y '' - 5y' + 6y = 0
கொடுக்கப்பட்டது \(y = emx\) 
சமன்பாடு (2) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ e }^{ mx }.m\) 
மீண்டும் xஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ e }^{ mx }.{ m }^{ 2 }\) 
m ன் மதிப்பு காண :
கொடுக்கப்பட்டது :  \(y''-5y'+6y=0\) 
\({ e }^{ mx }.{ m }^{ 2 }-5me^{ mx }+6e^{ mx }=0\) 
\({ e }^{ mx }\left[ { m }^{ 2 }-5m+6 \right] =0\) 
\({ m }^{ 2 }-5m+6=0\) 
\(\left( m-2 \right) \left( m-3 \right) =0\) 
\(\therefore m=2,3\)

y = ( 3 + sin(2 x))^2/3
\(dy=\cfrac { 2 }{ 3 } \left( 3+\sin2x \right) ^{ -1/3 }\left( 2\cos2x \right) dx\) 
\(dy=\cfrac { 4\cos2x }{ 3\left( 3+\sin2x \right) ^{ 1/3 } } \)dx

\(\sqrt { \frac { { d }y }{ { d }x } } -4\frac { { d }y }{ { d }x } -7x=0\) 
\(\sqrt { \cfrac { dy }{ dx } } =4\cfrac { dy }{ dx } +7x\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =16\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+49{ x }^{ 2 }+56x\cfrac { dy }{ dx } \) 
இது வரிசை 1 மற்றும் படி 2 உடைய வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது தெளிவு.

\(f'(x)=4x^{3}+32=0 \Rightarrow x^{3}=-8 \Rightarrow x=-2\)
மேலும் f''(x)=12x².
f''(-2)>0 என்பதால்  x =−2-ல் சார்பு இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f(−2)=−48 ஆகும். எனவே, அறுதிப் புள்ளி (−2,−48).

ℤ-இன் மீது × ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி என்பதால் ∀a, b ∈ ℤ ⇒ a × b = ab ∈ ℤ மற்றும் b × b = b² ∈ ℤ     ... (1)
ℤ-ன் மீது + ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி என்பதால் (1) ⇒ 3ab = (ab + ab + ab) ∈ ℤ மற்றும் 5b² = (b²+b²+b²+b²+b²) ∈ ℤ.    ... (2)
மேலும், a ∈ ℤ மற்றும் 3ab ∈ ℤ ⇒ a + 3ab ∈ ℤ.    ...(3) 
(2), (3) ஆகியவற்றிலிருந்து ℤ -ன் மீது ' − ' ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி என்பதாலும் a*b = (a + 3ab - 5b²) ∈ ℤ கிடைக்கும். எனவே a * b ∈ ℤ என்பதால் * ஆனது ℤ -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது.

't ' நேரத்தில் இடப்பெயர்ச்சி s = \(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+3\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் திசைவேகம் v = \(\frac{ds}{dt}=t^{2}-2t\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் முடுக்கம் a = \(\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dt}=2t-2\) ஆகும்.
t²-2t=0 அதாவது, t = 0,2 எனும் போது திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும். 2t-2=0
அதாவது, t =1 எனும்போது முடுக்கம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²+x+2y-3 = 0
இங்கு\(2g=-1\Rightarrow g=\cfrac { -1 }{ 2 } \)
2f = 2
\(\Rightarrow\) f = 1 மற்றும் c = -3
மையம் \((-g,-f)=\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +1+3 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +4 } =\sqrt { \cfrac { 1+16 }{ 2 } } \)
\(r=\sqrt { \cfrac { 17 }{ 2 } } \) அலகுகள்

\(x+iy=2-i2=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க.
r = எண் மதிப்பு = \(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { 2^{ 2 }+(2{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } \)
\(=\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -2 }{ -2 } \right| ={ tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
-2-2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் காலப்பகுதியின் அமைவதால் [x குறை y குறை]
அதன் துருவ வடிவம்
\(-2-2i=2\sqrt { 2 } \)
\(2\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \), k ∈ Z

