12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் மாதிரி 1 மதிப்பெண் புத்தக வினாக்கள் (புதிய பாடத்திட்டம்) 2020 - 12th Standard Maths Sample 1 Mark Book Back Questions (New Syllabus) 2020

12ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதவியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதவியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Multiple Choice Question

31 x 1 = 31

ஒரு கூட்டுக்கூற்றில் 3 தனிக்கூற்றுகள் உட்படுத்தப்பட்டிருந்தால் அம்மெய்மை அட்டவணையின் நிரைகளின் எண்ணிக்கை _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி S என்ற ஒரு கணத்தின் மீது ஒரு சார்பாக பின்வரும் எவற்றிலிருந்து பெறப்படுகிறது.

(a)

S➝S

(b)

(S X S)➝S

(c)

S➝(S X S)

(d)

(S X S)➝(S X S)

If \(\int _{ 1 }^{ x }{ \frac { { e }^{ \sin u } }{ u } } \)du, x > 1 மற்றும் \(\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ { \sin }^{ 2 } } }{ x } } dx=\frac { 1 }{ 2 } \) [f(a) - f(1)] எனில் a பெறக்கூடிய ஒரு மதிப்பு _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

ㄱ( p V ㄱq) -ன் மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் வரும் மெய் மதிப்பு 'F' விளைவுகளின் எண்ணிக்கை_______.

(a)

(b)

(c)

(d)

x² e^-2x, x > 0 ,என்ற சார்பின் பெரும மதிப்பு_______.

(a)

\(\frac { 1 }{ { e } } \)

(b)

\(\frac { 1 }{ { 2e } } \)

(c)

\(\frac { 1 }{ { { e }^{ 2 } } } \)

(d)

\(\frac { 4 }{ { { e }^{ 4 } } } \)

t என்ற காலத்தில் கிடைமட்டமாக நகரும் துகளின் நிலை s(t) = 3t² -2t -8 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும் நேரம்_______.

(a)

t = 0

(b)

t = \(\frac { 1 }{ 3 } \)

(c)

t =1

(d)

t =3

\(If\quad f(x)=\int _{ l }^{ x }{ \frac { { e }^{ sinu } }{ u } } du,x>1\) மற்றும் \(\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ { x }^{ 2 } } }{ x } } dx=\frac { 1 }{ 2 } [f(a)-f(1)]\) எனில் a பெறக்கூடிய ஒரு மதிப்பு

(a)

(b)

(c)

(d)

\(\int _{ \frac { \pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \left( \frac { { 2x }^{ 7 }-{ 3x }^{ 5 }+{ 7x }^{ 3 }-x+1 }{ { \cos }^{ 2 }x } \right) } \) dx இன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

\(\frac { dy }{ dx } ={ 2 }^{ y-x }\) -ன் தீர்வு _______.

(a)

2^x + 2^y = C

(b)

2^x - 2^y = C

(c)

\(\frac { 1 }{ { 2 }^{ x } } -\frac { 1 }{ { 2 }^{ y } } =C\)

(d)

x + y = C

10.

y = Ae^x+ Be^-x, இங்கு A, B என்பன ஏதேனும் இரு மாறிலிகள், எனும் வளைவரைத் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு _______.

(a)

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y=0\)

(b)

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -y=0\)

(c)

\(\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } } +y=0\)

(d)

\(\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } } -y=0\)

11.

w(x, y, z) = x² ( y − z) + y² (z − x) + z² (x − y) , எனில் \(\frac { { \partial }w }{ \partial x } +\frac { \partial w }{ \partial y } +\frac { \partial w }{ \partial z } \) -ன் மதிப்பு _______.

(a)

xy + yz + zx

(b)

x(y + z)

(c)

y(z + x)

(d)

12.

w(x,y) = x^y, x >0 எனில் \( \frac { \partial w }{ \partial x } \) ன் மதிப்பு _______.

(a)

x^y log x

(b)

y log x

(c)

yx^y-1

(d)

x log y

13.

ஒரு நிகழ்தகவு மாறியின் நிகழ்தகவு சார்பு கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	k	2k	3k	4k	5k

எனில், E(X)-க்கு சமமான மதிப்பு _______.

(a)

\(\frac{1}{15}\)

(b)

\(\frac{1}{10}\)

(c)

\(\frac{1}{3}\)

(d)

\(\frac{2}{3}\)

14.

