குறியீட்டு எண்களானது ஏதேனும் இரண்டு ஆண்டுகளை ஒப்பிடும் போது, விலை மற்றும் அளவு ஆகியவற்றில் காணப்படும் மாற்றங்களை அறிந்து கொள்வதற்கு பயன்படுகின்றன. ஒரு குறியீட்டு எண்ணின் போதுமான தன்மையை சோதிப்பதற்கு இரண்டு சோதனைகள் உள்ளன.
அவை பின்வருமாறு:
(i) காலமாற்றுச் சோதனை (Time Reversal Test)
(ii) காரணி மாற்றுச் சோதனை (Factor Reversal Test)
ஒரு சிறந்த குறியீட்டு எண்ணின் அளவுகோல் என்பது மேலே உள்ள இரண்டு சோதனைகளை நிறைவு செய்வது என்பதாகும்.

குறியீட்டு எண்களை பின்வருமாறு வகைப்படுத்த முடியும்,
(i) விலைக் குறியீட்டு எண் (Price Index Number) சில்லறை அல்லது மொத்த விலையில் ஏற்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாற்றத்தை அல்லது தொகுப்பு பொருள்களின் விலை குறியீட்டு எண்ணின் பொதுவான மாற்றங்களை அளவிடுவதற்கான குறியீடு ஆகும்.
(ii) எண்ணளவு குறியீட்டு எண் (Quantity Index Number) ஒரு தொழிற்சாலையில் தயாரிக்கப்படும் பொருள்களின் அளவுகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களை அளவிடுவதற்கான குறியீடு ஆகும்.
(iii) வாழ்க்கைத்தர குறியீட்டு எண் (Cost of living Index Number) வெவ்வேறு வர்க்க மக்களின் வாழ்க்கைத் தர செலவில் விலை சார்ந்த மாற்றத்தின் விளைவுகளை அறிவதற்காக இவை உருவாக்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரே முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரே அளவு கொண்ட அனைத்து மாதிரிகளின் புள்ளியியல் அளவைகள் கணக்கிடப்பட்டு, ஒரு நிகழ்வெண் (அலைவெண்) பரவல் அமைப்பதே கூறெடுப்பு பரவல் அல்லது மாதிரிப் பரவல் (Sampling distribution) என அழைக்கப்படுகிறது.
\({ }^N C_n=\frac{N !}{n !(N-n) !}=k\)
இவ்வாறாக பெறப்பட்ட k மாதிரிகள் ஒவ்வொன்றிற்கும், t = t ( x₁,x₂ ,x₃ ,... x_k ), 1 2 3 என்ற புள்ளியியல் அளவைகளான சராசரி x , பரவற்படி s² , முதலானவற்றைக் குறிப்பிடலாம்.
ஒவ்வொரு கூறிலிருந்தும் புள்ளியியல் அளவைகள் கணக்கிடப்பட்டு அவை கூறெடுப்புப் பரவலாக அமைக்கப்படுகிறது.
ஒரு புள்ளியியல் அளவையின் கூறெடுப்பு பரவலின் திட்டவிலக்கமே திட்டப்பிழை எனப்படும். இதனை S.E. எனச் சுருக்கமாகக் குறிப்பிடுகிறோம்.

மதிப்பு தெரியாத ஒரு தொகுதிப் பண்பளவையினை அளவிட பயன்படுத்தப்படும் மாதிரிப் பண்பளவையே மதிப்பீட்டு பண்பளவை (Estimator) எனப்படும். அதாவது மதிப்பீட்டு பண்பளவை என்பது ஒரு மாதிரிப் பண்பளவையே, இது முழுமைத்தொகுதிப் பண்பளவையை மதிப்பிடப் பயன்படுகிறது.

(i) முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்க இயலாத நிலையில் அதிகமாக இருக்கும். அதாவது n → ∞ .
(ii) ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு மிகவும் சிறியதாக இருக்கும். அதாவது p → 0
(iii) np =  λ இது ஒரு முடிவுறு எண்

மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.

மொத்த போக்குவரத்துச் செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒவ்வொரு ஆதியிலிருந்து ஒவ்வொரு சேரும் இடத்திற்கு அனுப்பக் கூடிய பொருள்களின் அளவை தீர்மானிப்பது போக்குவரத்து கணக்காகும்.

ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்புகள் :
1. p = q = 0.5 என இருக்கும்பொழுது ஈருறுப்புப் பரவலானது சமச்சீரானது.
2. p ≠ q எனும்பொழுது சமச்சீர் அற்றதாக இருக்கும்.
3. p < 0.5 எனில், ஈருறுப்புப் பரவல் மிகை கோட்ட அளவையாக இருக்கும்.
4. p > 0.5 எனில், ஈருறுப்புப் பரவல் குறை கோட்ட அளவையாக இருக்கும்.
5. ஈருறுப்புப் பரவலில் மாறுபாட்டளவையின் மதிப்பு, சராசரியின் மதிப்பைவிடக் குறைவானதாக இருக்கும். அதாவது குறியீட்டின்படி
6. மாறுபாட்டளவை npq = (np)q < np

ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மெய்‌ மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி. X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

X -இன் திரள் பரவல் சார்பு 
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathbf{X}=\boldsymbol{x} & \mathbf{p}(\boldsymbol{x}) & \mathbf{F}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x})=\mathbf{P}(\mathbf{X} \leq \boldsymbol{x}) \\ \hline 0 & 0.3 & 0.3 \\ \hline 1 & 0.2 & 0.3+0.2=0.5 \\ \hline 2 & 0.4 & 0.5+0.4=0.9 \\ \hline 3 & 0.1 & 0.9+0.1=1 \\ \hline \end{array}\)

