θ மற்றும் 90-θ ஆகிய கோணங்களுக்கு நெடுக்கம் ஒன்றுபோல் இருக்கும்.

m_1 =1,  m_2=2 
K.E.  = mg(h - x)
இரு பொருள்களுக்கும் (h - x) = 40
g = மாறிலி
\(K.  \mathrm{E}_1=\mathrm{m}_1 \mathrm{~g}(\mathrm{~h}-\mathrm{x})=\mathrm{m}_1 \mathrm{~g} \times 40  \)
\(\mathrm{~K} .\mathrm{E}_2=\mathrm{m}_2 \mathrm{~g}(\mathrm{~h}-\mathrm{x})=\mathrm{m}_2 \mathrm{~g} \times 40\)
\(\frac{K . E_1}{K . E_2}=\frac{m_1 g \times 40}{m_2 g \times 40}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{1}{2}  \)
\(\therefore K \cdot E_1+K . E_2=1: 2\)

h இன் அலகு-(h-பிளாங்க் மாறிலி)-Js
C இன் அலகு-(ஒளியின் திசைவேகம்) ms^-1
G இன் அலகு-(புவி ஈர்ப்பு மாறிலி)- \( \frac{\mathrm{Nm}^2}{\mathrm{~kg}^2}\)
\(\therefore \frac{h c}{G}\) இன் அலகு \(=\frac{J s \times m s^{-1}}{N m^2 / \mathrm{kg}^2} \)
\(=\frac{(\mathrm{Nm}) s \times m \mathrm{~s}^{-1} \times \mathrm{kg}^2}{\mathrm{Nm}^2} \)
\({[J} =\mathrm{Nm}]=\mathrm{kg}^2\)

\(K \cdot E =\frac{1}{2} I \omega^2 \quad L=I \omega  \)
\(\therefore K \cdot E =\frac{L^2}{2 I}  \)
\(\therefore K \cdot E \quad(E) \propto L^2  \)
\(E_1 \propto L_1^2 ; \quad E_2 \propto L_2^2  \)
\(\therefore \frac{E_1}{E_2} =\left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \)
\(E_1=E \quad E_2 =E / 2=L_1=L \quad L_2=?  \)
\(\frac{E}{E / 2} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2  \)
\(\frac{2 E}{E} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2 \therefore\left(\frac{L}{L_2}\right)^2=2  \)
\(\therefore \frac{L}{L_2} =\sqrt{2}  \)
\(\therefore L_2 =\frac{L}{\sqrt{2}}\)

(i) பாத்திரம் ஒன்றிலுள்ள நீரினை வெப்பப்படுத்தும்போது அதன் கொதிநிலையான 100^oC வெப்பநிலையை அடையும்வரை, அதன் வெப்பநிலை உயரும்.
(ii) அதன்பின்பு மொத்த நீரும் ஆவியாகும் வரை அதன் வெப்பநிலை மாறாமல் நிலையாக இருக்கும்.
(iii) இந்த நிகழ்வில் போது வெப்பம் தொடர்ச்சியாக நீருக்கு பாய்கிறது. இருப்பினும் அதன் வெப்பநிலை, கொதிநிலையைவிட அதிகரிக்காமல் அதே நிலையில் நீடிக்கிறது. இதுவே உள்ளுறை வெப்ப ஏற்புத்திறனின் இயல்பாகும். 

வெற்றிடத்தில் குமிழியின்  உட்புற அழுத்தம் 
\(\rho =\frac { 4s }{ r } \)
குமிழியின்  பருமன் \(V=\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }\)
PV  = ஒரு மாறிலி 
\(\frac { 4s }{ R } \times \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }=\frac { 4s }{ { r }_{ 1 } } \times \frac { 4 }{ 3 } { \pi { r } }_{ 1 }^{ 3 }+\frac { 4s }{ { r }_{ 2 } } \times \frac { 4 }{ 3 } { \pi { r } }_{ 2 }^{ 3 }\)
\({ R }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }=25\)
R = 5cm 

பரப்பு விதி (Law of area):
(i) சூரியனையும் ஒரு கோளையும் இணைக்கும் ஆர வெக்டரானது சமகால இடைவெளியில் சம பரப்புகளை ஏற்படுத்தும்.
(ii) கோள் ஒன்று சூரியனை சுற்றி வரும்போது \(\triangle \)t என்ற சிறிய நேர அலைல் ஆரவெக்டர் ஏற்படுத்திய பரப்பு. \(\triangle \)A. நீள்வட்டத்தின் மையத்தில் சூரியன் இல்லை.
(iii) எனவே கோள் சூரியனுக்கு அருகே வேகத்திலும், சூரியனிடமிருந்து நீண்ட தொலைவில் செல்லும் போது குறைந்த திசைவேகத்திலும் செல்லும். இதன் மூலம் சமகால அளவில் சம அளவு பரப்புகளை கடந்து செல்கிறது. கோள்களின் வேகம் மாறுபடுவதை தரவுகள் மூலம் கெப்ளர் கண்டறிந்தார்.

மனிதனின் வயது = 100 வருடங்கள்
100 வருடத்தில் 76 சாதாரண ஆண்டுகளும் 24 லீப் ஆண்டுகளும் உள்ளன.
மொத்த நாட்கள் = (76 \(\times\)365) + (24\(\times\)366)
= 36524 நாட்கள்
வினாடிகளின் எண்ணிக்கை
= 36524 \(\times\) 24 \(\times\) 3600
= 3.155 \(\times\) 10⁹ நொடிகள்
துடிப்புகளின் எண்ணிக்கை
\(=\frac { 3.155\times 10^{ 9 } }{ 0.8 } =3.94\times { 10 }^{ 9 }\)

நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி :
1) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
2) \(\vec { F } =\frac { \vec { dp } }{ dt } \)

a) நிலையாற்றல் U = m g h = 2 × 10 × 5 = 100 J இங்கு நேர்க்குறியானது பொருளினுள் ஆற்றல் சேமிக்கப்பட்டுள்ளதைக் குறிக்கிறது.
b) இந்த  நிலையாற்றலானது புற விசையை செயல்படுத்தும் வெளிப்புற அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்பட்டுள்ளது.
c) பொருளை 5 m உயரத்திற்கு எடுத்துச் செல்ல செயல்படுத்தப்பட்ட புற விசை \(\left( \vec { { F }_{ a } } \right) \) ஆனது \( \vec { { F }_{ a } }=-\vec { { F }_{ g } } \)
\(\vec { { F }_{ a } } =\left( -mg\hat { j } \right) =mg\hat { j } \)
\(\hat { j } \) ஆனது செங்குத்தாக மேல்நோக்கியத் திசையில் செயல்படும் ஓரலகு வெக்டர் ஆகும்.
d) நிலையாற்றலின் வரையறையில் இருந்து, பொருளானது மாறாத் திசைவேகத்தில் நகர்த்தப்பட வேண்டும். எனவே, பொருளின்  மீது செயல்படும் நிகர விசை சுழி ஆகும்.
\(\vec { { F }_{ g } } +\vec { { F }_{ a } } =0\)

\( |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos \theta }\)  
\(\Rightarrow|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{5^2+7^2-2\times5\times7\ \cos 60°}\)
\(=\sqrt{25+49-35}=\sqrt{39}\) அலகுகள்
\(\vec A \) வெக்டரைப் பொருத்து \(\vec A - \vec B \) ஏற்படுத்தும் திசை 
\(\tan{ \alpha }_{ 2 }=\frac { 7\sin 60^{ 0 } }{ 5-7\cos 60^{ 0 } } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 10-7 } =\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } } =4.041\)
\({ \alpha }_{ 2 }=\tan^{ -1 }\left( 4.041 \right) \cong 76^{ o }\)

அலைவு நேரம் T_p=\(2\pi \sqrt { \frac { l }{ g } } =2\pi \sqrt { \frac { 1.20m }{ 9.8m/{ s }^{ 2 } } } \)
=2 x 3.14 x \(\sqrt { 0.1224 } \)=2.19675
T_p=2.2s

கேரம், பில்லியர்ட்ஸ், கோலிக்குண்டு ஸ்நோபால் எனப்படும் ஐஸ் பந்து விளையாட்டுகள். இரு பொருட்களுக்கிடையே மோதல்களானது தொடுதலுடன் அல்லது தொடுதலின்றி ஏற்படலாம்.

(i) முறையான பிழைகள்:
1. கருவிப்பிழைகள்
2. செய்முறையின் குறைபாடுகள்
3. தனிப்பட்ட பிழைகள்  
4. புறக்காரணிகளால் ஏற்படும் பிழைகள்
5. மீச்சிற்றளவு பிழைகள்
(ii) ஒழுங்கற்ற பிழைகள் அல்லது வாய்ப்பு பிழைகள்
(iii) மொத்தப் பிழைகள்

(i) ஒரு மோல் பொருளின் வெப்ப நிலையை 1K அல்லது 1^oC உயர்த்துவதற்குத் தேவைப்படும் வெப்ப ஆற்றலின் அளவே மோலார் (மூலக்கூறு) தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் எனப்படும். இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(C=\frac { 1 }{ \mu } \left( \frac { \triangle Q }{ \triangle T } \right) \)
(ii) இங்கு C என்பது பொருளின் மோலார்  (மூலக்கூறு) தன்வெப்ப ஏற்புத்திறனைக் குறிக்கிறது. மேலும் \(\mu \) என்பது பொருளின் உள்ள மூலக்கூறுகளின் மோல் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும்.
(iii) மோலர் (மூலக்கூறு) தன்வெப்ப ஏற்புத்திறனின் அலகு J mo1^-1K^-1  ஆகும். இதுவும் ஒரு நேர்க்குறி கொண்ட அளவாகும். 

டப்ளர் விளைவு இல்லை. ஒலிமூலம் கேட்பவர் இருவரும் நிலையாக உள்ளார்கள். டாப்ளர் விளைவு ஏதும் இல்லை மூலமும், கேட்பவரும் குறிப்பிட்டஇடைவெளியில் ஓய்வுநிலையில் இருந்தால் கேட்பவர் கேட்கும் ஒலியின் அதிர்வெண் f_o ஆனது ஒலி மூலத்தின் அதிர்வெண் ஆகவே அமையும். அதாவது f_o = f_s அதிர்வெண்ணில் மாற்றம் இல்லையாதலால் இந்நிகழ்வு டாப்ளர் விளைவு இல்லை.  

நிகர புவி ஈர்ப்பு விசை  = மைய நோக்கு விசை
\(r_{ AD }=\sqrt { 2 } R={ r }_{ AB }={ r }_{ DC }={ r }_{ BC }\)
A க்கும் Bக்கு மிடையேயான விசை
\({ F }_{ 1 }=\frac { GMM }{ { (2R) }^{ 2 } } \left[ \because { r }_{ AB }=\sqrt { 2 } R \right] \)
A மற்றும் D க்கிடையேயான விசை
\({ F }_{ 2 }=\frac { GMM }{ { (2R) }^{ 2 } } \quad \left[ \because { r }_{ AD }=\sqrt { 2 } R \right] \)
r_AC = r_BD = 2R
A மற்றும் C க்கிடையேயான விசை F₃
\(\\ { F }_{ 3 }=\frac { GMM }{ { (2R) }^{ 2 } } \)
ஆரத்தின் வழியேயான விசைகள்
F₁ மற்றும் F₂ க்கான கூறுகள்
\({ F }_{ 1 }cos{ 45 }^{ ° },{ F }_{ 2 }cos{ 45 }^{ ° }\)
F₁ = F₂ = F
நிகர விசை = 2F cos 45° + F₃
\(=\frac { { 2GM }^{ 2 } }{ { (\sqrt { 2 } R) }^{ 2 } } \times \frac { 1 }{ 2 } +\frac { { GM }^{ 2 } }{ { 4R }^{ 2 } } \)
நிகர விசை = மையநோக்கு விசை  
\(\frac { { GM }^{ 2 } }{ { 4R }^{ 2 } } [2\sqrt { 2 } +1]=\frac { { Mv }^{ 2 } }{ R } \) 
\(\therefore\)v=\(\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \frac { GM }{ R } \left( 1+2\sqrt { 2 } \right) } \)

குறைந்த நிறையில், சக்கரத்தின் நிலைமத் திருப்புத்திறனை அதிகரிக்க, சக்கரத்தின் குறுக்கே கம்பிகள் மெல்லிய உலோகக் கம்பிகள் இணைக்கப் பட்டுள்ளன.

