ஒரே நேரத்தில் பத்து நாணயங்களைச் சுண்டுவதும், ஒரே நாணயத்தைப் பத்துமுறை சுண்டுவதும் ஒரே கூறுவெளியைக் கொடுக்கும்.
S என்பது கூறுவெளி என்க 
அதாவது 
A என்பது சரியாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி 
B என்பது அதிகபட்சமாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி மற்றும்
C என்பது குறைந்த பட்சம் இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படும்போது கூறுவெளியின் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2ⁿ =2¹⁰=1024

n( S) = 1024
 n(A)=¹⁰C₂ =45
n(B)=¹⁰C₀+¹⁰C₁+ ¹⁰C₂=1+10 +45 =56
n(C)=¹⁰C₂+ ¹⁰C₃+¹⁰C₄+.......+¹⁰C₁₀
=n(S)−(¹⁰C₀+ ¹⁰C₁)= 1024-11=1013
தேவையான நிகழ்தகவுகள் 
(i) \(P(A)={n(A)\over n(S)}={45\over 1024}\)
(ii)\(P(B)={n(B)\over n(S)}={56\over 1024}={7\over 128}\)
(iii) \(P(C)={n(C)\over n(S)}={1013\over 1024}\)

\(g^{ ' }(t)=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 9-1 }\frac { d }{ dt } \left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { (2t+1)\frac { d }{ dt } (t-2)-(t-2)\frac { d }{ dt } (2t+1) }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { (2t+1)\times 1-(t-2)\times 2 }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { 2t+1-2t+4 }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { 45(t-2{ ) }^{ 8 } }{ { (2t+1) }^{ 10 } } \)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -6\hat { k } \) என்க
\(|\vec { a } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ (-6) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+9+36 } \)
=\(\sqrt { 49 } \)=7
\(\vec { b } =6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } \) என்க
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 36+9+4 } \)
=\(\sqrt { 49 } \)=7
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -6\hat { k } ).(6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } )\)
=2 x 6 + 3 x -3 + (-6) x 2
= 12 - 9 - 12 = -9
∴ cosθ=\(\frac { \vec { a } .\vec { b } }{ |\vec { a } |.|\vec { b } | } =\frac { -9 }{ 7\times 7 } =\frac { -9 }{ 49 } \)
⇒ θ=cos^-1

A = \(\left[ \begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 5 & 0 & 3 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 7 & 5 & -2 \end{matrix} \right] \)
(A  +B ) = \(\left[ \begin{matrix} \left( 4+2 \right) & \left( -1-1 \right) & \left( 2+1 \right) \\ \left( 5+7 \right) & \left( 0+5 \right) & \left( 3-2 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 6 & -2 & 3 \\ 12 & 5 & 1 \end{matrix} \right] \)
(A  +B )^T = \(\left[ \begin{matrix} 6 & 12 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \).......(1)
B^T = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 7 \\ -1 & 5 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] \)
A^T+B^T = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 5 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 2 & 7 \\ -1 & 5 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 6 & 12 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \).........(2)
B^T+A ^T = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 7 \\ -1 & 5 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 4 & 5 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 6 & 12 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \) .....(3)     
(1) = (2)=(3)
எனவே (A +B )^T - A^T+B^T = B^T+A ^T என நிருபிக்கப்பட்டது.     

A  = \(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right] \)என்க.
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix} \right] \)

a₁₂ = \(\frac { 6 }{ -3 } =-2\quad \)
a₁₂ = -2 என (1)-ல் பிரதியிட 
a₁₁ +4a₁₂ = -7
a₁₁  + 4 x  -2 = -7
a₁₁ - 8 = -7
a₁₁ = -7 + 8 = 1

a₂₂ = 0 என (3)-ல் பிரதியிட 
1a₂₁ + 4 x 0 = 2   .......(3)
a₂₁ = 2  .........(4)
\(\therefore \)  A = \(\left( \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \).  

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| \) என்க.

x =1 எனப்பிரதியிட, \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right| =0\)
இங்கு மூன்று நிரைகளும் சர்வசமம். எனவே,\({ (x-1) }^{ 2 }\)  ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் ஒரு காரணியாகும். 
\(\left| A \right| \)-ல் x=-9 எனப்பிரதியிட,\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} -8 & 3 & 5 \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =0\quad \)
எனவே, \((x+9)\) ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் காரணிகளாகும் . \([{ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 3 }]\)
அதாவது \({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\) என்பது \(\left| A \right| \)-ன் காரணியாகும். இதன் படி 3 ஆகும். அணிக்கோவை x-ல் அமைந்த 3-ம் படி பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.
எனவே, மீதமுள்ள மற்றொரு காரணி, மாறிலி 'k '   ஆகும் .
ஆகவே, \(\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| ={ k(x-1) }^{ 2 }(x+9)\)
x³ உறுப்புகளை இருபுறமும் சமப்படுத்த, k=1 எனப்பெறுகிறோம் .
எனவே,   \(\left| A \right| \)=\({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\)

