\( \overline{\bar{X}}=\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{462}{10}=46.2 \)
\( \bar{R}=\frac{\Sigma R}{n}=\frac{68}{10}=6.8\)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL} =\overline{\bar{X}}+A_2 \bar{R} \)
 =46.2+(0.58)(6.8) 
 =46.2+3.944=50.14 
\(\mathrm{CL}  =\bar{X}=46.2\)
\( L C L=\overline{\bar{X}}-A_2 \bar{R}\)
= 46.2 -3.944 = 42.26
இரண்டு புள்ளிகள் (53 மற்றும் 51) ஆனது கட்டுப்பாட்டு வரம்பிலிருந்து வெளியேறுவதால் செயல்முறையானது கட்டுப்பாட்டில் இல்லை எனலாம்.

\(P(X<0)  =P(X=-2)=\frac{1}{4} \)

கூறு அளவு n = 50
கூறு சராசரி \(\bar { x } \)=9.3 நிமிடங்கள் 
கூறு திட்டவிலக்கம் s = 1.6 நிமிடங்கள்
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ=8.9 நிமிடங்கள்
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ=8.9
மாற்று கருதுகோள் H1:μ≠8.9(Two tail)
மிகைகாண் நிலை = α=0.05
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு \(Z=\frac { x-\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 9.3-8.9 }{ \frac { 1.6 }{ \sqrt { 50 } } } =\frac { 0.4 }{ 0.2263 } =1.7676\)
கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு Z=1.7676
5% மிகைகாண் நிலையில் தீர்மானமதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z <\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் ஏற்கப்படுகிறது எனவே நோயுற்றோரை ஏற்றிச் செல்லும் வண்டி சேவை சராசரி 8.9 நிமிடங்களில் அவசர அழைப்பிடத்தை சேரும் என்ற கூற்று உண்மையாகிறது.

நிரைகளின் எண்ணிக்கையை விட நிரல்களின் எண்ணிக்கை குறைவாக உள்ளதால், கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரற்ற ஒதுக்கீடு கணக்காகும். இதனை சமச்சீராக மாற்ற எல்லா மதிப்புகளும் பூஜ்ஜியமுள்ள ஒப்புக்கான நிரலை உருவாக்கவும். மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஒதுக்கீடு கணக்கானது 

 

படி 1: எல்லா நிரையிலும் பூஜ்ஜியம் இருப்பதால் படி 1 தேவையில்லை,
படி 2: ஒவ்வொரு நிரலிலும் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள எல்லா மதிப்பிலும் கழிக்க வேண்டும்.


ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் சரியாக ஒரு ஒதுக்கீடுகள் செய்யப்பட்டுள்ளன. நான்கு வண்டிகளுக்கு இடம் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன.
D மற்றும் E என்ற வண்டிக்கு எந்த இடமும் ஒதுக்கப்படவில்லை.

\(\sum X = 0, a = \frac{\sum Y}{n}\) = \(\frac {270}{5}\) = 54
b = \(\frac {\sum XY}{\sum X^2} = \frac {54}{10}\) = 5.4
∴  தேவையான நேர்க்கோட்டுப் போக்கின் சமன்பாடு Y  = a +bX  
\(\Rightarrow \) Y = 54 + 5.4 (x - 2002)
X = 2000 எனில், Ŷ = 54 + 5.4 (2000-2002) = 43.2
X = 2001 எனில், Ŷ = 54 + 5.4 (2001-2002) = 48.6
X = 2002 எனில், Ŷ = 54 + 5.4 (2002-2002) = 54
X = 2003 எனில், Ŷ = 54 + 5.4 (2003-2002) = 59.4
X = 2004 எனில், Ŷ = 54 + 5.4 (2004-2002) = 64.8

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 100
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு :


அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

போக்குவரத்து விவரம்:
O₁ → D₁, O₁ → D₃, O₂ → D₁, O₂ → D₂, O₃ → D₂, and O₂ → D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
= 10(5) + 20(3) + 20(4) + 20 (5) + 10(4) + 20(2)
= 50 + 60 + 80 + 100 + 40 + 40 = Rs. 370

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. p = குறைபாடு உள்ள பொருட்களின் நிகழ்தகவு 
\( \mathrm{p}=\frac{5}{100}=0.05 \)
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.05=0.95 \)
\( \mathrm{n}=20 \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}\)
(i) \(P(X=3)  =20 C_3(0.05)^3(0.95)^{17} \)
\(=\frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}(0.000125)(0.4181)\)
=0.059
(ii) \(P(X \geq 2)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X}<2) \)
\(=1-[\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)] \)
\(=1-\left[20 \mathrm{C}_0(0.05)^0(0.95)^{20}+\right. \left.20 \mathrm{C}_1(0.05)^1(0.95)^{19}\right] \)
\( =1-(0.95)^{19}[0.95+20(0.05)]\)
 =1-(0.37735)(1.95)=1-0.7358
 =0.2642 
(iii) \(P(X=4)=20 C_4(0.05)^4(0.95)^{16} \)
\(=\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times(0.00000625)(0.4401)  =0.0133\)
(iv) சராசரி \(= n p=20 \times\left(\frac{5}{100}\right)=1 \)
மாறுபாடு \( =n p q=20 \times \frac{5}{100} \times \frac{95}{100}=0.95 \)

