\(\neg \mathbf{p} \wedge \neg \mathbf{q}\)

\(((p\wedge q)\vee (\neg r\vee \neg s))\wedge (\neg t\wedge v)\) என்ற கூற்றில் p, q, r, s,t, v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2⁶ = 64 நிரைகள் இடம்பெறும்.

 g(x,y,z) = \(\frac { \sqrt { 3{ x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ 4x+7y } \)
\(g\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z \right) =\cfrac { \sqrt { { 3\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+5{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 }{ z }^{ 2 } } }{ 4\lambda x+7\lambda y } \) 
= \(\cfrac { \lambda \sqrt { { 3x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ \lambda \left( 4x+7y \right) } \) 
= \({ \lambda }^{ 0 }g\left( x,y,z \right) \) 
எனவே g என்பது படி 0 உடைய சமபடிதான சார்பு ஆகும்.

 h(x,y) = \(\frac { 6{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-\pi { y }^{ 5 }+9{ x }^{ 4 }y }{ 2020{ x }^{ 2 }+2019{ y }^{ 2 } } \)
\(h\left( \lambda x,\lambda y \right) \cfrac { { 6\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }{ \lambda }^{ 3 }{ y }^{ 3 }-\pi { \lambda }^{ 5 }{ y }^{ 3 }-{ \pi \lambda }^{ 5 }{ y }^{ 5 }+9{ \lambda }^{ 4 }{ x }^{ 4 }\lambda y }{ 2020{ \lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+2019{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { \lambda }^{ 5 }\left( { 6x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-{ \pi y }^{ 5 }+9{ x }^{ 4 }y \right) }{ { \lambda }^{ 2 }\left( 2020{ x }^{ 2 }+2019{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }h\left( x,y \right) \)

இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { dy }{ dx } \) ,எனவே இதன் வரிசை 1.
இதில் \({ e }^{ xy\left( \frac { dy }{ dx } \right) }\) என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 3\times 2 }=1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) \) 
\(\left( \cfrac { d^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 6 }=1+\cfrac { dy }{ dx } \) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 6.
\(\therefore \) வரிசை =2 மற்றும் படி = 6.
 

[a, b] என்ற இடைவெளியில் சராசரி மாறுபாட்டு வீதம் \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ஆகும். அதேசமயத்தில் x புள்ளியில் கணப்பொழுது மாறுபாட்டு வீதம் கொடுக்கப்பட்ட சார்பிற்கு f'(x) ஆகும். அவை முறையே, b + a மற்றும் 2x ஆகும்.
மாறுபாட்டு வீதங்கள் 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 3y² = a²
\(\div { a }^{ 2 }\) கிடைப்பது, \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } } =1\) 
இங்கு a² = a² மற்றும் \({ b }^{ 2 }=\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 3 } \Rightarrow b=\cfrac { a }{ \sqrt { 3 } } \) 
நெட்டச்சின் நீளம் 2a மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் \(2b=\cfrac { 2a }{ \sqrt { 3 } } \times \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 2a\sqrt { 3 } }{ 3 } \)

AOB என்பது பிரதிபலிப்பான் குறுக்குவெட்டு என்க m,AB -ன் மையப்புள்ளி பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
A(6,12), (1) ல் அமைந்துள்ளது.

\(\therefore 12^{ 2 }=4a(6)\Rightarrow a=6\) 
\(\therefore \) குவியங்கள் (a, 0) = (b, 0)
குவியம் m-ன் மீது அமைகிறது, AB-ன் மையப்புள்ளி.

புள்ளி \(\vec { r } =\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \) வழிச் செல்கிற மற்றும் செங்குத்து \(\vec { n } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) உடைய தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )=(\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ).(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 2 - 3 + 4 = 3
∴ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 3

கொடுக்கப்பட்ட விசைகளின் விளைவு \(\overset { \rightarrow }{ F } \) என்க.
\(\overset { \rightarrow }{ F } =\left( 2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right) +\left( 2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \right) +\left( -\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(=3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ r } \) = P-ன் நி.வெ - Q-ன் நி.வெ 
\(\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 6\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \tau =\overset { \rightarrow }{ r } \times \overset { \rightarrow }{ F } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-20-4)-\overset { \wedge }{ j } (-10-3)+\overset { \wedge }{ k } (-8+12)\)
\(=-24\overset { \wedge }{ i } +13\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

இருப்படிச் சமன்பாடு 3x²+2(a²+1)x+(a²-3a+2)க்கு 
இரண்டு மூலங்கள் வெவ்வேறான குறிகளை கொண்டிருக்க வேண்டுமெனில் மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் எதிர்மறை மதிப்புடையது.
⇒ 4(a²+12)-12(a²-3a+2) ≥ 0 மற்றும் \(\frac { { a }^{ 2 }-3a+2 }{ 3 } <0\)
இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் உண்மையெனில் 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }-3a+2<0\)
\(\Rightarrow (a-1)(a-2)<0\)

கொடுக்கப்பட்ட tan^-1 x = sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = sin^-1 \(\left( sin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow x=tan\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\therefore x=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)

\(z={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\)
\(\bar { z } ={ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }+{ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }\)
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\) = z
ஆதலால் z = \(\bar { z } \), Im (z) = 0

cos^-1 \(\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \) = y என்க. இங்கு 0 ≤ y ≤ π
இனி cos^-1 \(\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \) = y ⇒ cos y = \(\frac { -1 }{ 2 } \)
⇒ cos y = -cos \(\frac { \pi }{ 3 } \) = cos \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =cos\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
⇒ y = \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because \frac { 2\pi }{ 3 } \epsilon [0,\pi ] \right] \)
∴ முதன்மை மதிப்பு cos^-1 \(\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \) என்பது \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)  

(cos θ + i sin θ)² = cos 2θ + isin 2θ [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
⇒ cos 2θ + isin 2θ = x + iy
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
x = cos 2θ, y = isin 2θ
∴ x² + y² = cos²θ + sin²2θ = 1
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட A³=I ⇒|A³|=|I|
⇒ |A.A.A|=1
⇒ |A|.|A|.|A|=1
⇒ |A|³=1
∴ |A|≠0
எனவே, A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி 

2x + 5y = -2
x + 2y = -3
x = A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2\\ -3\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A=\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]_{2\times 2}\)
|A| = 4 - 5 = -1 \(\neq\) 0
A^-1 exists
Adj (A) = adj \(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(=\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\)
X=A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ] =\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} -2\\ -3 \end{matrix} \right ]\)
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2x-2& + 5x-3\\ 1x-2& + -2x-3\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -11\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
x = -11, y = 4

வட்டத்தின் சமன்பாடு 
2x² + 2y² - 6x + 4y + 2 = 0
2 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
x² + y² - 3x + 2y + 1 = 0
இங்கு \(2g=-3\Rightarrow g=\cfrac { -3 }{ 2 } \)
\(2f=2\Rightarrow f=1\)
மற்றும் c = 1
\(\therefore\) மையம் \(\left( -g,-f \right) =\left( \cfrac { 3 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } =\sqrt { \left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }-1 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 9 }{ 4 } } =\sqrt { \cfrac { 3 }{ 2 } } \) அலகுகள்

= (5 - 2i)(-1 + 3i)
= -5 + 15i + 2i - 6i²
=-5+ 17i-6(-1)
= -5 + 17i + 6 = 1 + 17i

கொடுக்கப்பட்ட தளங்கள்  \(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)
மற்றும் 2x - 2y + z = 2 \(\Rightarrow\)\(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)= 2
\(\therefore { \vec { n } }_{ 1 }=\hat { j } +\hat { j } -2\hat { k } \) மற்றும் \({ \vec { n } }_{ 2 }= 2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
தளங்களுக்கு இடையேயான கோணம் 
\(\cos\theta =\cfrac { { \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 } }{ \left| { \vec { n } }_{ 1 } \right| \left| { \vec { n } }_{ 2 } \right| } =\cfrac { \left| 1(2)+1(-2)-2(1) \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 }.\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } } \) 
= \(\cfrac { \left| -2 \right| }{ \sqrt { 6 } \sqrt { 9 } } =\cfrac { 2 }{ \sqrt { 6 } \left( 3 \right) } =\cfrac { 2 }{ 3\sqrt { 6 } } \)
\(\theta ={ \cos }^{ -1 }\left( \cfrac { 2 }{ 3\sqrt { 6 } } \right) \)

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+(y+2)² = 0
(x-h)²+(y-k)² = r²
h = 0, k = -2, r² = 0
மையம்(0, -2) மற்றும் ஆரம் 0

