கொடுக்கப்பட்ட சார்பு y = a cos(log x) + bsin (log x) ...(1)
இங்கு a, b என்பன ஏதேனும் இரண்டு மாறிலிகள். இவ்விரு மாறிலிகளையும் நீக்க கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் தொடர் வகைக்கெழுக்களை இருமுறை காணவேண்டும்.
சமன்பாடு (1)-ன் இருபக்கமும் x ஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண நாம் பெறுவது,
y' = asin (log x) .\(\frac { 1 }{ x } \) + bcos (logx). \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ xy' = -asin (log x) + bcos (log x).
இச்சமன்பாட்டினை மீண்டும் xஐப் பொருத்து வகையிட,
xy'' + y' = -acos (log x). \(\frac { 1 }{ x } \) - bsin (log x). \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ x²y" + xy^' + y = 0.
எனவே, y = a cos(log x) + bsin (log x) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

x³+2x²+3x+4=0 மூலங்கள் α,β,\(\gamma \)
∴ α+β+\(\gamma \)=-x²-ன் கெழு =-2    ........(1)
αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α=x-ன் கெழு =3     ......(2)
-α β \(\gamma \) =+4 ⇒ α β \(\gamma \)=-4         ........(3)
2α,2β,2\(\gamma \) வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்குக
2α+2β+2\(\gamma \)=2(α,β,\(\gamma \))=2(-2)=-4 [(1) லிருந்து]
4αβ+4β\(\gamma \)+4\(\gamma \)α=4(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)=4(3)=12 [(2) லிருந்து]
(2α) (2β) (2\(\gamma \)) =8(αβ\(\gamma \)) =8(-4)=-32 [(3) லிருந்து]
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(2α+2β+2\(\gamma \))x²+(2αβ+2β\(\gamma \)+2\(\gamma \)α)x-(2α) (2β) (2\(\gamma \))=0
⇒ x³-(4)x²+12x+32=0
⇒ x³+4x²+12x+32=0

x	0	\(\frac { \pi }{ 2 } \)	π	\(\frac { 3\pi }{ 2 } \)	2π	\(\frac { 5\pi }{ 2 } \)	6π
sin \(\left( \frac { 1 }{ 3 } x \right) \)	0	sin \(\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \)	sin \(\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \)	sin \(\left( \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 3\pi }{ 2 } \right) \)	sin \(\left( \frac { 1 }{ 3 } \times 2\pi \right) \)	sin \(\left( \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 5\pi }{ 2 } \right) \)	sin 2π
y	0	\(\frac { 1 }{ 2 } \)	\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)	1	\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)	\(\frac { 1 }{ 2 } \)	0

(0, 0) \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) ,\left( \pi ,\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) ,\left( \frac { 3\pi }{ 2 } ,1 \right) ,\left( 2\pi ,\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) ,\left( \frac { 5\pi }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) \) மற்றும் (6π, 0) என்ற புள்ளிகளை குறி.

q → p: (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது”

x என்பது முதலீட்டுத்தொகை என்க.தொகை ஒவ்வொரு வருடமும் மாறுவதால் அதன் மாறுவீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dx }{ dt } \) மற்றும் ஒவ்வொரு வருடமும் மற்றொரு முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வரவு ரூ.400 இத்தொகையுடன் தொடர்ச்சியாக சேர்க்கப்படுகிறது.
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 8 }{ 100 } \times x+400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 2x }{ 25 } +400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } -\cfrac { 2 }{ 25 } x-400=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