படுகை சமவாய்ப்பு கூறெடுப்பு முறையில் முழுமைத்தொகுதி பல துணை முழுமைத் தொகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இவற்றை படுகை (Strata) என அழைக்கிறோம். பிறகு ஒவ்வொரு படுகையிலிருந்தும் சமவாய்ப்பு முறையில் கூறுகள் (மாதிரிகள்) தெரிவு செய்யப்படுகிறது. எல்லா படுகைகளிலிருந்தும் பெறப்பட்ட கூறுகளின் தொகுப்பே படுகை கூறெடுப்பாகும்.
முழுமைத்தொகுதியானது அதன் பண்புகளைப் பொறுத்து அதாவது ஒத்த பண்பற்றவையாகவோ (heterogeneous), அல்லது வெவ்வேறு பகுதிகளாகவோ (துண்டுகளாகவோ) அல்லது பிரிவுகளாகவோ இருக்கும் போது படுகை கூறெடுப்பு முறை பயன்படுகிறது. படுகை கூறெடுப்பு முறையின் மூலம் கூறுகளை தெரிவு செய்வதற்கு முன், முழுமைத்தொகுதியை ஒத்த பண்புகள் (homogeneous) உடைய துணைப் பிரிவுகளாக அல்லது படுகைகளாக (Strata) பிரிக்கப்பட்டு ஒவ்வொரு படுகையிலிருந்தும் கூறுகள் தெரிவு செய்யப்படவேண்டும். படுகை கூறெடுப்பு முறையில் சமவாய்ப்பு மாதிரிகளை தெரிவுசெய்யும் போது பின்பற்ற வேண்டிய படிநிலைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(a) முழுமைத்தொகுதியானது ஏறத்தாழ ஒத்த பண்புகளைக் கொண்ட உறுப்புகளாலான வெவ்வேறு படுகைகளாகப் பிரிக்கப்பட வேண்டும். படுகைகள் ஒன்றோடொன்று சேராதவாறு வடிவமைக்கப்படவேண்டும்.
(b) முழுமைத்தொகுதி, படுகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டப் பின் ஒவ்வொரு படுகையிலிருந்தும் குறிப்பிட்ட அளவு கொண்ட கூறுகளைச் சமவாய்ப்பு முறையில், குலுக்கல் முறையில் அல்லது சமவாய்ப்பு எண் அட்டவணையிலிருந்து பெறலாம்.
ஒரு மாநிலத்தில் தேர்தலுக்காக, வெவ்வேறு சட்டமன்றப் பகுதிகளை பிரிப்பது மாநிலத்திலிருந்து மாவட்டங்களை பிரிப்பது படுகைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இதுபோன்ற மற்ற நிகழ்வுகளிலும் படுகை கூறெடுப்பு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

(a) ஆம், பரவல் சார்பு தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.
\(\mathrm{f}(x)=F^{\prime}(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x<1 \\ 0, & 1 \leq x<2 \\ \frac{1}{4}, & 2 \leq x<4 \\ 0, & x \geq 4\end{cases}\)
(b) (i) 3 நிமிடங்களுக்கு மேல் காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு 
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}>3)=1-P(X \leq 3)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
(ii) 3 நிமிடங்களுக்கு குறைவாக காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு
\(P(X<3)=F(3)=\frac{3}{4}\)
(iii) 1 முதல் 3 நிமிடங்கள் வரை காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு
\(P(1 \leq X \leq 3) =\mathrm{F}(3)-\mathrm{F}(1) =\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}\)

p என்பது A என்பவர் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும். ஈருறுப்பு பரவலின் பண்பளவைகள் n மற்றும் p என்பனவாகும். இங்கு முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை n = 5, p = 3/5, q =1-\(\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } \) என்பதாகும். (∵ q = 1-p)
5 முறை விளையாடும் விளையாட்டில் A எனும் வீரர் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(X=x) = p(x) =5Cx\(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ x }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 5-x }\)
A என்பவர் குறைந்தபட்சம் 3 முறை வெற்றி பெறுவதற்கான வாய்ப்பின் நிகழ்தகவு
P(x≥3) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=5C₃\(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+5C4\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 4 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 1 }+5C5\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 5 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 0 }\)
=0.6826.

x₀ + nh = x ⇒ x₀ = 0, h = 1
\({ y }_{ (n=x) }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
\(f (x)=1+\frac { n }{ 1! } (1)+\frac { n(n-1) }{ 2! } (-2)+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 6 } (12)\)
⇒  1 + x + (x² - x)(-1) + x(x² - 3x + 2) (2)
⇒ 1 + x - x² + x + 2x³ - 6x² + 4x
⇒  1+ 6x - 7x² + 2x³
= 2x³ - 7x²+ 6x + 1.

