\mathrm{p}\)
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 3 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 3 மடங்கு காண வேண்டும்.  புதிய \(\sigma=3\mathrm{p}\) ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் 5 ஐக் கூட்ட திட்ட விலக்கம் மாறாது.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 p\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma\) = 3
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 5 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 5 மடங்கு காண வேண்டும்.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 \times 5=15\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி \(\sigma^2=15^2=225\)

முதல் 20 இயல் எண்களின் கூடுதல்
\(=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{20 \times 21}{2} \)
\(\sum x_i =210 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2} \)
\(\sum x_i^2 =1^2+2^2+3^2+\ldots+20^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)
\(=\frac{20 \times 21 \times 41}{6}=10 \times 7 \times 41 \)
\(=2870 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2}\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி
\(\sigma^2 =\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2 \)
\(=143.5-\frac{441}{4} \)
\(=143.5-110.25=33.25\)

N = 100
\(\bar{x} =40 \)
\(\sigma =3 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum d_i^2}{N}-\left(\frac{\sum d_i}{N}\right)^2} \)
\(3^2 =\frac{\sum d_i^2}{100}-40^2 \)
\(9 =\frac{\sum d_i^2}{100}-1600 \)
\(9+1600 =\frac{\sum d_i^2}{100} \)
\(1609 \times 100 =\sum d_i^2 \)
\(\sum d_i^2 =1,60,900\)

வீச்சு =  L - S
= 8 - 8
= 0

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

\(\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \mathrm{t}_3, \ldots\) என்பது கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots . . .\) என்பதும் பொது வேறுபாடு 6d உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

\(a=\frac{3}{16} ; r=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{16}}=\frac{1}{8} \times \frac{16}{3}=\frac{2}{3}\)
இது ஒரு பெருக்குத் தொடா் வரிசை ஆகும்.
∴ அடுத்த உறுப்பு \(\frac{1}{18} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{27}\)

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)

a = 1, d = 4 மற்றும் S_n = 120
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \)
\(120 =\frac{n}{2}[2(1)+(n-1) 4]  \)
\(120 \times 2 =\mathrm{n}[2+4(\mathrm{n}-1)]  \)
\(240 =\mathrm{n}[2+4 \mathrm{n}-4]  \)
\(=\mathrm{n}[4 \mathrm{n}-2]  \)= 2n [2n - 1]
\(120 =\mathrm{n}[2 \mathrm{n}-1]  \)
\(2 \mathrm{n}^2-\mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}^2-16 \mathrm{n}+15 \mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}(\mathrm{n}-8)+15(\mathrm{n}-8) =0  \)
\((\mathrm{n}-8)(2 \mathrm{n}+15) =0  \)
n = 8 அல்லது \(\mathrm{n}=\frac{-15}{2} \)
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\)  n = 8

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
\(l_1: 3 y=4 x+5 \Rightarrow 4 x-3 y+5=0 \)
\(l_2: 4 y=3 x-1 \Rightarrow 3 x-4 y-1=0 \)
\(l_3: 4 y+3 x=7 \Rightarrow 3 x+4 y-7=0 \)
\(l_4: 4 x+3 y=2 \Rightarrow 4 x+3 y-2=0\)
l₂-லிருந்து \(\mathrm{a}_2=3, \mathrm{~b}_2=-4\) மற்றும்
l₄-லிருந்து \(a_4=4, b_4=3\)
\(a_1 a_2+b_1 b_2=3(4)+(-4)(3)=0\)
\(\therefore l_2\) மற்றும் l₄ ஆகியவை செங்குத்தானவை.

7x - 3y + 4 = 0 என்ற கோட்டின் சாய்வு
\(\frac{-a}{b}=\frac{-7}{-3}=\frac{7}{3}\)
செங்குத்துக் கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-3}{7}\)
(0,0) வழிச் செல்வதும் சாய்வு \(\frac{-3}{7}\) உடையதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y-0 =\frac{-3}{7}(x-0) \)
7y = -3x
3x + 7y = 0

கொடுக்கப்பட்டது: A என்பது Y -அச்சின் மீதுள்ள புள்ளி, அதன் செங்குத்து அச்சுத்தூரம் 8. B என்பது X-அச்சின் மீதுள்ள புள்ளி, அதன் கிடைஅச்சுத்தூரம் 5 .
\(\therefore\) A மற்றும் B என்பன முறையே (0,8) மற்றும் (5,0) ஆகும்.
AB ன் சமன்பாடு \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(\frac{y-8}{0-8} =\frac{x-0}{5-0} \)
5(y - 8) = -8x
8x + 5y- 40 = 0
8x + 5y = 40