ஆரம் r உள்ள கோளத்தின் வளைபரப்பு S(r) = 4\(\pi \)r²என்பதை நினைவு கூர்க. நம்மால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சரியான மாற்றத்தைக் கணக்கிட முடியும் என்றாலும் நேரியல் தோராய மதிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி தோராய மதிப்பைக் காணலாம். சமன்பாடு (4)-ன்படி
வளைபரப்பின் தோராய மாற்றம் = S(5.2) - S(5) ≈S'(5)(0.2)
= 8\(\pi \)(5)(0.2)
=8\(\pi \) செமீ²
சரியான கணக்கீட்டின்படி வளைபரப்பின் மாற்றம் S(5.2) − S(5) = 108.16\(\pi \)-100\(\pi \)= 8.16 செமீ².
சதவீதப் பிழை = சார்பிழை x  100 = \(\frac { 8.16\pi -8\pi }{ 8.16\pi } \) x 100 = 1.9607%

u = 1 - x²  மற்றும் ν  = e^-λx  என்க. பெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது
I = \(\int ^{1}_{-1} e^{-λx} (1-x^2) dx\) = \([(1-x^2) (\frac{e^{-λx}}{-λ})\) - (-2x) \( (\frac{e^{-λx}}{λ^2})\) + (-2) \( (\frac{e^{-λx}}{-λ^3})\)\(]^{1}_{-1}\)
= 2\( (\frac{e^{-λ}}{λ^2})\)  + 2  \( (\frac{e^{-λ}}{λ^3})\) + 2  \( (\frac{e^{λ}}{λ^2})\) - 2  \( (\frac{e^{λ}}{λ^3})\)
= \(\frac {2}{λ^2}\) (e^λ + e ^-λ) - \(\frac {2}{λ^3}\)  (e^λ - e ^-λ)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு y = x + c
m = 1, c = c
அதிபரவளையம் சமன்பாடு 9x²-16y² = 144
\(\div 144\) கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
a² =16, b² = 9
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) c² = 16(1)2 - 9 = 16 - 9 = 7
\(\therefore c=\pm \sqrt { 7 } \) 

குவியங்கள் y -அச்சில் அமைவதால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(^{ }\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\left( a<b \right) \)
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 16 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 7 }{ 16 } \right) \) 
\(\Rightarrow b=\cfrac { a\sqrt { 7 } }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { { 7a }^{ 2 } }{ 16 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
(6,4)வழிச் செல்கிறது 
\(\cfrac { 16(36) }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } \left( \cfrac { 36 }{ 7 } +1 \right) =1\Rightarrow \cfrac { 36+7 }{ 7 } =\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 43 }{ 7 } \times 16={ a }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) 
\({ a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 7\left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 688 } +\cfrac { { 7y }^{ 2 } }{ 688 } =1\)

\(\overset { \rightarrow }{ r } \) = \(x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
\(\therefore x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } =(s-2t)\overset { \wedge }{ i } +(3-t)\overset { \wedge }{ j } +(2s+t)\overset { \wedge }{ k }\) ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை இருபுறமும் ஒப்பிட கிடைப்பது 
x = s - 2t 
y = 3 - t
z = 2s + t
நீக்க s மற்றும் t யை அணிக்கோவையை பயன்படுத்தி கிடைப்பது 
\(\left| \begin{matrix} x \\ y-3 \\ z \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ x (0 + 2) - 1(y - 3 +z) -2 (2y - 6 - 0) = 0
⇒ 2x - y + 3 - z - 4y + 12 = 0
⇒ 2x - 5y - z + 15 = 0

\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்க. தேவையான வெக்டர் \(\overset { \rightarrow }{ r } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ a } =-1\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \right) =-1\)
⇒ 3x - 5z = -1      ......(1)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ b } =6\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j }+z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left(2\overset {\wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right)\) = 2x + 7y = 6  ....(2)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ i } =5\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \) = x + y + z = 5   ...(3)
தீர்க்க (1), (2) மற்றும் (3) ல் கிடைப்பது 
x = 3, y = 0 மற்றும் z = 2.
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ r } =3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ k } \)

பிரதியிடு 5+2√6=y; இனி 5-2√6=\(\frac{1}{y}\)
∴ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது 
\({ y }^{ { x }^{ 2 }-3 }+{ \left( \frac { 1 }{ y } \right) }^{ { x }^{ 2 }-3 }=10\)
பிரதியிடு \({ y }^{ { x }^{ 2 }-3 }=z\quad \quad \quad \quad \quad ...(1)\)
\(\Rightarrow z+\frac { 1 }{ z } =10\Rightarrow { z }^{ 2 }-10z+1=0\)
\(\Rightarrow z=\frac { 10\pm \sqrt { 100-4 } }{ 2 } =5\pm 2\sqrt { 6 } \)
\(\\ \therefore (5+2\sqrt { 6 } )^{ { x }^{ 2 }-3 }=5\pm 2\sqrt { 6 } =(5\pm 2\sqrt { 6 } )\pm 1\)
⇒ x²-3=1 (அ) x²-3=-1
⇒  x²=4 (அ) x²=2
⇒ x=土2 (அ) x=土√2
∴  மூலங்கள் 2,-2, √2,-√2

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\({ 2 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 8+4+2 }{ 8 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 49+7+1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 57 }{ 49 } \right) \Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } =\frac { { 7 }^{ x } }{ { 2 }^{ x } } \)
\(\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\Rightarrow \frac { { 7 }^{ 3 } }{ 4\times 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\)
\(\Rightarrow xlog\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) =3log7-log4-log57\)
\(\Rightarrow \quad x=\frac { 3log7-log4-log57 }{ log\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) } \)

\(\frac { z+1 }{ z-1 } =\frac { x+iy+1 }{ x+iy-i } =\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-i) } \)
\(=\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-1) } \times \frac { x-i(y-1) }{ x-i(y-1) } \)
மெய்பகுதியை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { (x+1)x-{ i }^{ 2 }y(y-1) }{ { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } =0\)
⇒ x (x + 1) +y (y - 1) = 0
x²+ x + y² - y = 0 என்பது z - ன் நியமப்பாதை.

\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =A\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =sinA\) என்க.
\(cosA=\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 13 } \right) =B\Rightarrow sinB=\frac { 5 }{ 13 } \) என்க.
\(\Rightarrow cosB=\frac { 12 }{ 13 } \)
\(\therefore cos\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] =cos(A+B)\)
= cos A cos B  - sin A sin B
\(=\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 12 }{ 13 } -\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க. 
\(\therefore tan\theta =\frac { opp }{ adj } =\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(LHS={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x+{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \right] \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 5 } }{ 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 15+12 }{ 20 } }{ \frac { 20-9 }{ 20 } } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 20 } \times \frac { 20 }{ 11 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) \)

z = -2i = 2(-i) என்க
= \(2\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
[∵ cos (-θ) = cos θ and sin(-θ) = - sinθ]
-2i ன் முதன்மை மதிப்பு -\(\frac { \pi }{ 2 } \)

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} h+2 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க Aன் தரம் 3விட குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில் ஒவ்வொரு 3 வரிசையுடைய சிற்றிணிக்கோவையும் பூச்சியமாக இருத்தல் வேண்டும்.
\(\therefore \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} h-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| +0+0=0\)
⇒ 3(h-2)=0
⇒ h-2=0⇒h=2

\(AB=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8+3 & 10+4 \\ 20+9 & 25+12 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(|AB|=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=407-406=1\neq 0\)
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{bmatrix}..(1)\)
\(|A|=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=6-5=1\)
\(|B|=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=16-15=1\)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 12+25 & -4-10 \\ -9-20 & 3+8 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (AB)^-1 =B^-1A^-1

\({ \sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } -{ \cos }^{ -1 }\frac { 12 }{ 13 } ={ \sin }^{ -1 }\frac { 16 }{ 65 } \)
sin^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \) = x ⇒ sin x = \(\frac { 3 }{ 5 } \)

மற்றும் cos x = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
மற்றும் cos^-1 \(\left( \frac { 12 }{ 13 } \right) \) = y ⇒ cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
sin y = \(\frac { opp }{ hyp } =\frac { 5 }{ 12 } \)

நமக்கு தெரியும்.
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
= \(\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 12 }{ 13 } -\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 5 }{ 12 } =\frac { 36 }{ 65 } -\frac { 20 }{ 65 } =\frac { 16 }{ 65 } \)
∴ x - y = sin^-1 \(\left( \frac { 16 }{ 65 } \right) \)
⇒ sin^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \) - cos^-1 \(\left( \frac { 12 }{ 13 } \right) \) = sin^-1 \(\left( \frac { 16 }{ 65 } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டுக்கு இணையாக உள்ள ஓரலகு வெக்டர் \(\\ \hat { b } \) என்க. பின்னர், \(\hat { b } =\frac { 2\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } }{ |2\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } | } =\frac { 1 }{ 3 } (2\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } )\). ஆகவே, \(\\ \hat { b } \) -ன் திசைக் கொசைன்களின் வரையறைப்படி, நாம் பெறுவது
\(cos\alpha =\frac { 2 }{ 3 } ,cos\beta =\frac { 2 }{ 3 } ,cos\gamma =\frac { 1 }{ 3 } \)
இங்கு α, β, ү என்பன முறையே மிகை x -அச்சு, மிகை y -அச்சு மற்றும் மிகை z -அச்சுக்களுடன் \(\\ \hat { b } \) ஏற்படுத்தும் கோணங்கள் ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடு ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் கோணங்களும் \(\\ \hat { b } \) முறையே ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் கோணங்களும் சமம் என்பதால் \(\alpha =cos^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) ,\beta =cos^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) ,\gamma =cos^{ -1 }\left( \frac { -1 }{ 3 } \right) \) எனப் பெறுகிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட விசைகளின் விளைவு விசை \(\hat{F}\) = \((\hat { 2j } +\hat { 5j } +\hat { 6k } )\) + \((-\hat { i } -\hat { 2j } -\hat { k } )\)=\(\hat { i } +\hat { 3j } +\hat {5 k } \)
A,B என்பவை குறிக்கும் புள்ளிகள் முறையே (4,-3,-2), (6,1,-3) என்க. துகளின் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டர் \(\vec { d } =\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =(\hat { 6i } +\hat { j } -\hat { 3k } )-(\hat { 4i } -\hat { 3j } -\hat { 2k } )=\hat { 2i } +\hat { 4j } -\hat { k } \)
எனவே, விசைகள் செய்த மொத்த வேலை w = \(\vec { F } .\vec { d } =(\hat { i } +\hat { 3j } +\hat { 5k } ).(\hat { 2j } +\hat { 4j } -\hat { k } )\) = 9 அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு x⁴-9x²+20=0 ஆகும்.
இது ஒரு நாற்படிச் சமன்பாடாகும். x²=y எனப் பிரதியிட y²-9y+20=0 எனும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதன் தீர்வு 4 மற்றும் 5ஆகும். இனி x²=4 மற்றும் x²=5 என எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு 2,-2,\(\sqrt { 5 } \), -\(\sqrt { 5 } \) என்பது தீர்வுகளாகும்.
மேற்கண்ட வழிமுறையை x⁶ −17x³ + 30 = 0, ax^2k + bx^k + c = 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளுக்கும் மற்றும் a_nx^kn + a_n-1kⁿ⁻¹ + .....+ a₁x^k + a₀ (இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) என்ற முறையில் அமையும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

RHS :  A^T =\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \)
LHS : A என்பது வரிசை 3 உடைய அணி என்பதால் 
A^T=\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & -8 \\ 4 & 7 & 4 \end{matrix} \right] \)                        ....(1)
\({ (\lambda A) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \lambda } .{ A }^{ -1 }\)எனவே அறிவோம்.
\({ A }^{ -1 }={ \left\{ \frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \right\} }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 9 } } { \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
இங்கு \(\lambda =\frac { 1 }{ 9 } \)
\({ A }^{ -1 }=9{ B }^{ -1 }\) இங்கு \(\\ B={ \left[ \begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)      ...(2)
இங்கு, |B|=-8\(\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{matrix} \right| \)
= -8(16 + 56) -1(16 - 7) + 4 (-32 - 4)
=-8(72) -1(9) + 4(-36) = 576 - 9 - 144
= -729
\(adj\ B={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} +(16+56) \\ -(4+32) \\ +(7-16) \end{matrix}\begin{matrix} -(16-7) \\ +(-32-4) \\ -(-56-16) \end{matrix}\begin{matrix} +(-32-4) \\ +(64-1) \\ +(-32-4) \end{matrix} \right] ^T\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 72 \\ -36 \\ -9 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ -36 \\ 72 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -63 \\ -36 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 72 \\ -9 \\ -36 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ -63 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 72 \\ -36 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac {1}{81} \times 9\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\frac { -9 }{ 729 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 82 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
(2) பிரதியிட கிடைப்பது, 
\({ A }^{ -1 }=9.\frac { 1 }{ 81 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \quad ...(3)\)
(1) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது, A^T = A^-1

\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 20 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \frac { 22 }{ 3 } \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 16 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 3R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 22 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 48 \end{matrix} \right] \)

\(\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\left(\frac{a+b}{2}\right) ; \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Q}\)
(அ) எல்லா a \(\in \mathbb{Q}\) க்கும்
a \(*\) e = e \(*\) a = a
இப்போது, a \(*\) e = a
\(\frac{a+e}{2}=\mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{e}=2 \mathrm{a}\)
e = 2a - a = a           ....(1)
இது சாத்தியமல்ல.
(ஆ) எல்லா \(\mathrm{b} \in \mathbb{Q}\) க்கும்
b \(*\) e = e \(*\) b = b
இப்போது, b \(*\) e = b
\(\frac{b+e}{2}=b \Rightarrow a+e=2 b\)
e = 2b - b = b           .....(2)
இது சாத்தியமல்ல.
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, சமனி உறுப்பு ஒருமைத் தன்மை வாய்ந்ததாக இல்லை.
சமனி உறுப்பு இல்லாததால் இங்கு எதிர்மறை உறுப்பும் இல்லை.

உருளையின் கன அளவு V = \(\pi \)r²h என்பதை நினைவு கூர்வோம், இங்கு ஆரம் r மற்றும் உயரம் h ஆகும். V (r)= \(\pi \)r²h = 20\(\pi \)r²
V (10.1) −V (10)≈ \(\frac { dV }{ dr } { { | }_{ r=10 } }\) (10.1 - 10) = 20\(\pi \)2(10(0.1))
எனவே கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் மதிப்பு 40 \(\pi \) செமீ³
கன அளவில் ஏற்படும் துல்லியமான மாற்றம்
V (10.1) −V (10) = 2040.2\(\pi \) -2000\(\pi \) =40.2\(\pi \) செமீ³.
எனவே சார்பிழை = \(\frac { 40.2\pi -40\pi }{ 40.2\pi } \)=\(\frac { 1 }{ 201 } \)=0.00497;
மற்றும் சதவீதப் பிழை = சார்பிழை x 100 = \(\frac { 1 }{ 201 } \) x  100 = 0.497% 

\(X\sim B(n,p)\)
கொடுக்கப்பட்டது, \(4P(X=4)=P(X=2),n=6\) 
\(P(X=x)=^{ n }C_{ x }{ p }^{ x }{ q }^{ n-x },x=0,1,2,...n\)
\(\Rightarrow 4^{ 6 }{ C }_{ 4 }{ p }^{ 4 }{ q }^{ 2 }=^{ 6 }{ C }_{ 2 }{ p }^{ 2 }{ q }^{ 4 }\)
\(\Rightarrow 4{ p }^{ 2 }={ q }^{ 2 }\)
\(4(1-q)^{ 2 }={ q }^{ 2 }\) \(\Rightarrow\) 2p = q    (\(\because\) p, q \(\geq\) 0)
ஆனால் p + q = 1 \(\Rightarrow\) p + 2p = 1 \(\Rightarrow\) 3p = 1
\(\begin{array}{r} \Rightarrow p=\frac{1}{3} \end{array}\)
\(\begin{array}{r} q=1-p=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \end{array}\)
\(\mathrm{P}(X=x)={ }^6 \mathrm{C}_x\left(\frac{1}{3}\right)^x\left(\frac{2}{3}\right)^{6-x},\) x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
சராசரி = np = \(6 \times \frac{1}{3}=2\)
திட்டவிலக்கம் \(=\sqrt{n p q}=\sqrt{2 \times \frac{2}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது லாட்டரியில் கிடைக்கும் வெற்றி தொகையைக் குறிக்கட்டும்.
சமவாய்ப்பு மாறி x-ன் மதிப்புகள்  -2 48 98 198 மொத்தம் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை  589 6 4 1 600 நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
x -2 48 98 198 f(x) \(\cfrac { 589 }{ 600 } \) \(\cfrac { 6 }{ 600 } \) \(\cfrac { 4 }{ 600 } \) \(\cfrac { 1 }{ 600 } \) \(E(X)=-2\times \cfrac { 589 }{ 600 } +48\times \cfrac { 6 }{ 600 } +98\times \cfrac { 4 }{ 600 } +198\times \cfrac { 1 }{ 600 } \) 
= -0.5
நட்டம் (அல்லது)நஷ்டம் = ரூ.0.5

I =  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx  என்க.   --- (1)
\(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx = \(\int ^{a}_{0}\) f(a-x)dx  என்பதை (1)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
 I =  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(a-x)}}{f{(a-x)}+f(a-(a-x))}\) dx
= \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(a-x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx.  ----- (2)
சமன்பாடுகள் (1)-ம் (2)-ம் கூட்டக் கிடைப்பது,
2I =  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx +  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(a-x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx
= \(\int ^{a}_{0} \frac{f(x) +f{(a-x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx
= \(\int ^{a}_{0} dx = a\)
எனவே நாம் பெறுவது  I = \(\frac{a}{2}\).

\(f(x)=x(x+3)e^{-\frac{\pi}{2}},-3\le x\le0\) 
f(x) என்பது [-3, 0]ல் தொடர்ச்சியானது. &
f(x) என்பது (-3, 0)ல் வகையிடத்தக்கது.
\(f(-3)=-3(-3+3)e^{ -\frac { \pi }{ 2 } }=0\) 
\(f(0)=0\) 
\(\Rightarrow f(-3)=f(0)=0\) 
தொடுகோடு x-அச்சுக்கு இணை என்பதால் 
\(f'(c)=0\) 
\({ e }^{ -\frac { \pi }{ 2 } }(2c+3)=0\quad f'(x)={ e }^{ -\frac { \pi }{ 2 } }(2x+3)\) 
\(2c+3=0\) 
\(c=-\cfrac { 3 }{ 2 } \in \left( -3,0 \right) \) 
எனவே, புள்ளி வளைவரையின் மேல் அமைகிறது.

