கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்க
கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் நீளம் 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \) (நெட்டச்சின் நீளம்)
\(\Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 2a \right) \Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \Rightarrow { 2b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { 2b }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 1 }{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 

புள்ளி \(\vec { r } =\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \) வழிச் செல்கிற மற்றும் செங்குத்து \(\vec { n } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) உடைய தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )=(\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ).(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 2 - 3 + 4 = 3
∴ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 3

\(\overset { \rightarrow }{ F } =\frac { 6\left( 2\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 4+4+1 } } =\frac { 6 }{ 3 } \left( 2\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) =4\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ d } \) = (5, 3, 7) - (1, 2, 3) = (4, 1, 4) = \(4\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ செய்யப்பட்ட வேலை (w)
= \(\overset { \rightarrow }{ F } .\overset { \rightarrow }{ d } =\left( 4\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 4\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= 16 - 4 + 8 = 20 அலகுகள்

மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் 
= sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{-b}{a}\)
மூலங்களின் கூடுதல் = sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{c}{a}\)
இங்கு 1 = cos² ∝ + sin² ∝
= (sin ∝+cos ∝)² - 2sin ∝ cos ∝
\(1=\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2c }{ a } \Rightarrow 1=\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2ac\Rightarrow { a }^{ 2 }+2ac={ b }^{ 2 }\)
இருபுறமும் C² ஐ கூட்ட, a²+2ac+c² = b²+c²
⇒ (a+c)² = b² + c²

L.H.S = 2tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } }{ \frac { 9-2 }{ 9 } } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 9 }{ 7 } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 12 }{ 7 } \right) =RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(z={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\)
\(\bar { z } ={ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }+{ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }\)
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\) = z
ஆதலால் z = \(\bar { z } \), Im (z) = 0

கொடுக்கப்பட்ட A³=I ⇒|A³|=|I|
⇒ |A.A.A|=1
⇒ |A|.|A|.|A|=1
⇒ |A|³=1
∴ |A|≠0
எனவே, A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி