இரட்டைத் தன்மை என்பது Λ, V ஆகியவற்றுக்கு முறையே V, Λ களை பதிலிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்டது \(x^2+y^2=200\)
\(y^2  =200-x^2 \)
\(y  =\sqrt{200-x^2}\)
பெருக்கற்பலன் \(\mathrm{P}=x \mathrm{y}=x \sqrt{200-x^2}\)
\(\mathrm{F}=\mathrm{P}^2\) என்க.
\(\mathrm{F}=x^2\left(200-x^2\right)=200 x^2-x^4\)
F பெருமம் எனில்,P ஆனது பெருமமாகும்.
பெருமத்திற்கு, \(\frac{d F}{d x}=0 \Rightarrow 200(2 x)-4 x^3=0\)
\( \Rightarrow 4 x\left(100-x^2\right)=0 \Rightarrow x=0, x= \pm 10\)
x=0,-10 ஆக இருக்க முடியாது
\(\therefore x  =+10 \)
\(y =\sqrt{200-10^2}=10 \)
\(\frac{d^2 F}{d x^2}  =400-12 x^2\)
x  =10-ல், F'' = 400 - 12 x 10 x 10<0
பெருக்கற்பலனின் பெரும மதிப்பு P = xy 
= (10)(10)
= 100

\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(-\hat{i}+4 \hat{k})\)
\(\frac{x-6}{-1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z+3}{4}=t \Rightarrow(-t+6,-1,4 t-3)\)
என்பது \(x+y-z=3\) ஐச் சந்திக்கிறது.
\(-t+6-1-4 t+3  =3 \Rightarrow-5 t+5=0 \\ 5 t  =5 \Rightarrow t=1\)
\(\therefore (5,-1,1)\)

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] }   =8^2 \\ =64\)

\((1+\omega)^7  =A+B \omega \Rightarrow\left(-\omega^2\right)^7=A+B \omega \)
\(-\omega^{14}  =A+B \omega \Rightarrow-\omega^2=A+B \omega \)
\(1+\omega  =A+B \omega\)
ஒப்பிடக் கிடைப்பது \(\mathrm{A}=1, \mathrm{~B}=1\).

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

\(\mathrm{A}^{\mathrm{T}} =\mathrm{A}^{-1} \Rightarrow \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{I} \)
\({\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & x \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\(\frac{3}{5} x+\frac{12}{25} =0\)
\(\frac{3}{5} x=\frac{-12}{25} \Rightarrow x = \frac{-4}{5}\)

\(\frac { |adjB| }{ |C| } = \frac {adj |adjA| }{ |3A| } = \frac{|A|^{(n-1)^2}}{3^n|A|}\)
\(= \frac{|A|^{1}}{3^2|A|} = \frac{1}{9} \ \ \ (∵ n = 2)\)

\(  \sin ^{-1}(1)-\sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{x}}\right)   =\frac{\pi}{6} \\ \frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}   =\frac{\pi}{6} \Rightarrow \cos ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{\pi}{6} \\ \sqrt{\frac{3}{x}}   =\cos \frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{x}   =2 \Rightarrow x=4  \)
விடை (2) :  \(x^2-x-12=0 \Rightarrow(x-4)(x+3)=0 \) 
\(\Rightarrow x=4,-3\)
விடை (3) :\( x^2+x-12=0 \Rightarrow(x+4)(x-3)=0 \\\)
\(  \Rightarrow x=3,-4\)
 x = 4 க்கு, விடை(2) சரியானது.