A மற்றும் B ஆகியவை சாரா நிகழ்வுகள் என்பதால்
P(A\(\cap \)B) = P(A) P(B)
கணக்கின்படி P(A) =\(\frac{3}{5}\) மற்றும் P(B)=\(\frac{1}{5}\),
எனவே, P(A\(\cap \)B) =\(\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 1 }{ 5 } =\frac { 3 }{ 25 } \).

y = A sin x + B cos x
y₁ = A cos x – B sin x
y₂ = –A sin x –B cos x
y₂ = –y
y₂ + y = 0

2 sin 2\(\theta\) cos\(\theta\)=  sin (2\(\theta\)+\(\theta\))+sin(2\(\theta\) - \(\theta\))
=sin3\(\theta\)+sin\(\theta\)

\(\frac { -16 }{ 65 } \)

\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=1 (1இன் சிற்றணிக்கோவை) –2 (2 இன் சிற்றணிக்கோவை) +4(4 இன் சிற்றணிக்கோவை)
\(=1\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
=0 –0 –52 = –52.

b_yx=1.422, Y = 141.67

0.906

மதிப்பு	இடைநிலை m	f	\(\left( \frac { f }{ m } \right) \)
0-10	5	8	1.60
10-20	15	12	0.80
20-30	25	20	0.80
30-40	35	6	0.17
40-50	45	4	0.09
		N=50	\(\Sigma \left( \frac { f }{ m } \right) \)=3.46

HM=\(\frac { N }{ \Sigma \left( \frac { f }{ m } \right) } =\frac { 50 }{ 3.46 } \)
=14.45

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

u =u = log(x²+y²)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } (2x)=\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \)
\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial x^{ 2 } } =\frac { ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 }).2-2x.2 }{ ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 })^{ 2 } } =\frac { 2({ y }^{ 2 }-x^{ 2 }) }{ { (x }^{ 2 }+y^{ 2 })^{ 2 } } \)
\(\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } (2y)=\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \)
\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =\frac { ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 }).2-2y.2y }{ { (x }^{ 2 }+y^{ 2 }) } =\frac { 2({ x }^{ 2 }-y^{ 2 }) }{ ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 })^{ 2 } } \)
∴\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial x^{ 2 } } +\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } \)=0

u = x²(y–x) + y² (x–y)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = 2xy–3x²+y²
 \(\frac { \partial u }{ \partial y } \)= x²+2xy –3y²
 \(\frac { \partial u }{ \partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } \) = –2x²–2y²+4xy
 = -2(x²+y²−2xy)
= -2(x-y)²

\(\left(3 x+\frac{x^2}{2}\right)^8\)
n = 8
நடு உறுப்பைக் காண \(t_{\frac{n}{2}+1}=t_{\frac{8}{2}+1}=t_5\)
\(t_{r+1}=n C_r x^{n-r} a^r\)
r = 4
\(t_5=8 c_4(3 x)^4\left(\frac{x^2}{2}\right)^4\)
\(=\frac{8 C_4(81)}{16} x^{12}\)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகள் x²+y2-64 =0 மற்றும் 3x+4y-k =0
தொடுகோடாவதற்குரிய கட்டுப்பாடு  c²= a²(1+m²)
இங்கு a² = 64, m =\(\frac { -3 }{ 4 } \) , c=\(\frac { k }{ 4 } \)
c²=a²(1+m²) ⇒ \(\frac { k^{ 2 } }{ 16 } =64\left( 1+\frac { 9 }{ 16 } \right) \)
k² = 64 \(\times\) 25
 k = ± 40

\(L\left[ f\left( x \right) \right] _{ x=3 }=\underset { x\rightarrow 3^{ - } }{ lim } f\left( x \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } f\left( 3-h \right) ,x=3-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| \left( 3-h \right) -3 \right| }{ \left( 3-h \right) -3 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } -1\quad =-1\)
\(R\left[ f\left( x \right) \right] _{ x=3 }=\underset { x\rightarrow 3^{ + } }{ lim } f\left( x \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } f\left( 3+h \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| \left( 3+h \right) -3 \right| }{ \left( 3+h \right) -3 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| }{ h } \)
\(\quad =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 1\quad =1\)

MATHEMATICS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை = 11
M என்ற எழுத்து 2 முறையும்
T என்ற எழுத்து 2 முறையும்
A என்ற எழுத்து 2 முறையும் மீதமுள்ள எழுத்துக்கள் தலா ஒரு முறையும் இடம் பொறுகிறது.
எனவே அனைத்து எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தி அமைக்கப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =\(\frac{11!}{2!2!2!}\)

