ஆட்டோமொபைல், ஜவுளி, மின் உபகரணங்கள், பிஸ்கட், குளியல் சோப்புகள், இரசாயனங்கள், பெட்ரோலியப் பொருட்கள் போன்ற அனைத்து உற்பத்தி தொழிற்சாலைகளிலும் தரக்கட்டுப்பாட்டை நிர்ணயிக்க உதவுகிறது. புள்ளியியல் தரக்கட்டுப்பாட்டின் நோக்கம் குறிப்பிட்ட காரணங்களை நீக்குவது மற்றும் உற்பத்தி கட்டுப்பாட்டின் கீழ் கொண்டு வருவதற்கான புள்ளியியல் உத்திகளை வழங்குவதாகும்.

சமவாய்ப்பு முறை X என்பது தொழிலாளர்களின் வருமானத்தைக் குறிக்கிறது. 
μ = 50,000, σ = 20,000
\(\text { (a) } \mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{40000-50000}{20000}=-0.5\)

P (X < 40,000) = P (Z < - 0.5)
= 0.5-P (0<2<0.5)
= 0.5 - 0.1915 = 0.3085
$40,000 க்கும் குறைவாக ஈட்டுபவர்களின் சதவீதம் = 30.85%
(b) Z = 45000- 50000/20000 = -0.25
Z = 65000-50000/20000 = 0.75

P (45000 < X < 65000)=P(-0.25 <Z<0.75)
= P(-0.25 <Z<0)+P(0<Z<0.75)
= 0.0987 + 0.2734 = 0.3721
$45,000 மற்றும் $65,000 க்கும் இடையில் ஈட்டுபவர்களின் சதவீதம் = 37.21%
\(\text { (c) } \mathrm{Z}=\frac{70,000-50,000}{20,000}=1\)

P(X>70,000)=P(Z > 1)
= 0.5 - 0.3413 = 0.1587
$70,000 க்கும் அதிகமாக சம்பாதிப்பவர்களின் சதவீதம் 15.87%

அடிப்படை காலத்துடன் ஒப்பிடுகையில் தற்போதைய காலத்திற்கு நுகர்வோர்கள் மற்றும் சேவைகளின் விலையில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் விளைவுகளை ஆய்வு செய்ய வாழ்க்கைத் தர குறியீட்டு எண் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஏதேனும் இரண்டு காலத்திற்கு இடையே வாழ்க்கைத் தர குறியீட்டு எண்ணின் மாற்றம் என்பது இரு காலங்களில் அதே வாழ்க்கைத் தரத்தை பராமரிக்க அவசியமான வருமான மாற்றமே ஆகும். எனவே வாழ்க்கைத் தர குறியீட்டு எண், அதே வாழ்க்கைத் தரத்தை பராமரிக்கக் கூடிய சராசரி வருமான அதிகரிப்பை அளவிடக் கூடியதாகும். மேலும், மக்களின் நுகர்வு பழக்கம் பரவலாக வேறுபடுகிறது. (பணக்காரர், ஏழை, நடுத்தர வர்க்கம்) மேலும் இடத்திற்கு இடம் வேறுபடுகிறது. விலையில் ஏற்படும் மாற்றங்களானது பல்வேறு வகைப்பட்ட மக்களை பாதிக்கிறது, இதன் விளைவாக பொது விலைக் குறியீட்டு எண்கள், வெவ்வேறு வர்க்க மக்களின் வாழ்க்கை செலவில் மாற்றங்களின் விளைவுகளை எதிரொலிக்க தவறுகிறது. எனவே, வாழ்க்கை தர குறியீட்டு எண் ஆனது பல்வேறு மக்கள் நுகரும் பொருள்களின் பொதுவான விலையில் ஏற்படும் மாற்றங்களை அளவிடப் பயன்படுகிறது. நுகர்வோர் விலைக் குறியீட்டெண்ணானது வாழ்க்கைக் குறியீட்டு செலவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கூறுவெளியில் இன்மை கருதுகோள் (H₀) எப்பகுதியில் மறுக்கப்படுகிறதோ அந்த பகுதியை மறுக்கப்படும் பகுதி என்கிறோம்.

\(\text { LHS }=\mathrm{V}(\mathrm{aX}) =\mathrm{E}[\mathrm{aX}-\mathrm{E}(\mathrm{aX})]^2 \)
\(=\mathrm{E}[\mathrm{aX}-\mathrm{aE}(\mathrm{X})]^2 \)
\( =\mathrm{E}[\mathrm{a}(\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}))]^2 \)
\( =\mathrm{a}^2 \mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^2 \)
\(=\mathrm{a}^2 \operatorname{Var}(\mathrm{X})=\mathrm{RHS}\) எனவே நிறுவப்பட்டது 

புத்தகத்தில் சராசரியாக ஒரு பக்கத்திற்கு ஏற்படும் தட்டச்சுப் பிழைகள் 
λ = (390/520) = 0.75.
பாய்சான் நிகழ்தகவு விதிப்படி, பக்கத்திற்கு x பிழைக்கான நிகழ்தகவு
P(X = x) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =e^{ -0.75 }\frac { (0.75)^{ x } }{ x! } \), x=0,1,2,3 .......
5 பக்கங்களில் பிழையே இல்லாமல் இருப்பதற்குத் தேவையான நிகழ்தகவு
[P(X=0)]⁵ = (e^-0.75)⁵ =e^-3.75

மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.