பலவுள் தேர்வு ஒன்றில் 5வினாக்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் 3சாத்தியமானக் கவனச் சிதறல் விடைகள் உள்ளது. ஊகத்தின் அடிப்படையில் 4 அல்லது அதற்கு மேல் சரியான விடையை ஒரு மாணவர் அளிப்பதற்கான நிகழ்தகவு _______.

(a)

\(\frac{11}{243}\)

(b)

\(\frac{10}{243}\)

(c)

\(\frac{1}{243}\)

(d)

\(\frac{5}{243}\)

15.

ஒரு விளையாட்டில் அறுபக்க பகடையை விளையாடுபவர் உருட்டுகிறார். பகடை எண் 6 -ஐக் காட்டினால், விளையாடுபவர் ரூ. 36 வெல்லுவார், இல்லையெனில் ரூ. k², தோற்பார். இங்கு k என்பது பகடை காட்டும் எண். k = {1, 2, 3, 4, 5}. விளையாட்டில் எதிர்பார்க்கப்படும் வெல்லும் தொகை ரூ _______.

(a)

\(\frac{19}{6}\)

(b)

−\(\frac{19}{6}\)

(c)

\(\frac{3}{2}\)

(d)

−\(\frac{3}{2}\)

16.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன \(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] =3\) எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் எனில்,\(\left\{ \left[ \vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } \right] \right\} ^{ 2 }\) ன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

17.

\(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \)= 1 எனில் \(\cfrac { \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) }{ \left( \vec { c } \times \vec { a } \right) .\vec { b } } +\cfrac { \vec { b } .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) }{ \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } } +\cfrac { \vec { c } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) }{ \left( \vec { c } \times \vec { c } \right) .\vec { b } } \) ன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

-1

(c)

(d)

18.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன \(\vec { b } .\vec { c } \) ≠ 0 மற்றும் \(\vec { a } .\vec { b } \) ≠ 0 எனுமாறுள்ள மூன்று வெக்டர்கள் என்க. \(\vec { a }\times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \) எனில், \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) என்பவை _______.

(a)

செங்குத்தானவை

(b)

இணையானவை

(c)

\(\frac { \pi }{ 3 } \) என்ற கோணத்தை தாங்குபவை

(d)

\(\frac { \pi }{ 6 } \) என்ற கோணத்தை தாங்குபவை

19.

\(\frac { { (1+i\sqrt { 3 } ) }^{ 2 } }{ 4i(1-i\sqrt { 3 } ) } \) என்ற கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு _______.

(a)

\(\frac { 2\pi }{ 3 } \)

(b)

\(\frac { \pi }{ 6 } \)

(c)

\(\frac { 5\pi }{ 6 } \)

(d)

\(\frac { \pi }{ 2 } \)

20.

x³-kx²+9x எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மூன்று மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருப்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை _______.

(a)

|k|≤6

(b)

k=0

(c)

|k|>6

(d)

|k|≥6

21.

|z| = 1 எனில் \(\frac { 1+z }{ 1+\bar { z } }\) –ன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

\(\bar { z } \)

(c)

\(\frac{1}{z}\)

(d)

22.

x²− (a + b)x − 4 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்களின் மதிப்புகள் m-ன் மதிப்புகளாக இருக்கும்போது y = mx + \(2\sqrt { 5 } \) என்ற நேர்க்கோடு 16x²− 9y²= 144 என்ற அதிபரவளையத்தைத் தொட்டுச் செல்கின்றது எனில் (a + b)-ன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

-2

23.

C என்ற வட்டத்தின் மையம் (1, 1) மற்றும் ஆரம் 1 அலகு என்க. T என்ற வட்டத்தின் மையம் (0, y) ஆகவும் ஆதிப்புள்ளி வழியாகவும் உள்ளது. மேலும் C என்ற வட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொட்டுச் செல்கிறது எனில் வட்டம் T -ன் ஆரம் _______.

(a)

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

(b)

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } \)

(c)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

(d)

\(\frac { 1 }{ 4 } \)

24.

3x²+ by²+ 4bx − 6by + b² = 0 என்ற வட்டத்தின் ஆரம் _______.

(a)

(b)

(c)

\(\sqrt{10}\)

(d)

\(\sqrt{11}\)

25.