0-2s நேரத்தில் பயணம் செய்த தூரம் = நிழலிடப்பட்ட பகுதியின் பரப்பு
\(=\frac{1}{2} b_1 h_1+\frac{1}{2} b_2 h_2  \)
\(=\frac{1}{2} \times 1.5 \times 2+\frac{1}{2} \times 0.5 \times 1=1.50+0.25=1.75 \mathrm{~m}\)
இடப்பெயர்ச்சி \(=-\frac{1}{2} b_1 h_1+\frac{1}{2} b_2 h_2 \)
\(=-\frac{1}{2} \times 1.5 \times 2+\frac{1}{2} \times 0.5 \times 1  \)
\(=-1.50+0.25=-1.25 \mathrm{~m}\)
0 - 1s திசைவேகம் எதிர்த்திசையில் அதிகரிக்கிறது.
1s - 2s திசைவேகம் நேர்த்திசையில் அதிகரிக்கிறது.
திசைவேக மாற்றம் \(=1-(-2)=3 \mathrm{~ms}^{-1}\)
2s - 5s திசைவேகத்தில் மாற்றமில்லை. எனவே இது முடுக்கமடையாத இயக்கம்.
5s - 6s திசைகேகம் சுழியாக குறைகிறது.
6s - 7s பொருள் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது.

பந்தின் மீது அவா் செலுத்திய சராசரி விசையை R என்க. உந்தம் மாறுபாடு கணத்தாக்கு விசை
\(\therefore m\left(v_1-v_2\right) =\mathrm{Rt} \)  ஆனால் v₂ = 0 
\(\therefore m v_1 =\mathrm{Rt}  \)
\(\therefore R =\frac{m v_1}{t}  \)
\(=\frac{0.8 \times 12}{1 / 60}=567 \mathrm{~N}\)

ஒரு பொருளின் நிலை மற்றும் திசையைக் கருதாத போது, அப்பொருளின் மொத்த எடையும் செயல்படுவதாகத் தோன்றும் புள்ளி ஈர்ப்பு மையம் எனப்படும்.

A,B என்பதன் தண்டின் நீளம் 2 m 
எடை w A யிலிருந்துx தொலைவில் c ல் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது.
T₁T ₂ இழு விசை (எஃகு மற்றும் பித்தளை கம்பிகள்)
(i) எஃகுக் கம்பியில் தகைவு = \(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { { A }_{ 1 } } } \)
பித்தளையின் தகைவு = \(\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } \)
இரு தகைவுகளும் சமம் எனில் 
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 2 } } =\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } \)
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 2 } } =\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } =\cfrac { 0.1 }{ 0.2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
சமநிலையில் 
T₁ =T₂ (2-x)
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ T_{ 2 } } =\cfrac { 2-x }{ x } =\cfrac { 1 }{ 2 } =\cfrac { 2-x }{ x } \Rightarrow 4-2x\)
\(x=\quad \cfrac { 4 }{ 3 } 1.33\quad mm\)
(ii) y=
\(\therefore \)   திரிபு = தகைவு/y 
எஃகுக் கம்பியில் திரிபு = \(\cfrac { \cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 1 } } }{ { Y }_{ 1 } } \)
பித்தளைக் கம்பியில் திரிபு =  \(\cfrac { \cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } }{ { Y }_{ 2 } } \)
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 1 }{ Y }_{ 1 } } =\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 }{ Y }_{ 2 } } =\cfrac { 0.1cm^{ 2 }\times 20\times 10^{ 10 }Nm^{ -2 } }{ 0.2{ m }^{ 2 }\times 10\times { 10 }^{ 10 }Nm^{ -2 } } \)
T₁ x= T₂ (2-x)
1 = \(\cfrac { 2-x }{ x } \)
x = 1m

கொடுக்கப் பட்ட அளவீடுகள் 2.36 cm, 2.27 cm, 2.26 cm, 2.28 cm, 2.31 cm, 2.28 cm மற்றும் 2.29 cm ஆகும்.
சராசரி \(\overline { l } \) = \(\frac { 2.36+2.27+2.26+2.28+2.31+2.28+2.29 }{ 7 } \)
\(\frac { 16.05 }{ 7 } =2.29\) cm
அளவீடுகளின்தனிப்பிழைகள்
\(\Delta { l }_{ 1 }\) = 2.29 - 2.36 = -0.07
\(\Delta { l }_{ 2 }\) = 2.29 - 2.27 = 0.02
\(\Delta { l }_{ 3 }\) = 2.29 - 2.26 = 0.03
\(\Delta { l }_{ 4 }\)= 2.29 - 2.28 = 0.01
\(\Delta { l }_{ 5 }\)=2.29 - 2.31 = -0.02
\(\Delta { l }_{ 6 }\)=2.29 - 2.28 = 0.01
\(\Delta { l }_{ 7 }\)= 2.29 - 2.29 = 0.00
சராசரி தனிப்பிழை \({ \Delta l }_{ mean }-\frac { 0.07+0.02+0.03+0.1+0.02+0.01+0.00 }{ 7 } \)
\(=\frac { 0.16 }{ 7 } =0.02\)
ஒப்பிட்டுப்பிழை
\(=\frac { \Delta { l }_{ mean } }{ \overline { l } } =\pm \frac { .02 }{ 2.29 } =\pm 8.7\times { 10 }^{ 3 }\)
விழுக்காட்டுப்பிழை = \(\pm 8.7\times { 10 }^{ 3 }\times 100\)
\(=\pm (8.7\times { 10 }^{ 1 })=0.9\)%

