\(\left[ 1+\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right] ^{ \frac { 3 }{ 2 } }=a\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)
மேற்காணும் சமன்பாட்டில் படி மூலத்தினை நீக்க, இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்திய பின் கிடைப்பது
\(\left[ 1+\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right] ^{ \frac { 3 }{ 2 } }=a\left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 }\)
∴ வரிசை=2, படி=3

ஆண்டு	விற்பனை	நான்கு ஆண்டு மைய கூட்டுத் தொகை	நான்கு ஆண்டு நகரும் சராசரி
1990	506	-	-
1991	620
		2835	708.75
1992	1036
		2917	729.25
1993	673
		2993	748.25
1994	588
		3073	768.25
1995	696
		3138	784.5
1996	1116
		3213	803.25
1997	738
1998	663

சமவாய்ப்பு முறை X என்பது தொழிலாளர்களின் வருமானத்தைக் குறிக்கிறது. 
μ = 50,000, σ = 20,000
\(\text { (a) } \mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{40000-50000}{20000}=-0.5\)

P (X < 40,000) = P (Z < - 0.5)
= 0.5-P (0<2<0.5)
= 0.5 - 0.1915 = 0.3085
$40,000 க்கும் குறைவாக ஈட்டுபவர்களின் சதவீதம் = 30.85%
(b) Z = 45000- 50000/20000 = -0.25
Z = 65000-50000/20000 = 0.75

P (45000 < X < 65000)=P(-0.25 <Z<0.75)
= P(-0.25 <Z<0)+P(0<Z<0.75)
= 0.0987 + 0.2734 = 0.3721
$45,000 மற்றும் $65,000 க்கும் இடையில் ஈட்டுபவர்களின் சதவீதம் = 37.21%
\(\text { (c) } \mathrm{Z}=\frac{70,000-50,000}{20,000}=1\)

P(X>70,000)=P(Z > 1)
= 0.5 - 0.3413 = 0.1587
$70,000 க்கும் அதிகமாக சம்பாதிப்பவர்களின் சதவீதம் 15.87%

(i) ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தில் பணியாளர்களின் ஊதியம் உண்மையாக அதிகரிக்கிறதா அல்லது வீழ்ச்சி அடைகிறதா என்பதை அறிய பயன்படுகிறது.
(ii) நிர்வாகமானது, தொழிலாளர்களின் ஊதியத்திற்கான அகவிலைப்படியை சீர்படுத்த அல்லது ஊக்கத்தொகை வழங்க பயன்படுகிறது.

சுழற்சி மாறுபாடுகள் சீரான காலம்சார் ஒழுங்கிற்கு அமையத் தேவையில்லை. அதாவது சுழற்சி மாறுபாடு சமமான இடைவெளிகளுக்குப் பின்னர் அல்லது இதே போன்ற சரியான வடிவங்களை பின்பற்றாமல் இருக்கலாம். பொதுவாக ஒரு சுழற்சிகாலம் என்பது 7 முதல் 9 ஆண்டுகள் வரையிலானது. சுழற்சிக்கான காலப் பகுதியை ஆண்டுகளின் நிலைப்பாட்டில் கட்டாயப்படுத்த முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, அரசு நிதிக்கொள்கைகளின் மாற்றங்கள், வட்டி விகிதங்களில் மாற்றங்கள் ஆகியவற்றிற்கான ஒவ்வொரு வர்த்தக சுழற்சியும் துவக்கம் – அபிவிருத்தி - வீழ்ச்சி – மீட்சி – பராமரிப்பு போன்றவைகளை பெற்றிருக்கும்.

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறி ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றி அதனுடைய பண்பளவைகளான n மற்றும் p ஆகியவை குறையற்ற மதிப்பினைக் கொண்டிருப்பின், அதன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு 
P (X = x) = p(x)

நிறைகள்
1. இம்முறையானது எளிதானதும் பயன்படுத்துவதற்கு வசதியானதுமாகும்.
2. இம்முறையில் கூறுகள் முழுமைத்தொகுதி முழுவதும் சீராக பரவி இருக்கும்.
3. நேரமும் வேலையும் பெருமளவில் குறைகிறது.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியாகும்‌.
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்‌.

