AC = 11 - 6 = 5 மீ 
செங்கோண ΔABC இல்
\(\mathrm{AB}^2 =\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2=12^2+5^2 \)
= 144 + 25 = 169 
AB = 13 மீ 

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

வேலை கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A) + P(\bar{A}) =1 \)
\(\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =1 \)
\(\frac{x+2}{3} =1 \)
x + 2 = 3
x = 3 - 2
x = 1 .

\(a=\frac{3}{16} ; r=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{16}}=\frac{1}{8} \times \frac{16}{3}=\frac{2}{3}\)
இது ஒரு பெருக்குத் தொடா் வரிசை ஆகும்.
∴ அடுத்த உறுப்பு \(\frac{1}{18} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{27}\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
\(l_1: 3 y=4 x+5 \Rightarrow 4 x-3 y+5=0 \)
\(l_2: 4 y=3 x-1 \Rightarrow 3 x-4 y-1=0 \)
\(l_3: 4 y+3 x=7 \Rightarrow 3 x+4 y-7=0 \)
\(l_4: 4 x+3 y=2 \Rightarrow 4 x+3 y-2=0\)
l₂-லிருந்து \(\mathrm{a}_2=3, \mathrm{~b}_2=-4\) மற்றும்
l₄-லிருந்து \(a_4=4, b_4=3\)
\(a_1 a_2+b_1 b_2=3(4)+(-4)(3)=0\)
\(\therefore l_2\) மற்றும் l₄ ஆகியவை செங்குத்தானவை.

உட்புற ஆரம் = r, வெளிப்புற ஆரம் = R
கொ.ப. கூடுதல் = R + r = 14, தடிமன் R - r = 4, உயரம் h = 20 செ.மீ
பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
\(=\pi\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) \mathrm{h}\) கன அலகுகள்
\(=\pi(\mathrm{R}+\mathrm{r})(\mathrm{R}-\mathrm{r}) \mathrm{h} \)
\(=\pi(14)(4) 20 \)
= 1120π  செ.மீ

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7

\(1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3 =\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2=44100=(210)^2  \)
\(=\frac{k(k+1)}{2}=210  \)
\(1+2+3+\ldots+k =\frac{k(k+1)}{2}=210\)

இங்கு a = 3, r = \(\frac { { t }_{ 2 } }{ { t }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 3 } \)
பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முடிவுறா உறுப்புகள் வரை கூடுதல் S_∞  = \(\frac { a }{ 1-r } =\frac { 3 }{ 1-\frac { 1 }{ 3 } } =\frac { 9 }{ 2 } \).

(i) பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar²,...
a = -7, ar = -7 x 6 = -42, ar² = -7 x 6² = -252
எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை -7, -42, -252,.....
(ii) பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar²,...
a = 256, ar = 256 x 0.5 = 128, ar² = 256 x (0.5)² = 64
எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை 256, 128, 64,....

-11, -15, -19,.... என்பது தரப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை
இங்கு முதல் உறுப்பு a = -11
பொது வித்தியாசம் \(\mathrm{d}=\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=-15-(-11)\)
= -15 + 11 = -4
∴ n-ஆவது உறுப்பு \(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} \)
∴ 19- ஆவது உறுப்பு \(\left(\mathrm{t}_{19}\right) =-11+(19-1)(-4) \)
= -11 +18(-4) 
= -11 + (-72) = -83
∴ -11,-15,-19,......-இன் 19 ஆவது உறுப்பு - 83.

