ஸ்கேலார் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் எண் மதிப்புகள் மற்றும் அவைகளுக்கு இடையேயான கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத்தொகை ஸ்கேலார் பெருக்கல் எனப்படும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகிய இரு வெக்டர்களுக்கு இடையேயான கோணம் θ எஎில் \( \vec{A} \cdot \vec{B}=\mathrm{AB} \cos \theta.\) A மற்றும் B என்பவை வெக்டர் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியவற்றின் எண் மதிப்புகள்.
(எ.கா) வேலை, ஆற்றல் மற்றும் மின்புலப்பாயம்
பண்புகள்:
(i)  \(\vec { A } \).\(\vec { B } \)  எப்போதும் ஒரு ஸ்கேலார். θ < 90^o எனில் அது நேர்க்குறி. \(90^{\circ}<\theta<180^{\circ}\) எனில் அது எதிர்க்குறி.
(ii) வெக்டர்கள் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=0^{\circ}, \cos \theta=1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\)_{பெரும்} = AB.
(iii) வெக்டர்கள் எதிரெதிர் திசையில் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=180^{\circ}, \cos \theta=-1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\) = AB.
(iv) வெக்டர்கள் ஒன்றுக்கொ்ன்று செங்குத்தாக இருந்தால் \(\theta=90^{\circ}, \cos 90^{\circ}=0, \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=0\)
(v) இது பரிமாற்று வி|திக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}\)
(vi) இது பங்கீட்டு விதிக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)
(vii) சுய புள்ளி பெருக்கல்,\(\vec{A} \cdot \vec{A}=A A \cos \theta=A^2\left(\theta=0^{\circ}\right)\) எனில் வெக்டர் \(\vec { A } \)யின் எண்மதிப்பு \(|\vec{A}|\) ஆகும். \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}\)
(viii) \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) என்பன அலகு வெக்டரின் செங்குத்துக் கூறுகள் எனில்
\(\hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1\) மற்றும் \(\hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0\)
(ix) வெக்டா்களுக்கு இடையேயான் கோணம் \(\theta=\cos ^{-1}\left[\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\right]\)
(x) கூறுகளின் அடிப்படையில்,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(A_x \hat{i}+\mathrm{A}_y \hat{j}+\mathrm{A}_z \hat{k}\right) \cdot\left(\mathrm{B}_x \hat{i}+B_y \hat{j}+B_z \hat{k}\right) \)
\(=A_x B_x \hat{i}+A_y B_y \hat{j}+A_z B_z \hat{k}\), மற்றவை சுழியாகும். 
\(\vec { A } \) யின் எண் மதிப்பு \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) மற்றும்
\(|\vec{B}|=\mathrm{B}=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\)
வெக்டர் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் வெக்டர் பெருக்கல் மற்றொரு வெக்டர் ஆகும். இதன் எண்மதிப்பு அவ்விரு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றிற்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமம் ஆகும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன இரு வெக்டர்கள் எனில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\vec{G}=(A B \sin \theta) \check{n}\)
\(\hat{n}\) ன் திசை \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்களின் தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். வலது கை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரிலிருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும்போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec{C}\) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.
(எ.கா) திருப்புவிசை \(\vec{C}=\vec{r} \times \vec{F}\) மற்றும் \(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\)
பண்புகள்:
(i) வெக்டா் பெருக்கலின் தொகுபயன் எப்போதும் ஒரு வெக்டராக இருக்கும். இவ்விரு வெக்டர்கள் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான வெக்டர்களாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும் தொகுபயனின் திசை அவ்விரு வெக்டர்கள் அமைந்த தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் அமையும்.
(ii) பரிமாற்று விதிக்கு உட்படாது. \(\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A} \cdot\) ஆனால் \(\vec{A} \times \vec{B}=-[\vec{B} \times \vec{A}]\)
(iii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையுமானால் \(\theta=90^{\circ}, \sin \theta=1, (\vec{A} \times \vec{B})\)_{பெருமம்} = \(A B \hat{n}\)
(iv) θ = 0^o அல்லது 180^o எனில் sin θ = 0, சுழியற்ற வெக்டா்களாக இருந்தாலும் வெக்டர் பெருக்கல் \((\vec{A} \times \vec{B})\)_{சிறுமம்} = 0
இதன் பொருள் என்னவெனில், வெக்டர்கள் இணையாக இருந்தாலோ எதிர் திசையில் இணையாக அமைந்தாலும் வெக்டா் பெருக்கல் அழிந்துவிடும்.
(v) சுய வெக்டர் பெருக்கல் சுழி வெக்டா் ஆகும்.
\(\vec{A} \times \vec{A}=A A \sin 0^{\circ} \hat{A}=\overrightarrow{0}\)
(vi) அலகு வெக்டர் கூறுகளின் சுய வெக்டா் பெருக்கல் சுழியாகும்.
\(\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\)
(vii) அலகு வெக்டர்களின் செங்குத்துக் கூறுகள் \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) ஆகியவற்றின் வெக்டர் பெருக்கல்கள்
\(\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}\)  மற்றும்
\(\hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k} \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}\)
(viii) கூறுகளின் அடிப்படையில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array}\right|=\begin{array}{} \hat{i} \left(A_y B_z-A_z B_y\right) \\ + \hat{j} \left(A_z B_x-A_x B_z\right) \\ +  \hat{k} \left(A_x B_y-A_z B x\right) \end{array}\)
(ix) வெக்டா் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரு இணைகரத்தின் இரு பக்கங்களைக் குறித்தால் \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) அவ்விணைகரத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.
(x) வெக்டர் \(\vec { A } \) ம்ற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரே வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாக குறுக்கப்பட்டன. \(\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\) என்பது அம்முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.

எறிபொருள் இயக்கத்தில் கிடைத்தள நெடுக்கம்
\(R={{u}^{2}\sin 2\theta \over g}\)
\(\theta=\pi/4\)
u = v₀ = 10 m s^-1
R_புவி \(={{{(10)}^{2}}\ \sin \pi /2 \over 9.8 }=100/9.8\)
R_புவி = 10.20 m ( தோராயமாக 10 m )
இதே எறிபொருளை நிலவில் எறியும் போது அதன் கிடைத்தள நெடுக்கம் அதிகரிக்கும் ஏனெனில் நிலவின் ஈர்ப்பு முடுக்கம், புவியின் ஈர்ப்பு முடுக்கத்தைவிடக் குறைவு.
g_{நிலவு} \(={g \over 6}\)

\(={{ v }_{ 0 }^{ 2 }\sin 2\theta\over g/6}\)
R_{நிலவு} = 6R_புவி
R_{நிலவு} = 6 x 10.20 = 61.20
(தோராயமாக 60 m)
நிலவில் எறிபொருளின் கிடைத்தள நெடுக்கம், புவியில் எறிபொருளின் கிடைத்தள நெடுக்கத்தை விட ஆறுமடங்கு அதிகம்.

செங்குத்து அச்சுத் தேற்றமானது மெல்லிய பொருட்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. மெல்லிய சமதளப் பரப்பிற்கு செங்குத்தான அச்சைப் பற்றிய நிலைமத் திருப்புத்திறனானது அந்த தளத்திலேயே அமைந்த ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு அச்சுக்களைப் பற்றிய நிலைமத்திருப்புத்திறன்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இந்த மூன்று அச்சுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகவும் ஒரு பொதுப் புள்ளியில் சந்திக்குமாறு அமைந்திருக்கும்.
X மற்றும் Y அச்சுகளினால் ஆன தளத்தில் Z அக்சுக்கு செங்குத்தான மெல்லிய பொருளின் தளம் எனது Z அச்சிற்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ளது எனக் கொள்க. X மற்றும் Y அச்சுகளைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத் திறன்கள் முறையே I_X மற்றும் I_Y எனில் Z அச்சைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் I_Z ஆகும். எனவே, செங்குத்து அச்சுத் தேற்றத்தின் சமன்பாடு,
l_z =  l_x + l_y
இதனை நிரூபிக்க புறக்கணிக்கத்தக்க (negligible) தடிமன் கொண்ட மெல்லிய பொருளின் மீது ஆதிப்புள்ளி O வைக் கருதுக. படத்தில் காட்டப்பட்டது போல் Z அச்சுக்கு செங்குத்தாக X, Y அச்சுகளால் ஆன தளம் உள்ளது. இம்மெல்லிய பொருளானது m நிறை கொண்ட பல துகள்களால் ஆனது எனக் கொள்க O விலிருந்து ஆய புள்ளிகள் (x, y) உடைய P என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்.