\(\Gamma \left( \frac { 9 }{ 2 } \right) =\frac { 7 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \times \Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } \)
\(=\frac { 105 }{ 16 } \sqrt { \pi } \)

\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y=-\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}\)
இருபறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2 =\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 \)
வரிசை =3 ; படி =3

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

(D²+2D+3)y=0
துணைச் சமன்பாடு 
m² + 2m +3= 0
a = 1, b = 2, c = 3
\(m = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(=\frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} \)
\(=\frac{-2 \pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1 \pm i \sqrt{2} \)
\(\alpha =-1, \beta=\sqrt{2}\)
மூலங்கள் \(\alpha \pm i \beta\) என்ற வடிவில் உள்ளதால் நிரப்புச் சார்பு : \(e^{\omega x}(A \cos \beta x+B \sin \beta x)\)
தீர்வு : \(\mathrm{y}=\mathrm{e}^{-x}(A \cos \sqrt{2} x+B \sin \sqrt{2} x)\)

(x²+x+1)dx+(y²-y+3)dy=0
இது, f(x)dx+g(y)dy=0 என்ற வடிவில் உள்ளது.
தொகையிட நாம் பெறுவது,
\(\int { ({ x }^{ 2 }+x+1) } dx+\int { ({ y }^{ 2 }-y+3) } dy\)=c
\(\left( \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) +\left( \frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +3y \right) \)=c

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
MR=20e^-x/10\(\left( 1-\frac { x }{ 10 } \right) \) 
dR/dx =20e^-x/10\(\left( 1-\frac { x }{ 10 } \right) \) 
\( \mathrm{R}=20 \int e^{-x / 10}\left(1-\frac{x}{10}\right) d x \)

\( \mathrm{u}=1-\frac{x}{10} . \quad \int d v=\int e^{-x / 10} d x \) \( \mathrm{du}=-\frac{1}{10} d x \quad \mathrm{v}=\frac{e^{-x / 10}}{-1 / 10} \) \( =-10 e^{-x / 10} \)

\( \int u d v=\mathrm{uv}-\int v d u \)
\( \mathrm{R}=20\left[\left(1-\frac{x}{10}\right)\left(-10 e^{-x / 10}\right)-\int\left(-10 e^{-x / 10}\right)\left(-\frac{1}{10} d x\right)\right] \)
\(=20\left[-10 e^{-x / 10}\left(1-\frac{x}{10}\right)-\left(-\frac{e^{-x / 10}}{-1 / 10}\right)\right]+k \)
\( =20\left[-10 e^{-x / 10}\left(1-\frac{x}{10}\right)+10 e^{-x / 10}\right]+k \)
\(=200 e^{-x / 10}\left[1-1+\frac{x}{10}\right]+k=200 e^{-x / 10}\left(\frac{x}{10}\right)+k \)
\( \mathrm{R}=20 x e^{-x / 10}+k \)
\( x=0, \mathrm{R}=0 \) எனில், \(\mathrm{k}=0 \)
\(\mathrm{R}=20 x e^{-x / 10} \)
தேவைச் சார்பு: P = R/x =\(20e^{ -\frac { x }{ 10 } }\)

\(\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \sin x } dx\)=\(\left[ -\cos x \right] _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }\)
=\(-\left( \cos\frac { \pi }{ 3 } -\cos\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
=\(\frac { 1 }{ 2 } (\sqrt { 3 } -1)\)

\(\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+3x+2 } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+2-\frac { 9 }{ 4 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2\times \frac { 1 }{ 2 } } \log { \left| \frac { x+\frac { 3 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } }{ x+\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| +c } } \right] \)
\(=\log { \left| \frac { x+1 }{ x+2 } \right| } +c\)

\(\int { \sqrt { 1+\sin2x dx } } =\int { \sqrt { { \left( \sin x+\cos x \right) }^{ 2 }dx } } \)
\(=\int { \left( \sin x+\cos x \right) dx } \)
=−cos x + sin x + c
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
1+ sin2x = sin² x + cos² x + 2sin x cos x
= (sin x + cos x)² 

\(\int { \frac { x+2 }{ \sqrt { 2x+3 } } } dx=\int { \frac { 1 }{ 2 } \left\{ { \left( 2x+3 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ \left( 2x+3 \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right\} }\)dx
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \frac { { \left( 2x+3 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } +{ \left( 2x+3 \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right\}\)+c
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
\( { \frac { x+2 }{ \sqrt { 2x+3 } } }= \left\{ \frac {\frac { 1 }{ 2 } (2x+4) }{ (2x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right\} \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \frac { (2x+3)+1 }{ (2x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right\} \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \left\{ (2x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } }+(2x+3)^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right\} \)

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1