முதல் உறுப்பு a = 3 மற்றும் பொது வித்தியாசம் d = 15–03 = 12 .
முதல் உறுப்பு a, பொது வித்தியாசம் d ஆக உள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n -வது உறுப்பு
t_n = a + (n - 1)d என நாம் அறிவோம்
t₁₅ = a + (15 - 1)d = a + 14d = 3 + 14(12) = 171
(இங்கு a = 3 மற்றும் d = 12)
t₂₄ = a + (24 - 1)d = a + 23d = 3 + 23(12) = 279
n -வது உறுப்பு (பொது உறுப்பு) t_n = a + (n - 1)d
t_n = 3 + (n - 1)12
t_n = 12n - 9

a₁ = 1, a₂ = 1 எனத் தொடர்வரிசையின் முதல் இரண்டு உறுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மூன்றாவது உறுப்பானது முதல் இரண்டு உறுப்புகளைச் சார்ந்தே உள்ளது.
a₃ = \(\frac { { a }_{ 3-1 } }{ { a }_{ 3-2 }+3 } =\frac { { a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 }+3 } =\frac { 1 }{ 1+3 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
இதைப் போலவே நான்காம் உறுப்பு a₄ ஆனது a₂ மற்றும் a₃ ஆகியவற்றைச் சார்ந்தே உள்ளது.
a₄ = \(\frac { { a }_{ 4-1 } }{ { a }_{ 4-2 }+3 } =\frac { { a }_{ 3 } }{ { a }_{ 2 }+3 } =\frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ 1+3 } =\frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 16 } \)
இதே வழிமுறையில் ஐந்தாம் உறுப்பு a₅ கணக்கிடப்படுகிறது.
a₅ = \(\frac { { a }_{ 5-1 } }{ { a }_{ 5-2 }+3 } =\frac { { a }_{ 4 } }{ { a }_{ 3 }+3 } =\frac { \frac { 1 }{ 16 } }{ \frac { 1 }{ 4 } +3 } =\frac { 1 }{ 16 } \times \frac { 4 }{ 13 } =\frac { 1 }{ 52 } \)
எனவே, தொடர்வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்புகள் 1,1,\(\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 16 } \) மற்றும் \(\frac { 1 }{ 25 } \) ஆகும்.

n = 11 என்பது ஒற்றை எண் என்பதால், a₁₁-யின் மதிப்புக் காண n = 11 என a_n = n(n + 3)-யில் பிரதியிட
11-வது உறுப்பு = a₁₁ = 11(11 + 3) = 154
n =18 என்பது இரட்டை எண் என்பதால், a₁₈-யின் மதிப்புக் காண n = 18 என a_n = n² + 1 -யில் பிரதியிட,
18 -வது உறுப்பு a₁₈ = 18² + 1 = 325

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு மீ.பொ.வ காண்போம்.
210 = 55 x 3 + 45
55 = 45 x 1 + 10
45 = 10 x 4 + 5
10 = 5 x 2 + 0
மீதி = 0
ஆகவே, கடைசி படிநிலையின் வகுத்தி 5 ஆனது 210 மற்றும் 55 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும். மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325 = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்,
55x = 330
x = 6

ஒரு நபரின் முதல் வருட சேமிப்பு a என்க.
எனவே அவரின் 10 வருட சேமிப்பு a, a + 100, a + 2 \(\times\) 100 .......10 உறுப்புகள் வரை
இது மாறிலி 100 ஐ உடைய கூட்டுத்தொடர் வரிசையாகும்.
இங்கு t₁ = a, d = 100, n = 10
10 வருட மொத்த சேமிப்பு
\(S_n=\frac{n}{2}[2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}]=\frac{10}{2}[2 \mathrm{a}+(10-1) 100]\)
S_n = 5[2a + 900] = 10[a + 450]                ....(1)
கொடுக்கப்பட்டது: S_n = 16500
\(\therefore\) (1) \(\Rightarrow\) 10 (a + 450) = 16500
a + 450 = 1650
a = 1650 - 450 = 1200
\(\therefore\) அவரின் முதல் வருட சேமிப்பு ரூ 1200

\(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
வண்ணக் காகிதங்களால் அலங்கரிக்கும் பரப்பு \(=10^2+11^2+12^2+\ldots+24^2\)
=(1² + 2² + 3² + .... + 24²) - (1²+2² + .... + 9²)
\(=\frac{24 \times(24+1)[2(24)+1]}{6}-\frac{9 \times(9+1)[2(9)+1]}{6} \)
\(=(4 \times 25 \times 49)-\frac{9 \times 10 \times 19}{6} \)
= 4900 - 285 = 4615
4615 செ.மீ² பரப்பளவு அடைத்து அலங்கரிக்க இயலும்.