A_ij = (–1)^i+jM_ij
A₁₁ = (–1)¹⁺¹M₁₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₂ = (–1)¹⁺²M₁₂ =\(-\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₃ = (–1)¹⁺³M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=0-(-4)=4
A₂₁ = (–1)²⁺¹M₂₁ =\(-\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=-(0-(-3))=-3
A₂₂ = (–1)²⁺²M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-12=-12
A₂₃ = (–1)²⁺³M₂₃ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=-(1-8)=7
A₃₁ = (–1)³⁺¹M₃₁ =\(\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-(-3)=3
A₃₂ = (–1)³⁺²M₃₂ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-0=0
A₃₃ = (–1)³⁺³M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=1-0=1
\(\left| { A }_{ ij } \right| =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 4 \\ -3 & -12 & 7 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
Adj A =[Aij]^T
\(=\left[ \begin{matrix} 0 & -3 & 3 \\ 0 & -12 & 0 \\ 4 & 7 & 1 \end{matrix} \right] \) 

கீழே ஒவ்வொரு செயலுக்கான வலையமைப்பில் முந்தைய ஆரம்ப நேரம் மற்றும் சமீபத்திய முடிவு நேரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

E₁ = 0                                                                     L₅ = 21
E₂ = E₁ + t₁₂ = 0 + 8 = 8                                         L₄ = L₅ - t₄₅ = 21 - 3 = 18
E₃ = E₁ + t₁₃ = 0 + 4 = 4                                         L₃ = L₄ - t₃₄ = 18 - 5 = 13
E₄ = E₂ + t₂₄ அல்லது E₃ + t₃₄ = 8 + 10 =18         L₂ = L₅ - t₂₅ அல்லது L₄-t₂₄ = 18-10=8
(E₂ + t₂₄ அல்லது E₃ + t₃₄                                             (L₅ - t₂₅ அல்லது L₄ - t₂₄
(பெருமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)    (சிறுமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)
E₅=(E₂ = t₂₅ அல்லது E₄ + t₄₅) = 18 + 3 = 21         L₁ = L₂-t₁₂ அல்லது L₅ - t₁₃ = 8 - 8 = 0
(E₂+t₂₅ அல்லது E₄ + t₄₅                                         (L₂ - t₁₂ அல்லது L₃ - t₁₃
(பெருமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)     (சிறுமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)
இங்கு தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5 இரு கோடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்	காலம்(tij)	EST	EFT = EST + tij	LST=LFT-tij	LFT
1-2	8	0	8	0	8
1-3	4	0	4	9	13
2-4	10	8	18	8	18
2-5	2	8	10	19	21
3-4	5	4	9	13	18
4-5	3	18	21	18	21

இந்தத் திட்டத்தை நிறைவு செய்யும் நீண்ட காலம் 21 நாட்கள்.
தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 21 நாட்கள்.

R_x, R_y, R_z d என்பன முறையே முதல், இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகள் போட்டியாளர்களுக்கு அளித்தத் தரவரிசையைக் குறிக்கின்றது.

Rx	Ry	RZ	dXY=Rx-RY	dYZ=RY-RX	dZX=RZ-RX	d2XY	d2YZ	d2ZX
1	2	3	-1	-1	2	1	1	4
4	6	7	-2	-1	3	4	1	9
6	5	4	1	1	-2	1	1	4
3	4	5	-1	-1	2	1	1	4
2	7	10	-5	-3	8	25	9	64
9	10	8	-1	2	-1	1	4	1
7	9	9	-2	0	2	4	0	4
8	3	2	5	1	-6	25	1	36
10	8	6	2	2	-4	4	4	16
5	1	1	4	0	-4	16	0	16
						Σd2XY=82	Σd2YZ=22	Σd2ZX=1

\({ \rho }_{ XY }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ XY }^{ 2 } }{ N(N^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(82) }{ 10(10^{ 2 }-1) } \)=1-0.4969=0.5031
\({ \rho }_{ YZ }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ YZ }^{ 2 } }{ N({ N }^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(22) }{ 10({ 1 }0^{ 2 }-1) } =1-\frac { 132 }{ 990 } \)=1-0.1333=0.8667
\({ \rho }_{ ZX }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ ZX }^{ 2 } }{ N({ N }^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(158) }{ 10({ 1 }0^{ 2 }-1) } \)=1-0.9576=0.0424
இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகளுக்கு இடையேயான தரஒட்டுறவுக் கெழு அதாவது \({ \rho }_{ YZ }\) என்பது மூன்று கெழுக்களிடையே, மிகை மற்றும் அதிக நிறை கொண்டுள்ளது. எனவே இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகளுக்கிடையே அழகியல் பற்றி ஒரு பொதுவான அணுகுமுறை காணப்படுகிறது.

