\(\underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ lim } \frac { 5sin2x-2cos2x }{ 3cos2x+2sin2x } =\frac { \underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ lim } \left( 5sin2x-2cos2x \right) }{ \underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ lim } \left( 3cos2x+2sin2x \right) } \)
\(=\frac { 5sin\frac { \pi }{ 2 } -2cos\frac { \pi }{ 2 } }{ 3cos\frac { \pi }{ 2 } +2sin\frac { \pi }{ 2 } } \)
\(=\frac { 5\left( 1 \right) -2\left( 0 \right) }{ 3\left( 0 \right) +2\left( 1 \right) } =\frac { 5 }{ 2 } \)

ஒற்றைச் சார்பும் அல்ல மற்றும் இரட்டைச் சார்பும் அல்ல

8P₃ = 8 \(\times \)7 \(\times \) 6 = 336.

f(x) = ax + b , f(1) = 1 மற்றும் f(2) = 3 (கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி)
∴ a + b = 1 மற்றும் 2a + b = 3
⇒ a = 2 மற்றும் b = –1

A = \(\left[ \begin{matrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A|=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| \)
= 24 – 8 = 16
≠ 0
∴ A என்ப து பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகும்

\(\left| \begin{matrix} x-1 & x & x-2 \\ 0 & x-2 & x-3 \\ 0 & 0 & x-3 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
x = 1, x = 2, x = 3

\(\left| \begin{matrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{matrix} \right| \)= x²-(x – 1)(x + 1)
= x² – (x² – 1)
= x² – x² + 1 = 1

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right| \) = (2)(4)-(-1)4
= 8 + 4 = 12

P(n) என்ற கூற்று கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பக்கப்படுகிறது
n∈N க்கு  1 + 4 + 7 + .............. + 3n - 2 = \({{n(3n-1)}\over{2}}\)
படி 1: n =1 என பிரதியிடவும்
LHS 3 - 2  = 1
P(1) ன் LHS = 1
RHS \(={{1(2)}\over{2}}\Rightarrow1=1\)
LHS = RHS
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e., P(k) என்பது உண்மையாகும்
\(\therefore\) 1 + 4 + 7 + ............+ 3k - 2 = \({{k(3k-1)}\over{2}}\) என்பது உண்மையாகும்.
படி 3: P(k + 1) என்பது உண்மையென நிரூபிக்க
1 + 4 + 7 + ........... + 3k- 2 + [3 (k+ 1) - 2]
= P (k) + 3k + 3 - 2
\(= \frac{k(3 k-1)}{2}+3 k+1=\frac{3 k^2-k+6 k+2}{2} \) 
\(=\frac{3 k^2+5 k+2}{2}=\frac{3 k^2+3 k+2 k+2}{2} \)
\(=\frac{(3 k+2)(k+1)}{2} \)
= RHS
∴ P(k +1) என்பது உண்மையாகும்
இவ்வாறாக P(k) என்பது உண்மையெனில் P(k +1) என்பது உண்மையாகும்.
∴ P(n) என்பது அனைத்து n∈N க்கும் உண்மையாகும்.

x = 2 –ல் தொடர்ச்சியற்ற சார்பாகும்.

A \(=\begin{bmatrix} 3&7\\2&3 \end{bmatrix}\) மற்றும் B = \(\begin{bmatrix}6&8\\7&9 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 18+49&24+63\\12+35&16+45 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 67&87\\47&61 \end{bmatrix} \)
\(|AB|=\begin{bmatrix} 61&87\\47&67 \end{bmatrix}=4087-4089=-2\neq0{(AB)}^{-1}\) 
\(\Rightarrow\)   \({(AB)}^{-1}={{1}\over{|AB|}}adj(AB)={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} 61&-87\\-47&67 \end{bmatrix}\)
\(|B|=54-56=-2 \neq 0\)
\(\therefore \mathrm{B}^{-1} \)
\({B}^{-1}={{1}\over{|B|}}adj\ B=-{{1}\over{2}}\begin{bmatrix} 9&-8\\-7&6 \end{bmatrix} \)
\(|A|=15-14=1 \neq 0\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{1}}\begin{bmatrix} 5&-7\\-2&3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5&-7\\-2&3 \end{bmatrix} \)
\({B}^{-1}{A}^{-1}={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} 9&-8\\-7&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5&-7\\-2&3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac { -1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 45+16 & \quad -63-24 \\ -35-12 & \quad 49+18 \end{bmatrix}\)
\(=-{{1}\over{2}}\begin{bmatrix} 61&-87\\-47&67\end{bmatrix}\)
(AB)^-1 = B^-1 A^-1.