பெருக்குத் தொடா் வரிசையின்
9^வது உறுப்பு \(=ar^{9-1}=32805 \Rightarrow a r^8=32805 \ldots (1)\)
6^வது உறுப்பு \(=a r^{6-1}=1215 \Rightarrow a r^5=1215 \quad \ldots (2)\)
\(\frac{(1)}{(2)} \Rightarrow \frac{a r^8}{a r^5}=\frac{32805}{1215} \) \(\Rightarrow \mathrm{r}^3=27 \) ....(3)
∴ பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 12 -வது உறுப்பு
\(t_{12} =a r^{12-1}  \) = ar¹¹
= ar⁸ \(\times\) r³ = 32805 \(\times\) 27
= 765735
(\(\because\) (1) மற்றும் (3) லிருந்து)
பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 12 -வது உறுப்பு = 765735

முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_n =2n^2-3n \)
∴ முதல் உறுப்பு S₁ = 2(1)² - 3(1) = 2 - 3 = - 1 = t₁
முதல் இரு உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_2 =2(2)^2-3(2) \)
= 8 - 6 = 2 
\(\therefore \quad \mathrm{t}_2 =\mathrm{S}_2-\mathrm{S}_1  \)
\(=2-(-1)=2+1  \)
\(\mathrm{t}_2 =3\)
முதல் மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_3 =2(3)^2-3(3)  \)
\(=18-9=9  \)
\(\therefore  \mathrm{t}_3 =\mathrm{S}_3-\mathrm{S}_2=9-2  \)
\(\mathrm{t}_3 =7 \)
இங்கு  \(\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1 =3-(-1)=3+1=4 \)
\( \mathrm{t}_3-\mathrm{t}_2 =7-3=4  \)
\(\therefore \mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1 =\mathrm{t}_3-\mathrm{t}_2.\)
∴ இது ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை ஆகும்.

4-வது உறுப்பு \(t_4=\frac{8}{9} \Rightarrow  a r^3=\frac{8}{9}\)   ......(1)
7-வது உறுப்பு \(t_7=\frac{64}{243} \Rightarrow a r^6=\frac{64}{243}\)   ......(2)
சமன்பாடு (2) ஐ (1) ஆல் வகுக்க நாம் பெறுவது, \(\frac{a r^6}{a r^3}=\frac{\frac{64}{243}}{\frac{8}{9}} \)
\(r^3=\frac{8}{27} \Rightarrow r=\frac{2}{3}\)
r-யின் மதிப்பைச் சமன்பாடு (1) -யில் பிரதியிட, \(a \times\left[\frac{2}{3}\right]^3=\frac{8}{9} \Rightarrow a=3\)
எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை a, ar, ar²,..... அதாவது, \(3,2, \frac{4}{3}, \ldots\)

மூன்று குழந்தைகள் பெறும் தொகை கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைவதால் அவற்றை a - d, a, a + d, என்க. தொகையின் கூடுதல் ரூ.207 என்பதால்
(a - d) + a + (a + d) = 207
3a = 207 ⇒ a = 69
இரு சிறிய தொகைகளின் பெருக்கற்பலன் 4623 என்பதால்
(a - d)a = 4623
(69 - d)69 = 4623
d = 2
எனவே, மூன்று குழந்தைகளுக்கும் தாய் பிரித்துக் கொடுத்த தொகை
ரூ.(69-2), ரூ 69, ரூ.(69+2). அதாவது, ரூ.67, ரூ.69 மற்றும் ரூ.71.

70000 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
70000 ≡ 0 (மட்டு 7)
70000 + 4 ≡ 0 + 4 (மட்டு 7)
70004 ≡ 4 (மட்டு 7)
எனவே 70004 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 4.
777 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
777 ≡ 0 (மட்டு 7)
777 + 1 ≡ 0 + 1 (மட்டு 7)
778 ≡ 1 (மட்டு 7)
எனவே, 778 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 1.