Z அச்சைப் பொருத்து துகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் mr² 
Z அச்சை பொருத்து மெல்லிய பொருளின் முழுவதற்குமான நிலைமதிருப்புத்திறன்  
I_z = Σmr²
இங்கு r² = x² + y²
எனவே I_z = Σm(x² + y²)
I_z = Σmx² + Σmy²
இதில் Σmx² என்பது y அச்சைப் பொருத்து நிலைமத் திருப்புத்திறனாகவும், அதே போல் Σmy² என்பது x அச்சைப் பொருத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் எனப்படும். எனவே 
 I_X = Σmy² மற்றும் I_Y = Σmx²
l_z சமன்பாட்டில் பிரதியிட
l_z =  l_x + l_y
செங்குத்து அச்சுத் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

திண்மப் பொருளின் நோ்க்கோட்டு, உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் மாறிலியாக இருந்தால் அப்பொருளானது எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது எனலாம். 
ஒரு பொருளின் நேர்க்கோட்டு உந்தம் மாறிலி எனில், அப்பொருளின் மீது செயல்படும் நிகரவிசை சுழியாகும்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=0\)     ...(1)
இந்நிபந்தனையின் படி பொருளானாது இடப்பெயர்வில் சமநிலையில் உள்ளது. இதன்படி, பொருளின் மீது வெவ்வெறான திசைகளில் செயல்படும் \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3\) என்ற விசைகளின் வெக்டர் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\cdots+\overrightarrow{\bar{F}}_{\mathrm{n}}=0\)    ....(2)
பொருளின் மீது \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3 \ldots\)என்ற விசைகள் வெவ்வேறான திசைகளில் செயல்படுகின்றன எனில் அவற்றின் விளைவை முறையே கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்து கூறுகளின் மூலம் தீர்வு காணலாம். இந்நிகழ்வில் கிடைத்தளச் சமநிலைக்கோ செங்குத்து சமநிலைக்கோ சாத்தியம் உள்ளது.
இதேபோல் கோண உந்தம் மாறிலியாக உள்ள போது பொருளின் மீதான நிகர திருப்பு விசை சுழியாகும்.
\(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)  ....(3)
இந்நிபந்தனையின்படி. பொருளானாது சுழற்சி சமநிலையில் உள்ளது, சுழற்சிச் சமநிலையில் வெவ்வேறான சுழற்சியை உருவாக்கும் திருப்பு விசைகள்  \(\vec{\tau}_1, \vec{\tau}_2, \vec{\tau}_3 \ldots\) ஆகியவற்றின் வெக்டா் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\vec{\tau}_1+\vec{\tau}_2+\vec{\tau}_3+\cdots+\vec{\tau}_{\mathrm{n}}=0\)
மேலும் ஒரு திண்மப்பொருளின் மீது நிகர விசையும், நிகர திருப்பு விசையுமம் சுழியாக இருந்தால் அத்திண்மப் பொருள் எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது என கூறலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {net }}=0\) மற்றும் \(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)
விசைகளும், திருப்பு விசைகளும் வெக்டா் அளவு என்பதால் இதன் திசைகளை தக்க குறியீடுகளுடன் பயன்படுத்த வேண்டும்.