\(A . A=I \left(\because \mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}\right. and \left.\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A}\right)\)
\(A \cdot A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 1+8-8 & -2-6+8 & 2+8-10 \\ -4-12+16 & 8+9-16 & -8-12+20 \\ -4-16+20 & 8+12-20 & -8-16+25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=I\)
A இன் நேர்மாறு அணி A

\(3 x-y+2 z=13 ; 2 x+y-z=3\)
\(x+3 y-5 z=-8\)
இதனை
\(\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
இங்கு
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
\(B=\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(-5+3)+1(-10+1)+2(6-1)\)
\(=-6-9+10=-5 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(\mathrm{A}_{11}= 3=(-5+3)=-2 \)
\(\mathrm{A}_{12}=-1=-(-10+1)=9 \)
\(\mathrm{A}_{13}= 2=(6-1)=5\)
\(\mathrm{A}_{21}= 2=-(5-6)=1\)
\(\mathrm{A}_{22}= 1=-15-2=-17 \)
\(\mathrm{A}_{23}=-1=-(9+1)=-10\)
\(\mathrm{A}_{31}= 1=1-2=-1\)
\(\mathrm{A}_{32}= 3=-(-3-4)=7 \)
\(\mathrm{A}_{33}=-5=3+2=5\)
\(\text {Co-factor matrix }=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 9 & 5 \\ 1 & -17 & -10 \\ -1 & 7 & 5 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 9 & -17 & 7 \\ 5 & -10 & 5 \end{array}\right)\)
\(X=A^{-1} B=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 9 & -17 & 7 \\ 5 & -10 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -26 & 3 & 8 \\ 117 & -51 & -56 \\ 65 & -30 & -40 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{c} -15 \\ 10 \\ -5 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\)
\(x=3, \mathrm{y}=-2, \mathrm{z}=1\)

தரவு = \(\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
இதனை AX = B என்று எழுதலாம்
X = A^–1B 
இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)மற்றும்\( B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
=-17≠0
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
A₁₁ = –1 A₁₂ = –8 A₁₃ = –10
A₂₁ = –5 A₂₂ = –6 A₂₃ = 1
A₃₁ = –1 A₃₂ = 9 A₃₃ = 7
\(|A_ij|=\left[ \begin{matrix} -1 & -8 & -10 \\ -5 & -6 & 1 \\ -1 & 9 & 7 \end{matrix} \right] \)
adj A = [Aij]^T
\(\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \)
A^–1=\(\frac{1}{|A|}adjA\)
\(=-\frac{1}{17}\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \)
X=A^-1B
\(=-\frac{1}{17}\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(=-\frac{1}{17}\left[ \begin{matrix} -17 \\ -34 \\ -51 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\3 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix}x\\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
x = 1, y = 2 மற்றும் z = 3.

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 5 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)
=2(15-20)-4(6-8)+4(10-10)
=2(-5)-4(-2)+4(0)
=-10+8+0=-2≠0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்
A₁₁=-5; A₂₁=8;A₃₁=-4
A₁₂=2; A₂₂=-2; A₃₂=0
A₁₃=0; A₂₃=-2; A₃₃=2
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 2 & 0 \\ 8 & -2 & -2 \\ -4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adj\quad A=\frac { 1 }{ -2 } \left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 2 } & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)  

\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\)
⇒ \(\frac { 2x^{ 2 }-5x-7 }{ (x-2)^{ 3 } } =\frac { A(x-2)^{ 2 }+B(x-2)+C }{ (x-2)^{ 3 } } \)
⇒ 2x² - 5x - 7 = A(x - 2)² + B(x - 2) + C     ..(1)
x = 2 ன்  (1)
2(4) - 5(2) - 7 = C
C = 8 - 10 - 7 = - 9
2 = A
x = 0
\(-7=A(-2)^2-2 B+C\)
\(-7=2(4)-2 B-9\)
\(-7-8+9=-2 B\)
\(-6=-2 B \Rightarrow B \doteq 3\)
\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^2}=\frac{2}{x-2}+\frac{3}{(x-2)^2}-\frac{9}{(x-2)^3}\)