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
∴ Δ⁴y_k = 0 ⇒ (E - 1)⁴y_k = 0
(E⁴ - 4E³ + 6E²- 4E + 1) y_k = 0
(E⁴y_k - 4E³y_k + 6E²y_k- 4Ey_k + y_k = 0 ...(1)
k = 0 என  (1) -ல் பிரதியிட 
(E₄ - 4E₃ + 6E₂ - 4E + 1)y₀ = 0
⇒ y₄ - 4y₃ + 5y₂ - 4y₁ + y₀ = 0
⇒ y₄ - 4(15) + 6(8) - 4(y₁) + 0 = 0
⇒ y₄ - 60 + 48 - 4y₁ = 0
⇒ y₄ - 4y₁ = 12 ... (2)
k = 1 என  (1) -ல் பிரதியிட 
(E⁴- 4E³ + 6E² - 4E + 1) y₁ = 0
(E⁴y₁ - 4E³y₁ + 6E²y₁ - 4Ey₁ +  y₁ = 0
⇒ y₅ - 4y₄ + 6y₃ - 4y₂ + y₁ = 0
⇒ 35 - 4y₄ + 6 (15) - 4 (8) +y₁ = 0
⇒ 35 - 4y₄ + 90 - 32 +y₁ = 0
⇒ 4y₄ +y₁ = -93  (3)
சமன்பாடுகள் (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க,

⇒ y₁ = \(\frac{-45}{-15}\) = 3
⇒ y₁ = 3.
y₁ = 3 என (2) -ல் பிரதியிட 
y₄ = 12 + 12 = 24

சமான நிலையில் \(Q_d=Q_s\)
\(30-5 p+2 \frac{d p}{d t}+\frac{d^2 p}{d t^2}  =6+3 p \)
\(\frac{d^2 p}{d t^2}+2 \frac{d p}{d t}-8 p  =-24 \)
\(\left(D^2+2 D-8\right) p  =-24\)
துணைச் சமன்பாடு
\(\mathrm{m}^2+2 \mathrm{~m}-8  =0 \)
\((\mathrm{~m}+4)(\mathrm{m}-2)  =0 \)
\(\mathrm{~m}  =-4,2 \)
\(\text { C. } \mathrm{F}=A e^{m_1 t }+B e^{m_2 t}  =A e^{-4 t}+\mathrm{Be}^{2 t} \)
\(\text { P.I }  =\frac{1}{D^2+2 D-8}\left(-24 e^{e t}\right)\)
(D - க்கு பதிலாக 0 -ஐ  பதிலிட)
\(\text { P.I }=\frac{-24}{-8}=3\)
p=Ae^-4t+Be^2t+3

\(\frac { dy }{ dx } \)-(3cotx).y=sin2x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=-3cotx, Q=sin2x
\(\int { P } dx=\int { -3 \cot x } dx=-3\log \sin x=-\log \sin^{ 3 }x=\log\frac { 1 }{ \sin^{ 3 }x } \)
I.F.=\(e^{ log\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } }=\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F) } dx\)+c
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } =\int { sin2x } \frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } dx+c\)
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } =\int { 2sinxcosx } \times \frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } dx+c\)
=\(2\int { \frac { 1 }{ sinx } \times \frac { cosx }{ sinx } } dx+c\)
= 2∫cosec x cot x xdx+c
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)=-2cosecx+c     .....(1)
x=\(\frac { \pi }{ 2 } \) மற்றும் y=2 எனில்,
(i) ⇒ 2\(\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) \)=-2 x 1 + c ⇒ c=4
∴  (1) ⇒  \(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)=-2cosecx+4

\(\eta _{ d }=\frac { p+2{ p }^{ 2 } }{ 100-p-{ p }^{ 2 } } \)
\(\frac { -p }{ x } \frac { dx }{ dp } =\frac { p(2p+1) }{ 100-p-{ p }^{ 2 } } \)
\(\frac { -dx }{ x } =\frac { -(2p+1) }{ { p }^{ 2 }+p-100 } dp\)
\(\int { \frac { dx }{ x } } =\int { \frac { 2p+1 }{ { p }^{ 2 }+p-100 } } dp\)
logx (p²+p-100)+logk
∴ x=k(p²+p-100)
இங்கு x=70, p=5,
70=k(25+5-100)
⇒ k=-1
எனவே, x=100-p-p²
R=px
வருவாய் சார்பு: R=p(100-p-p²)