PQ-ன் சாய்வு \(=\frac{1}{\sqrt{3}}=\mathrm{m}\)
செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-1}{m}=-\sqrt{3}\)

(12,3) மற்றும் (4, a) புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோட்டின் சாய்வு 1 / 8
\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} =\frac{3-a}{12-4}=\frac{1}{8} \)
\(\frac{3-a}{8} =\frac{1}{8} \)
\(3-a =1 \Rightarrow a=2\)

3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஐத் தீர்க்க
                  3x - y = 4 ......(1)
                  x + y = 8 .....(2)
                ___________
\((1)+(2) \Rightarrow 4 x =12\)
x = 3
(2) -ல் பிரதியிட
3 + y = 8
y = 5
\(\therefore\) வெட்டும்புள்ளி (3,5)

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

x = a என்ற வடிவில் உள்ள எந்த ஒரு கோடும் y -அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்.

x = 10
இது y-அச்சிற்கு இணையான கோடு

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

உருளையின் விட்டம் = கூம்பின் விட்டம் = கோளத்தின் விட்டம்
உருளையின் உயரம் = கூம்பின் உயரம் = கோளத்தின் உயரம்
உருளையின் கனஅளவு \(=V_1=\pi r^2 h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=V_2=\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
கோளத்தின் கன அளவு  \(=V_3=\frac{4}{3} \pi r^3\)
கோளத்தின் ஆரம் = 'R', விட்டம் = 2R
கன அளவுகளின் விகிதம் \(\Rightarrow V_1: V_2: V_3\)
\(=\pi R^2(2 R): \frac{1}{3} \pi R^2(2 R): \frac{4}{3} \pi R^3 \)
\(=1: \frac{1}{3}: \frac{2}{3}=3: 1: 2\)

கொடுக்கப்பட்டது: \(\frac{h_2}{h_1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{h_2}{h_1} =\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{2} \)
\(r_2: r_1 =1: 2\)

r₁ ஆரத்தைக் கொண்ட கோளப் பந்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r_1^3\)
r₂ ஆரத்தைக் கொண்ட சம கோளப் பந்துகளின் கன அளவு
\(=8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)\)
இப்போது, கோளத்தின் கன அளவு / புதிய 8 கோளங்களின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)}=\frac{r_1^3}{8 r_2^3}=2: 1\)

இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = 16 செ.மீ
ஆரங்கள் 8 செ.மீ மற்றும் 20 செ.மீ
அதாவது, r = 8 செ.மீ, R = 20 செ.மீ
இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு
\(=\frac{\pi h}{3}\left(\mathrm{R}^2+R r+r^2\right)\) கன அலகுகள்
\(=\frac{\pi(16)}{3}(400+160+64) \)
\(=\frac{16 \pi}{3}(624)=3328 \pi\) செ.மீ³

கோளத்தின் ஆரம்= 'x' செ.மீ
கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi x^3\) செ.மீ
கூம்பின் ஆரம் = 'x' செ.மீ
உயரம் = h.
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi x^2 h\)
கூம்பின் கன அளவு = கோளத்தின் கன அளவு \([\because\) கோளம் 'உருக்கப்பட்டு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது]
\(\frac{1}{3} \pi x^2 h =\frac{4}{3} \pi x^3 \)
\(\Rightarrow \mathrm{h} =4 x\) செ.மீ

அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு = 3πr²
= 3π (ஆரத்தின் வர்க்கம்)
= 3π மடங்கு

ஆரம் மும்மடங்கானால், புதிய ஆரம் 3r.
உயரம் இரு மடங்கானால், புதிய உயரம் 2h.
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h \) கன அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \pi(3 r)^2(2 h) \)
\(=\frac{\pi}{3}\left(9 r^2\right)(2 h) \)
\(=18\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\)
= 18 (கூம்பின் கன அளவு)
= 18 மடங்கு

உட்புற ஆரம் = r, வெளிப்புற ஆரம் = R
கொ.ப. கூடுதல் = R + r = 14, தடிமன் R - r = 4, உயரம் h = 20 செ.மீ
பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
\(=\pi\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) \mathrm{h}\) கன அலகுகள்
\(=\pi(\mathrm{R}+\mathrm{r})(\mathrm{R}-\mathrm{r}) \mathrm{h} \)
\(=\pi(14)(4) 20 \)
= 1120π  செ.மீ

