20 வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகளில் 5 மகிழுந்துகளை முதலாவது, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது என மொத்தம் ²⁰P₅ வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். மீதமுள்ள 15 வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகளில் 7 ஏற்றுக்கொள்ளக் கூடிய வகையிலுள்ளன என கூற ¹⁵C₇ வழிகள் உள்ளன. எனவே பெருக்கல் விதிப்படி, ²⁰P₅ x ¹⁵C₇ வழிகளில் இதனைச் செய்யலாம்.

இடப்பக்கம்  = bcosA + ccosA + ccos B+ acosB + acosC + bcos C
b cosC  + c cosB + c cos A + a cos C + b cos A + a cos B
= a + b +C  (வீழல் சூத்திரத்தின் மூலம்)

2 sin²x + 1 = 3 sin x
2 sin²x - 3sinx + 1 = 0
(sin x -1)(2sinx - 1) = 0
sinx - 1 = 0
sinx = 1
2sinx = 1
sinx = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
sin x = 1 ⇒ sin x = 90  ....(1)
x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
sinx = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ sin x = \(\frac { \pi }{ 6 } \)  .... (2)
(1) (2) ⇒ x = \(\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 6 } \)

SUCCESS - என்ற எழுத்தில் 'S' மூன்று முறை , 'U'  ஒரு முறை 'C' இரண்டு முறை , 'E' ஒரு முறை உள்ளது.
இதனை குழுப்படுத்தினால்  \(\frac { 5! }{ 2!1!1! } =\frac { 5\times 4\times 3\times 2 }{ 2 } \) = 60 வழிகள்      

LHS= \(\frac { \sin(4A-2B)+\sin(4B-2A) }{ \cos(4A-2B)+\cos(4B-2A) } \)

= \(\cfrac { sin\left( A+B \right) }{ cos\left( A+B \right) } =tan\left( A+B \right) =RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

LHS= cos(30° - A)cos(30° +A) + cos (45° - A) cos (45° + A)
= cos230-sin2A+cos245-sin2A ( \(\because \)cosA+B).cos(A-B)=cos2A-sin2B)
= \(\left( \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) ^{ 2 }-2sin^{ 2 }A+(\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } )^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 3 }{ 4 } +\cfrac { 1 }{ 2 } -2sin^{ 2 }A\)
= \(\cfrac { 3 }{ 4 } -\left[ 1-cos2A \right] +\cfrac { 1 }{ 2 } \)
= \(\cfrac { 3 }{ 4 } -1+cos2A+\cfrac { 1 }{ 2 } \) \(\left[ \because 2sin^{ 2 }A=1-cos2A \right] \)
= \(\cfrac { 3-4+2 }{ 4 } +cos2A\)
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } +cos2A=R.H.S\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
 

RAMANUJAN என்ற வார்த்தையில் 4 உயிர் எழுத்துகள் (A, A, U, A) உள்ளன. இதில் மூன்று A களும், ஒரு U வும் உள்ளது. மேலும், 5 மெய் எழுத்துகள் (R, M, N, J, N) உள்ளன. இதில், இரண்டு N-களும் மற்றவை வெவ்வேறானதாகவும் உள்ளது. இந்த 4 உயிரெழுத்துக்களை (A,A,A,U) அவற்றிற்குள் \(\frac { 4! }{ 3! } =4\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். மேலும் 5 மெய் எழுத்துகளை (R,M,N,J,N) அவற்றிற்குள் \(\frac { 5! }{ 2! } =60\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, தேவையான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை\(\frac { 4! }{ 3! } \times \frac { 5! }{ 2! } =4\times 60=240\)

தொகுதியில் உள்ள உறுப்புகள் 3,5,7....AP.
∴ t_n=3+(n-1)²=2n+1
பகுதியில் உள்ள உறுப்புகள்=1²2²,2²3²,3²4²,...   [a=3,d=2]
∴ t_n=[n(n+1)]²
∴ n-ம் உறுப்பு
=\(\frac { 2n+1 }{ { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } } =\frac { { n }^{ 2 }+2n+1-{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } } =\frac { (n+1)^{ 2 }-{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } } \)
=\(\\ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ (n+1)^{ 2 } } \).

4 மாணவர்களை ஒரு வரிசையில் நிற்க வைக்கும் வழிகள் ⁴P₄ = 4! மாணவனவனை முதலாவதாகக் கொண்டு, இந்த ஒவ்வொரு வரிசையும் 4 இடைவெளிகளை உருவாக்கும். இந்த 4 இடங்களில் 4 மாணவிகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் அமர வைக்கலாம்.
B₁_B₂_B₃_B₄_ or G₁_G₂_G₃_G₄_
எனவே, மாணவனை முதலாவதாக கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) இதுபோலவே, மேற்கூறிய வழிமுறையின்படி மாணவியை முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) எனவே கூட்டல் விதிப்படி, மாணவனையோ அல்லது மாணவியையோ முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசை மாற்றங்களின்,மொத்த எண்ணிக்கை. \(\left( 4!\times 4! \right) +\left( 4!\times 4! \right) =2{ \left( 4! \right) }^{ 2 }=1152. \)