A, B மற்றும் C என்பவை உரைகளைக் குறிக்கும் என்க 1, 2 மற்றும் 3 ஆனது முறையே A, B மற்றும் C-க்கான கடிதங்களைக் குறிக்கும் என்க.
கடிதங்கள் உரைகளில் இடுவதற்கான எல்லா சாத்தியக் கூறுகளும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
C_i என்பது கிடைக்க கூடிய நிகழ்ச்சி என்க.
X என்பது ஒரு கடிதம் மட்டும் சரியான உரையிலிடும் நிகழ்ச்சி என்க.
Y என்பது மூன்று கடிதங்களுமே தவறாக உரையிலிடுவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
S = {c₁, c₂,c₃,c₄, c₅, c₆}, n(S)= 6

X={c₂,c₃,c₆},   n(X)=3
Y={c₄,c₅}        n(Y)=2
(i) P(X)=\({3\over 6}={1\over2}\)
(ii) P(Y)=\({2\over 6}={1\over3}\)

காலம் t-ஐ பொறுத்து உயரம் h -ன் மாறு வீதம் எனபது காலம் t -ஐ பொறுத்து h-ஐ வகையீடு செய்வதாகும்.
எனவே, \(\frac{dh}{dt}=\frac{18}{\sqrt{t}}=18t^{-\frac{1}{2}}\) 
எனவே உயரத்தினை பொது வடிவம் பெறுவதற்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டைத் தொகையிட வேண்டும்.
\(h=\int{18t^{-\frac{1}{2}}dt=18(2t^{\frac{1}{2}})}+c=36\sqrt{t}+c\)
t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
5=0+c ⇒ c=5
\(h=36\sqrt{t}+5\).
(i) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தை நாம் காண வேண்டும்.
t=4 எனில்,
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow h=36\sqrt{4}+5=77\)
நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 77 செ.மீ ஆக இருக்கும்.
(ii) h=149 செ.மீ எனில்,t-ஐ காண வேண்டும்.
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow 149=36\sqrt{t}+5\)
\(\sqrt{t}=\frac{149-5}{36}=4 \Rightarrow t=16\)
எனவே உயரம் 149செ.மீ வளர,மரம் 16 ஆண்டுகள் எடுத்துக்கொள்கிறது.                     

உயரத்தைப் பொறுத்து எடையின் மாறுவீதம்  
\(\frac{dw}{dh}=4.364\times 10^{-5}h^{2}\)
\(w=\int 4.364\times 10^{-5}h^{2} \ dh\)
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\)
உயரம் பூஜ்ஜியம் எனும்போது அந்நபரின் எடை பூஜ்ஜியமாக  இருக்கும் என்பது தெளிவு.தொடக்க நிபந்தனை h=0 எனும்போது w=0, என்பதை மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால், தொகையீட்டு மாறிலியை c-ஐக் கணக்கிடலாம்.      
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\Rightarrow c=0\)
ஒரு நபரின் எடை மற்றும் உயரம் ஆகியவற்றிக்கிடையேயான தொடர்பானது 
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})\)ஆகும் 
h=150 செ.மீ எனில் , \(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{150^{3}}{3})\)
உயரம் h=150 செ.மீ எனும்போதும், எடை தோராயமாக w = 49 கிகி.ஆகும்.   

\({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }=16\)
உட்படு வகைக்கெழுவின்படி \(4{ x }^{ 3 }+4{ y }^{ 3 }{ y }^{ ' }=0\)
\(y^{ ' }=\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \)
\(y^{ '' }\) கண்டறிய \(y^{ ' }\) மீது வகுத்தல் விதியினைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.x-ன் சார்பாக y உள்ளது  என்பது கவனத்தில் கொள்ளத்தக்கது.
\(y^{ '' }=\frac { d }{ dx } \left( \frac { { -x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \right) =\frac { -\left[ { y }^{ 3 }\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 3 })-{ x }^{ 3 }\frac { d }{ dx } { (y }^{ 3 }) \right] }{ { (y }^{ 3 }{ ) }^{ 2 } } \)
\(=-\frac { \left[ { y }^{ 3 }.3{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }(3{ y }^{ 2 }y^{ ' }) \right] }{ { y }^{ 6 } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( -\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \right) }{ { y }^{ 6 } } \)
\(=-\frac { 3{ (x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+{ x }^{ 6 }) }{ { y }^{ 7 } } =-\frac { 3{ x }^{ 2 }{ [{ x }^{ 4 }+y }^{ 4 }] }{ { y }^{ 7 } } \)
\(=\frac { -3{ x }^{ 2 }(16) }{ { y }^{ 7 } } =\frac { -48{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 7 } } \)