(i) ஒரு இரப்பர் பந்து மற்றும் ஒரு பிளாஸ்டிக் பந்து இரண்டையும் ஒரே தளத்தில் விழச்செய்வதாகச் கொள்வோம். இரப்பர் பந்தானது பிளாஸ்டிக் பிந்தைவிட அதிக உயிரத்திற்கு மேலெழும்பும்.
(ii) ஏனேன்றால் ஒரு மீட்சிப் பண்புள்ள இரப்பர் பந்திற்கு இயக்க ஆற்றலின் இழப்பு பிளாஸ்டிக் பந்திற்கான இழப்பைவிட மிக குறைவாகும். பொதுவாக மோதலுக்குப் பிறகு இரு பொருள்களின் இயக்க ஆற்றல் மதிப்பினை மீட்சியளிப்பு குணகம் (Coefficient of Restitution - COR) எனப்படும் ஒரு பரிமாணமற்ற எண் மூலமாக அளந்தறியலாம்.
(iii) மோதலுக்குப்பின் உள்ள விலகும் திசைவேகத்திற்கும் (சார்புத்திசைவேகம்) மோதலுக்கும் முன் உள்ள நெருங்கும் திசை வேகத்திற்கும் (சார்புத்திசைவேகம்) இடையே உள்ள விகிதம் மீட்சியளிப்பு குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
அதாவது

\(=\frac { ({ v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 }) }{ ({ u }_{ 1 }-{ u }_{ 2 }) } \)
(iii) மீட்சி மோதலில் விலகும் தெசைவேகமானது நெருங்கும் திசைவேகத்திற்கு சமம் என கிடைக்கப் பெற்றோம்.
அதாவது
\(({ u }_{ 1 }-{ u }_{ 2 })=({ v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 })\rightarrow \frac { ({ v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 }) }{ ({ u }_{ 1 }-{ u }_{ 2 }) } =1=e\)
(iv) மீட்சி மோதலுக்கு மீட்சியளிப்பு குணகம் e = 1 என்பதை இது குறிக்கிறது. இயல்பாக, மோதலுக்குப் பிறகு இயக்க ஆற்றலில் இழப்பு ஏதுமில்லை என்பதே இதன் பொருளாகும். எனவே பொருளானது அதே இயக்க ஆற்றலுடன் மேலெழும்புகிறது. இது வழக்கமாக முழு மீட்சி என அழைக்கப்படுகிறது.
(v) எவ்வித உண்மையான மோதல் நிகழ்வுகளிலும் மோதலினால் இயக்க ஆற்றலில் ஏதாவது இழப்பு ஏற்படும். இதன் பொருள் e இன் மதிப்பு எப்பொழுதும் 1 - ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும். முழுமையான பிளாஸ்டிக் பந்தாக இருந்தால் அது மீண்டும் மேலெழும்போது. ஆகையால் மோதலுக்குப் பிறகு அவற்றின் விலகும் திசைவேகம் சுழியாகும். எனவே மீட்சியளிப்பு குணகத்தின் மதிப்பு e = 0.
பொதுவாக, ஒரு பொருளின் மீட்சியளிப்பு குணகம் 0 < e < 1 என இருக்கும்.    

இயக்கத்தின் வகைகள். அன்றாட வாழ்வில் கீழ்கண்ட வகையான இயக்கங்களை நாம் காணலாம்.
(i) நேர்கோடு இயக்கம் 
ஒரு பொருள் நேர்கோட்டில் இயங்கினால் அவ்வியக்கம் நேர்கோட்டு இயக்கம் என அழைக்கப்படும்.
எடுத்துக்காட்டுகள் 
1. நேரான ஓடுபாதையில் ஓடம் தடகள வீரர்
2. புவியினை நோக்கி விழும் பொருள்.
(ii) வட்ட இயக்கம் 
வட்டப்பாதையில் இயங்கும் பொருளின் இயக்கம் வட்ட இயக்கம் என அழைக்கப்படும்.
1. கயிற்றில் கட்டப்பட்டு சுழற்றப்படும் கல்.
2. புவியினைச் சுற்றி வரும் செயற்கைக் கோளின் இயக்கம்.
(iii) சுழற்சி இயக்கம் 
எந்த ஒரு திண்மப்பொருளின் ஒரு அச்சினைப் பொறுத்து சுழலும் போது, அவ்வியக்கம் சுழற்சி இயக்கம் என அழைக்கப்படும். அச்சுழற்சியின் போது திண்மப்பொருளில் உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியும் அவ்வச்சினை பொறுத்து வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் (சூழல் அச்சில் உள்ள புள்ளியைத் தவிர்த்து.
1. அச்சினைப் பொறுத்து சுழலும் வட்ட வடிவத்தட்டு.
2. அச்சினைப் பொறுத்து தன்னைத்தானே சுற்றும் புவி.
(iv) அதிர்வு இயக்கம் 
பொருளொன்று நிலையான ஒரு புள்ளியைப் பொறுத்து முன்னும் பின்னும் இயக்கத்தினை மேற்கொண்டால், அவ்வியக்கம் அதிர்வியக்கம் எனப்படும். சில நேரங்களில் இவ்வியக்கம் அலைவு இயக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டுகள் 
1. கிட்டார் (guitar) இசைக்கருவியில் உள்ள அதிர்வடையும் கம்பி.
2. ஊஞ்சலின் இயக்கம்.
மேலே கூறப்பட்ட இயக்கங்கள் மட்டுமல்லாமல் நீள்வட்ட இயக்கம் மற்றும் வரிச்சுருள் இயக்கம் (Helical) போன்ற வேறு இயக்கங்களும் நடைமுறையில் சாத்தியமாகும்.

வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கைக்கான எடுகோள்கள் :
1.வாயு மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் முழுவதும் ஒரே மாதிரியான, முழு மீட்சியுறும் கோளங்களாகும் வெவ்வேறு வாயுக்களின் மூலக்கூறுகள் வெவ்வேறானவை.
2. வாயுவில் மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் அதிகம்.ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் அளவுடன் ஒப்பிடும்போது, மூலக்கூறுகளுக்கு இடையே உள்ள சராசரித் தொலைவு மிக அதிகமாகும். வாயு மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் தொடர்ச்சியான ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் (Random motion)உள்ளன.
3.வாயு மூலக்கூறுகள் ஒன்றின்மீது மற்றொன்றும் மற்றும் அடைத்து வைக்கப்பட்டுள்ள கொள்கலனின் சுவருடனும் மோதலை ஏற்படுத்துகின்றன. இம்மோதல்கள் முழுமீட்சியுறும் மோதல்கள் (elastic collisions) எனவே மோதலின்போது மூலக்கூறுகளின் இயக்க ஆற்றலில் எவ்விதமான இழப்பும் ஏற்படுவதில்லை.
4.இரு அடுத்தடுத்த மோதல்களுக்கு இடையே, ஒரு வாயு மூலக்கூறு சீரான திசைவேகத்தில் இயங்குகிறது. வாயு மூலக்கூறுகள் ஒன்றுடன் ஒன்று மோதும் நேரம் தவிர மற்ற நேரங்களில் ஒன்றின்மீது மற்றொன்று எவ்விதமான கவர்ச்சி விசையையோ அல்லது விலக்குவிசையையோ செலுத்துவதில்லை. வாயு மூலக்கூறுகள் எவ்விதமான நிலையாற்றலையும் பெற்றிருக்கவில்லை. அவற்றின் ஆற்றல் முழுவதும் இயக்க ஆற்றல் வடிவில் மட்டும் உள்ளது.
5.மூலக்கூறுகளுக்கிடையேயான மோதல் ஒரு கணநேர நிகழ்வாகும். இரு அடுத்தடுத்த மோதல்களுக்கிடைப்பட்ட நேரத்துடன் ஒப்பிடும்போது மோதலுறும் நேரம் மிகக் குறைவானதாகும்.
6.வாயு மூலக்கூறுகள் ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் உள்ளபோதும் அவை நியூட்டனின் இயக்க விதிகளுக்கு உட்படுகின்றன.

(i) இந்நிகழ்வில் எவ்விதமான வெப்பமும் அமைப்பிற்கு உள்ளேயோ அல்லது அமைப்பிலிருந்து வெளியேவோ செல்லாது (Q = 0).ஆனால் வாயு தன்னுடைய அக ஆற்றலைப் பயன்படுத்தி விரிவடையும்  அல்லது வெளிப்புற வேலையினால் வாயு அமுக்கமடையும். எனவே வெப்பபரிமாற்றமில்லா நிகழ்வில் அமைப்பின் அழுத்தம், பருமன் மற்றும் வெப்பநிலை இவற்றில் மாற்றம் ஏற்படலாம்.
(ii) ஒரு வெப்பபரிமாற்றமில்லா நிகழ்விற்கு வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதி ΔU = W என எழுதலாம்.
வெப்பபரிமாற்றமில்லா நிகழ்வினை பின்வரும் முறைகளைப் பயன்படுத்தி நிகழ்த்த இயலும்.
1. அமைப்பு வெப்ப ஆற்றலை சூழலுக்குக் கடத்தாவதவாறும் அல்லது சூழலிலிருந்து எவ்விதமான வெப்ப ஆற்றலும் அமைப்பிற்குள் செல்லாதவரும் அமைப்பினை வெப்பக்காப்பு (Thermally insulating) செய்ய வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, வெப்பக்காப்பு செய்யப்பட்ட உருளையில் உள்ள வாயு  வெப்பபரிமாற்றமில்லா முறையில் அமுக்கப்படுகிறது அல்லது வெப்பப் பரிமாற்றமில்லா முறையில் விரிவடைகிறது.

2. எவ்வித வெப்பக்காப்பும் அற்ற நிலையில் சூழலுக்கு வெப்பத்தைக் கடத்த இயலாதவாறு மிகக்குறுகிய நேரத்தில் மிக வேகமாக நிகழ்வு ஏற்பட்டால் அதுவும் ஒரு பரிமாற்றமில்லா நிகழ்வு.
(iii) வெப்பபரிமாற்றமில்லா நிகழ்விற்கான நிலைச் சமன்பாடு
PvY = மாறிலி  ..(1)
இங்கு Y என்பது வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா அடுக்குக்குறி ஆகும் (Y = Cp/Cv). இது வாயுவின் இயல்பைப் பொருத்ததாகும். சமன்பாடு (1) இல் இருந்து நாம் அறிவது என்னவென்றால், வாயு ஒரு சமநிலை நிலைக்கு (P_i, V_i) மற்றொரு சமநிலை நிலைக்கு (P_f, V_f) வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா முறையில் செல்லும்போது அவ்வாயு பின்வரும் நிபந்தனைக்கு உட்படும்.
\({ P }_{ i }{ V }_{ i }^{ \gamma }={ P }_{ f }{ V }_{ f }^{ \gamma }\)
(iv) வெப்பநிலை மாறா நிகழ்விற்கான PV வரைபடம் மற்றும் வெப்பப் பரிமாற்றமில்லா நிகழ்விற்கான PV வரைபடமும் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. ஆனால் வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா நிகழ்விற்கான வளைகோடு, வெப்பநிலை மாறா நிகழ்விற்கான வளைகோட்டைவிட சற்றே செங்குத்தாக காணப்படும்.
(v) T மற்றும் Vபொருந்தும் சமன்பாடு (1) ஐ நாம் சற்றே மாற்றியமைக்கலாம். நல்லியல்பு வாயுச் சமன்பாட்டிலிருந்து அழுத்தம் இதனை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட, நமக்குக்கிடைப்பது
\(\frac { \mu Rt }{ V } V\gamma \) = மாறிலி (அல்லது)

எனக்கிடைக்கும்.
இங்கு μR என்பதும் ஒரு மாறிலி எனவே இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம். 
\({ T }_{ i }{ V }_{ i }^{ \gamma -1 }\) = மாறிலி
வாயு ஒன்று தொடக்கச் சமநிலையிலிருந்து இறுதி சமநிலைக்கு வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா முறையில் செல்லும்போது அது பின்வரும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.
\({ T }_{ i }{ V }_{ i }^{ \gamma -1 }={ T }_{ f }{ V }_{ f }^{ \gamma -1 }\)  ...(3)
(vi) வெப்பப் பரிமாற்றமில்லா நிகழ்விற்கான நிலைச் சமன்பாட்டை T மற்றும் P யினைப் பொருத்தும்
\({ T }^{ \gamma }{ P }^{ 1-\gamma }\) = மாறிலி

(a) நிலை ஆற்றலுக்கான சமன்பாடு:
தனிச்சீரிசை இயக்கத்தில் விசைக்கும் இடப்பெயர்ச்சிக்கும் இடையேயான தொடர்பு ஹீக் விதியின் படி
\(\overset { \rightarrow }{ F } =-\overset { \rightarrow }{ kr } \)  ....(1)
பொதுவாக விசை என்பது வெக்ட்ரா அளவு ஆதலால் முப்பரிமாணத்தில் இது மூன்று கூறுகளை கொண்டது. மேலும் மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் விசையானது ஆற்றல் மாற்றா விசையாகும். இந்த விசையை ஒருகூறு கொண்ட ஸ்கேலார் சார்பிலிருந்து தருவிக்க முடியும். ஒருபரிமாண இயக்கத்தில்
F=-kx  ......(2)
ஆற்றல் மாற்றா விசைப் புலத்தினால் செய்யப்பட்ட வேலை பாதையைச் சார்ந்திராது. கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து அதன் நிலையாற்றலைக் கணக்கிட முடியும்.
F =-\(\frac { dU }{ dx } \)    ......(3)
(2) வையும் (3) வையும் ஒப்பிட
-\(\frac { dU }{ dx } \)=-kx
dU =kx dx
சிறிய இடப்பெயர்ச்சி dx ஐ மேற்கொள்ள F என்ற விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை நிலை ஆற்றலாக சேகரிக்கப்படுகிறது.
U(x)=\(\int _{ 0 }^{ x }{ k } x'dx'=\frac { 1 }{ 2 } k(x')^{ 2 }|_{ 0 }^{ x }=\frac { 1 }{ 2 } \)     .....(4)
விசை மாறிலியின் மதிப்பு k =mω² யை சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட
U(x)=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²x²

இங்கு ω என்பது அலைவுறு அமைப்பின் இயல்பு அதிர்வெண். சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் துகள்களுக்கு நாம் பெறுவது
x=A sinωt
U(t)=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²sin²ωt    ....(5)
(b) இயக்க ஆற்றலுக்கான சமன்பாடு:
இயக்க ஆற்றல் 
KE =\(\frac { 1 }{ 2 } mv_{ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } m\left( \frac { dx }{ dt } \right) ^{ 2 }\)


துகளானது சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்கிறது எனில், x =A sin ωt எனவே திசைவேகமானது.
vx =\(\frac { dx }{ dt } \)=Aω cosωt
=Aω\(\sqrt { 1-\left( \frac { x }{ A } \right) ^{ 2 } } \)
vx=ω\(\sqrt { { A }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } \)
எனவே,
KE=\(\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }({ A }^{ 2 }-{ x }^{ 2 })\)
KE=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²cos²ωt
(c) மொத்த ஆற்றலுக்கான சமன்பாடு:
இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றல் இவற்றின் கூடுதல் மொத்த ஆற்றல் ஆகும்.
E=KE+U
E=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²(A²-x²)+\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²x²   .....(7)
எனவே, x² ஐ நீக்க
E=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²=மாறிலி
மறுதலையாக சமன்பாடு (5) மற்றும் சமன்பாடு (6) லிருந்து நாம் பெறும் மொத்த ஆற்றல்
E=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²sin²ωt+\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²cos²ωt
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²(sin²ωt+cos²ωt)
திரிகோணமிதி முற்றொருமையிலிருந்து
(sin²ωt+cos²ωt)=1
E=\(\frac { 1 }{ 2 } \)mω²A²=மாறிலி

எனவே மொத்த ஆற்றலைக் கொண்டு பெறப்படும் சீரிசை அலையியற்றியின் வீச்சு
A =\(\sqrt { \frac { 2E }{ m{ \omega }^{ 2 } } } =\sqrt { \frac { 2E }{ k } } \).