கணக்கின்படி, C(x)=\(\int { C' } (x)dx+{ k }_{ 1 }\)
=\(\int { \left( 50+\frac { x }{ 50 } \right) dx } +{ k }_{ 1 }\)
C(x)=\(50x +\frac { x^ 2 }{ 100 } +{ k }_{ 1 }\)
மாறாச் செலவு: k₁=200 (கணக்கின்படி)
செலவுச்சார்பு : C(x)=50x+\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)+200      .....(1)
இறுதிநிலை வருவாய்ச்சார்பு : =R'(x)=60
R(x) =\(\int { R'(x) } dx+{ k }_{ 2 }\)
=\(\int { 60 } dx+{ k }_{ 2 }\)
=60x+k₂
உற்பத்தி அளவு =0 எனில் வருவாய் = 0 ஆகும்.
அதாவது, x = 0 எனும்பொழுது R = 0 ⇒ k₂=0
∴ வருவாய் : R(x)=60x
இலாபம் : P = மொத்த வருவாய் – மொத்தச் செலவு
=60x-50x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)-200
=10x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)-200
\(\frac { dp }{ dx } \)=10-\(\frac { x }{ 50 } \)
மீப்பெரு இலாபத்திற்கு, \(\frac { dp }{ dx } \)=0 ⇒ x=500
\(\frac { { d }^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } =\frac { -1 }{ 50 } \)<0
∴ x=500 இல், மீப்பெரு இலாபம்: P=10(500)-\(\frac { (500)^{ 2 } }{ 100 } \)-200
=5000-2500-200
=2300
மீப்பெரு இலாபம் =ரூ.2,300.

I = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1 }{ x } -1 \right) } } dx\) என்க.
\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1-x }{ x } \right) } } dx\) ---(1)
\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1-(1-x) }{ 1-x } \right) } } dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1-1+x }{ 1-x } \right) } } dx\)
\([\int _{ 0 }^{ a }{ f\left( x \right) dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f\left( a-x \right) } } dx]\)
\(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { x }{ 1-x } \right) } } dx\)  ---(2)
(1) + (2) ,
\(2I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ \log { \left( \frac { 1-x }{ x } \right) } +\log { \left( \frac { x }{ 1-x } \right) } \right] } dx\)

[∵ log m + log n= log mn]
 \(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { 1 } } dx=0\)   [∵ log 1 = 0]
2I = 0
⇒ I = 0

\(\int { \frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx\)
\(=\log { \left| x \right| } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } +c\quad \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow dt=2x\quad dx\ \therefore \int { \frac { 2x\ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\int { \frac { dt }{ t } =\log { \left| t \right| =\log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } } } \right] \)
\(\frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow 1=A\left( { x }^{ 2 }+1 \right) +\left( Bx+C \right) (x)\)
\(x=0\Rightarrow 1=A\)
(1) ல் x² ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = A + B ⇒ B = -1
(1) ல் x ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = C ⇒ C = 0
\(=\int { \left( \frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { -x+0 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } } dx-\int { \frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)
\(\int \frac {dx }{x (x^2+1}=\int \frac {dt }{x} -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } }dx \) 
​​​​​​​= log|x|-\(\frac{1}{2}\)log|x²+1|+c

சமன்பாடுகள்
x+y+z=1
3x-y-z=4
x+5y+5z=k
அணிச் சமன்பாடு ,
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ k \end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) =\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 5 & 5 & k \end{pmatrix}\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & k-1 \end{pmatrix}\quad { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\quad { R }_{ 1 }\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}\)\(\quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\quad \)
சமன்பாடுகள் ஒருங்கமையற்றதாக இருக்க ,
\(\rho \)(A ,B ) \(\neq \) 2
ஃ k \(\neq \) 0

சமன்பாடுகள் 
 x + 2y + z = 7,
2x − y + 2z = 4,
x + y − 2z = −1
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
=1(2-2)-2(-4-2)+1(2+1)
=12+3 =15 \(\neq \) 0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
  = 7(2-2)-2(-8+2)+1(4-1)
 = 12+3 =15
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}\)
   = 1 (-8+2)-7(-4-2)+1(-2-4)
   = -6+42-6 =30
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)
= 1(1- 4) - 2 (- 2 - 4) + 7 (2 + 1)
 = - 3 + 12 + 21 = 30
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { 15 }{ 15 } =1\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\)
ஃ  தீர்வு x =1,y =2,z =2.