\(f(x)=\begin{cases} 0\quad ;\quad x<0 \\ x\quad ;\quad 0\le x<1\quad \\ -{ x }^{ 2 }+4x-2;\quad 1\le x<3 \\ 4-x\quad ;\quad x\ge 3\quad \end{cases}\)
(i) x =0 எனும் புள்ளியில்
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ 0=0 } } \)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)=x=0 } \) மற்றும் f(0) = x =0
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)=f(0)=0 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x =0-ல் தொடர்ச்சியானது.
(ii) x = 1 என்னும் புள்ளியில்
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=x=1 } \)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=-{ x }^{ 2 }+4x-2=-1+4-2 } \)
= 4 - 3 = 1
f(1) = -x² + 4x - 2 = -1 + 4 - 2 = 1
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=f(1)=1 } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x = 1-ல் தொடர்ச்சியானது.
(iii) x = 3 எனும் புள்ளியில்
\(\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ -{ x }^{ 2 }+4x-2 } } \)
= - (3)² + 4(3) - 2
= - 9 + 12 - 2 = 1
\(\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ 4-x=4-3=1 } \)
f(3) = 4 - 3 = 1
\(\therefore \quad \lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ f(x)=f(3)=1 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x = 3-ல் தொடர்ச்சியானது.  

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ } \)x+1 = 1 + 1 =2
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } \)
f(1) = 2
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x₀ = 1 - ல் தொடர்ச்சியானது.

\(\vec { a } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } =\vec { b } +t\vec { c } \) என எழுதலாம்.
⇒ \(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } =s(-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+t(0\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } )\)
கூறுகளை சமப்படுத்த
1=-2s  ⇒ -2s=1    ...(1)
-2=3s-t ⇒  3s-t=-2  ....(2)
3=-4s+2t  ⇒ -4s+2t=3   ....(3)
(i) லிருந்து, s =-\(\frac{1}{2}\),
(2) லிருந்து 3 x -\(\frac{1}{2}\) -t =-2
-t=\(-2+\frac { 3 }{ 2 } =\frac { -4+3 }{ 2 } =\frac { -1 }{ 2 } \)
t=\(\frac{1}{2}\)
s=-\(\frac{1}{2}\), t=\(\frac{1}{2}\) என (3)-ல் பிரதியிட,
\(-4\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) +2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)=2+1=3=RHS
∴ ஒரு வெக்டரை மற்ற இரு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தளத்தில் அமையும் வெக்டர்களாகும்.

A(1,0,0), B(0,1,0)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } \)
(கொடுக்கப்பட்ட கோட்டை AB எனக் கொண்டால்)
=\((0\hat { i } +\hat { j } +0\hat { k } )-(\hat { i } +0\hat { j } +0\hat { k } )\)
=\(-\hat { i } +\hat { j } \) இங்கு x=-1, y=1, z=0
திசை விகிதங்கள் (-1,1,0)=(a, a+b, a+b+c)
a=-1, a+b=1
⇒ -1+b=1, ⇒ b=1+1=2
a+b+c=0 ⇒ -1+2+c=0
⇒ c=1-2=-1
∴ (a,b,c) = (-1,2,-1)
கொடுக்கப்பட்ட கொடு BA என எடுத்துக் கொண்டால்
\(\vec { BA } =\vec { OA } -\vec { OB } \)
=\((\hat { i } +0\hat { j } +0\hat { k } )-(0\hat { i } +\hat { k } +0\hat { k } )\)
=\(\hat { i } -\hat { j } \) இங்கு  x=1, y=-1, z=0
∴ திசை விகிதங்கள் (1,-1,0)=(a, a+b, a+b+c)
a=1, a+b=-1, 1+b=-1
⇒ b=1
a+b+c=0,
⇒ 1-2+c =0 ⇒ c=1
∴ a=1, b=-2, c=1
∴ திசை விகிதங்கள் (a,b,c) =(1,-2,1)

எளிதாக இப்புள்ளிகள் ஒரு முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனத் தெரியும். இப்போது ஏதேனும் ஒரு கோணம் \(\frac { \pi }{ 2 } \) என நிறுவ  வேண்டும்.எனவே இம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் காணவேண்டும்.
O -வை ஆதிபுள்ளி என்க. A,B,C  ஆகியவற்றை (4,-3,1)(2,-4,5) மற்றும் (1,-1,0) எனக் கொள்க .
\(\overrightarrow { OA } =4\hat { i } -3\hat { j } +\hat { k } ,\overrightarrow { OB } =2\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } ,\overrightarrow { OC } =\hat { i } -\hat { j } \)
இப்பொழுது \(\overrightarrow { AB } =\overrightarrow { OB } -\overrightarrow { OA } =-2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } \)
இதுபோலவே \(\overrightarrow { BC } =-\hat { i } +3\hat { j } -5\hat { k } ;\overrightarrow { CA } =3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\overrightarrow { AB } .\overrightarrow { CA } = 0\)
ஆகவே ஒரு கோணம் \(\frac { \pi }{ 2 } \). எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் .