அலை ஒன்று கடினமான ஒன்றின் மீது மோதும்போது, அது மீண்டெழுந்து வந்து அதே ஊடகத்தின் எதிர்த்திசையில், பழைய அலையுடன் (மோதிய அலை மேற்பொருந்துவதால் கிடைக்கும் அலை வடிவமே நிலை அலைகள் அல்லது நிலையான அலைகள் எனப்படும்.
ஒரே வீச்சு, ஒரே திசைவேகம் கொண்ட இரு சீரிசை முன்னேறு அலைகள் (கம்பி ஒன்றில் உண்டான) எதிர் எதிர் திசையில் இயங்குகின்றன என்க.
முதல் அலையின் (படு அலை) இடப்பெயர்ச்சி
y₁ = A sin(kx - ωt)
(வலது பக்கம் நகரும் அலை)
இரண்டாவது அலையின் (எதிரொலிப்பு அலை இடப்பெயர்ச்சி)
y₂ = A sin(kx - ωt)
(இடது பக்கம் நகரும் அலை)
மேற்பொருந்துதல் தத்துவப்படி, இரு அலைகளும் குறுக்கீடு அடைந்து, தொகுப்பயன் இடப்பெயர்ச்சி, 
y = y₁ + y₂
சமன்பாடு (1), (2) யை (3) ல் பொருத்த,
y = A sin(kx - ωt) + A sin(kx - ωt)
திரிகோணமிதி விதிகளை பயன்படுத்தி (4) யை மாற்றி எழுத
y(x, t) = 2A cos(ωt) sin (kx)
இதுவே, நிலை அல்லது நிலையான அலைகள் எனப்படும். இது முன்னோக்கியோ அல்லது பின்னோக்கியோ நகராது. சமன்பாடு (5) யை கீழ்க்கண்டவாறு சுருக்கமாக எழுதலாம்.
y(x, t) = A' cos (ωt)
இங்கு A' = 2Asin (kx), இது அதிர்வுறுக்கம்பியின் குறிப்பிட்ட பகுதி A' வீச்சுடன் தனிசீரிசை இயக்கத்திலுள்ளதை குறிக்கிறது sin (kx) பெருமமாக உள்ள நிலையில் A' பெரும மதிப்பில் இருக்கும்
sin(kx) = 1 ⇒ kx = \(\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { 3\pi }{ 2 } ,\frac { 5\pi }{ 2 } ,...=m\pi \)
இங்கு m என்பது அரை முழு எண் அல்லது அரை எண் மதிப்புகள், வீச்சின் பெருமை மதிப்பு உள்ள நிலையை எதிர்க்கணு என்கிறோம். அலை எண்ணை அலை நீளத்தை பயன்படுத்தி குறிக்கும்போது m ஆவது எதிர் கணுவின் நிலையை கீழ்கண்டவாறு குறிக்கலாம்.
\({ x }_{ m }=\left( \frac { 2m+1 }{ 2 } \right) \frac { \lambda }{ 2 } ,\) இங்கு m = 0,1,2 ...(6)
m = 0 எனில், பெருமத்தின் நிலை
x₀ = \(\frac { \lambda }{ 2 } \)
m = 1 எனில், பெருமத்தின் நிலை
x₁=\(\frac { 3\lambda }{ 4} \)
m = 2 எனில், பெருமத்தின் நிலை
x₂=\(\frac { 5\lambda }{ 4} \)
என்றவாறு அமையும்.
அடுத்தடுத்த எதிர் கணுக்களுக்கிடையேயான தூரத்தை கீழ்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.
x_m−x_m−1=\(\left( \frac { 2m+1 }{ 2 } \right) \frac { \lambda }{ 2 } -\left( \frac { (2m+1)+1 }{ 2 } \right) \frac { \lambda }{ 2 } =\frac { \lambda }{ 2 } \)
A' ன் பெரும மதிப்பு வெளியின் சில புள்ளிகளிலும் சிறும மதிப்பு வெளியின் வேறு சில புள்ளிகளிலும் அமையும்.
sin (kx) = 0 ⇒ kx = 0, 2π, 3π,... = nπ
இங்கு n ஒரு முழு எண் அல்லது முழு எண் மதிப்புகள் எந்தப் புள்ளிகளில் அதிர்வு இல்லையோ (இயக்கம் இல்லையோ) அப்புள்ளிகள் கணு எனப்படும். n ஆவது கணுவின் நிலை
xn=n\(\frac { \lambda }{ 2 } \), இங்கு, n = 0,1,2....  (7)
n = 0 எனில், சிறுமம் ஏற்படும் நிலை
x_o = 0
n = 1 எனில், சிறுமம் ஏற்படும் நிலை
x₁ = \(\frac { \lambda }{ 2 } \)
n = 2 எனில், சிறுமம் ஏற்படும் நிலை
x₂ = λ
என்றவாறு அமையும்.
அடுத்தடுத்த கணுக்களுக்கிடையேயான தொலைவைக் கீழ்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்
 \(x_{ n }-{ x }_{ n-1 }=n\frac { \lambda }{ 2 } -(n-1)\frac { \lambda }{ 2 } =\frac { \lambda }{ 2 } \)
நிலை அலைகளின் பண்புகள்:
(i) இரு திடமான எல்லைகளுக்கிடையே கட்டுப்படுத்தப்பட்ட அலை, எனவே இது ஊடகத்தில் முன்னோக்கியோ பின்னோக்கியோ நகராது. அதாவது அதனுடைய இடத்தில நிலையாக இருக்கும். எனவே, இது நிலை அல்லது நிலையான அலைகள் எனப்படுகிறது.
(ii) பெரும வீச்சு நிலையிலுள்ள புள்ளிகள் எதிர்க்கணு எனவும், சுழி வீச்சு நிலையிலுள்ள புள்ளிகள் கணு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
(iii) அடுத்தடுத்த இரு கணு அல்லது எதிர்க்கணுக்களுக்கிடையேயான தொலைவு \(\frac { \lambda }{ 2 } \)
(iv) ஒரு கணு, அதற்கு அடுத்த எதிர்க்கணுவிற்கு இடையேயான தொலைவு\(\frac { \lambda }{ 4} \)
(v) நிலையான அலைகளின் வழியே கடத்தப்படும் ஆற்றல் சுழியாகும்.

(i) கெப்ளர் விதிகளையும் கலிலியோவின் ஆய்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்த நியூட்டன் அவற்றின் அடிப்படையில் ஈர்ப்பியல் விதியை தருவித்தார்.
(ii) M நிறை உடைய துகள், அண்டத்தில் உள்ள அனைத்து துகள்களையும் குறிப்பிட்ட விசையுடன் ஈர்க்கிறது. அந்த ஈர்ப்பு விசையின் வலிமையானது, அவற்றின் நிறைகளின் பெருக்கற்பலனுக்கு நேர்த்தகவிலும், அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவில் இருமடிக்கு எதிர்த்தகவிலும் இருக்கும் என்பதே நியூட்டனின் ஈர்ப்பியல் விதியாகும்.
கணிதவியல் வடிவில் ஈர்ப்பியல் விசையினை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(\vec { F } =-\frac { G{ M }_{ 1 }{ M }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \)
இங்கு M₁ லிருந்து M₂ நோக்கி செல்லும் அழகு வெக்டர் \(\hat {r}\)ஆகும்.

(iii) G ஈர்ப்பியல் மாறிலி; G ன் மதிப்பு 6.626 [10^-11Nm²kg². r என்பது நிறைகள் M₁ ஆனது நிறை M₂ ஆல் உணரும் ஈர்ப்பியல் விசையை \(\vec {F }\)வெக்டர் குறிக்கிறது. எதிர்க்குறியானது ஈர்ப்பியல் விசை எப்பொழுதும் ஈர்க்கும் தன்மை உடையது என்பதை குறிக்கிறது. ஈர்ப்பியல் விசையானது எப்போதும் இரு நிறைகளையும் இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் வழியே செயல்படும்.
கார்டீசியன் ஆய அச்சுகளில் 'r' என்ற தொலைவின் இருமடி (r²=x²y²z²) என குறிக்கப்படும்.
\(\therefore \)விசையின் எண் மதிப்பு 
F=\(\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } =\frac { 1.67\times { 10 }^{ -11 }\times 1\times 2 }{ 100 } \)
= 13.34 x 10^-13 N.
(iv) இவ்விசையின் எண் மதிப்பு மிகக் குறைவாக உள்ளது என்பது கவனிக்கத்தக்கது. இதனால் தான் இரு மனிதர்களுக்கிடையேயான ஈர்ப்பியல் விசையை நாம் உணர முடிவது இல்லை. ஈர்ப்பியல் விசையின் வலிமையை நிர்ணயம் செய்வதில் G ன் மிகக் குறைந்த மதிப்பு முக்கியப் பங்காற்றுகிறது.
(v) நிறை m₁ ஆல் நிறை m₂ உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை \(({ \vec { F } }_{ 21 })\) y அச்சு எதிர்த்திசையில் செயல்படுகிறது. அதாவது \(\hat { r } =-\hat { j } \)நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, நிறை m₁ ஆனது நிறை m₂ மீது நிறை சமமான எதிர்த்திசையில் செயல்படும் விசையை எற்படுத்துகிறது. எனவே நிறை m₂ மீது நிறை சமமான எதிர்திசையில் செயல்படும் விசையை ஏற்படுத்துகிறது. எனவே நிறை m₂ ஆல் m₁ உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை \(({ \vec { F } }_{ 12 })\) ஆனது y அச்சின் நேர் திசையில் செயல்படுகிறது.
\(\hat { r } =-\hat { j } \)
\({ \vec { F } }_{ 21 }=-13.34\times { 10 }^{ -13 }N\hat { j } \)
\({ \vec { F } }_{ 12 }=-13.34\times { 10 }^{ -13 }N\hat { j } \)

படத்தில் விசைகை செயல்படும் திசை குறிக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் என்பது, நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியை உறுதிப்படுத்துகிறது.

துகளின் நிறை m = 5 அலகு
சீரான திசைவேகம் \(\mathrm{v}=3 \sqrt{2}\) அலகு
\(\mathrm{y} =\mathrm{x}+4 \)
கோண உந்தம் = Iω 
\(\mathrm{L} =m r^2 \omega \)
ஆனால்,  \(\mathrm{W} =\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}}\)
\(\therefore L =\mathrm{mr}^2 \times \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}}=\mathrm{mvr}=5 \times 3 \times 2 \sqrt{2} \)
L = 60 அலகு

வாகனங்களுக்கு ஏற்படும் விபத்தினைத் தடுப்பதற்காகச் சாலையின் வெளிவிளிம்பு உட்புற விளிம்பை விட சற்றே உயர்த்தி அமைக்கப்பட்டிருக்கும். இதற்கு வெளிவிளிம்பு உயர்த்தப்பட்ட சாலை (banking of tracks) என்று பெயர். வெளிவிளம்பு உயர்த்தப்பட்டிருப்பதால் இது ஒரு சாய்தளம் போன்று அமையும். கிடைத்தளப் பரப்புடன் இந்தச் சாய்தளம் ஏற்படுத்தும் கோணம் வெளிவிளிம்புக் கோணம் (banking angle) எனப்படும்

கிடைத்தளத்துடன் θ கோணத்தில் உள்ள சாலையின் பரப்பைக் கருதுக. செங்குத்துவிசை, செங்குத்து அச்சுடன் இதே θ கோணத்தை ஏற்படுத்தும். இச்சாலையில் செல்லும் கார் ஒன்று வளையும்போது அதன் மீது இரண்டு விசைகள் செயல்படும்.
அ) கீழ்நோக்கிக் செயல்படும் புவியீீர்பு விசை (mg)
ஆ) சாலையின் பரப்பிற்குச் செங்குத்தாகச் செயல்படும் செங்குத்து விசை (N)
செங்குத்து விரை N ஐ இரண்டு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம். இவை N cos θ மற்றும் N sin θ ஆகும். N cos θ கூறு, கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசையை (mg) சமன் செய்கிறது. N sin θ கூறு தேவையான மையநோக்கு விசையைக் கொடுக்கிறது.
நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாடுகளை அமைக்கலாம்.
\(\mathrm{N} \cos \theta=m g \)
\(N \sin \theta=\frac{m v^2}{r}\)
இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் வகுக்கும் போது \(\tan \theta=\frac{v^2}{r g}\) எனக் கிடைக்கும்.
\(v=\sqrt{r g \tan \theta}\)
வெளி விளிம்புக் கோணம் மற்றும் சாலையின் வளைவு ஆரம் (r) இவ்விரண்டும் வளைவுச் சாலையில் பாதுகாப்பாக வாகனங்களை இயக்க வேண்டிய வேகத்தைத் (v) தீர்மானிக்கின்றன. வாகனம் ஒன்றின் வேகம் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வேகத்தைவிட அதிக வேகத்தில் செல்லும் போது சாலையின் வெளிப்புறத்தை நோக்கி சறுக்கத் தொடங்கும். ஆனால் உராய்வு விசை செயல்பட்டு கூடுதல் மையநோக்கு விசையினைக் கொடுத்து வெளிப்புறச் சறுக்குதலைத் தடுக்கும். அதே நேரத்தில் காரின் வேகம் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வேகத்தை விட குறைவாக இருப்பின் காா் உட்புறத்தை நோக்கி நகரத் தொடங்கும். உராய்வு விசை செய்பல்பட்டு மையநோக்கு விசையைக் குறைத்து உட்புறத்தை நோக்கி சறுக்குவதைத் தடுக்கும். இருப்பினும் காரின் வேகம் மிக அதிகம் எனில் உராய்வு விசையினால் கார் சறுக்குவதைத் தடுக்க முடியாது.