எனவே cos⁻¹x = \(\theta\). ஆகையால், x = cos \(\theta\) and -1 \(\le x\le1\)
இனி tan(cos^-1 x) = tan \(\theta\) = \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\) \(\frac{\sqrt{1-\cos ^2 \theta}}{\cos \theta}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},|x|<1, x \neq 0 .\) 

\(f(x)=cos^{-1}\left [ cos\left ( -\frac{\pi}{6} \right ) \right ]\) என்க.
நாம் அறிந்தது, \(x\in [0,\pi ]\)  எனும்போது மட்டுமே cos^-1(cos x) = x.
\(\frac{-\pi}{6}\notin [0,\pi]\) என்பதால், cos^-1(cos x) = x என்றிருக்காது.
\(\therefore cos^{-1}\left ( cos\left ( \frac{-\pi}{6} \right ) \right )=cos^{-1}\left ( cos\frac{\pi }{6} \right )\)
\(=\frac{\pi }{6}\neq \frac{-\pi}{6}\)   \(\left [ \because \frac{\pi}{6}\in [0,\pi ] \right ]\)

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

\(\begin{aligned} \mathrm{P}(X=x) & ={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{q} & =1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{P}(X=3) & ={ }^6 \mathrm{C}_3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^3 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2} \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27}=\frac{160}{729} \end{aligned}\)

சராசரி:
\(\begin{aligned} \mu & =\mathrm{E}(X)=\int_1^2 x f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_1^2 x \times 2(x-1) d x=2 \int_1^2\left(x^2-x\right) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=2\left[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left(\frac{7}{3}-\frac{3}{2}\right)=2 \times \frac{5}{6}=\frac{5}{3} \end{aligned}\)
பரவற்படி:
\(\begin{aligned} \mathrm{E}\left(X^2\right) & =\int_1^2 x^2 f(x) d x=2 \int_1^2\left(x^3-x^2\right) d x \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=2\left[\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{15}{4}-\frac{7}{3}\right]=2 \times \frac{17}{12}=\frac{17}{6} \end{aligned}\)
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
\(=\frac{17}{6}-\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{17}{6}-\frac{25}{9}\)
\(=\frac{51-50}{18}=\frac{1}{18}\)

p(x) = x⁹ − 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² +1 = 0 என்க
குறிகள் +,-,+,+,+
p(x)- ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x)=(-x)⁹-5(-x)⁵+4(-x)⁴+2(-x)²+1 =0
p(-x)=x⁹+5x⁵+4x⁴+2x²+1 =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
 p(x) -ன் படி 9, ஆதலால் p(x) க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.

உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறு வரிசைபடுத்த
(2x −1)(x + 3)(x − 2)(2x + 3) + 20 = 0
⇒ (4x²+6x-2x-3)(x²-2x+3x-6)+20=0
⇒ (4x²+4x-3)(x²+x-6)+20=0
பிரதியிட x²+x=y
⇒(4y-3)(y-6)=0
⇒ 4y²-24y-3y+18+20=0
⇒ 4y²-27y+38=0
⇒ (y-2)(4y-19)=0
⇒ y=2, \(\frac{19}{4}\)
நிலை (i) y=2 எனில்,
x²+x=2
⇒ x²+x-2 =0
⇒ (x+2)(x-1)=0
⇒ x=-2,1

நிலை (ii) y=\(\frac{19}{4}\) எனில, x²+x=\(\frac{19}{4}\)
⇒ 4x²+4x=19
⇒ 4x²+4x-19=0
⇒ x=\(\frac { -4\pm \sqrt { 16-4(4)(-19) } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4\pm \sqrt { 16+304 } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4\pm \sqrt { 320 } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4\pm 8\sqrt { 5 } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4(-1\pm 2\sqrt { 5 } ) }{ 8 } \)
⇒ x=-1±\(2\sqrt { 5 } \)
எனவே மூலங்கள் -2,1,\(\frac { -1\pm 2\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

\(\vec { a } =4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } \) 
ஒரு புள்ளி \(\left( \vec { a } \right) \) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \(\left( \vec { b } \right) \)க்கு இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
 \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) \times \vec { b } =\vec { 0 } \) 
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } -\left( 4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \right) \right] =\vec { 0 } \) 
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { { b }_{ 3 } } } \)
 \(\Rightarrow \cfrac { x-4 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ -6 } =\cfrac { z+7 }{ 7 } \) 
[\(\because\) (x₁,y₁,z₁),(43,-7) மற்றும்(b_1,b_2,b₃),(2,-6,7)]