\(f(x)=(x-2),(x-7), x\in [3,11]\) 
f(x) என்பது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டது.
கொடுக்கப்பட்டது: தொடுகோடு, x=3 மற்றும் x=11 இடையில், முனைப்புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நாணுக்கு இணையாக உள்ளது.
\(\therefore f'\left( c \right) =\cfrac { f\left( b \right) -f(a) }{ b-a } \) 
\(2c-9=\cfrac { 36+4 }{ 11-3 } \) இங்கு \(f'(x)=2x-9\) 
\(2c-9=\cfrac { 40 }{ 8 } =5\) 
\(2c=14\Rightarrow c=7 \in \left( 3,11 \right) \) 
\(\therefore x=7\)

முனை (0, 0) என்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax

(1) விட்டம் 40 செ.மீ மற்றும் உயரம் 30 செ.மீ. என உள்ளதால் பரவளையத்தின் விளிம்பில் உள்ள ஒரு புள்ளி (30,20) ஆகும்.
20² = 4a ×30
4a = \(\frac { 400 }{ 30 } \) = \(\frac { 40 }{ 3 } \)
சமன்பாடு y² = \(\frac { 40 }{ 3 } \)x.
(2) குமிழ் குவியத்தில் (0, a) ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே குமிழ் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து \(\frac {10}{3}\) செ.மீ. தூரத்தில் பொருத்தப்பட வேண்டும்.

அதிபரவளையத்தின் செவ்வகலம் LL'S (ae, 0) வழிச் செல்கிறது.

\(\therefore L=\left( ae,y_1 \right) \)
L ஐ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { a }^{ 2 }{ e }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\Rightarrow { e }^{ 2 }-\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow { e }^{ 2 }-1=\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \) \([{ b }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } ={ e }^{ 2 }-1]\)
\(\Rightarrow { { y }_{ 1 }^{ 2 } }={ b }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \ \) 
\({ y }_{ 1 }^{ 2 }={ b }^{ 2 }\left( \cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \right) \Rightarrow { y }_{ 1 }^{ 2 }=\cfrac { { b }^{ 4 } }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow { y }_{ 1 }=\pm \cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \)
 \(\therefore\) செவ்வகலத்தின் முடிவுப் புள்ளிகள் L மற்றும் 
\({ L }^{ ' }\left( ae,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \right) \) மற்றும் \(\left( ae,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \right) \)
ஆகையால் செவ்வகலத்தின் நீளம் \({ LL }^{ ' }=\cfrac { b^{ 2 } }{ a } +\cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } \)
= \(\cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \) அலகுகள்

\(\frac { 2\left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } +isin\frac { 9\pi }{ 4 } \right) }{ 4\left( cos\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) } \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( \left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } -\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) +isin\left(\frac { 9\pi }{ 4 } -\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( \frac { 9\pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { 9\pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 2 } \right) \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( \frac { 15\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 15\pi }{ 4 } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( 4\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( 4\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -i\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(\frac { 2\left( cos\frac { 9\pi }{ 4 } +isin\frac { 9\pi }{ 4 } \right) }{ 4\left( cos\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 2 } \right) \right) } \) = \(​​\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } -i\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 4 } -i\frac { \sqrt { 2 } }{ 4 } \)
இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்டது : கலப்பெண்கள் சமம். எனவே  (3 -i) x - (2 - i) y + 2i + 5
= 2x + (-1 + 2i) y + 3 + 2i
⇒ 3x - ix - 2y + iy + 2i + 5 = 2x - y + 2iy + 3 + 2i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை தேர்ந்தெடுக்க
(3x-2y + 5) + i (-x + y + 2) = 2x - y + 3 + i (2y+ 2)
இருபுறமும் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட கிடைப்பது.
3x- 2y+ 5 = 2x-y+3
⇒ 3x - 2y + 5 - 2x + y - 3 = 0
⇒ x-y = -2  ...(1)
⇒ -x + y + 2 = 2y + 2
⇒ -x + y + 2 - 2y - 2 = 0
⇒ -x - y = 0 = x + y = 0 ... (2)
(1) - (2) கிடைப்பது,
x - y =   -2
(-) x+y = 0
_____________
-2y + 2 = 0
⇒ y = 1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
x + 1 = 0 ⇒ 0 - x = -1
∴ x = - 1 மற்றும் y = 1