சமநிலையின் வகைகள்	நிபந்தனைகள்
இடப்பெயர்வு சமநிலை	1. நேர்கோட்டு உந்தம் மாறிலியாகும். 2. நிகர விசைசுழி
சுழற்சி சமநிலை	1. கோண உந்தம் மாறிலி 2. நிகர திருப்பு விசை சுழி
ஓய்வுச் சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்களின் மதிப்பு சுழி 2. நிகரவிசை மற்றும் நிகரத் திருப்புவிசை சுழி
இயக்க சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்கள் மாறிலி  2. நிகரவிசை மற்றும் நிகரத் திருப்புவிசைகள் சுழி
உறுதிச் சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்களின் மதிப்பு சுழி 2. பொருளானது அதன் நிலையில் சிறிய மாற்றம் செய்யும் போது மீண்டும் சமநிலைக்கு வர முயற்சிக்கும். 3. சமநிலையில் ஏற்படும் மாற்றத்தினால் பொருளின் நிறைமையத்தின் நிலையானது சற்றே உயரும். 4. பொருள் சமநிலையில் இருக்கும்போது அதன் நிலை ஆற்றல் சிறுமமாக இருக்கும்.சமநிலையில் இருந்து மாறும்போது அதன் நிலை ஆற்றல் சற்றே உயரும்.
உறுதியற்ற சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்கள் சுழி. 2. பொருளானது சமநிலையிலிருந்து சற்றே மாற்றம் செய்து விடப்படும் போது மீண்டும் சமநிலைக்கு திரும்பவராது. 3. பொருளின் நிறைமையமானது சமநிலையிலிருந்து சற்று கீழ்புறமாக நகர்ந்து அமையும். 4. நிலை ஆற்றலானது சிறுமமாக இருக்காது.மேலும் சமநிலையில் மாற்றம் அடையும்போது நிலை ஆற்றல் குறைகிறது.
நடுநிலை சமநிலை	1. நேர்கோட்டு உந்தமும் மற்றும் கோண உந்தமும் சுழி. 2. பொருளின் நிலையில் மாற்றம் செய்து விடப்படும் போதும் சமநிலையிலேயே இருக்கும். 3. பொருளின் நிலையில் சிறிய மாற்றம் செய்யும்போது நிறை மையத்தின் நிலை உயரவோ தாழவோ செய்யாது. 4. பொருளின் நிலையில் சிறிய மாறுபாடு ஏற்படும் போதும் நிலை ஆற்றல் மாற்றம் அடையாது.

நிலவின் முடிடுக்கம்
புவியின் மையத்திலிருந்து நிலவின் ஆரம்
\(r =384,000 \times \frac{1000}{1 \mathrm{~km}} \)
= 384 x 10⁶  மீ 

= 2,332,800 வினாடி 

\(=\frac{2 \pi r}{T} \)

மையநோக்கு முடுக்கம் \(\left(a_{\perp}\right)=\frac{v^2}{r}\)
\(=\frac{(329 \pi)^2}{384 \times 10^6}=2.78 \times 10^{-3}\) மீ/வி²
புவிஈர்ப்பு விசையால், நிலவின்
முடுக்கம் = 2.78 x 10^-3 மீ/வி²

