(a) \(\sum p_i =1 \)
\(2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(9 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{9}\)
(b) \(P(X>2) =P(X=3)+P(X=5) =3 k+4 k=7 k=\frac{7}{9}\)

பெறும் மதிப்பெண்களை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
\(\mu=500, \sigma=100\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{585-500}{100}=0.85\)

\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<585) =\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0.85)\)
=0.5+0.3023  =0.8023>0.70
அவர் பல்கலைக்கழகத்தால் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவார்.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 34.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.


போக்குவரத்து விவரம் 
S₁⟶ D₁, S₂⟶ D₁, S₂⟶ D₂, S₃⟶ D₂, S₃⟶ D₃, S₄⟶ D₃
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
= (5 x 2) + (2 x 3) + (6 x 3) + (3 x 4) + (4 x 7) + (14 x 2)
= 10+ 6+ 18+ 12 + 28 + 28 = ரூ.102

  மூன்று ஆண்டு காலத்தைக் கொண்ட நகரும் சராசரி

ஆண்டு	இலாபம்	மூன்று ஆண்டு நகரும் கூடுதல்	மூன்று ஆண்டு நகரும் சராசரி ​​​​​​​
1986	15420	-	-
1987	15470	46410	15470
1988	15520	52010	17336.666
1989	21020	63040	21013.333
1990	26500	79470	26490
1991	31950	94050	31350
1992	35600	102450	34150
1993	34900	-	-

படுகைகள்	ஒத்த தொகுதிகள்	முழுமைத் தொகுதியில் சதவிகிதம்	ஒவ்வொரு படுகையில் உள்ள மக்கள் எண்ணிக்கை	சமவாய்ப்பு மாதிரிகள்
வகை 1	குறைந்த வருமான வகுப்பினர்	39	\(\frac{39}{100}\)x500=195	195x\(\frac{68}{500}\)=26.5~26
வகை 2	நடுத்தர வருமான வகுப்பினர்	38	\(\frac{38}{100}\)x500=190	190x\(\frac{68}{500}=26.5\)~26 190x\(\frac{68}{500}\)=26.5~26
வகை 3	உயர் வருமான வகுப்பினர்	23	\(\frac{23}{100}\)x500=115	115x\(\frac{68}{500}\)=15.6~16
மொத்தம்		100	500	68

Δ⁴U₀=(E-1)⁴U₀
=(E⁴-4E³+6E²-4E+1)U0
=E⁴U₀-4E³U₀+6E²U₀-4EU₀+U₀
=U₄-4U₃+6U₂-4U₁+U₀
=29-4(28)+6(21)-4(11)+1
=156-156=0

(4D²+4D-3)y=e^2x
துணைச் சமன்பாடு 
\(4 m^2+4 m-3 =0 \)
\(4 m^2+6 m-2 m-3 =0 \)
\(2 m(2 m+3)-1(2 m+3) =0 \)
\((2 m-1)(2 m+3) =0 \)
\(m=1 / 2,-3 / 2 \)
நிரப்புச் சார்பு \(: A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x} \)
\(=A e^{(1/ 2) x}+B e^{-3 x / 2}\)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{e^{2 x}}{4 D^2+4 D-3}\)
D - க்கு பதிலாக 2 - ஐ பதிலிட
\(\mathrm{P} . \mathrm{I}=\frac{e^{2 x}}{16+8-3}=\frac{e^{2 x}}{21} \)
தீர்வு : y=C.F+ P.I
y=\(Ae^{ \frac { 1 }{ 2 } x }+Be^{ \frac { 3 }{ 2 } x }+\frac { { e }^{ 2x } }{ 4 } \)

கொடுக்கப்பட்ட இறுதிநிலை செலவு சார்பு: MC =6+10x-6x²
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (6+10x-6x^{ 2 }) } dx+k\)
=6x+5x²-2x³+k      .....(1)
x=2 எனும் போது C=12
∴ 12=12+20-16+k
k=-4
C=6x+5x²-2x³-4
சராசரி செலவு: \(\frac { C }{ x } =\frac { 6x+5x^{ 2 }-2x^{ 3 }-4 }{ x } \)
=6+5x-2x²-\(\frac { 4 }{ x } \).

\(\int { \frac { { x }^{ 3 }dx }{ \sqrt { x^{ 8 }+1 } } } =\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { 4x^{ 3 }dx }{ \sqrt { (x^{ 4 })^{ 2 }+1^{ 2 } } } } \)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \log|{ x }^{ 4 }+\sqrt { ({ x }^{ 4 })^{ 2 }+1^{ 2 } } |+c\)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \log|{ x }^{ 4 }+\sqrt { { x }^{ 8 }+1 } |+c\).

A-ன் வரிசை 3 x 4  ∴ ρ(A) ≤3.
அணி A -ஐ, ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றியமைக்க

அணி A	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
A=\(\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \) ~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \)	R1 ↔️ R2
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3-3R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 + 5R2

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A) =3.

\( \overline{\bar{X}}=\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{462}{10}=46.2 \)
\( \bar{R}=\frac{\Sigma R}{n}=\frac{68}{10}=6.8\)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL} =\overline{\bar{X}}+A_2 \bar{R} \)
 =46.2+(0.58)(6.8) 
 =46.2+3.944=50.14 
\(\mathrm{CL}  =\bar{X}=46.2\)
\( L C L=\overline{\bar{X}}-A_2 \bar{R}\)
= 46.2 -3.944 = 42.26
இரண்டு புள்ளிகள் (53 மற்றும் 51) ஆனது கட்டுப்பாட்டு வரம்பிலிருந்து வெளியேறுவதால் செயல்முறையானது கட்டுப்பாட்டில் இல்லை எனலாம்.

முழுமை தொகுதியிலிருந்து கூறுகளை தேர்ந்தெடுக்கும் உத்தி அல்லது முறையானது, கூறு (மாதிரி) எடுத்தல் கருத்தியலில் அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது ஆகும். இது பொதுவாக விவரங்களின் தன்மை மற்றும் விசாரணையின் வகை ஆகியவற்றைப் பொறுத்தே அமையும்.
கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நடைமுறைகள் பரவலாகக் கீழ்க்கண்டவாறு வகைப்படுத்தப்படுகிறது
1. சமவாய்ப்பு அற்ற கூறெடுப்பு அல்லது நிகழ்தகவு சாரா கூறெடுப்பு
2. சமவாய்ப்பு கூறெடுப்பு அல்லது நிகழ்தகவு சார்ந்த கூறெடுப்பு.
சமவாய்ப்பு கூறெடுப்பு என்பது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறுகளை சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுப்பதைக் குறிக்கிறது. சமவாய்ப்பு மாறி என்பது முழுமை தொகுதியில் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும், கூறு அல்லது மாதிரியாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான வாய்ப்பு சமமாக உள்ளது என்பதாகும்.

கூறு அளவு n = 50 ஊழியர்கள்
மொத்த ஊதியம்  Σx=2250
கூறு சராசரி   
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ=52
முழுமைத் தொகுதி மாறுபாட்டளவை σ²=25
முழுமைத் தொகுதி திட்ட விலக்கம் SD =σ=25
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ=52
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ≠52 (இரு முனை)
மிகைகாண் நிலை  α =0.01
கூறுபண்பளவை சோதனை \(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 51-52 }{ \frac { 5 }{ \sqrt { 50 } } } =\frac { -1 }{ 0.7071 } =-1.4142\)
மாற்று கருதுகோள் இருமுனை சோதனையாகும், எனவே |Z|= 1.4142 எனப் பெறுகிறோம்.
தீர்மான மதிப்பு 1% மிகைகாண் நிலையில் \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பைவிட குறைவாக உள்ளது Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\), 1% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறு சராசரிக்கும் தொகுதி சராசரி μ= 52, திட்ட விலக்கம் σ = 5 -க்கும் குறிப்பிடத்தக்க வித்தியாசம் இல்லை என்பதால் m = 49 என்பது நிராகரிக்கப்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள் = 17. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு : 

நான்காம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 

∴ போக்குவரத்து விவரம் :
O₁ → D₁, O₁ → D₂, O₂ → D₄, O₃ → D₃  O₃ → D₁ , O₃ → D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
= 1(2) + 5(3) + 1(1) + 6(5) + 3(15) + 1(9)
= 2 + 15 + 1 + 30 + 45 + 9 = Rs. 102

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. p = குறைபாடு உள்ள பொருட்களின் நிகழ்தகவு 
\( \mathrm{p}=\frac{5}{100}=0.05 \)
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.05=0.95 \)
\( \mathrm{n}=20 \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}\)
(i) \(P(X=3)  =20 C_3(0.05)^3(0.95)^{17} \)
\(=\frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}(0.000125)(0.4181)\)
=0.059
(ii) \(P(X \geq 2)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X}<2) \)
\(=1-[\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)] \)
\(=1-\left[20 \mathrm{C}_0(0.05)^0(0.95)^{20}+\right. \left.20 \mathrm{C}_1(0.05)^1(0.95)^{19}\right] \)
\( =1-(0.95)^{19}[0.95+20(0.05)]\)
 =1-(0.37735)(1.95)=1-0.7358
 =0.2642 
(iii) \(P(X=4)=20 C_4(0.05)^4(0.95)^{16} \)
\(=\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times(0.00000625)(0.4401)  =0.0133\)
(iv) சராசரி \(= n p=20 \times\left(\frac{5}{100}\right)=1 \)
மாறுபாடு \( =n p q=20 \times \frac{5}{100} \times \frac{95}{100}=0.95 \)

இங்கு ∑a_i=∑b_j=80 அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள். எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாவது ஒதுக்கீடு:

மூன்றாவது ஒதுக்கீடு:

நான்காவது ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாவது ஒதுக்கீடு:

ஆறாவது ஒதுக்கீடு:

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

போக்குவரத்து விவரம்
A ⟶ I, A ⟶ II, A ⟶ III, A ⟶ IV, B ⟶ I, C ⟶ IV, D⟶ II
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
= (6×5) + (6×1) + (17×3) + (5×3) + (15×3) + (12×3) + (19×1)
= 30 + 6 + 51 + 15 + 45 + 36 + 19
= ரூ.202

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)

வயது = x , காப்பீட்டுத்தொகை = y என்க.
இங்கு, நியூட்டனின் பின்நோக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி y-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.
y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)
x=63, ∴ x_n+nh=63, x_n=68.48, h=5 ⇒ -\(\frac{2}{5}\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
45	114.84
		-18.68
50	96.16		5.84
		-12.84		-1.84
55	83.32		4		0.68
		-8.84		-1.16
60	74.48		2.84
		-6
65	68.48

 y_(x=63)=68.48+\(\frac { \frac { -2 }{ 5 } }{ 1! } (-6)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) }{ 2! } 2.84+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) }{ 3! } (-1.16)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +3 \right) }{ 4! } (0.68)\)
=68.48+2.4-0.3408+0.07424-0.028288
y(63)=70.585

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை  \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } y=\frac { 4x^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } \) என்றவாறு மாற்றி அமைக்கலாம்.
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=\(\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } \), Q=\(\frac { 4x^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\int { P } dx=\int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)=log(x²+1)
I.F=\({ e }^{ \int { p } dx }=e^{ log({ x }^{ 2 }+1) }\)=x2+1
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q } (I.F)\)dx+c
y(x²+1)=\(\int { \frac { 4x^{ 2 } }{ x^{ 2 }+1 } } \\ \)(x²+1)dx+c
y(x²+1)=\(\frac { 4x^{ 3 } }{ 3 } \)+c

கொடுக்கப்பட்ட MR=a(x+b)^-2-c
R=\(\int { a(x+b)^{ -2 } } dx-c\int { dx } \)
R=\(\frac { a(x+b)^{ -1 } }{ -1 } \)-cx+k
R=\(-\frac { a }{ x+b } \)-cx+k
x = 0 எனும்பொழுது R = 0
∴ 0=\(-\frac { a }{ b } \)-c(0)+k
k =\(\frac { a }{ b } \)
R=\(-\frac { a }{ x+b } -cx+\frac { a }{ b } \)
\(=\frac { -ab+a(x+b) }{ b(x+b) } \)-cx
R=\(\frac { ax }{ b(x+b) } -cx\)
தேவைச் சார்பு: p=\(\frac { R }{ x } \)
p=\(\frac { a }{ b(x+b) } -c\)
p+c=\(\frac { a }{ b(x+b)\quad } \)
b(x+b)=\(\frac { a }{ p+c } \)
x =\(\frac { a }{ b(p+c) } -b\).

\(\int _{ a }^{ b } xdx\)=1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ x \right] _{ a }^{ b }\)=1
b-a=1  .....(1)
மேலும், \(\int _{ a }^{ b } xdx\)=1 எனவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ a }^{ b }\)=1
b²-a²=2
(b+a)(b-a)=2
b+a=2      ......(2)  [∵ b-a=1]
(1)+(2) ⇒ 2b=3
∴ b=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
இப்போது, \(\frac { 3 }{ 2 } \)-a =1 [∵ (1) லிருந்து]
∴ a=\(\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\begin{equation} \int\left(\frac{x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2}\right) d x \end{equation}\)
2x⁴-3x²-2=2x⁴-4x²+x²-2
=2x⁴- (x²-2) + 1(x²-2)
= (2x² + 1)(x² - 2)
\(\int \frac{x d x}{(2 x^{2}+1)( x^{2}-2} )= \frac {1}{2}\frac {dt}{(2t + 1)(t -2)}\)
\(\frac {1}{(2t + 1)(t -2)} = \frac{A}{2t + 1}+ \frac{B }{t -2}\)

t = x2 dt=2xdx \(\frac{dt}{2}=xdx\)

1 = A (t - 2) + B (2t + 1) ... (1)
t = 2 எனில் 
1 = B ( 5) ⇒ B = \(\frac{1}{5}\)
(1) - ல், 't' - ன் கெழுக்களைக் சமப்படுத்த 
0 = A + 2B
\(A =-\frac {2}{5}\)
\(\frac{1}{(2 t+1)(t-2)} =-\frac{2}{5(2 t+1)}+\frac{1}{5(t-2)} \)
\( \int \frac{d t}{(2 t+1)(t-2)} =-\frac{2}{5} \int \frac{d t}{2 t+1}+\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t-2}\)
\(=-\frac{1}{5} \int \frac{2 d t}{2 t+1}+\frac{1}{5} \log |t-2|+c \\ \)
\(=-\frac{1}{5} \log |2 t+1|+\frac{1}{5} \log |t-2|+c \\ \)
\(=\frac{1}{5} \log \left|\frac{t-2}{2 t+1}\right|+c \\ \)
\(\int \frac{x d x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2} =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{5} \log \left|\left(\frac{t-2}{2 t+1}\right)\right|\right]+c \)
\(=\frac{1}{10} \log \left|\frac{x^{2}-2}{2 x^{2}+1}\right|+c\)

x ,y ,z என்பன முறையே வகை I ,II மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் என்க.
எனவே , சமன்பாடுகள் 
x + 2y + 3z = 11
2x + 4y + 5z = 21
3x + 5y + 6z = 27
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
    = 1(24-25)-2(12-15)+3(10-12)
    = -1+6-6
    =-1\(\neq \)0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\(\Delta _{ x }=\begin{vmatrix} 11 & 2 & 3 \\ 21 & 4 & 5 \\ 27 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 11(24-25)-2(126-135) + 3(105-108)
       = -11+18-9 = -2
\(\Delta _{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 11 & 3 \\ 2 & 21 & 5 \\ 3 & 27 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 1(126 -135)-11(12-15)+3(54-63)
       = -9+33-27 =-3
\(\Delta _{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 4 & 21 \\ 3 & 5 & 27 \end{vmatrix}\)
       = 1(108 -105)-2(54-63)+11(10-12)
       = 3+18-22 =-1
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { -2 }{ -1 } =2\)
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { -3 }{ -1 } =3\)
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { -1 }{ -1 } =1\)
தரங்கள்  I,II,மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் முறையே 2,3 மற்றும் 1.

ஃபிஷர் தனித்த குறியீட்டு எண் =\(\sqrt{110 \times 108} = \sqrt{11880} = 108.99 - 109\)

\(\mathrm{P}(\mathrm{Z}>\mathrm{z}) =0.8508 \)
\(\mathrm{P}(-\mathrm{z}<\mathrm{Z}<0) =0.8508-0.5=0.3508 \)
\(\mathrm{z} =-1.04 \)

\(\mathrm{P}(-3 <\mathrm{Z}<-0.5) \)
\(= \mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<3)-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<0.5)\)
=0.4987-0.1915=0.3072

\(E(X) =\sum x_i p_i \)
\(\therefore(21)(0.29)(0.5) =3.045 \)
(19)(0.4)(0.5)  =3.8
(22)(0.35)(0.5)  =3.85

\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathbf{y} & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^{\prime} y \\ \hline 12 & & & \\ \hline & 1 & & \\ \hline 13 & & 1 & \\ \hline & 2 & & 0 \\ \hline 15 & & 1 & \\ \hline & 3 & & \\ \hline 18 & & & \\ \hline \end{array}\)

\(\mathrm{y} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{ae}^x-\mathrm{be}^{-x} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x}=\mathrm{y} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}-\mathrm{y} =0 \)