\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y=-\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}\)
இருபறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2 =\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 \)
வரிசை =3 ; படி =3

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 80 & 5026 & & & & \\ \hline & & 648 & & & \\ \hline 85 & 5674 & & 40 & & \\ \hline & & 688 & & -2 & \\ \hline 90 & 6362 & & 38 & & 4 \\ \hline & & 726 & & 2 & \\ \hline 95 & 7088 & & 40 & & \\ \hline & & 766 & & & \\ \hline 100 & 7854 & & & & \\ \hline \end{array}\)
\( x_0=80, \mathrm{~h}=5, \quad x_0+\mathrm{nh}=82 \)
\(5 \mathrm{n}=2 \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{2}{5}=0.4 \)
\( \mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 +\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3)}{4 !} \Delta^4 y_0 \)
\(y=5026+\frac{0.4}{1 !}(648)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(40) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(4) \)
\(=5026+259.2-4.8-0.128-0.1664 =5280.1056 \)
\( x_{\mathrm{n}}=100, \mathrm{~h}=5, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=91 \)
\( \Rightarrow 5 \mathrm{n}=-9 \Rightarrow \mathrm{n}=-1.8 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{4 !} \nabla^4 y_n \)
\( y=7854+\frac{(-1.8)}{1 !}(766)+\frac{(-1.8)(-0.8)}{2 !} 40 +\frac{(-1.8)(-0.8)(0.2)}{3 !}(2) +\frac{(-1.8)(-0.8)(0.2)(1.2)}{4 !}(4) \)
\(=7854-1378.8+28.8+0.096+0.0576 \)
\( =6504.1536=6504 \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y \\ \hline 240 & 484 & & & \\ \hline & & 20 & & \\ \hline 50 & 204 & & 2 & \\ \hline & & 22 & & 0 \\ \hline 60 & 226 & & 2 & \\ \hline & & 24 & & 0 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & \\ \hline & & 26 & & 0 \\ \hline 80 & 276 & & 2 & \\ \hline & & 28 & & \\ \hline 90 & 304 & & & \\ \hline \end{array}\)
\(x_0 =40, \mathrm{~h}=10, x_0+\mathrm{nh}=43 \)
\(10 \mathrm{n} =3 \Rightarrow \mathrm{n}=0.3 \)
\(\mathrm{y} =y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 \)
\( =184+0.3(20)+\frac{(0.3)(-0.7)}{2}(2) \)
\( =184+6-0.21=189.79 \)
\(x_{\mathrm{n}} =90, \mathrm{~h}=10, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=84 \)
\(10 \mathrm{n} =-6 \Rightarrow \mathrm{n}=-0.6 \)
\(\mathrm{y} =y_n +\frac{n}{1 !} \Delta y_n +\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_n + ....\)
\( =304+\frac{(-0.6)}{1 !}(28)+\frac{(-0.6)(+0.4)}{2 !}(2) \)
\(=304-16.8-0.24=286.96 \)

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)+16y=0
துணைச் சமன்பாடு 
m² + 16=0
\(\mathrm{m}^2 =-16 \Rightarrow \mathrm{m}= \pm 4 i \)
\(\alpha =0, \beta=4\)
நிரப்புச் சார்பு : \(e^{\alpha x} \cdot(A \cos \beta x+B \sin \beta x)\)
தீர்வு : y=Acos 4x+Bsin 4x

இறுதிநிலைச் செலவு சார்பு
\(\mathrm{MC} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\frac{d C}{d x} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\int d C =14000 \int(7 x+4)^{-1 / 2} d x \)
\(C =14000\left[\frac{(7 x+4)^{1 / 2}}{7(1 / 2)}\right]+k\)
செலவுச் சார்பு:\(\mathrm{C}=4000(7 x+4)^{1 / 2}+\mathrm{k}\)
x=0 மற்றும் C=18,000 எனில்,k =10000
செலவுச் சார்பு : C =\(4000\sqrt { 7x+4 } +10000\)
சராசரி செலவு: AC =\(\frac { 4000 }{ x } \sqrt { 7x+4 } +\frac { 10000 }{ x } \)

y = x

பரப்பு  \(=\int _{ 1 }^{ 2 }{ y\quad dx } \)
\( ={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) }_{ 1 }^{ 2 }\)
 \(=\frac{1}{2}[4-1]\) \(\frac{3}{2}\) ச.அலகுகள்

\(\int { \sqrt { 1+\sin2x dx } } =\int { \sqrt { { \left( \sin x+\cos x \right) }^{ 2 }dx } } \)
\(=\int { \left( \sin x+\cos x \right) dx } \)
=−cos x + sin x + c
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
1+ sin2x = sin² x + cos² x + 2sin x cos x
= (sin x + cos x)² 

\(\int \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } dx\)

\(x^{ 3 }=(x+2)\left( x^{ 2 }-2x+4 \right) -8\)
\(\int \frac { x^{ 3 } }{ x+2 } dx=\int \left( x^{ 2 }-2x+4 \right) dx-8\int \frac { dx }{ x+2 }\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +4x-8\log |x+2|+c\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -x^{ 2 }+4x-8\log |x+2|+c\)

x,y அலகுகள் தொழிலாளர் அலகு, மூலதனம் அலகு ஆகியவற்றின் விலையைக் குறிக்கட்டும்.
3x + 2y = 62
4x +y = 56
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| =3(1)-4(2)=3-8=-5\not =0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 62 & 2 \\ 56 & 1 \end{matrix} \right| =62(1)-56(2)=62-112=-50\)

\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 3 & 62 \\ 4 & 56 \end{matrix} \right| =3(56)-4(62)\)
= 168 - 248 = -80

\(\therefore\) தொழிலாளருக்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.10 மற்றும் முதலீட்டிற்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.16

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1