நியூட்டன் விதிகள்:
(1) ஒரு பொருளின் மீது வெளிப்புற விசை ஒன்று செயல்படாதவரை, அது தனது ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது மாறாத் திசைவேகத்திலுள்ள சீரான இயக்க நிலையிலோ தொடா்ந்து இருக்கும்.
(2) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
(3) எந்தவொரு செயல் விசைக்கும் சமமான எதிர் செயல்விசை உண்டு.
விளக்கம்:
(1) நியூட்டன் விதிகள் வெக்டா் விதிகளாகும். \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{ma}\) என்ற சமன்பாட்டை, கார்டீசியன் ஆயக்கூறுகளின் அடிப்படையில் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(F_x \hat{i}+F_y \hat{j}+F_z \hat{k}=m a_x \hat{i}+m a_y \hat{j}+m a_z \hat{k}\)
இருபுறமும் ஒப்பிட,
\(F_x=m a_x \)
\(F_y=m a_y  \)
\(F_z=m a_z\)
இதிலிருந்து நாம் அறிய வேண்டியது என்னவெனில், y திசையில் செயல்படும் வினை, x திசையில் ஏற்படும் முடுக்கத்தை எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது. அதே போன்று F_z ஆனது a_y மற்றும் a_x ஐ எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது.
(2) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் (t), பொருள் அடையும் முடுக்கம், அதே நேரத்தில் அப்பொருளின் மீது செயல்படுமு வினையினை மட்டுமே சார்ந்தது. இதனை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}(\mathrm{t})=\mathrm{ma}(\mathrm{t})\)
பொருளின் முடுக்கம். கடந்தகால விசையைச் சார்ந்ததல்ல. எடுக்துக்காட்டாக. பந்து வீச்சாளரால் வீசப்பட்ட பந்து, அவரின் கரத்தை விட்டு விடுபட்ட பின்பு பந்து, புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் காற்றின் உராய்வுவிசை இவைகளை மட்டுமே உணரும். பந்தின் முடுக்கம் அது எவ்வளவு வேகத்தில் வீசப்பட்டது என்பகை பொருத்து அமையாது.
(3) பொதுவாக பொருளின் இயக்கம் விசையின் திசையிலிருந்து மாறுபட்டு அமையலாம்.
(a) விசையும் இயக்கமும் ஒரே திசையில் அமைதல்.
(எ.கா.) மரத்திலிருந்து கீழே விழும் பழத்தின் இயக்கம்.
(b) விசையும் இயக்கமும் வெவ்வேறு (செங்குத்து) திசைகளில் அமைதல்.
(எ.கா.) நிலா புவியினை நோக்கி ஒரு விசையை உணா்கிறது. ஆனால் நிலா புவியை ஒரு நீள் வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகிறது.
(c) விசையும் இயக்கமும் எதிரெதிர் திசையில் அமைதல்
(எ.கா.) பொருளை. புவியீர்ப்பு விசைக்கு எதிராக மேல்நோக்கி எறிதல்.
(d) சுழிநிகர விசையுடன் பொருளின் இயக்கம் அமைதல்.
(எ.கா.) மழைத்துளி மாறாத்திசைவேகத்துடன் தரையில் விழுதல்.
(4) ஒரு பொருளின் மீது பல்வேறு விசைகள், \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \ldots \ldots . \vec{F}_n\) செயல்படும் போது, நிகரவிசை \(\left(\vec{F}_{n e t}\right)\), தனித்தனி வெக்டா் கூடுதலுக்குச் சமம்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_{3 \ldots} \vec{F}_n\)
(5) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம்படி வகைக்கெழு வடிவத்திலும் எழுதலாம்.
\(\vec{F}=m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}\)
இதிலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்வது என்னவெனில், எப்பொழுதெல்லாம் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம் வகைக்கெழு சுழியல்லாத மதிப்பினை பெறுகிறதோ அப்பொழுதெல்லாம் பொருளின் மீது விசை செயல்படுகிறது.
(6) பொருளின் மீது எவ்விதமான விசையும் செயல்படாத நிலையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி \(m=\frac{d \vec{v}}{d t}=0\).. அதாவது பொருள் மாறாத் தினைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்று நமக்கு உணர்த்துகிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி, முதல் விதியோடு இயல்பாக பொருந்துவதை நாம் உணரலாம். இருப்பினம் அவை இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராத தனித்தனி விதிகளாகும். ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை தருவிக்க இயலாது.
(7) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி காரணம் மற்றும் விளைவு வகையைச் சார்ந்தது. விசை ஒரு காரணம் எனில் முடுக்கம் அதற்கான விளைவு ஆகும். எனவே விதியின் சரியான வடிவம் \(m \vec{a}=\vec{F}.\)

வேலை - இயக்க ஆற்றல் தேற்றம்
வேலையும் ஆற்றலும் சமமானவை. இது இயக்க ஆற்றலுக்கும் பொருந்தும். இதனை நிரூபிக்க m நிறையுள்ள ஒரு பொருள் உராய்வற்ற கிடைத்தளப் பரப்பில் ஓய்வில் இருப்பதாகக் கருதுவோம்.
(F) என்ற மாறா விசையினால் அதே திசையில் (S) என்ற இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்த செய்யப்பட்ட வேலை
W = Fs   .....(1)
மாறாத விசைக்கான சமன்பாடு
F = ma    .....(2)
மூன்றாவது இயக்கச் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{v}^2 =\mathrm{u}^2+2 \mathrm{as}  \)
\(\mathrm{a} =\frac{v^2-u^2}{2 s}\)
a இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{F}=m\left(\frac{v^2-u^2}{2 s}\right)\)   .....(3)
சமன்பாடு (3) ஐ (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{W}=m\left(\frac{v^2}{2 s} s\right)-\left(\frac{u^2}{2 s} s\right)  \)
\(W=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\)   ....(4)
இயக்க ஆற்றலுக்கான கோவை
மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் \(\left(\frac{1}{2} m v^2\right)\) என்பது (v) திசைவேகத்தில் இயங்கும் (m) நிறையுள்ள பொருளின் இயக்க ஆற்றலைக் குறிக்கும்.
\(\mathrm{KE}=\frac{1}{2} m v^2\)  ....(5)
பொருளின் இயக்க ஆற்றல் எப்பொழுதும் நோ்க்குறி மதிப்புடையதாகும். சமன்பாடு (4) மற்றும் (5) இல் இருந்து
\(\Delta K E=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\)
எனவே, W = ΔKE
சமன்பாடு (6) இல் வலது பக்கத்தில் உள்ள கோவை பொருளின் இயக்க ஆற்றல் மாறுபாடு ΔKE ஆகும்.

பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை பொருளின் இயக்க ஆற்றலை மாற்றுகிறது என்பதை இது குறிக்கிறது. இதுவே வேலை-இயக்க ஆற்றல் தேற்றம் எனப்படும்.
வேலை-இயக்க ஆற்றல் தோற்றமானது கீழ்காண்பவற்றை உணா்த்துகிறது.
(i) பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை நோ்க்குறியாக இருந்தல் அதன் இயக்க ஆற்றல் அதிகரிக்கிறது.
(ii) பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்குறியாக இருந்தால் அதன் இயக்க ஆற்றல் குறைகிறது.
(iii) பொருளின் மீது விசையினால் வேலை ஏதும் செய்யப்படவில்லை எனில் அதன் இயக்க ஆற்றல் மாறாது. இது, பொருளின் நிறை மாறாதபோது விசையினால் பொருளானது மாறா வேகத்தில் இியங்கியது என்பதைக் குறிக்கிறது.

அளவிடும்போது முழையான பிழைகள், ஓழுங்கற்ற பிழைகள் மற்றும் மொத்தப்பிழைகள் ஆகிய மூன்று வகையான பிழைகள் ஏற்படலாம்.
(i) முறையான பிழைகள் (Systematic errors)
முறையான பிழைகள் என்பது தொடர்ச்சியாக மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மாதிரி உருவாகும் பிழைகள் ஆகும். இப்பிழைகள் ஆய்வின் ஆரம்பம் முதல் முடிவு வரை தொடர்ந்து நிகழும் பிரச்சனையால் ஏற்படுகின்றன. முறையான பிழைகள் கீழ்கண்டவாறு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன 
1. கருவிப் பிழைகள் (Instrumental errors)
ஒரு கருவியானது தயாரிக்கப்படும்போது முறையாக அளவீடு (Calibration) செய்யப்படவில்லை எனில் கருவிப் பிழைகள் தோன்றலாம். முனை தேய்ந்த மீட்டர் அளவுகோலைக் கொண்டு ஒரு அளவை அளவீடு செய்யும்பொழுது பெறப்பட்ட முடிவுகள் பிழையாக இருக்கும். இந்த வகையான பிழைகளை கருவிகளை கவனமாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் சரிசெய்ய முடியும்.
2. பரிசோதனையின் குறைபாடுகள் அல்லது செய்முறையில் குறைபாடுகள் (Imperfection in instrumental techniques)
சோதனை செய்யும் கருவிகளை அமைக்கும் போது, ஆய்வகச் சூழலில் ஏற்படும் சில தவறுகளால் இப்பிழைகள் தோன்றுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,கலோரிமானி கொண்டு சோதனை நிகழ்த்தும் போது வெப்பக் காப்பீடு சரியாக செய்யப்படவில்லை எனில் கதிர்வீச்சு முறையில் வெப்ப இழப்பு ஏற்படும் இதனால் பெறப்படும் முடிவுகள் பிழையாக அமையும்.அதனைத் தவிர்க்கத் தேவையான திருத்தங்களை மேற்கொள்ள வேண்டும்.
3. தனிப்பட்டபிழைகள் (Personal errors)
இப்பிழைகள் சோதனையின் போது அளவிடுபவரின் செயல்பாட்டால் உருவாகிறது. கருவியின் தவறான ஆரம்பச் சீரமைவுகள் அல்லது முறையற்ற முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கையால் அல்லது கவனக்குறைவாக உற்று நோக்கினால்,அளவிடுபவரால் ஏற்படுகிறது.
4. புறக்காரணிகளால் ஏற்படும் பிழைகள் (Errors due to external causes)
சோதனையின் போது புறச்சூழலில் ஏற்படும் மாறுபட்டால் அளவிடுதலில் பிழைகள் ஏற்படும் .எடுத்துக்காட்டாக,வெப்பநிலை மாறுபாடு, ஈரப்பதம் அல்லது அழுத்தத்தால் ஏற்படும் மாற்றம் போன்றவை அளவீட்டின் முடிவுகளைப் பாதிக்கும்.
5. மீச்சிற்றளவு பிழைகள் (Least count Errors)
ஓர் அளவுகோலால் அளக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய அளவு மீச்சிற்றளவு எனப்படும். மேலும் அதனால் ஏற்படும் பிழைகள் மீச்சிற்றளவு பிழைகள் எனப்படும். அளவிடும் கருவியின் பகுதிறன் மதிப்பைச் சார்ந்து இப்பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இவ்வகைப் பிழைகளை உயர் நுட்பம் கொண்ட கருவிகளைப் பயன்படுத்துவதால் குறைக்க முடியும்.
(ii) ஒழுங்கற்ற பிழைகள் (Random Errors)
அழுத்தம், வெப்பநிலை, அளிக்கப்படும் மின்னழுத்தம் போன்றவற்றால் சோதனையில் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படுகின்றன சோதனையை உற்று நோக்குபவரின் கவனக்குறைவால் ஏற்படும் பிழையாலும்,அளவிடுபவர் செய்யும் பிழையினாலும் இவ்வகை பிழைகள் ஏற்படலாம். ஒழுங்கற்ற பிழைகள்,வாய்ப்பு பிழைகள் (Chance Errors) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டாக, திருகு அளவியைக் கொண்டு ஒரு கம்பியின் தடிமனை அளக்கும் சோதனையைக் கருதுவோம். ஒவ்வொரு முறையும் வேறுபட்டஅளவீடுகள் கூட்டுச் சராசரி எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
ஒரு சோதனையில் n எண்ணிக்கையில் எடுக்கப்பட்ட அளவீடுகள் a₁,a₂,a₃............a_n
எனில், கூட்டுச் சராசரி \(a_m={a_1+a_2+a_3+.......+a_n\over n}\)  ....(1) 
அல்லது \(a_m=1/n\sum a_i\)   ....(2)
அளவீடுகளின் கூட்டுச் சராசரி மதிப்பு என்பது சிறந்த சாத்தியமான நிகழக்கூடிய உண்மை மதிப்பு ஆகும்.
(iii) மொத்தப் பிழைகள் (Gross Errors)
உற்று நோக்குபவரின் கவனக் குறைவின் காரணமாக ஏற்படும் பிழைகள் மொத்தபிழைகள் எனப்படும்.
கருவியை முறையாகப் பொருந்தாமல் அளவீடு எடுத்தல். பிழையின் மூலத்தினையும், முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளையும் கவனத்தில் கொள்ளாமல் தவறாக அளவீடு எடுத்தல். தவறாக உற்று நோக்கியதைப் பதிவிடுதல். கணக்கீட்ழன் போது தவறான மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துதல். சோதனை செய்பவர் கவனமாகவும்,விழிப்புடனும் செயல்பட்டால் இப்பிழைகளைக் குறைக்கலாம்.

