\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ x3{ e }^{ -3x }dx } \)
= \(3\int _{ 0 }^{ \infty }{ x{ e }^{ -3x }dx } \)
= \(3\left\{ \left[ x\cfrac { e^{ -3x } }{ -3 } \right] -\int _{ 0 }^{ \infty }{ \left( \cfrac { { e }^{ -3x } }{ -3 } \right) dx } \right\} \left( \therefore udv=uv-\int { vdu } \right) \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -3x }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 3 } \)
எனவே, உபகரண பகுதியின் எதிர்பார்க்கத்தக்க செயல் வாழ்வு \(\cfrac { 1 }{ 3 } \) மணி நேரம் (ஆயிரத்தில் ஆகும்).

சராசரி μ = 800 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 100, நாள் ஒன்றுக்கு கொள்முதல் செய்யப்படும் பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(800 < X < 1000) 
\(=P\left(\frac{800-800}{100}<z<\frac{1000-800}{100}\right)\)
= P(0 < Z < 2) = 0.4772
எனவே பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் கொள்முதல் செய்யும் சங்கங்களின் சதவீதம் 47.72 ஆகும்.

(i) மீச்சிறுவின் மீப்பெரு

(5, 7, 9, 8)இன் மீப்பெரு மதிப்பு = 9, எனவே A₃ சிறந்த செயல் ஆகும்.
(ii) மீப்பெருவின் மீச்சிறு

(14, 11, 11, 13) - இன் மீச்சிறு மதிப்பு = 11
எனவே A₂ மற்றும் A₃  சிறந்த செயல் ஆகும்.

\(\Delta \log (a x) =\log a(x+h)-\log a x \)
\( =\log \left(\frac{a x+a h}{a x}\right)=\log \left(\frac{a x}{a x}+\frac{a h}{a x}\right)\)
\( =\log \left(1+\frac{h}{x}\right) \)

ஆதியைக் குவியமாகக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு 
\((y-0)^2  =-4 a(x-a) \)
\(2 y y^{\prime} =-4 a \)
\(y y^{\prime}  =-2 a\)
(1) லிருந்து
\(y^2=-4 a x+4 a^2\)
(2) ஐ (3) ல் பிரதியிட
\( \mathrm{y}^2=2 x y y^{\prime}+y^2 y^{\prime 2} \)
\( \mathrm{y}=2 x y^{\prime}+y y^{\prime 2}\)
\(\mathrm{y}=2 x \frac{d y}{d x}+y\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\)

(i) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
x=0, C=100 ⇒100=2(0)+5(e⁰)+k
k=95
∴ C=2x+5e^x+95
(ii) சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

\(\int { \frac { dx }{ 2+x-x^{ 2 } } } \)=\(\int { \frac { dx }{ 2\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } } \)
=\( \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } \log\left| \frac { \frac { 3 }{ 2 } +(x-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ \frac { 3 }{ 2 } (x-\frac { 1 }{ 2 } ) } \right| \)+c
=\(\frac { 1 }{ 3 } \log\left| \frac { 2+2x }{ 4-2x } \right| \)+c
=\(\frac { 1 }{ 3 } \log\left| \frac { 1+x }{ 2-x } \right| \)+c
வர்க்க நிறைவாக்கல் முறையில்,
2+x-x²=2-[x²-x]
= 2-\(\left[ (x-\frac { 1 }{ 2 } )^{ 2 }-\frac { 1 }{ 4 } \right] \)
=\(\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)

சமன்பாடு 
2x + 3y = 7,
3x + 5y = 9
இங்கு \(\triangle =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| =1\)\(\neq 0\)
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\({ \triangle }_{ x }=\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| =8\)  \({ \triangle }_{ y }=\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| =-3\)
\(x=\frac { { \triangle }_{ X } }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } =8\)   \(y=\frac { { \triangle }_{ y } }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } =-3\)
\(\therefore \) தீர்வு  x = 8, y = −3

\(P(X<0)  =P(X=-2)=\frac{1}{4} \)

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 


மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 100
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.



போக்குவரத்து விவரம் 
S₁⟶ D₁, S₂⟶ D₁, S₂⟶ D₂, S₃⟶ D₂, S₃⟶ D₃
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
= (25 x 9) + (5 x 6) + (25 x 8) +  (5 x 4) + (40 x 9)
= 225 + 30+ 200 + 20+ 360 = ரூ.835




போக்குவரத்து விவரம் 
S₁⟶ D₁, S₂⟶ D₁, S₂⟶ D₂, S₃⟶ D₂, S₃⟶ D₃
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
=(15 x 9) + (10 x 5) + (35 x 4) + (15 x 7) + (25 x 6)
= 135 + 50 + 140+ 105 + 150 = ரூ.580

\(\mathrm{n}=1600, X=99 \) 
\(\mu=100, \sigma=15\)
இன்மை கருதுகோள் \(\mathrm{H}_0: \mu=100\)
மாற்று கருதுகோள் \(\mathrm{H}_1: \mu \neq 100\)
கூறுபண்பளவை சோதனை:
\(Z  =\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) \)
\( =\frac{99-100}{\frac{15}{\sqrt{1600}}}=-2.67\)
|Z| =2.67>1.96
மிகைகாண் நிலை \(\alpha=0.05\)
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக  உள்ளது. அதாவது, Z <  Z_α/2 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறானது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல

(i) \(\mu=12, \sigma=4\)
\(P(X \leq 20)  =P(Z \leq 2)=0.5+P(0 \leq Z \leq 2)\)
=0.5+0.4772=0.9772

(ii) \( \mathrm{Z}=\frac{0-12}{4}=-3\)
\(\mathrm{Z} \equiv \frac{12-12}{4}=0\)

\(P(0 \leq X \leq 12) =P(-3 \leq Z \leq 0) =P(0 \leq Z \leq 3)=0.49865 \)

ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை 12 என்பதால் (இரட்டை) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி விவரங்களை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கலாம். அதிலிருந்து முதல் 6 ஆண்டுகள் மற்றும் கடைசி 6 ஆண்டுகளின் விற்பனை சராசரி பெறலாம்.

(i) கணக்கின்படி
கூறு அளவு : n =900, கூறு சராசரி \(\bar { x } \) = 3.4 செ.மீ,
கூறு திட்டவிலக்கம் SD s = 2.61 செ.மீ
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ= 3.25 செ.மீ, முழுமைத் தொகுதியின் திட்ட விலக்கம் SD σ = 2.61 செ.மீ
இன்மை கருதுகோள் H₀ : μ = 3.25 செ.மீ சராசரி  μ= 3.25 மற்றும் செ.மீ SD σ = 2.61 செ.மீ உடைய முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறு எடுக்கப்பட்டிருக்கிறது.
மாற்று கருதுகோள்: H₁:μ≠3.25 செ.மீ (இருமுனைச் சோதனை l) அதாவது சராசரி μ = 3.25 செ.மீ மற்றும் திட்ட விலக்கம் σ = 2.61 செ.மீ கொண்ட முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறு எடுக்கப்படவில்லை.
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு ஏற்பக் கணக்கிடல்
\(Z=\frac { 3.4-3.25 }{ \frac { 2.61 }{ \sqrt { 900 } } } =\frac { 0.15 }{ 0.087 } =1.724\)
\(\therefore\)Z=1.724
கணக்கிடப்பட்ட ∴ Z=1.724 மற்றும் அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96\)
இவற்றை ஒப்பிடுகையில் \(Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\\ \)அதாவது 1.724 < 1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட 5% மதிப்பானது, அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது 5% மிகைகாண் நிலையில் \(Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\\ \) ஆக உள்ளதால். இன்மை கருதுகோள் ஆனது ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே , சராசரி μ = 3.25 செ.மீ மற்றும் திட்ட விலக்கம், σ = 2.61 செ.மீ. உடைய முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறானது எடுக்கப்பட்டது என முடிவு செய்யப்படுகிறது.
(ii) நம்பிக்கை எல்லைகள் (Confidence limits)
முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி μ விற்கான 95% நம்பிக்கை எல்லைகள்:
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\le \mu \le \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\)
\(3.4-(1.96\times 0.087)\le \mu \le 3.4+(1.96\times 0.087)\)
\(3.229\le \mu \le 3.571\)
முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி μ விற்கான 98% நம்பிக்கை எல்லைகள்:
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\le \mu \le \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\)
\(3.4-(2.33\times 0.087)\le \mu \le 3.4+(2.33\times 0.087)\)
\(3.197\le \mu \le 3.603\)
எனவே , μ- இன் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி (3.229,3.571) மற்றும் 98% நம்பிக்கை இடைவெளி (3.197,3.603) ஆகும்.

இங்கு ∑a_i=∑b_j=80 அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள். எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாவது ஒதுக்கீடு:

மூன்றாவது ஒதுக்கீடு:

நான்காவது ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாவது ஒதுக்கீடு:

ஆறாவது ஒதுக்கீடு:

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

போக்குவரத்து விவரம்
A ⟶ I, A ⟶ II, A ⟶ III, A ⟶ IV, B ⟶ I, C ⟶ IV, D⟶ II
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
= (6×5) + (6×1) + (17×3) + (5×3) + (15×3) + (12×3) + (19×1)
= 30 + 6 + 51 + 15 + 45 + 36 + 19
= ரூ.202

x₀ + nh = x ⇒ x₀ = 0, h = 1
\({ y }_{ (n=x) }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
\(f (x)=1+\frac { n }{ 1! } (1)+\frac { n(n-1) }{ 2! } (-2)+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 6 } (12)\)
⇒  1 + x + (x² - x)(-1) + x(x² - 3x + 2) (2)
⇒ 1 + x - x² + x + 2x³ - 6x² + 4x
⇒  1+ 6x - 7x² + 2x³
= 2x³ - 7x²+ 6x + 1.

