19 ஒரு பகா எண் அல்ல \(\Rightarrow \neg p\)

\(U\left( x,y,z \right) =xy+sin\left( \cfrac { { y }^{ 2 }-{ 2z }^{ 2 } }{ xy } \right) \) 
\(U\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z \right) =\lambda x\lambda y+sin\left( \cfrac { { \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2{ \lambda }^{ 2 }{ z }^{ 2 } }{ \lambda x\lambda y } \right) \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }xy+sin\left( \cfrac { { \lambda }^{ 2 }\left( { y }^{ 2 }-2{ z }^{ 2 } \right) }{ { \lambda }^{ 2 }\left( xy \right) } \right) \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }xy+sin\left( \cfrac { { y }^{ 2 }-2{ z }^{ 2 } }{ xy } \right) \) 
இங்கு பொதுவான \(\lambda \) என்பது இல்லை.
எனவே,இது சமப்படித்தானது.

இச்சமன்பாட்டில்,உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \),எனவே இதன் வரிசை 2.
இதில் \(\cos\left( \frac { dy }{ dx } \right) \) ,எனவே இதன் வரிசை 2.
இதில் \(\cos\left( \frac { dy }{ dx } \right) \) என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

நேரியல் தோராய மதிப்பீட்டு முறையில் \(\sqrt { 9.2 } \)-ன் தோராய மதிப்பைக் காண வேண்டியுள்ளது. சமன்பாடு (3)-ன் படி f(x₀+Δx)≈ f(x₀)+f'(x₀)Δx என உள்ளது. இதற்கு நாம் பொருத்தமான f , x₀ மற்றும் Δx ஆகியவற்றைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும். நம்முடைய இந்தத் தேர்வு மேற்கண்ட தோராய மதிப்பு சமன்பாட்டின் வலப்பக்கத்தை கணிப்பான் உதவியில்லாமல் கணக்கிடக்கூடிய வகையில் இருக்கவேண்டும். எனவே
f(x) = \(\sqrt { x,{ x }_{ 0 } } \) = 9 மற்றும் Δx=0.2 என நாம் தேர்வு செய்வோம். இதனால் f'(x₀)=\(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 9 } } \)மற்றும் \(\sqrt { 9.2 } \) ≈ f(9)+f'(9)(0.2)=3+\(\frac { 0.2 }{ 6 } \) =3.03333 என கிடைக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் காணப்படும் மிக உயர்ந்த வரிசை கொண்ட வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2}y }{ { dx }^{ 2} } \) ஆகும். மேலும், இதன் அடுக்கு 1 ஆகும்.
எனவே, இச்சமன்பாட்டின் வரிசை 2 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை அதனுடைய வகைக்கெழுக்களைக் கொண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடாக எழுத முடியாது. ஆகவே, இச்சமன்பாட்டின் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

ℤ-இன் மீது × ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி என்பதால் ∀a, b ∈ ℤ ⇒ a × b = ab ∈ ℤ மற்றும் b × b = b² ∈ ℤ     ... (1)
ℤ-ன் மீது + ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி என்பதால் (1) ⇒ 3ab = (ab + ab + ab) ∈ ℤ மற்றும் 5b² = (b²+b²+b²+b²+b²) ∈ ℤ.    ... (2)
மேலும், a ∈ ℤ மற்றும் 3ab ∈ ℤ ⇒ a + 3ab ∈ ℤ.    ...(3) 
(2), (3) ஆகியவற்றிலிருந்து ℤ -ன் மீது ' − ' ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி என்பதாலும் a*b = (a + 3ab - 5b²) ∈ ℤ கிடைக்கும். எனவே a * b ∈ ℤ என்பதால் * ஆனது ℤ -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது.

\(s={ 2t }^{ 2 }+3t\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4t+3\)
t=3 ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(3)+3=15\) மீ/வி 
t=6ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(6)+3=27\) மீ/வி 

- \(\sqrt3\) + i
மட்டு = 2 மற்றும்
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| { =\tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \pi }{ 6 } \)
- \(\sqrt3\) + i என்ற கலப்பெண்ணானது இரண்டாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = π - α = π - \(\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 5\pi }{ 6 } \)
ஆகவே - \(\sqrt3\) + i - ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் 5π/6 ஆகும்.