SI முறையில் ஈர்ப்பு மாறிலி G_SI எனவும் cgs முறையில் G_cgs எனவும் கொள்க.
G_SI = 6.6 × 10^-11 Nm² kg⁻²
G_cgs = ?
ஈர்பியல் மாறிலியின் பரிமாண வாய்ப்பாடு = [M^-1L³T^-2]
\(n_2=n_1\left[ M_1\over M_2\right]^a\left[L_1\over L_2\right]^b\left[T_1\over T_2\right]^c\)
\(\mathrm{G}_{\mathrm{cgs}}=\mathrm{G}_{\mathrm{sl}}\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c\)
M₁ = 1 kg L₁ = 1 m T₁ = 1 s
M₂ = 1 g L₂ = 1 cm T₂ = 1 s
எனவே a = -1, b = 3 மற்றும் c = -2
\(G_{cgs}=6.6\times10^{-11}\left[1kg\over 1g\right]^{-1}\left[1m\over 1cm\right]^3\left[1s\over 1s\right]^{2}\)
\(=6.6\times10^{-11}\left[1kg\over 10^{-3}kg\right]^{-1}\left[1m\over 10^{-2}m\right]^3\left[1s\over 1s\right]^{-2}\)
= 6.6 × 10⁻¹¹ × 10⁻³ × 10⁶ × 1
G_cgs = 6.6 × 10⁻⁸ dyne cm² g⁻²