LHS = \(\begin{vmatrix}-a^2&ab&ac\\ab&-b^2&bc\\ac&bc&-c^2 \end{vmatrix}\)
R1 ஐ a ஆல், R2 ஐ b ஆல், R3 ஐ முறையே பெருக்கி, abc ஆல் வகுக்கிறது,
LHS = \(abc\begin{vmatrix}-a&b&c\\a&-b&c\\a&b&-c \end{vmatrix}\)
LHS = \(a^2b^2c^2\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{vmatrix}\)
\(R_2 \rightarrow R_2+R_1, R_3 \rightarrow R_3+R_1\)
\(=a^2b^2c^2\begin{vmatrix}0&0&2\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{vmatrix}\)
\(=a^2 b^2 c^2[-1(0-4)]=4 a^2 b^2 c^2\)
= RHS.

இடது கை பக்கத்தை (LHS) எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்
\(= \left| \begin{matrix} \frac { 1 }{ a } & bc & b+c \\ \frac { 1 }{ 5 } & ca & c+a \\ \frac { 1 }{ c } & ab & a+b \end{matrix} \right| \)
R1 ஐ a ஆல், R2 ஐ b ஆல், R3 ஐ முறையே பெருக்கி, abc ஆல் வகுக்கிறது,
\(=\frac { 1 }{ abc } \left| \begin{matrix} { 1 } & a bc & a b+a c \\ { 1 } & abc & b c+ab \\ { 1 } & abc & ac +bc \end{matrix} \right| =0\)
LSH = RHS க்கு சமம்,
\(\left| \begin{matrix} \frac { 1 }{ a } & bc & b+c \\ \frac { 1 }{ b } & ca & c+a \\ \frac { 1 }{ c } & ab & a+b \end{matrix} \right| =0\)

\(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 }-bc \\ 1 & b & { b }^{ 2 }-ca \\ 1 & c & { c }^{ 2 }-ab \end{matrix} \right| \)
\(A =\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right|​​-\left| \begin{matrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c &ab \end{matrix} \right| \)...(1)


 

B மற்றும் C இன் மதிப்பை (1) இல் மாற்றவும்,
​A=(a−b)(b−c)(c−a)−(a−b)(b−c)(c−a)
A = 0​

\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+2)^2}+\frac{C}{(x+3)} .....(1)\)
(x - 2)² (x + 3) ஆல் இருபுறமும் பெருக்க
x + 1 = A(x - 2)(x + 3)+ B(x + 3)+ C(x - 2)²    ...(2)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A(0)+ B(5)+ C(0)
\(\therefore B=\frac{3}{5}\)
x = –3 என (2) ல் பிரதியிட
–3+1 = A(0)+ B(0)+ C(-3 - 2)²
\(\therefore C=\frac{-2}{25}\)
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (2) ல் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 = A + C
A = -C
\(\therefore A=\frac{2}{25}\)
A, B மற்றும் C ன் மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}=\frac{1}{25(x+2)}+\frac{3}{5(x+2)^2}-\frac{2}{25(x+3)}\)

x³+y³=3axy 
இருபுறமும் x ஐ பொறுத்து வகைக்கெழு காண,
\(\frac{d}{dx}(x^{3}+y^{3})=\frac{d}{dx}(3axy)\)
\(3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=3a[x\frac{dy}{dx}+y]\)
\(x^{2}+y^{2}\frac{dy}{dx}=ax\frac{dy}{dx}+ay\)
\((y^{2}-ax)\frac{dy}{dx}=(ay-x^{2})\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^{2}}{y^{2}-ax}\)

\(\frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { x-4 }{ (x-1)(x-2) } \)
\(\Rightarrow \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x-2 } \)
\(\frac{x-4}{(x-2)(x-1)}=\frac{A(x-1)+B(x-2)}{(x-2)(x-1)}\)
\(\Rightarrow x-4=A(x-2)+B(x-1)\)
x = 2 ன்  (1) பிரதியிட 
\(-2=A \Rightarrow A=-2\)
x = 1 ன் (1) பிரதியிட 
\(-3=B(-1) \Rightarrow B=3\)
\(\therefore \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3 }{ x-1 } -\frac { 2 }{ x-2 } \)

(x+a)ⁿ என்பதன் விரிவில் பொது உறுப்பு  t_r+1=nC_rx^n-r a^r ஆகும். ... (1)
\((x-\frac{3}{x^{2}})^{10}\) ன் 5வது உறுப்பைக் காண சமன்பாடு (1) –ல் n – க்கு 10 – யும் r க்கு 4 –யும்
பிரதியிட  
t₄₊₁=t₅ 10C₄(x)⁶ \((x-\frac{3}{x^{2}})^{4}\) (இங்கு n = 10 , x = x , a = –\(\frac{3}{x^{2}}\))
=10C₄(x)⁶ \(\frac{3^{4}}{x^{8}}\)
=\(\frac{17010}{x^{2}}\) 