A=\(\left[ \begin{matrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)எனில் adj(adj A) -ன் மதிப்பு ______.

(a)

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

(b)

\(\left[ \begin{matrix} 6 & -6 & 8 \\ 4 & -6 & 8 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)

(c)

\(\left[ \begin{matrix} -3 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)

(d)

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right] \)

26.

x^ay^b = e^m, x^cy^d = eⁿ, \({ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} m & b \\ n & d \end{matrix} \right| ,{ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} a & m \\ c & n \end{matrix} \right| ,{ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| \) னில், x மற்றும் y-ன் மதிப்புகள் முறையே ______.

(a)

e^{(Δ₂/Δ₁),}e^{(Δ₃/Δ₁)}

(b)

log(Δ₁/Δ₃), log(Δ₂/Δ₃)

(c)

log(Δ₂/Δ₁), log(Δ₃/Δ₁)

(d)

e^{(Δ₁/Δ₃),}e^{(Δ₂/Δ₃)}

27.

A^TA^-1 ஆனது சமச்சீர் எனில் A²= ______.

(a)

A^-1

(b)

(A^T)²

(c)

A^T

(d)

(A^-1)²

28.

\(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)எனில், A= ______.

(a)

\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \)

(b)

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right] \)

(c)

\(\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

(d)

\(\left[ \begin{matrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] \)

29.

|x| < 1 எனில், sin(tan^-1 x) -ன் மதிப்பு _______.

(a)

\(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

(b)

\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

(c)

\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

(d)

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

30.

சார்பு f(x) = sin^-1(x²-3) எனில், x இருக்கும் இடைவெளி _______.

(a)

[-1, 1]

(b)

[\(\sqrt2\), 2]

(c)

\(\\ \\ \\ \left[ -2,-\sqrt { 2 } \right] \cup \left[ \sqrt { 2 } ,2 \right] \)

(d)

\(\left[ -2,-\sqrt { 2 } \right]\)

31.

\({ \sin }^{ -1 } x+{ \sin }^{ -1 }y=\frac { 2\pi }{ 3 } ;\) எனில் cos^-1 x+cos^-1 y என்பதன் மதிப்பு _______.

(a)

\(\frac{2\pi}{3}\)

(b)

\(\frac{\pi}{3}\)

(c)

\(\frac{\pi}{6}\)

(d)

\({\pi}\)

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Multiple Choice Question

31 x 1 = 31

கூற்றுகளின் எண்ணிக்கை =3
மெய்மை அட்டவணையில் நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2³ = 8 நிரைகள்

(a)
S➝S

p	q	\(\neg \mathbf{q}\)	\(\mathbf{p} \vee(\neg \mathbf{q})\)	\(\neg(\mathbf{p} \vee(\neg \mathbf{q}))\)
T	T	F	T	F
T	F	T	T	F
F	T	F	F	T
F	F	T	T	F

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3

\(\mathrm{f}(x) =x^2 \mathrm{e}^{-2 x}, x>0\) என்க.
\(f^{\prime}(x) =-2 x^2 \mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{-2 x}(2 x) \)
\(\mathrm{f}^{\prime}(x) =2 \mathrm{e}^{-2 x}\left(x-x^2\right)\)
f பெருமத்திற்கு, \(\mathrm{f}^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \mathrm{e}^{-2 x} \neq 0, x-x^2=0 \Rightarrow x(1-x)=0 \Rightarrow x=0,1\)
x > 0 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே x = 1
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2\left[\mathrm{e}^{-2 x}(1-2 x)+\left(x-x^2\right)\left(-2 \mathrm{e}^{-2 x}\right)\right. \)
\(=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[1-2 x-2 x+2 x^2\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[2 x^2-4 x+1\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(1)=2 \times \mathrm{e}^{-2}[2-4+1]=\frac{-2}{e^2}<0\)
x = 1 ல், பெரும மதிப்பை அடையும்
எனவே f(x) ன் பெரும மதிப்பு = \(\mathrm{f}(1)=1^2 \times \mathrm{e}^{-2} \)
\(=\frac{1}{e^2}\)

s(t) = 3t² -2t -8
திசைவேகம் V = ds/dt = 6t - 2
துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும்போது, திசைவேகம் V = 0
6t - 2 = 0
t = 1/3

10.

(b)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -y=0\)

11.

(d)
0

12.