z = -5 -12i என்க.
\(\Rightarrow \left| z \right| =\sqrt { { (-5) }^{ 2 }+({ -12) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 25+144 } =\sqrt { 169 } =13\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \left( \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \right) \)
\(\sqrt { -5-12i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 13-5 }{ 2 } } +i\frac { (12) }{ \left| -12 \right| } \sqrt { \frac { 13+5 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm \left( \sqrt { \frac { 8 }{ 2 } } -i\sqrt { 9 } \right) \)  \([\because \left| -12 \right| =12]\)
\(=\pm \left( \sqrt { 4 } -i3 \right) =\pm (2-3i)\)

cos x = -1
cos x = cos π
x = 2nπ + π, n ∈ Z 
[∵ cos θ = cos ∝ ⇒ θ = 2nπ + ∝, n ∈ Z]
= (2n + 1)π, n ∈ Z
⇒ ஆனால் -5π ≤ x ≤ 5π
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3 என பிரதியிட கிடைப்பது
⇒ x = -5π, -3π, -π, π, 3π, 5π
x = (2n + 1) π,
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3

அந்த எண் x என்க. \(\sqrt [ 3 ]{ x } \)+x = 6
⇒ \(\sqrt [ 3 ]{ x } \) = 6 - x
இருபுறமும் 3 ஆம் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது
\(\left( { x }^{ \frac { 1 }{ 3 } } \right) ^{ 3 }\)= (6-x)³
x = 6³-3(6²)x+3(6)(x²)-x³
[∵ (a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³]
⇒ x = 216-108x+18x²-x³
⇒ x³+108x-18x-216+x = 0
⇒ x³+18x²+109x-216 = 0 என்பது தேவையான கணிதவியல் கணக்கு.

இங்கு A = 0, C = 1, D = 4, E = 3, F = 4
B = 0 மற்றும் A அல்லது C ஆனது 0 ஆகும்.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரவளையத்தை குறிக்கிறது.

|z - 4| = 16
கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
|z - 4| = 16
\(\Rightarrow \left| x+iy-4 \right| =16\)
\(\Rightarrow \left| (x-4)+iy \right| =16\)
\(\Rightarrow \sqrt { { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =16\)
\(\Rightarrow { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ 16 }^{ 2 }\) [இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² - 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² - 8x + y²+ 16 - 256 = 0
⇒ x² - 8x + y² - 240 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

 \(\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\sin ^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] =\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] =\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =1\)

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

மெய்மை அட்டவணையில் p → q மற்றும் ㄱp ν q ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. எனவே அவை சமானமானவை ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட பூலியன் அணிகள் 
 \( A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad B=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad C=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) 
\(A\vee B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \vee \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) 
=  \(\left( \begin{matrix} 1\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 1 & 1\vee 0 \\ 1\vee 1 & 0 \vee0\end{matrix}\begin{matrix} 1\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 1 & 1\vee 0 \\ 0\vee0 & 1\vee 1 \end{matrix} \right) \)
\(A\vee B=\left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right| \)

\(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 1,2 \right) }{ \lim } g\left( x,y \right) =\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 1,2 \right) }{ \lim } \cfrac { { 3x }^{ 2 }-xy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+3 } \) 
= \(\cfrac { 3\left( 1 \right) -1\times 2 }{ 1+4+3 } \)  = \(\cfrac { 1 }{ 8 } \)

\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\frac{x}{\log x}\) [\(\cfrac { \infty }{ \infty } \) தேரப்பெறா வடிவம் 
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த 
= \(\underset { x\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ \frac { 1 }{ x } } =\underset { x\rightarrow \infty }{ \lim } x=\infty \)

\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -ax }{ x }^{ n }dx=\cfrac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \) என்பதை நாம் அறிவோம் 
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 5 }{ e }^{ -3x }dx=\cfrac { 5! }{ { 3 }^{ 5+1 } } } \) 
\(n=5,\quad a=3 \)
\(=\frac { 5! }{ { 3 }^{ 6 } } \)

f(x) என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு என்பதால்,
\(\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1 \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \int_{-\infty}^0 f(x) d x+\int_0^{\infty} f(x) d x=1 \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} 0+\int_0^{\infty} k x e^{-2 x} d x=1 \Rightarrow k \int_0^{\infty} x e^{-2 x} d x=1 \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} k\left(\frac{1!}{2^{1+1}}\right)=1\left(\because \int_0^{\infty} x^n e^{-a x} d x=\frac{n!}{a^{n+1}}\right) \\ \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} k \times \frac{1}{4}=1 \Rightarrow k=4 \end{gathered}\)

