9³ + 10³+...+21³ = (1 + 2³ + 3³+...+21³) - (1³ + 2³ + 3³+...+8³)
=\(\left[ \frac { 21\times (21+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }-\left[ \frac { 8\times (8+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\)= (231)² - (36)² = 52065

15² + 16² + 17²+....+28² = (1² + 2² + 3²+...+28²) - (1² + 2² + 3²+...+14²)
= \(\frac { 28\times 29\times 57 }{ 6 } -\frac { 14\times 15\times 29 }{ 6 } \)= 7714 - 1015 = 6699

\(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
வண்ணக் காகிதங்களால் அலங்கரிக்கும் பரப்பு \(=10^2+11^2+12^2+\ldots+24^2\)
=(1² + 2² + 3² + .... + 24²) - (1²+2² + .... + 9²)
\(=\frac{24 \times(24+1)[2(24)+1]}{6}-\frac{9 \times(9+1)[2(9)+1]}{6} \)
\(=(4 \times 25 \times 49)-\frac{9 \times 10 \times 19}{6} \)
= 4900 - 285 = 4615
4615 செ.மீ² பரப்பளவு அடைத்து அலங்கரிக்க இயலும்.

5 + 55 + 555+.... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையும் அல்ல, பெருக்குத் தொடர்வரிசையும் அல்ல. எனவே, இந்தத் தொடரை இரு தொடர்களாகப் பிரித்துக் கூடுதல் காண்போம்.
5 + 55 + 555+... n உறுப்புகள் வரை = 5[1 + 11 + 111+.... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[9 + 99 + 999+...n உறுப்புகள் வரை]
=\(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... n உறுப்புகள் வரை]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \)[(10 + 100 + 1000+... n உறுப்புகள் வரை) - n]
= \(\frac { 5 }{ 9 } \left[ \frac { 10(10^{ n }-1) }{ (10-1) } -n \right] =\frac { 50(10^{ n }-1) }{ 81 } -\frac { 5n }{ 9 } \)

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}- 1, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}+1, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}[3 \mathrm{x}+1] \)
\(=(3 \mathrm{x}+1)-1=3 \mathrm{x} \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)\left[\mathrm{x}^2\right]=3 \mathrm{x}^2 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}\left[\mathrm{x}^2\right]=3 \mathrm{x}^2+1 \)
\(f \circ(g \circ h) =\mathrm{f}\left[3 \mathrm{x}^2+1\right] \)
\(=\left(3 \mathrm{x}^2+1\right)-1=3 \mathrm{x}^2 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ h =f \circ(g \circ h) \)
(ii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+4 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})] \)
\(=\mathrm{f}(2 \mathrm{x})=(2 \mathrm{x})^2=4 \mathrm{x}^2 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[\mathrm{x}+4] \)
\(=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}[\mathrm{x}+4]=2(\mathrm{x}+4) \)
\(f \circ(g \circ h)\)\(=\mathrm{f}[2(\mathrm{x}+4)]=[2(\mathrm{x}+4)]^2=4(\mathrm{x}+4)^2 \)
\(=4\left(\mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}+16\right)=4 \mathrm{x}^2+32 \mathrm{x}+64 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ h =f \circ(g \circ h)\)
(iii) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}-4, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}-5 \)
\(f \circ g =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2\right)=\mathrm{x}^2-4 \)
\((f \circ g) \circ \mathrm{h} =(f \circ g)[\mathrm{h}(\mathrm{x})]=(f \circ g)[3 \mathrm{x}-5] \)
\(=(3 \mathrm{x}-5)^2-4=9 \mathrm{x}^2-30 \mathrm{x}+25-4 \)
\(=9 \mathrm{x}^2-30 \mathrm{x}+21 \)
\(g \circ h =\mathrm{g}[\mathrm{h}(\mathrm{x})] \)
\(=\mathrm{g}(3 \mathrm{x}-5)=(3 \mathrm{x}-5)^2\)
f o (g o h) = f(3x - 5)² = (3x - 5)² - 4
\(=9 \mathrm{x}^2-30 \mathrm{x}+25-4=9 \mathrm{x}^2=30 \mathrm{x}+21 \)
\(\therefore(f \circ g) \circ h =f \circ(g \circ h)\)