உயரம் = h, ஆரம் \(=\frac{1}{3} h\)
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு
\(=2 \pi r(\mathrm{~h}+\mathrm{r}) \)
\(=2 \pi \frac{h}{3}\left(h+\frac{h}{3}\right) \)
\(=2 \pi \frac{h}{3}\left(\frac{4 h}{3}\right) \)
\(=\frac{8 \pi h^2}{9} \) சதுர அலகுகள்

உருளையின் ஆரம் = r
உருளையின் உயரம் = h
முந்தைய உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ
ஆரம் பாதியாக்கப்பட்டால் ஆரம் \(=\frac{r}{2}\)
புதிய உருளையின் கன அளவு
\(=x(\frac{r}{2})^2k=\frac{\pi r^2h}{4}\)
இப்போது, விகிதம் = புதிய உருளையின் கன அளவு/முந்தைய உருளையின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{\pi r^2h}{4}}{\pi r^2 h}=\frac{1}{4}\)
விகிதம் = 1:4

கொ.ப r = 5 செ மீ, l = 13 செ மீ
\(\therefore\)  உயரம் \(h =\sqrt{F-r}=\sqrt{13-5} \)
\(=\sqrt{163-25}=\sqrt{144}=12\) செ மீ

'r' என்ற சம ஆரத்தைக் கொண்ட இரு அரைக்கோளங்கள் ஒன்றாக இணைக்கப்படும்போது உருவாகும் திண்மம் ஒரு கோளமாகும்
\(\therefore\) திண்மத்தின் புறப்பரப்பு = 4πr² சதுர அலகுகள்

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

\(g=\{(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\} \)
\(g(x)=\alpha x+\beta\)
\(\alpha\) = 2 மற்றும் \(\beta\) =-1 எனும் போது, g(x) = 2x - 1 என்பது 'g' யை நிறைவு செய்கிறது.

f = {(0,1),(2,0),(3,-4),(4,2),(5,7)}
g = {(0,2),(1,0),(2,4),(-4,2),(7,0)}
இப்போது,
\(\mathrm{fog}(0)=\mathrm{f}[2]=0 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(1)=\mathrm{f}[0]=1 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(2)=\mathrm{f}[4]=2 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(-4)=\mathrm{f}[2]=0 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(7)=\mathrm{f}[0]=1\)
'fog' ன் வீச்சகம் = {0,1,2}

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=1 / 3 \mathrm{x} \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g} =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left[\frac{1}{3 x}\right] \)
\(=2\left(\frac{1}{3 x}\right)^2=2\left(\frac{1}{9 x^2}\right) \)
\(=\left(\frac{2}{9 x^2}\right)\)

A = {1,2,3,4}, B = {4,8,9,10} மற்றும் f ={(1,4),(2,8),(3,9),(4,10)} ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு

கொடுக்கப்பட்டது {(a, 8),(6, b)} என்பது சமனிச் சார்பு
அதாவது, {(8,8), (6,6)}
\(\therefore a=8, b=6\)

கொடுக்கப்பட்டது: (a + 2, 4) = (5, 2a + b)
\(\begin{array}{rl|rl} a+2 & =5 & 2 a+b & =4 \\ a & =5-2 & 2(3)+b & =4 \\ & =3 & b=4-6 & =-2 \end{array} \)

13 -க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களின் கணம் {2,3,5,7,11}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^2\right) / \mathrm{x}\right.\) என்பது 13 -க்கும் குறைவான பகா எண்}
R = {(2,4),(3,9),(5,25),(7,49),(11,121)}
\(\therefore\) வீச்சகம் = {4,9,25,49,121}

\(A=\{a, b, p\}, \quad B=\{2,3\}, \quad C=\{p, q, r, s\} \)
\(A \cup C =\{a, b, p, q, r, s\} \)
\(n(A \cup C) =6 \)
\(n(B) =2 \)
\(\therefore n[(A \cup C) \times B] =6 \times 2=12\)

\(\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}, \mathrm{n}(\mathrm{A})=5, \mathrm{n}(\mathrm{B})=?\)
A -யிலிருந்து B -க்கான உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது 1024.
அதாவது, 'mn' என்பது A x B-ன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்பதால் 2^mn = 1024.
\(2^{m n} =2^{10} \Rightarrow m n=10 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{10}{5}=2\)

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6}  மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)

\(n(A \times B) =6 \)
\(A =\{1,3\} \Rightarrow n(A)=2 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}=3\)