\(I=\int _{ 0 }^{2 \pi }{ { \sin }^{ 4 }x{ \cos }^{ 3 }xdx } \) 
\(f(x)={ sin }^{ 4 }x{ cos }^{ 3 }x\) 
\(f\left( 2\pi -x \right) ={ sin }^{ 2 }\left( 2\pi -x \right) { cos }^{ 3 }\left( 2\pi -x \right) \) 
=\({ sin }^{ 4 }x{ cos }^{ 3 }x\) 
\(f\left( 2\pi -x \right) =f(x)\) 
\(f\left( 2a-x \right) =f(x)\) எனில்  \(\int _{ 0 }^{ 2a }{ f(x)dx=2\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } } \) 
\(I=2\int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }{ cos }^{ 3 }xdx } \) 
=  \(2\int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }x\left( 1-{ sin }^{ 2 }x \right) cosxdx } \) 
\(x=0\)  எனில் t=0 மற்றும் 
\(x=\pi \) எனில் t=0
ஃதொகையீட்டு மதிப்பு = 0
 \(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }{ cos }^{ 3 }xdx } =0\)

\(f(x)=|\frac{1}{x}|, x\in [-1,1]\) 
\(\begin{matrix} f(-1)=1 \\ f(1)=1 \end{matrix}\} \Rightarrow f\left( -1 \right) =f1)=1\) 
ஆனால் f(x) ஐ x=0ல் வகையிட இயலாது.
எனவே, ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.

கருதப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவையை p(x) என்க.
i) p(x) மற்றும் p(-x) -ல் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை பூச்சியம் என்பதால் மிகை எண் மூலங்களோ குறையெண் மூலங்களோ இல்லை. தெளிவாகவே பூச்சியம் மூலம் இல்லை. எனவே பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை. ஆகையால் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து மூலங்களும் மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்களாகும்.
ii) P(x) மற்றும் P (−x) -ல் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை முறையே 2 மற்றும் 1 ஆகும். எனவே அதிகபட்சம் இரு மிகையெண் மூலங்களும் அதிகபட்சம் ஒரு குறையெண் மூலங்களும் உண்டு. P (−x) -ல் உள்ள குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கும் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கைக்கும் உள்ள வேறுபாடு இரட்டைப்படை எண் என்பதால் பூச்சிய எண்ணிக்கையில் குறையெண் மூலங்கள் இல்லை. எனவே குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்.
P (x) -ல் உள்ள குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கும் மிகையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கைக்கும் உள்ள வேறுபாடு இரட்டைப்படை எண் என்பதால் பூச்சிய எண்ணிக்கையில் அல்லது இரு மிகை எண் மூலங்கள் உண்டு. ஆனால் கெழுக்களின் கூடுதல் பூச்சியம் என்பதால் 1 ஒரு மூலமாகும். எனவே இரண்டே இரண்டு மிகை எண் மூலங்கள் உண்டு. தெளிவாக பிற இரு மூலங்களும் மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்களாகும்.

sin^-1[sin 10]
\(\theta \in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)எனில், sin^-1(sin\(\theta\)) = \(\theta\) ஆகும். \(\frac{\pi}{2}≃\frac{11}{7}\) எனும் தோராய மதிப்பைக் கொள்க.
\(10\notin \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) எனலாம், ஆயினும் (10 - 3\(\pi \)) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)ஆகும்.
இனி, sin10 = sin(3\(\pi \) + (10 - 3\(\pi \))) = sin(\(\pi \)+(10 - 3\(\pi \)) = -sin(10 - 3\(\pi \)) = sin(3\(\pi \) - 10).
எனவே, sin^-1[sin 10] = sin^-1[sin[3\(\pi \) - 10)] = 3\(\pi \) - 10, ஏனெனில் (3\(\pi \) - 10) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \).

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\vec { r } .\vec { n } =p\) உடன் ஒப்பிடும்போது நமக்கு \(\vec { n } =6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } \) எனக் கிடைக்கிறது.
\(\vec { u } \) என்ற நிலை வெக்டரைக் கொண்ட புள்ளியிலிருந்து \(\vec { r } .\vec { n } \)= p  என்ற தளத்திற்குள்ள செங்குத்துத் தொலைவு \(\delta =\frac { |\vec { u } .\vec { n } -p| }{ |\bar { n } | } \) ஆகும். எனவே, \(\vec { u } =(2,5,-3)=2\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { n } =6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } \) என δ -ல் பிரதியிட நாம் பெறுவது
\(\delta =\frac { |\vec { u } .\vec { n } -p| }{ |\bar { n } | } =\frac { |(2\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } ).(6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } )-5| }{ |6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } | } \) = 2 அலகுகள்.