ஒவ்வொரு பருவத்திற்கும் பருவகாலக் குறியீட்டைக் கணக்கிடுக. மாதங்கள், காலாண்டுகள் அல்லது ஆண்டு கொடுக்கப்பட்டால் 

புள்ளி விவரங்கள் மாதந்தோறும் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் 

புள்ளி விவரங்கள் காலாண்டுகளாக கொடுக்கப்பட்டால்.

நிறைகள்
1. இம்முறையானது எளிதானதும் பயன்படுத்துவதற்கு வசதியானதுமாகும்.
2. இம்முறையில் கூறுகள் முழுமைத்தொகுதி முழுவதும் சீராக பரவி இருக்கும்.
3. நேரமும் வேலையும் பெருமளவில் குறைகிறது.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியாகும்‌.
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்‌.

பரவற்படி \(\sigma\)² =4, \(\sigma\)=2 n =1 மணிநேரம் = 60 நிமிடங்கள், \(\bar { X } \) =20/நிமிடம் 
திட்டப்பிழை \(=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 60 } } =0.2582\)

மகிழுந்துகளின் எண்ணிக்கை X என்க

(i) \(p(x_{ i })\ge \forall \) மற்றும்
(ii) \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4) } \)
= 0.03+0.32+0.38+0.19+0.08 = 1
எனவே , p(x_i)ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு ஆகும்.

I = \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -mx } } { x }^{ 6 }dx\)
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n } } { e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \)
இங்கு n = 6, and a = m
\(\therefore I=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -mx } } { x }^{ 6 }dx\)
\(=\frac { 6! }{ { m }^{ 6+1 } } =\frac { 6! }{ { m }^{ 7 } } \)

A =\(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) \)
A -ன் வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \) \(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)  R₂ → R₂ -2R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A)=1

x²+y²=a²
\(2x+2y\frac { dy }{ dx } =0\)
\(x+y\frac { dy }{ dx } =0\)

y=f(x) = x³+2x+1, x=1,2,3,4,5

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)+16y=0
துணைச் சமன்பாடு 
m² + 16=0
\(\mathrm{m}^2 =-16 \Rightarrow \mathrm{m}= \pm 4 i \)
\(\alpha =0, \beta=4\)
நிரப்புச் சார்பு : \(e^{\alpha x} \cdot(A \cos \beta x+B \sin \beta x)\)
தீர்வு : y=Acos 4x+Bsin 4x

\( \frac{d y}{d x}=\mathrm{y} \sin 2 x \)
\( \int \frac{d y}{y}=\int \sin 2 x d x \)
\( \log \mathrm{y}=-\frac{\cos 2 x}{2}+c \)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
MR=20e^-x/10\(\left( 1-\frac { x }{ 10 } \right) \) 
dR/dx =20e^-x/10\(\left( 1-\frac { x }{ 10 } \right) \) 
\( \mathrm{R}=20 \int e^{-x / 10}\left(1-\frac{x}{10}\right) d x \)

\( \int u d v=\mathrm{uv}-\int v d u \)
\( \mathrm{R}=20\left[\left(1-\frac{x}{10}\right)\left(-10 e^{-x / 10}\right)-\int\left(-10 e^{-x / 10}\right)\left(-\frac{1}{10} d x\right)\right] \)
\(=20\left[-10 e^{-x / 10}\left(1-\frac{x}{10}\right)-\left(-\frac{e^{-x / 10}}{-1 / 10}\right)\right]+k \)
\( =20\left[-10 e^{-x / 10}\left(1-\frac{x}{10}\right)+10 e^{-x / 10}\right]+k \)
\(=200 e^{-x / 10}\left[1-1+\frac{x}{10}\right]+k=200 e^{-x / 10}\left(\frac{x}{10}\right)+k \)
\( \mathrm{R}=20 x e^{-x / 10}+k \)
\( x=0, \mathrm{R}=0 \) எனில், \(\mathrm{k}=0 \)
\(\mathrm{R}=20 x e^{-x / 10} \)
தேவைச் சார்பு: P = R/x =\(20e^{ -\frac { x }{ 10 } }\)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ 2x } } dx\)
\(={ { \left[ \frac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \right] }_{ 0 } }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ 2(1) }-{ e }^{ 2(0) } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ 2 }-{ e }^{ 0 } \right] \)  =\(\frac { 1 }{ 2 } \) [e² - 1]

\(\int { \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-9 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) } \log { \left| \frac { x-\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } }{ x+\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ \frac { 12 }{ \sqrt { 2 } } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(=\frac { 1 }{ 6\times \sqrt { 2 } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(\int \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } dx\)

\(x^{ 3 }=(x+2)\left( x^{ 2 }-2x+4 \right) -8\)
\(\int \frac { x^{ 3 } }{ x+2 } dx=\int \left( x^{ 2 }-2x+4 \right) dx-8\int \frac { dx }{ x+2 }\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +4x-8\log |x+2|+c\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -x^{ 2 }+4x-8\log |x+2|+c\)

\(\int { \frac { { 3x }^{ 2 }+2x+1 }{ x } dx } =\int { \left( 3x+2+\frac { 1 }{ x } \right) } \)dx
\(=\frac { { 3x }^{ 2 } }{ 2 } +2x+\log\left| x \right| +c\)