\(\begin{array}{r} i \bar{z}=\mathrm{i}(x-\mathrm{iy}) \end{array}\)=ix - i²y = ix + y = y + ix
\(\begin{array}{r} \operatorname{Re}(i \bar{z}) \end{array}\)= y

sin^-1 : [-1, 1] \(\rightarrow \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது  sin^-1 : x = y என கொடுக்கப்படத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை x-= sin y ஆகும். இங்கு −1\(\le x\le \)  மற்றும் \(\frac { \pi }{ 2 } \le y \le \frac { \pi }{ 2 } \). எனவே,
\(\frac{\pi}{6}\)\(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( \frac { 5\pi }{ 6 } \right) \right) -\)\({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)= \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)

x, y, z அச்சுக்களில் முறையே a, b, c என்ற வெட்டுத் துண்டுகளை ஏற்படுத்தும் தளத்தின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1\) ஆகும். ஆய அச்சுக்களில் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்துண்டுகளின் தலைகீழிகளின் கூடுதல் ஒருமாறிலி என்பதால் \(\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } +\frac { 1 }{ c } =k\)ஆகும். இங்கு, k ஒரு மாறிலி. இதனை \(\frac { 1 }{ a } \left( \frac { 1 }{ k } \right) +\frac { 1 }{ b } \left( \frac { 1 }{ k } \right) +\frac { 1 }{ c } \left( \frac { 1 }{ k } \right) =1\) என எழுதலாம்.
இச்சமன்பாடு, \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1\)என்ற தளமானது \(\left( \frac { 1 }{ k } ,\frac { 1 }{ k } ,\frac { 1 }{ k } \right) \)என்ற நிலைத்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனக்காட்டுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட 2i+3 என்பது ஒரு மூலம்.
∴ அதனுடைய இணை 3-2i பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்
=(3+2i)(3-2i)
=3²+2²=9+4=13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(6)+13=0
⇒ x²-6x+13=0

கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் முனைகள் (3, 4) (2, -7) 
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
\(\Rightarrow\) (x-x¹)(x-x²)+(y-y¹)(y-y²) = 0
\(\Rightarrow\) (x-3)(x-2)+(y+4)(y+7) = 0
\(\Rightarrow\) x²-2x-3x+6+y²+7y-4y-28 = 0
\(\Rightarrow\) x²+y²-5x+3y-22 = 0

 \(\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\sin ^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] =\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] =\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =1\)

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

sin^-1: [-1, 1] \(\rightarrow \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது  sin^-1: x = y என கொடுக்கப்படத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை x = sin y ஆகும். இங்கு −1 ≤ x ≤ 1 மற்றும் - \(\frac { \pi }{ 2 } \le y \le \frac { \pi }{ 2 } \). எனவே
(i) \(\frac{\pi}{4}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)மற்றும் sin \(\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)\(-\frac{\pi}{4}\)
(ii) \( -\frac{\pi}{3}\)\(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)= -\(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.
(iii) \(\frac{\pi}{6}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}\)

p : 19 என்பது ஒரு பகா எண்
q : ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம் என்க.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம் \(\Rightarrow \neg p \wedge q\) 
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல \(\Rightarrow p \vee \neg q\)
(iii) 19 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம் \(\Rightarrow p \wedge q\)
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல \(\Rightarrow \neg\) p

\(\left( A\wedge B \right) \vee C=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \vee \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \) 
\(=\left( \begin{matrix} 0\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 0 & 0\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 0 \\ 1\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 1 & 1\vee 1 \end{matrix} \right) \)
\(=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\)

x-அச்சைப்  பொருத்துச் சுழற்றப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. எனவே , தேவையான கன அளவானது

V = π \(\int ^{1}_{0} y^2 dx\) = π  
= π  \(\int ^{1}_{0} (x^2)^2 dx\)
=  π  \( [ \frac {x^5}{5}]^{1}_{0}\)
=  π  \((\frac {1}{5}-0) = \frac {π}{5} \)

\(\int ^{2a}_{0}\)  f(x) dx = 2 \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx +\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx என  எழுதுவோம். ---- (1)
\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx  என்பதில்,
x = a+u எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது dx = du; x=a எனில் u = 0 , x= 2a எனில், u = a.
∴  \(\int ^{2a}_{0}\)  f(x) dx =   \(\int ^{a}_{0}\) f (a+u) du = \(\int ^{a}_{0}\) f (u) du, (∵  f(x) = f(a+x))
=  \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx.   ----- (2)
சமன்பாடு (2)-ஐ (1)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx = 2\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx .

\(f(x)=\tan x,x \in [0, \pi]\) 
tanx என்ற சார்பு \(\left[ 0,\pi \right] \) என்ற இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது அல்ல. ஏனெனில் \(\cfrac { \pi }{ 2 } \) ல் இது வரையறுக்கப்படவில்லை. சார்பு \(\left( 0,\pi \right) \) ல் வகையிட இயலாது.ஏனெனில் \(\cfrac { \pi }{ 2 } \) ல் இது தொடர்ச்சியானது அல்ல.
மற்றும் \(f(0)=\tan\left( 0 \right) =0\) 
\(f(\pi )=\tan\pi =0\) 
\(f(0)=f(\pi )=0\) 
'tanx' எனும் சார்பு \(\left[ 0,\pi \right] \) ல் வகையிட முடியாததாகவும் உள்ளதால், ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

(i) |z - 2 - i| = 3
⇒ |z - 2 - i| = 3
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(ii) |2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(iii) ⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 1 - 3i, z₂= - 4i மற்றும் z₃ = 5
LHS = (z₁ + z₂) + z₃
= [1 - 3i + (- 4i)] + 5
= [1 -7i] + 5 = 6 - 7i
RHS = z₁ + (z₂ + z₃)
1 - 3i + (-4i + 5) = 6 - 7i
LHS = RHS
∴ (z₁ +z₂)+z₃ = z₁ + (z₂+z₃)

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

\(\mu =E(X)=\sum { xf(x) } \) 
\(=0\times \cfrac { 1 }{ 5 } +1\times \cfrac { 1 }{ 5 } +2\times \cfrac { 1 }{ 10 } +3\times \cfrac { 1 }{ 5 } +4\times \cfrac { 1 }{ 5 } +5\times \cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(=0+\cfrac { 1 }{ 5 } +\cfrac { 2 }{ 10 } +\cfrac { 3 }{ 5 } +\cfrac { 4 }{ 5 } +\cfrac { 5 }{ 10 } =\cfrac { 23 }{ 10 } \)
= 2.3
பரவற்படி:
\(E\left( X^{ 2 } \right) =\sum { { x }^{ 2 }f\left( x \right) } \)
\(=0^2\times \cfrac { 1 }{ 5 } +1^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 5 } +2^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 10 } +3^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 5 } +4^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 5 } +5^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(=0+\cfrac { 1 }{ 5 } +\cfrac { 4 }{ 10 } +\cfrac { 9 }{ 5 } +\cfrac { 16 }{ 5 } +\cfrac { 25 }{ 10 } \)
\(=\cfrac { 81 }{ 10 } =8.1\)
\(Var\left( X \right) =E\left( { x }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] ^{ 2 }\)
\(=8.1-\left( 2.3 \right) ^{ 2 }\)
=8.1- 5.29 = 2.81

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது 
\(\vec { r } =\left( 4\hat { i } -\hat { j } \right) +t\left( \hat { i } -2\hat { j } -2\hat { k } \right) \) 
\(\therefore \vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \) 
மற்றும் \(\vec { r } =\left( \hat { i } -2\hat { j } ++4\hat { k } \right) +s\left( -\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
\(\therefore \vec { d } =-\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } \) \(\quad \left[ \because \vec { r } =\vec { c } +s\vec { d } \right] \)
\(\theta\) என்பது, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளுக்கு இடையேயான கோணம் என்க
பிறகு \(cos\theta =\cfrac { \vec { b } .\vec { d } }{ \left| \vec { b } \right| \left| \vec { d } \right| } \)
= \(\cfrac { \left( \hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) -\left( -\hat { i } -2\hat { j+2\hat { k } } \right) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 } } .\sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 }+\left( 2 \right) ^{ 2 } } } \) 
= \(\cfrac { -1-4-4 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 9 } } =\cfrac { -9 }{ 9 } =-1\) 
\(\therefore cos\theta =-1\Rightarrow { cos }^{ -1 }(-1)\Rightarrow \theta =\pi ,0\)