இங்கு, \(\vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ,\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = 0 ஆகும். இங்கு, \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \) = 0 எனவே, கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வெக்டர்களும் ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 1 - 3i, z₂= - 4i மற்றும் z₃ = 5
LHS = (z₁ + z₂) + z₃
= [1 - 3i + (- 4i)] + 5
= [1 -7i] + 5 = 6 - 7i
RHS = z₁ + (z₂ + z₃)
1 - 3i + (-4i + 5) = 6 - 7i
LHS = RHS
∴ (z₁ +z₂)+z₃ = z₁ + (z₂+z₃)

 sin^-1\(\left( \sin\frac { 5\pi }{ 9 } \cos\frac { \pi }{ 9 } +\cos\frac { 5\pi }{ 9 } \sin\frac { \pi }{ 9 } \right) \)
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \frac { 5\pi }{ 9 } +\frac { \pi }{ 9 } \right) \right) \)
(∵ sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B))
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \frac { 6\pi }{ 9 } \right) \right) \)
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right) \)
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
\(\left[ \because \frac { 2\pi }{ 3 } \left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \right] \)
= sin^-1 \(\left( \sin\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
(∵ sin (π - θ) = sin θ)
= \(\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because \frac { \pi }{ 3 } \epsilon \left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \right] \)

கொடுக்கப்பட்டது \(y={ ae }^{ -3x }+b\) 
சமன்பாடு (1) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ -3x }\left( -3 \right) +0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ -3x }\left( -3 \right) \) 
மீண்டும் வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ ae }^{ -3x }\left( +9 \right) \) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\cfrac { 1 }{ 3 } \cfrac { dy }{ dx } \times 9\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-3\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +3\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
எனவே,\(y={ ae }^{ -3x }+b\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது 
\(E(X+3)=10\) 
\(E(aX+b)=aE(X)+b\)
\(E(X+3)=10\Rightarrow E(X)+3=10\)
\(\Rightarrow \mu =E(X)=7\)
\(E\left( { X }+3 \right) ^{ 2 }=116\)
\(E\left( { X }^{ 2 }+6X+9 \right) =116\)
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) +6E(X)+9=116\)
\(E({ X }^{ 2 })+6(7)+9=116\)
\(E({ X }^{ 2 })=65\)
\({ \sigma }^{ 2 }=Var(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] ^{ 2 }\)
= 65 - 49 = 16

\(\vec { a } =4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } \) 
ஒரு புள்ளி \(\left( \vec { a } \right) \) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \(\left( \vec { b } \right) \)க்கு இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
 \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) \times \vec { b } =\vec { 0 } \) 
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } -\left( 4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \right) \right] =\vec { 0 } \) 
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { { b }_{ 3 } } } \)
 \(\Rightarrow \cfrac { x-4 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ -6 } =\cfrac { z+7 }{ 7 } \) 
[\(\because\) (x₁,y₁,z₁),(43,-7) மற்றும்(b_1,b_2,b₃),(2,-6,7)]

(i) A= \(\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right] \) என்க 
\(|A|=\left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| =6-4=2\neq 0\)
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 காணலாம்.
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
இங்கு \(adj\quad A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right] \)என்க
= 5(25-1)-1(5-1)+1(1-5)
= 5(24)-1(4)+1(-4)
= 120-4-4 = 120 - 8 = 112 ≠ 0 
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த,
\(|A|=5\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை எனில் A^-1 சாத்தியம்
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(25-1) \\ -(5-1) \\ +(1-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(5-1) \\ +(25-1) \\ +(5-1) \end{matrix}\begin{matrix} +(1-5) \\ -(5-1) \\ +(25-1) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்து 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\ A=\frac { 1 }{ 112 } ={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 28 } \left[ \begin{matrix} 6 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
(iii) A =\(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
= 2(8-7)-3(6-3)+1(21-12)
= 2(1)-3(3)+1(9)

R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
\(|A|=2\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 சாத்தியம் 
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ +(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ +(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு, \({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)