(x+a)ⁿ=nC₀xⁿa⁰+nC₁x^n-1a¹+nC₂x^n-2a²+....+nC_rx^n-ra^r+.....+nC_n-1x¹a^n-1+nC_nx⁰aⁿ
(2x+3y)ⁿ=5C₀(2x)⁵+5C₁(2x)⁴(3y)+5C₂(2x)³(3y)²+5C₃(2x)²(3y)³+5C₄(2x)(3y)⁴+5C₅(3y)⁵
= 32x⁵+5(16)x⁴(3y)+\(\frac{5\times4}{2\times1}\)(8x³)(9y²)+\(\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}\)4y²(27y³)+5(2y)81y⁴+243y⁵
= 32x⁵ + 240x⁴y + 720x³y² + 1080x²y³ + 810xy⁴ + 243y⁵

\(=\left|\begin{array}{ccc} 5 & 5^2 & 5^3 \\ 5^2 & 5^3 & 5^4 \\ 5^4 & 5^5 & 5^6 \end{array}\right|\)
\(5 \times 5^2\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 5^2 \\ 1 & 5 & 5^2 \\ 5^4 & 5^5 & 5^6 \end{array}\right|=0\left( R_1=R_2\right)\)

B = \(\begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{bmatrix}\) 
I - B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.4 & -0.9 \\ -0.20 & 0.20 \end{bmatrix}\)
|I - B| =\(\begin{bmatrix} 0.4 & -0.9 \\ -0.20 & 0.20 \end{bmatrix}\)
= 0.08 - 0.18 = - 0.1 < 0
ஹாக்கின்ஸ் – சைமன் நிபந்தனைகளின்படி சாத்தியமானதல்ல.

நான்கு பகடைகள் உருட்டப்பட்டுள்ளன, சாத்தியமான விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை = 6⁴
எந்த பகடையிலும் 2 தோன்றாத சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை = 5⁴
∴ தேவையான சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை = சாத்தியமான விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை - எந்த பகடையிலும் 2 தோன்றாத சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை.
= 6⁴ - 5⁴ = 1296 - 625
= 671

B = \(\begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}\)
\(A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{array}\right)\)
\(|A|=9+1=10 \neq 0\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{10}}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}\)
\(\frac { 1 }{ 10 } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \)

nC_x = nC_y , எனில் x + y = n என்ற பண்பின்படி
nC₄ = nC₆ எனில்,
n = 4 + 6 = 10
12C_n = 12C₁₀
= 12C₂ 
\(=\frac{12\times11}{1\times2}=66\)

RANK’ என்ற ஆங்கில வார்த்தையைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும், வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை 4!
இந்த வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களை அகர வரிசையில் A, K, N, R என வரிசைப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.
A-ஐக் கொண்டு தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை=3!=6
K-ஐக் கொண்டு தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =3!=6
N-ஐக் கொண்டு தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =3!=6
RAKஎனத் தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =1! = 1
RANK என்ற வார்த்தை =0! = 1
கூட்டலின் அடிப்படைக் கொள்கைப்படி RANK என்ற வார்த்தையின் தரம்
6 + 6 + 6 + 1+1 = 20

\(f\left( x \right) =\frac { x-1 }{ x+1 } \)(கொடுக்கப்பட்டது)
\(\therefore \)     \(f\left[ f\left( x \right) \right] =\frac { f\left( x \right) -1 }{ f\left( x \right) +1 } =\frac { \frac { x-1 }{ x+1 } -1 }{ \frac { x-1 }{ x+1 } +1 } \)
\(=\frac { x-1-x-1 }{ x-1+x+1 } =-\frac { 2 }{ 2x } =-\frac { 1 }{ x } \)

∴ |AB| = - 30

\(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & a-b & { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \\ 0 & b-c & { b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \begin{matrix} { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 2 } \\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 3 } \end{matrix}\)
\(=\left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-c)(b+c) \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
\(=(a-b)(b-c)\left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= (a - b)(b - c)[0 - 0 + {b + c - (a + b)}]
=(a - b)(b - c)(c - a)