19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல.\(\Rightarrow p\vee \neg q\)

(i) \(p\vee \neg t \wedge (p\vee \neg s)\) என்ற கூற்றில் p, s , t என்ற மாறிகள் அதாவது 3 உள் கூற்றுகள் இடம்பெறுகின்றன. எனவே, இதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2³ = 8 நிரைகள் இடம்பெறும்.
(ii) \(((p\wedge q)\vee (\neg r\vee \neg s))\wedge (\neg t\wedge v)\) என்ற கூற்றில் p, q, r, s,t, v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2⁶ = 64 நிரைகள் இடம்பெறும்.

R ன் மீது \(a * b=a \sqrt{b}\)
\(\mathrm{b} \in \mathbb{R} \text {, }\)ஆனால் \(\sqrt{b}\) ஆனது Rல் வரையறுக்க இயலாது.
மீது a, b \(\in\) R- க்கு \(a \sqrt{b}\) ஆனது R-ல் வரையறுக்க இயலாது.
எனவே * என்பது Rல் ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

 h(x,y) = \(\frac { 6{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-\pi { y }^{ 5 }+9{ x }^{ 4 }y }{ 2020{ x }^{ 2 }+2019{ y }^{ 2 } } \)
\(h\left( \lambda x,\lambda y \right) \cfrac { { 6\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }{ \lambda }^{ 3 }{ y }^{ 3 }-\pi { \lambda }^{ 5 }{ y }^{ 3 }-{ \pi \lambda }^{ 5 }{ y }^{ 5 }+9{ \lambda }^{ 4 }{ x }^{ 4 }\lambda y }{ 2020{ \lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+2019{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { \lambda }^{ 5 }\left( { 6x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-{ \pi y }^{ 5 }+9{ x }^{ 4 }y \right) }{ { \lambda }^{ 2 }\left( 2020{ x }^{ 2 }+2019{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }h\left( x,y \right) \)

இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { dy }{ dx } \) ,எனவே இதன் வரிசை 1.
இதில் \({ e }^{ xy\left( \frac { dy }{ dx } \right) }\) என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

இருபுறமும் அடுக்கை 3 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது 
\(\left( \frac { { d }^{ 3 }y }{ { dx }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }=\left( 3\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -5\frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }\) 
சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 3 }y }{ { dx }^{ 3 } } \) இதன் அடுக்கு 2
ஃ வரிசை = 3 & படி=2. 

இங்கு n=7 என்பது ஒற்றை எண்
 \(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { cos }^{ 7 }xdx } =\cfrac { \left( n-1 \right) }{ n } \times \cfrac { \left( n-3 \right) }{ \left( n-2 \right) } \times ....\times \cfrac { 2 }{ 3 } \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { cos }^{ 7 }xdx } =\cfrac { 6 }{ 7 } \times \cfrac { 4 }{ 5 } \times \cfrac { 2 }{ 3 } \times 1\) 
= \(\cfrac { 16 }{ 35 } \) 

\(\sum _{ n=1 }^{ 102 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸)+ ..........+ (i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹ + i¹⁰⁰) + i¹⁰¹ + i¹⁰²
= (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) + ............(i¹ + i² + i³ + i⁴) + i¹ + i²
= {i + (-1) + (-i) + 1} + {i + (-1) + (-i) + 1} + .........+ {i + (-1) + (-i) + 1} + i + (-1)
= 0 + 0 + .........0 + i −1
= −1 + i (இது என்ன எண்?)