a = 4 மற்றும் 4 + 8d = 7. இதிலிருந்து, d=\(\frac{3}{8}\)எனக் கிடைக்கும். எனவே தேவையான 7 எண்கள் 4\(\frac{3}{8}\),4\(\frac{6}{8}\),5\(\frac{1}{8}\),5\(\frac{4}{8}\),5\(\frac{7}{8}\),6\(\frac{2}{8}\),6\(\frac{5}{8}\)ஆகும். மேலும், a = 12 மற்றும் ar⁵ =\(\frac{3}{8}\)என்பதால் r⁵ =\(\frac{1}{32}\Rightarrow r=\frac{1}{2}.\)எனவே , தேவையான 4 எண்கள் 6,3,1\(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\)ஆகும்.

\(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } \)
⇒ \(\frac { \sin { A } }{ a } =\frac { \sin { { 88 }^{ 0 } } }{ 2 } \)
⇒ sin A = \(\frac { 23.\left( \sin { { 88 }^{ 0 } } \right) }{ 2 } \)
⇒ sin A = 23 x 0.999
⇒ sin A = 22.99 இது பொருந்தாது
∴ முக்கோணத்திற்கு தீர்வு இல்லை. 

\(\frac { 1 }{ (5+x) } =(5+x)^{ -1 }={ (5) }^{ -1 }{ (1+\frac { x }{ 5 } ) }^{ -1 }\)
\(=\frac { 1 }{ 5 } \left[ 1\left( \frac { x }{ 5 } \right) +{ \left( \frac { x }{ 5 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { x }{ 5 } \right) }^{ 3 }+.... \right] (\because (1+{ x }^{ -1 }=1-x+{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+....)\)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ 1-\frac { x }{ 5 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 125 } +... \right] \)
இந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருக்க வேண்டுமெனில் |x|<1\(\Rightarrow\)|x|<5ஆக இருக்க வேண்டும்.

வட்டத்தின் விட்டம் = 40 செ.மீ.
r = 20 செ. மீ
AB  = 20
OA = OB = AB = 20 செ.மீ
∴ OAB -ல் 0    (∵ OAB ஒரு சமபக்க முக்கோணம்)
θ = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = \(\frac { l }{ r } \) ⇒ l = rθ
= 20 x \(\frac { \pi }{ 3 } \) = 20 x \(\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 1 }{ 3 } \)
= 20.95 செ.மீ. (தோராயமாக).

∵  (a-b)ⁿ=ⁿC₀aⁿ+ⁿC₁a^n-1b+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ 9⁷=(10-1)⁷
=10⁷-⁷C₁10⁶+⁷C₂10⁵-⁷C₃10⁴+⁷C₄10³-⁷C₅10²+⁷C₆10-1
=10000000-7(1000000)+\(\frac { 7\times 6 }{ 2\times 1 } \)(100000)-\(\frac { 7\times 6\times 5 }{ 3\times 2\times 1 } \)(1000)-\(\frac { 7\times 6 }{ 2\times 1 } \)(100)+7(10)-1
=10000000-7000000+2100000-350000+35000-2100+70-1
=4782969

\(f(x)={1\over2}x^2\) என்ற சார்பின் வரைபடம், f(x)=x² -ன் வரைபடத்தை x -அச்சை நோக்கி நெருக்குகிறது. அதாவது விரிவடைகிறது. ஏனெனில், இங்குப் பெருக்கல் காரணி \({1\over 2},\) ஒன்றை விடச் சிறியதாக இருக்கிறது.
f(x)=2x² என்ற சார்பின் வரைபடம்  f(x)=x² ன் வரைபடத்தை x -அச்சிலிருந்து விலகி -அச்சை நோக்கி நெருக்குகிறது. அதாவது வரைபடம் y -அச்சை நோக்கிச் சுருங்குகிறது. ஏனெனில், இங்கு பெருக்கல் காரணி 2 , ஒன்றை விடப் பெரியதாக இருக்கிறது.

(i) x அச்சிலிருந்து  அலகுகள் தூரத்தில் நகரும் புள்ளி P(h, k) x அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு
y = c
\(\therefore\) c = 2
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை
y = 2

(ii) y அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு x = k
y அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தூரத்தில் நகரும் புள்ளி P(h, k)-ன் நியமப்பாதை
x = 3

tan 75⁰ = tan (45⁰ + 30⁰)
= \(\frac { \tan { { 45 }^{ 0 }+\tan { { 30 }^{ 0 } } } }{ 1-\tan { { 45 }^{ 0 }.\tan { { 30 }^{ 0 } } } } \)
tan 75⁰ = \(\frac { 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } }{ 1-1.\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } } }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } \)
cot 75⁰ = \(\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
∴ L.H.S = tan 75⁰ + cot 75⁰
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } +\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
= \(\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ { \sqrt { 3 } }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 3+1+2\sqrt { 3 } +3+1-2\sqrt { 3 } }{ 3-1 } \)
= \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 R.H.S எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது .

A∩B'∩C' ⊆ A ⊆ A U B' U C என்பது தெளிவு 
எனவே (A U B' U C) ∩ (A ∩ B' ∩ C') = A ∩ B' ∩ C'
மேலும் B'∩C'⊆ C'⊆ A U B U C'
எனவே (A U B U C') ∩ (B' ∩ C') = B'∩C' மேலும் A ∩ B' ∩ C' ⊆ B' ∩ C'
எனவே  ((A U B' U C)∩(A ∩ B' ∩ C')) U ((A U B' U C') ∩ (B' ∩ C')) = B'∩C'

¹⁰P_r = ⁷P_{r + 2}
\(\frac { 10! }{ \left( 10-r \right) ! } =\frac { 7! }{ \left( 5-r \right) ! } \)
\(\frac { 10\times 9\times 8\times 7! }{ \left( 10-r \right) \times \left( 9-r \right) \times \left( 8-r \right) \times \left( 7-r \right) \times \left( 6-r \right) \times \left( 5-r \right) ! } =\frac { 7! }{ \left( 5-r \right) ! } \)
\(\left( 10-r \right) \times \left( 9-r \right) \times \left( 8-r \right) \times \left( 7-r \right) \times \left( 6-r \right) =10\times 9\times 8\)
\(\left( 10-r \right) \times \left( 9-r \right) \times \left( 8-r \right) \times \left( 7-r \right) \times \left( 6-r \right) =6\times 5\times 4\times 3\times 2\)
(10× 9 × 8 ஐ ஐந்து அடுத்தடுத்த எண்களின் பெருக்கலாக இறங்கு வரிசையில் எழுத)
எனவே, 10 - r = 6 ⇒ r = 4.

n(A) = m மற்றும் n(B) = k என்று அமையுமாறு இரு கணங்கள் A மற்றும் B என்க. B கணத்தை விட A கணத்தின் எண்ணிக்கை அதிகமெனில், m > k .
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின்படி 2^m-2^k = 112
ஆகையால் 2^k (2^m-k - 1) = 2⁴ x 7
இந்நிலையில் ஒரே சாத்தியக்கூறு k = 4 மற்றும் 2^m-k -1 = 7 ஆகும்
இதனால் m - k  = 3 . எனவே m = 7

{6,7,8,9,10} எனும் கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமாகிய C கணத்திற்கு, B=CU{1,2,3,5} என எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கு A-B={4} என்கிற நிபந்தனை பொருந்தும். இதனால் X ல் உள்ள B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும், {6,7,8,9,10} என்கிற கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் சமம். எனவே, B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை 2⁵ = 32

\({ a }^{ \frac { 1 }{ x } }={ b }^{ \frac { 1 }{ y } }={ c }^{ \frac { 1 }{ z } }\)=k என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ a=k^x, b=k^y, c=k^z
a,b,c ஒரு பெருக்குத் தொடர்
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } \) ⇒ b²=ac
⇒ (ky)²=(k^x)(k^z)
⇒ k^2y=k^x+z
⇒ 2y=x+z
⇒ y+y=x+z
⇒ y-x=z-y
x,y,z பொது வித்தியாசம் சமம்.
∴ x,y,z ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறை ஆகும்.

a+b\(\le\)6,a,b ∈ N ; a R b 
\(a+b\le6\Rightarrow a\le6-b\)

வரிசை ஜோடிகள் (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)
கடப்புத்  தொடர்பு: 
\((4,2)\in R\)
\((2,4)\in R\)
\(\Rightarrow(4,4)\notin R\) \(\therefore R\) ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல;

L.H.S = cos (A + B). cos(A - B)
= (cos A cos B - sin A sin B) (cos A cos B + sin A sin B)
= cos²A cos²B - sin²A sin²B   ...(1)
= cos²A (1 - sin²B) - (1 - cos²A) sin²B

= cos²A - sin²B  ....(2)
(1)  லிருந்து 
LHS = cos²A cos²B - sin²A sin²B
= (1- sin²A) cos²B - sin²A (1 - cos²B)

= cos²B - sin²A  .....(3)
(2), (3) லிருந்து
cos (A + B) cos (A - B) = cos²A - sin²B = cos²B - sin²A
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

L.H.S = sin (n + 1) θ sin (n - 1) θ + cos (n + 1) θ cos (n - 1) θ, n ∈Z
= cos [(n + 1)θ - (n - 1)θ] [∵ cos (A - B) = cosA cosB + sin A sinB]
= cos [nθ + θ - nθ + θ]     A = (n + 1)θ, B = (n - 1)θ
= cos 2θ = R.H.S
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.