0.996

கணக்கின்படி P(A) =\(\frac{3}{4}\) P(B) =\(\frac{1}{2}\),  P(C) = \(\frac{2}{3}\)
Then \(P(\bar { A } )=1-\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } ;P(\bar { B } )=1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் \(P(\bar { C } )=1-\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
(i)  \(P(\bar { A } )\) =(மூவரும் இலக்கை சரியாக சுடுவதற்கான)
=P(A\(\cap \)B\(\cap \)C)=P(A)P(B)P(C)  (A,B,C சாரா நிகழ்வுகள்)
=\(\frac { 3 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
(ii) P(ஒருவர் மட்டுமே இலக்கை சரியாக சுடுவதற்கான)
=\(P\{ (A\cap \bar { B } \bar { C } )\cup (\bar { A } \cap B\cap \bar { C } )(\bar { A } \cap \bar { B } \cap C\} \)
=\(P\{ (A\cap \bar { B } \cap \bar { C } +P(\bar { A } \cap B\cap \bar { C } )+P(\bar { A } \cap \bar { B } \cap C)\} \)
=\(\left( \frac { 3 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 4 } \)
(iii) P (குறைந்தபட்சம் ஒருவர் இலக்கை சுடுவதற்கான)
=1-P(ஒருவரும் சுடாமல் இருப்பதற்கான)
=\(1-P(\bar { A } \cap \bar { B } \cap \bar { C } )\)
=\(1-P(\bar { A } )P(\bar { B } )P(\bar { C } )\)
=\(1-\frac { 1 }{ 24 } =\frac { 23 }{ 24 } \) .

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

கணக்கின்படி,
ஒரு கோருதலின் கோருதல் செலவு :C₃=ரூ.150
ஓர் அலகு கோருதலின் எண்ணிக்கை :q =500 அலகுகள்
 வருடத் தேவை = 500\(\times \)4 =2000 அலகுகள்
தேக்கச் செலவு: ஓர் அலகுக்கு 20%
C₁=\(\frac { 20 }{ 100 } \times 125\)=ரூ.25
(i) தற்போதைய சரக்குநிலை கொள்கைக்கான மொத்த வருடாந்திர செலவு
=  \(\frac { R }{ q } \times { C }_{ 3 }+\frac { q }{ 2 } { C }_{ 1 }\)
= \(\frac { 2000 }{ 500 } \times 150+\frac { 500 }{ 2 } \times 25\)
= ரூ.6850
(ii) EOQ =\(\sqrt { \frac { 2RC_{ 3 } }{ { C }_{ 1 } } } \)
= \(\sqrt { \frac { 2\times 200\times 150 }{ 25 } } \)
= \(\sqrt { 12\times 2000 } \)
= 155 (app.)
சிறும வருடாந்திர செலவு = \(\sqrt { 2R{ C }_{ 3 }{ C }_{ 1 } } \)
 = \(\sqrt { 2\times 200\times 150\times 25 } \)
 = ரூ.3873
மிகு ஆதாய கோருதல் அளவினைப் பயன்படுத்தி,நிறுவனம் சேமித்த பணம் = 6850–3873 = ரூ.2977

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left[ \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right] =\tan^{ -1 }\left( \frac { 2{ x }^{ 2 }-4 }{ -3 } \right) \)
\(\tan^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\tan^{ -1 }\left( \frac { 2{ x }^{ 2 }-4 }{ -3 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\frac { 2{ x }^{ 2 }-4 }{ -3 } =tan\frac { \pi }{ 4 } =1\)
\({ 2x }^{ 2 }-4=-3\)
\(\Rightarrow\)                      \({ 2x }^{ 2 }-1=0\)
\(\Rightarrow\)           \(x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

P(n) = 5²ⁿ - 1 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
5²(1) - 1 = 25 - 1 = 24 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
i.e., P(1) உண்மை ஆகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
∴ 5^2k - 1 (24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
⇒ 5^2k - 1 = 24m
⇒ 5^2k = 24m + 1    ...(1)
படி 3: P( + 1) உண்மை என நிரூபிக்க வேண்டும்
P(k + 1) = 5^2(k+1) - 1
= 5^2k+2 - 1 = 5^2k.5² - 1
= (24m + 1)25 - 1
= 24m. 25 + 25 - 1
= 24m + 25 - 24
= 24(25m + 1)
(24 ஆல் வகுபடும் எண்) 
எனவே, P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் விதிப்படி P(k) உண்மை எனில் P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
∴ n ன் அனைத்து இயல் மதிப்புகளுக்கும் P (n) உண்மை ஆகிறது.

x²+y²-x-y =0

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 9 & 1 & 5 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=2(15-0)+2(10-0)+2(2-27)\)
\(=30+20-50=0\)
\((\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|A| I=0\)

தரவு \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| =1-2=-1\neq 0\)
∴ A^-1 யைக் காணஇயலும்.
\(\left| B \right| =\left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| =0+1=1\neq 0\)
B^-1யைக் காணஇயலும்.
\(AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \)
=-1≠0
AB^-1 யைக் காணஇயலும்.
\(adj(AB)=\left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(({ AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| AB \right| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] ...(1)\)
\(adjA=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adjA\)
\(=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \)
\(adjB=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| B \right| } adjB\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து (AB)^-1=B^-1A^-1 ஆகும்

\(|A|=\frac{1}{a d-b c} ; \quad A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)\)

n = 1 then (1) (2) (3) (4) = 24 ஆல் வகுப்படும் எண்  = 24