\(w(x, y) =x^y \)
\(\frac{\partial w}{\partial x} =y x^{y-1}\)

13.

(d)
\(\frac{2}{3}\)

14.

(a)
\(\frac{11}{243}\)

15.

நிகழ்தகவு நிரைச் சார்பு

x	36	-1	-4	-9	-16	-25
f(x)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)

\(E(X)=\frac{36}{6}-\frac{1}{6}-\frac{4}{6}-\frac{9}{6}-\frac{16}{6}-\frac{25}{6}=-\frac{19}{6}\)

16.

\( {[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]^2 } =\left[[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2\right]^2=[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^4 \\ =3^4=81 \)

17.

\( \frac{\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})}{(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}} +\frac{\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})}{(\vec{a} \times \vec{b})+\vec{c}}+\frac{\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})}{(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}} \\ =\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}+\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}-\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} \\ =1+1-1=1 \)

18.

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \\ \vec{c} =\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \vec{a}=\lambda \vec{a}\)
\( \Rightarrow \vec{a} \) என்பது \(\vec{c}\) க்கு இணையானவை

19.

\( \text { Let } z=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4 i(1-i \sqrt{3})}=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4(\sqrt{3}+i)} \)
\( \arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})^2-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \arg (1+i \sqrt{3})-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \frac{\pi}{3}-0-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \)

20.

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

21.

\(|z| =1 \Rightarrow|z|^2=1 \)
\(z \bar{z} =1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \)
\(\frac{1+z}{1+z} =\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1+z}{\frac{1+z}{z}}=z \)

22.

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(y=\mathrm{m} x+2 \sqrt{5}\)
இங்கு
\( m=m ; c=2 \sqrt{5} \\ a^2=9 \quad b^2=16 \\ a=3 \quad b=4 \\ c^2=a^2 m^2-b^2 \\ (2 \sqrt{5})^2=9 m^2-16 \\ 20+16=9 m^2 \Rightarrow m^2=\frac{36}{9}=4 \)
\(\therefore m= \pm 2 \) என்பது \(x^2-(a+b) x-4=0\)
\(2^2-(a+b) 2-4=0 \Rightarrow a+b=0\)

23.

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2 =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

24.

\( 3 x^2+b \mathrm{y}^2+4 b x-6 b \mathrm{y}+b^2 =0 \\ a=\mathrm{b} \ \Rightarrow \ b =3=\mathrm{a} \)
\( 3 x^2+3 y^2+12 x-18 y+9=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y+3=0 \\ 2 g=4 ; 2 f=-6 ; c=3 \\ g=2 ; f=-3 \\ r=\sqrt{g^2+f^2-c} \\ =\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10} \)

25.

adj (adj A) = |A|^{n - 2} A
|A|^3-2 = A = |A| A
IA| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2)
= 3 + 6 - 8 = 1
adj (adj A) = 1 A = A

26.

கொடுக்கப்பட்டது \(x^{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{b}}=\mathrm{e}^{\mathrm{m}} ; x^{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{d}}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}}\)
மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது
\( a \log x+b \log y=m \) ...(1)
\(c \log x+d \log y=n \) ...(2)
\(X=\log x, Y=\log y \) என்க.
\(\therefore(1) \Rightarrow a X+b Y=m \) ...(3)
\((2) \Rightarrow c X+d Y=n\) ...(4)
கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\Delta=\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=\Delta_3\) கொடுக்கப்பட்டது
\( \Delta_X=\left|\begin{array}{ll} m & b \\ n & d \end{array}\right|=\Delta_1 \) கொடுக்கப்பட்டது
\(\Delta_Y=\left|\begin{array}{ll} a & m \\ c & n \end{array}\right|=\Delta_2 \) கொடுக்கப்பட்டது
\( \therefore \mathrm{X}=\frac{\Delta_{\mathrm{X}}}{\Delta}=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow \log x=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow x=\mathrm{e}^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}} \)
\( Y=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow \log y=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow y=e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}} \\ \)

27.

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T = A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

28.

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது,
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

29.

\( \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1 \\ \because \tan ^{-1} x =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \therefore \sin \left(\tan ^{-1} x\right) =\sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

30.

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

31.

\( \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\sin ^{-1} y =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi \\ \frac{2 \pi}{3}+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi \\ \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi-\frac{2 \pi}{3} \\ =\frac{3 \pi-2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} \)