\(u={ x }^{ 2 }\ v=cos 2x\ dx\)
\(u'=2x\quad { v }_{ 1 }=\frac { sin2x }{ 2 } \)
\(u"=2\quad { v }_{ 2 }=-\frac { cos2x }{ 4 } \)
\(\\ { v }_{ 3 }=-\frac { sinx }{ 8 } \)
பெர்னோலி சூத்திரம்:
\(\int { uvdx } =u{ v }_{ 1 }-u'{ v }_{ 2 }+u''{ v }_{ 3 }\)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { x }^{ 2 }cos2x\quad dx={ \left[ \frac { { x }^{ 2 }sin2x }{ 2 } +\frac { 2xcos2x }{ 4 } -\frac { 2sin2x }{ 8 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } } } \)
\(=\left[ \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 8 } sin\pi +\frac { 2\pi }{ 8 } cos\pi -\frac { sin\pi }{ 8 } \right] -[0+0-0]\)
\(=\frac {- 2\pi }{ 8 } (-1)=\frac { \pi }{ 4 }\quad [\because sin\pi =0,cos\pi =-1]\)

a = 1, b = 2,f(x) = 4x²-1
\(\therefore f(a+(b-a)\frac { r }{ n } )=f(1+1(\frac { r }{ n } ))\)
\(=f\left( 1+\frac { r }{ n } \right) \)
\(=4{ \left( 1+\frac { r }{ n } \right) }^{ 2 }-1=4\left( 1+\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 2r }{ n } \right) -1\)
\(=4+\frac { { 4r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 8r }{ n } -1=3+\frac { { 4r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 8r }{ n } \)
\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx= } \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { b-a }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ f } \left( a+(b-a)\frac { r }{ n } \right) \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 2 }{ ({ 4x }^{ 2 }-1)dx } =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( 3+\frac { { 4r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 8r }{ n } \right) } \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left[ \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 3+\frac { 1 }{ n } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { { 4r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 8r }{ n } } \right] \)
\(=\left[ \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } .3n+\frac { 1 }{ n } \frac { 4 }{ { n }^{ 2 } } ({ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+...+{ n }^{ 2 })+\frac { 1 }{ n } .\frac { 8 }{ n } (1+2+3....+n) \right] \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left[ 3+\frac { 4 }{ { n }^{ 3 } } \frac { n(n+1)(2+1) }{ 6 } +\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \because \sum { r } =\frac { n(n+1) }{ 2 } \sum { { r }^{ 2 }=\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } } \right] \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left[ 3+\frac { 4 }{ { n }^{ 3 } } \frac { { n }^{ 3 }(1+\frac { 1 }{ n } )(2+\frac { 1 }{ n } ) }{ 6 } +\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } \frac { { n }^{ 2 }(1+\frac { 1 }{ n } ) }{ 2 } \right] \)
\(=[3+\frac { 2 }{ 3 } (1+0)(2+0)+4(1+0)]\)
\([\because n\rightarrow \infty ,1/n\rightarrow 0]\)
\(=3+\frac { 4 }{ 3 } +4=\frac { 9+4+12 }{ 3 } =\frac { 25 }{ 3 } \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 2 }{ (4{ x }^{ 2 }-1)dx=\frac { 25 }{ 3 } } \)

f (x) என்பது மூடிய இடைவெளி [0,1] -ல்  தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (0,1) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மேலும் f (0) = 0 = f (1)ஆகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது, \(f'{(x)}=2x(1-x)(1-2x)\).
எனவே , \(f'(c)=0 \Rightarrow c=0,1 \) மற்றும் \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow c = \frac{1}{2}\in (0,1)\).

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

arg z = arg\(\frac { -2 }{ 1+i\sqrt { 3 } } \)
= arg(-2) - arg\((1+i\sqrt { 3 } )\) \((\because arg\left( \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right) =arg{ z }_{ 1 }-arg{ z }_{ 2 })\)
= \(\left( \pi -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 0 }{ 2 } \right) \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } \right) \)
= \(\pi -\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \)
இதிலிருந்து \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) என்பது arg z-ன் மதிப்புகளில் ஒன்று. \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆனது −\(\pi\) மற்றும் \(\pi\)-க்கு இடையில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு Arg z = \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆகும்.