 \(\cos\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 8 } \right) \right] \)ல் \( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 8 } \right) =\theta\) என்க. எனவே, \(\cos\theta =\frac { 1 }{ 8 } \) மற்றும் \( \theta \in \left[ 0,\pi \right] \).
இனி, cos \(\theta=\frac{1}{8}\)-லிருந்து 2cos²\(\frac{\theta}{2}-1=\frac{1}{8}\). ஆகையால், cos\((\frac{\theta}{2})\) = \(\frac{3}{4}\)
எனவே, \(cos\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 8 } \right) \right] =\cos\left( \frac { \theta }{ 2 } \right) =\frac { 3 }{ 4 } \)

\(\frac { 10-5i }{ 6+2i } =\frac { 10-5i }{ 6+2i } \times \frac { 6-2i }{ 6-2i } \)
[தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]
\(=\frac { 60-20i-30i+10{ i }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 }-({ 2i) }^{ 2 } } =\frac { 60-50i-10 }{ 36+4 } \)
\(=\frac { 50-50i }{ 40 } =\frac { 50(1-i) }{ 40 } =\frac { 5 }{ 4 } (1-i)\) 

\({ \cos }^{ -1 }\left( \cos\frac { \pi }{ 7 } \cos\frac { \pi }{ 17 } -\sin\frac { \pi }{ 17 } \sin\frac { \pi }{ 17 } \right) \)
= cos^-1\(\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 7 } +\frac { \pi }{ 17 } \right) \right) \)
[∵ cos A cos B - sin A sin B = cos (A + B)]
= cos^-1\(\left( \cos\left( \frac { 24\pi }{ 119 } \right) \right) \)
\(\left[ \because \frac { 24\pi }{ 119 } \in \left[ 0,\pi \right] \right] \)
= \(\frac { 24\pi }{ 119 } \)

கொடுக்கப்பட்ட 2i+3 என்பது ஒரு மூலம்.
∴ அதனுடைய இணை 3-2i பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்
=(3+2i)(3-2i)
=3²+2²=9+4=13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(6)+13=0
⇒ x²-6x+13=0

A = 11, C = -25, D = -44, E = 50 மற்றும் F = -256
இங்கு \(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

y = mx + c என்ற நேர்க்கோடு x² + y² = a² என்ற வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு c² = a²(1 + m²).
எனவே, \(c=\pm \sqrt { 9(1+16 } \) அல்லது \(c=\pm 3\sqrt { 17 } \)

\(z=\left| 4+3i \right| \) என்க.
\(=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } =5\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \) [இங்கு \(\left| z \right| =5,a=4,b=3\)]
\(\sqrt { 4+3i } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ \left| 3 \right| } \sqrt { \frac { 5-4 }{ 2 } } \)
\(=\pm \sqrt { \frac { 9 }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ 3 } \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \)
\(=\pm \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } +i.\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

 \(\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\sin ^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] =\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] =\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =1\)

i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ... + i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ..... + i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது.
i⁵⁰[(i + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i³ + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i - 1] = i⁴⁸⁺²(i-1)
= i²(i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 - i

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு 2 x 2 வரிசை அணி 
∴ ρ(A) ≤ (2, 2)-மீச்சிறு =2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்ச வரிசை 2 ஆகும்.
இது \(\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=4-4=0\)
ஆகையால், \(\rho (A)<2\)
அடுத்து 1 வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவையை தேர்வு செய்வோம் |2|=2≠0
∴ ρ(A)=1

i) sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right) \)
[∵ \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ∉ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது சைன் சார்பின் முதன்மை சார்பகம்]
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
[∵ sin(π - 0) = sin θ]
= \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
ii) \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( \frac { 5\pi }{ 4 } \right) \right) \)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \pi +\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
∵ \(\frac { 5\pi }{ 4 } \) ∉ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
= sin^-1\(\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
= \(-\frac { \pi }{ 4 } \in \left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)

p	q	\(p\wedge q\)	\(p\vee q\)	\(\neg (p\vee q)\)	\((p\wedge q)\wedge \neg \left( p\vee q \right) \)
T	T	T	T	F	F
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	F	F
F	F	F	F	T	T

மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் F மட்டுமே உள்ளதால்,கொடுக்கப்பட்டது ஒரு முரண்பாடாகும்.

சுழற்றப்படும் பரப்பு இங்கே வரையப்பட்டுள்ளது.

பரப்பு x அச்சைப் பொறுத்து சுழல்வதால் கிடைக்கும் திடப்பொருளின் கனஅளவு 
\(V=\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
\(\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ 4{ x }^{ 4 } } dx\) 
= \(\pi \left[ \cfrac { { 4x }^{ 5 } }{ 5 } \right] =\pi =\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
தேவையான அளவு \(\frac { 4\pi }{ 5 } \) கன அலகுகள் 

கொடுக்கப்பட்டது \(y={ ae }^{ -3x }+b\) 
சமன்பாடு (1) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ -3x }\left( -3 \right) +0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ -3x }\left( -3 \right) \) 
மீண்டும் வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ ae }^{ -3x }\left( +9 \right) \) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\cfrac { 1 }{ 3 } \cfrac { dy }{ dx } \times 9\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-3\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +3\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
எனவே,\(y={ ae }^{ -3x }+b\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

(i) என்பது தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 
\(\Rightarrow P=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(n=100,P=\cfrac { 1 }{ 2 } ,X\sim B(n, p)\) 
\(q=1-p=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
சராசரி = np = \(100\times \cfrac { 1 }{ 2 } \) = 50
பரவற்படி = npq = \(50\times \cfrac { 1 }{ 2 } \) = 25
(ii) p என்பது பகடையில் 4  கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்க.
\(n=240,p=\cfrac { 1 }{ 6 } ,X\sim B(n,p)\) 
\(q=1-p=\cfrac { 5 }{ 6 } \) 
சராசரி = np = \(240\times \cfrac { 1 }{ 6 } =40\) 
பரவற்படி = npq = \(40\times \cfrac { 5 }{ 6 } =\cfrac { 100 }{ 3 } \)

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

x	0	1	2	3	4	5
f(X)	\(\cfrac { 1 }{ 5 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 5 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 10 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 5 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 5 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 10 } \)

\(\mu =E(X)=\sum { xf(x) } \) 
\(=0\times \cfrac { 1 }{ 5 } +1\times \cfrac { 1 }{ 5 } +2\times \cfrac { 1 }{ 10 } +3\times \cfrac { 1 }{ 5 } +4\times \cfrac { 1 }{ 5 } +5\times \cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(=0+\cfrac { 1 }{ 5 } +\cfrac { 2 }{ 10 } +\cfrac { 3 }{ 5 } +\cfrac { 4 }{ 5 } +\cfrac { 5 }{ 10 } =\cfrac { 23 }{ 10 } \)
= 2.3
பரவற்படி:
\(E\left( X^{ 2 } \right) =\sum { { x }^{ 2 }f\left( x \right) } \)
\(=0^2\times \cfrac { 1 }{ 5 } +1^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 5 } +2^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 10 } +3^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 5 } +4^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 5 } +5^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(=0+\cfrac { 1 }{ 5 } +\cfrac { 4 }{ 10 } +\cfrac { 9 }{ 5 } +\cfrac { 16 }{ 5 } +\cfrac { 25 }{ 10 } \)
\(=\cfrac { 81 }{ 10 } =8.1\)
\(Var\left( X \right) =E\left( { x }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] ^{ 2 }\)
\(=8.1-\left( 2.3 \right) ^{ 2 }\)
=8.1- 5.29 = 2.81

(i) t வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி விழும் 
தூரம் s=16t²
s=400 அடி 
\(\therefore { 16t }^{ 2 }=400\) 
\({ t }^{ 2 }=\cfrac { 400 }{ 16 } =25\) 
t=5 வினாடி 
ஃ தரையைத் தொடும் முன்னர் புகைப்படக் கருவி எடுத்துக் கொண்ட நேரம் 5 வினாடிகள். 
(ii) 5 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி 400 அடியிலிருந்து விழுகிறது.(கொடுக்கப்பட்டது)
ஃ 2 வினாடியில் சராசரி திசைவேகம் 
= \(\cfrac { s\left( 5 \right) -s(3) }{ 5-3 } \) 
=  \(\cfrac { 16({ 5 }^{ 2 })-16\left( { 3 }^{ 2 } \right) }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 400-144 }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 256 }{ 2 } =128\) அடி/வினாடி 
(iii) \(s={ 16t }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =32t\)
தரையைத் தொடும்போது t = 5 எனில்,
கணப்பொழுது திசைவேகம் \(\cfrac { ds }{ dt } =32(5)\) 
= 160 அடி/வினாடி 

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது 2x=3y=-z மற்றும் 6x=-y-4z
\(2x=3y=-z\Rightarrow \frac { x-0 }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { y-0 }{ -1 } =\cfrac { z-0 }{ -1 } \)
\(\Rightarrow \vec { b } =\cfrac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\cfrac { 1 }{ 3 } \hat { j } -\hat { k } \) 
\(6x=-y=-4z\Rightarrow \frac { x-0 }{ \frac { 1 }{ 6 } } =\frac { y-0 }{ \frac { 1 }{ -1 } } =\frac { z-0 }{ \frac { 1 }{ -4 } } \)
\(\Rightarrow \vec { d } =\cfrac { 1 }{ 6 } \hat { i } -\hat { j } -\cfrac { 1 }{ 4 } \hat { k } \) 
 \(\vec { b } .\vec { d } =\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\cfrac { 1 }{ 3 } \hat { j } -\hat { k } \right) .\left( { \cfrac { 1 }{ 6 } \hat { i } -\hat { j } -\cfrac { 1 }{ 4 } \hat { k } } \right) \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 12 } -\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1-4+3 }{ 12 } =\cfrac { 0 }{ 12 } =0\) 
\(\therefore \vec { b } \bot \vec { b } \)
\(\therefore \vec { b } \) மற்றும் \(\vec { d } \) க்கு இடையேயான  கோணம்.

p(x) = x⁹ − 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² +1 = 0 என்க
குறிகள் +,-,+,+,+
p(x)- ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x)=(-x)⁹-5(-x)⁵+4(-x)⁴+2(-x)²+1 =0
p(-x)=x⁹+5x⁵+4x⁴+2x²+1 =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
 p(x) -ன் படி 9, ஆதலால் p(x) க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது 
\(\vec { r } =\left( 4\hat { i } -\hat { j } \right) +t\left( \hat { i } -2\hat { j } -2\hat { k } \right) \) 
\(\therefore \vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \) 
மற்றும் \(\vec { r } =\left( \hat { i } -2\hat { j } ++4\hat { k } \right) +s\left( -\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
\(\therefore \vec { d } =-\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } \) \(\quad \left[ \because \vec { r } =\vec { c } +s\vec { d } \right] \)
\(\theta\) என்பது, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளுக்கு இடையேயான கோணம் என்க
பிறகு \(cos\theta =\cfrac { \vec { b } .\vec { d } }{ \left| \vec { b } \right| \left| \vec { d } \right| } \)
= \(\cfrac { \left( \hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) -\left( -\hat { i } -2\hat { j+2\hat { k } } \right) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 } } .\sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 }+\left( 2 \right) ^{ 2 } } } \) 
= \(\cfrac { -1-4-4 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 9 } } =\cfrac { -9 }{ 9 } =-1\) 
\(\therefore cos\theta =-1\Rightarrow { cos }^{ -1 }(-1)\Rightarrow \theta =\pi ,0\)

\(f(x)={ x }^{ 2 }+3x\) 
\(df=\left( 2x+3 \right) dx\) 
= \(\left( 2+2+3 \right) \times 0.1\) 
= \(7\times 0.1\) 
= 0.7
ii) x = 3 மற்றும் dx = 0.02
இங்கு x = 3 மற்றும் dx = 0.02,
df = (6 + 3) (0.02)
= 9(0.02) = 0.18