\(\frac{d R}{d x} =e^{-x / 10} \)
\(\mathrm{R} =\int e^{-x / 10} d x=\frac{e^{-x / 10}}{-1 / 10}+k \)
x  =0 மற்றும் R=0 எனில்,k=10 
\(\mathrm{R}=-10 e^{-x / 10}+10=10\left(1-e^{-x / 10}\right)\)

t = x² + 3x + 2 என்க.⇒ dt = (2x+ 3) dx
\(\int { \frac { 2x+3 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+3x+2 } } } \)dx \(=\int \frac {dt }{\sqrt t} = \int t ^{- \frac {1}{2}}dt = \frac {t {\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}\)
= \(2 \sqrt{t } + c =2\sqrt { { x }^{ 2 }+3x+2 } +c\)

“ஒரு குறியீட்டு எண் என்பது துல்லியமான அளவுகளில் அளக்க முடியாத அல்லது வழக்கத்தில் நேரடி மதிப்பீடு செய்ய முடியாத எண் அளவிலான மாறுபாடுகளில் உள்ள வேறுபாடுகளை காண்பிக்கக்கூடிய ஒரு கருவியாகும்”.

நேர்காணல் குழுவில் உள்ள பெண்களின் எதிர்பார்ப்பு எண்ணிக்கை
\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ x }\left( x \right) \)
= \(\left[ \left( 0\times \cfrac { 2 }{ 11 } \right) +\left( 1\times \cfrac { 5 }{ 11 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 4 }{ 11 } \right) \right] \)
= \(\cfrac { 13 }{ 11 } \) (தோராயமாக ஒரு பெண்)

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 21
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம்
P → A, P → Q,Q → B, Q → C, Q → D, R → D, R → E
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
\( =(3 \times 2)+(1 \times 11)+(2 \times 4)+(4 \times 7)+ (2 \times 2)+(3 \times 8)+(6 \times 12) \)
= 6 + 11 + 8 + 28 + 4 + 24 + 72 = ரூ. 153 

நிறைகள் :
1. தனிப்பட்ட நபரின் விருப்பு, வெறுப்பு தவிர்க்கப்படுகிறது
2. இது சிக்கனமான முறையாகும் ஏனெனில், பொருள் விரையம், காலவிரையம் மற்றும் அதிக உழைப்பு விரையமாவதை தவிர்க்கிறது.

ஓர் ஈருறுப்புப் பரவல் சமச்சீர் பரவலாக இருப்பின் p = q = 1/2
சரியாக 2 தலைகள் மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = 2) =\(\left( \begin{matrix} 6 \\ x \end{matrix} \right) \)p^xq^n-x
=\(\left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) ^{ 2 }\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) ^{ 6-2 }\)
=\(\frac { 15 }{ 64 } \).

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \) R₂ → R₂ -3R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A) = 2

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 \boldsymbol{y} & \Delta^3 \boldsymbol{y} \\ \hline-1 & 202 & & & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 0 & 175 & & -66 & \\ \hline & & -93 & & 132 \\ \hline 1 & 82 & & 66 & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 2 & 55 & & & \\ \hline \end{array}\)
x₀ =-1, h=1,x₀ + nh = 0.5
n  = 1.5
\(\mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 \)
\(=202+\frac{1.5}{1 !}(-27)+\frac{(1.5)(0.5)}{2}(-66) +\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6} 132 \)
\(\mathrm{y}=202-40.5-24.75-8.25=128.5 \)

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -6\frac { dy }{ dx } +8y\)=0
துணைச் சமன்பாடு 
m²-6 m+8  =0
(m-4)(m-2)  =0
m  =2,4
மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை
\(\therefore \)நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}\)
\(\therefore \)தீர்வு : y=Ae^2x+Be^4x

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{MR} =9-4 x^2 \)
\(\frac{d R}{d x} =9-4 x^2 \)
\(\mathrm{R} =\int\left(9-4 \mathrm{x}^2\right) d x=9 x-\frac{4 x^3}{3}+\mathrm{k} \)
\(x =0, \mathrm{R}=0 \) எனில்,k =0 
\(\mathrm{R} =9 x-\frac{4 x^3}{3}\)
\(=\mathrm{p}=\frac{R}{x}=9-\frac{4 x^2}{3}\)
தேவைச் சார்பு: \(=\mathrm{p}=\frac{R}{x}=9-\frac{4 x^2}{3}\)

\(\int { \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-9 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) } \log { \left| \frac { x-\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } }{ x+\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ \frac { 12 }{ \sqrt { 2 } } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(=\frac { 1 }{ 6\times \sqrt { 2 } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)