\(x=27\) 
\(f(x)=\sqrt [ 3 ]{ 27 } =3\) 
\(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 } \) ன் மதிப்பை நாம் காண வேண்டும்.
\(f\left( { x }_{ 0 }+\Delta x \right) =f\left( { x }_{ 0 } \right) +f\left( { x }_{ 0 } \right) \Delta x\) என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(f\left( 27.2 \right) =3+\cfrac { 1 }{ 3x^{ 2/3 } } \times 0.2\) 
= \(3+\cfrac { 1 }{ 3\times 9 } \times 0.2\) 
= \(3+\cfrac { 0.2 }{ 27 } \) 
= \(3+\cfrac { 2 }{ 270 } \) 
= \(3+0.0074=3.0074\) 
\(\therefore \sqrt [ 3 ]{ 27.2 } \) ன் தோராய மதிப்பு = 3.0074

[\(\therefore 1-\cfrac { cos0 }{ 0 } =\cfrac { 1-1 }{ 0 } =\cfrac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம்]
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த 
\(\underset { x\rightarrow 0 }{ \lim } \cfrac { \sin x }{ 2x } \) [\(\cfrac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம்]
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த 
= \(\underset { x\rightarrow 0 }{ \lim } \cfrac { \cos x }{ 2 } =\cfrac { \cos 0 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)

\(I=\int _{ -\pi /4 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 2 }xdx } \) 
\(f(x)={ sin }^{ 2 }x\) 
\(f(-x)={ sin }^{ 2 }(-x)={ sin }^{ 2 }x\) 
\(\\ f(x)=f(-x)\) 
f(x) என்பது ஓர் இரட்டைச் சார்பு 
\(\int _{ -\pi /4 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 2 }xdx } =2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 2 }xdx } \) 
\(\int _{ -a }^{ a }{ f(x)dx } =2\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } \) 
\(2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ \left[ \cfrac { 1-cos2x }{ 2 } \right] dx } \) 
\(\cfrac { 2 }{ 2 } \left[ x-\cfrac { sin2x }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ \pi /4 }\) 
\(\cfrac { \pi }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(I=\cfrac { \pi -2 }{ 4 } \)

\(f(x)=x-2 \log x, x\in [2,7]\) 
f(x) என்பது [2,7]ல் தொடர்ச்சியானது மற்றும் f(x) என்பது (2,7)ல் வகையிடத்தக்கது 
\(f(2)=2-2 \log2,f(7)=7-2 \log7\) 
\(f(2)\neq f(7)\) 
எனவே, ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது.

\(\vec { d } =3\hat { i } -4\hat { j } +12\hat { k } \) மற்றும் q = 5 என்க.
\(3\hat { i } -4\hat { j } +12\hat { k } \)-ன் திசையில் உள்ள ஓரலகு வெக்டர் \(\vec { d } \) எனில் \(\vec { d } =\frac { 1 }{ 13 } (3\hat { i } -4\hat { j } +12\hat { k } )\)ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 13-ஆல் வகுக்க, நாம் பெறுவது 
\(\hat { r } .\left( \frac { 3 }{ 13 } \hat { i } -\frac { 4 }{ 13 } \hat { j } +\frac { 12 }{ 13 } \hat { k } \right) =\frac { 5 }{ 13 } \)
இது \(\hat { r } .\hat { d } =p\) எனும் தளத்தின் செங்கோட்டு வடிவச் சமன்பாடாகும்.
இச்சமன்பாட்டிலிருந்து \(\hat { d } =\frac { 1 }{ 3 } (3\hat { i } -4\hat { j } +12\hat { k } )\) என்பது ஆதியிலிருந்து தளத்திற்கு வரையப்பட்ட ஓரலகு செங்குத்து வெக்டராகும் என அறிகிறோம். எனவே \(\vec { d } \)-ன் திசைக்கொசைன்கள் \(\frac { 3 }{ 13 } ,\frac { -4 }{ 13 } ,\frac { 12 }{ 13 } \) மற்றும் ஆதியில் இருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் \(\frac{5}{13}\) ஆகும்.