முன்நோக்கு இடைச்செருகலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த உள்ளதால் f(x)-ன் கடைசி நான்கு மதிப்புகளை கருத்தில் கொள்க.[ x = 3 -லிருந்து எடுத்துக்கொள்க].
முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரம்
y_(x=x0+nh)\(={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x₀+nh=3.2, x₀=3, h=1
∴ n=\(\frac{1}{5}\)
வேறுபாட்டு அட்டவணை

y_(x=3.2) =\(16+\frac { 1 }{ 5 } (4)+\frac { \frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { -4 }{ 5 } \right) }{ 2 } (0)+\frac { \frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { -4 }{ 5 } \right) \left( \frac { -9 }{ 5 } \right) }{ 6 } \times 10\)
=16+0.8+0+0.48
=17.28

P(x,y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட செங்கோட்டின் சாய்வு=\(\frac { dx }{ dy } \)
Q, (1,0) என்க.
∴ செங்கோடு PQ -ன் சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
அதாவது, \(\frac { y-0 }{ x-1 } =\frac { y }{ x-1 } \)
∴ \(-\frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ x-1 } \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ 1-x } \)
அதாவது, (1-x)dx=ydy
\(\int { (1-x) } dx=\int { y } dy+c\)
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +c\)          .....(1)
இது (1, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } +c\)
c =\(\frac { 1 }{ 2 } -2=\frac { 3 }{ 2 } \)
c =\(-\frac { 3 }{ 2 } \)  என (1) -ல் பிரதியிட,
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } \)
2x-x²=y²-3
⇒ y²=2x-x²+3 என்பது வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

\(\frac { { E }_{ y } }{ { E }_{ x } } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { dy }{ y } =\frac { x }{ x-2 } .\frac { dx }{ x } \)
\(\int { \frac { dy }{ y } } =\int { \frac { dx }{ x-2 } } \)
logy =log(x-2)+log k
y =k(x-2)
இங்கு x = 6, எனும்போது y = ⇒ 16=k(6-2)
k =4
y =4(x-2)

\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }e^{ -x^{ 3 } } } dx\)=\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ e^{ -t }\frac { dt }{ 3 } } \)
=\(\frac { 1 }{ 3 } [-e^{ -t }]_{ 0 }^{ \infty }\)
=\(\frac { -1 }{ 3 } [0-1]\)
=\(\frac { 1 }{ 3 } \)

\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos^{ 2 }x } dx\)=\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } [1+\cos2x] } dx\)
=\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ x+\frac { \sin2x }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)
=\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { \pi }{ 2 } +0 \right] =\frac { \pi }{ 4 } \)
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத,
cos2x=2cos²x-1
∴ cos²x=\(\frac{1}{2}\)[1+cos2x]

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 7 \\ 18 \\ 6 \end{matrix} \right) \)
   A                      X   =     B 

சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு அற்றவை எனில்
ρ([A,B]) ​​​​​​≠ ​ρ(A)
k-2=0, ∴ k=2

\( p=\frac{1}{100}, n=100, \lambda=n p=1 \)
\(P(X=3)=\frac{e^{-1} 1^3}{3 !}=\frac{0.3679}{6}=0.0613 \)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(\Delta\left(x^2\right) =(x+\mathrm{h})^2-x^2 {\left[\because \mathrm{f}(x)=x^2\right]} \)
\(=(x+1)^2-x^2=2 x+1 {[\because \mathrm{h}=1]} \)

சிறப்புத் தொகை \(\text { P.I } =\frac{1}{3 D^2+D-14}\left(13 \mathrm{e}^{2 x}\right) \)
D=2 எனில், \(3 \mathrm{D}^2+\mathrm{D}-14=0\)
\( =x\left(\frac{1}{6 D+1}\right) 13 e^{2 x} \)
\( =\frac{13 x e^{2 x}}{13}=x \mathrm{e}^{2 x}\)

\(\frac{d x}{d y} =-\mathrm{p} x \Rightarrow \int \frac{d x}{x}=-\mathrm{p} \int d y \)
\(\log x =-\mathrm{py}+\log \mathrm{c} \)
\(\log \frac{x}{c} =-\mathrm{py} \Rightarrow x=\mathrm{ce}^{-\mathrm{p}} \)

உற்பத்தியாளர் உபரி
\(PS =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\( =18-\int_0^3(3+x) d x=18-\left[3 x+\frac{x^2}{2}\right]_0^3 \)
\( =18-\left[9+\frac{9}{2}\right]=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\)அலகுகள் 

\(\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx\)
( cos x ஒரு இரட்டைச் சார்பு)
\(= [\sin x]^{\pi/2}_ 0 = 2[1-0]= 2\)

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) (1\ \ 2 \ \ 3)\)
\(=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 /2\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 /3\)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
ρ(A)= 1

\(\mathrm{Z}=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \mathcal{C}_{i j} x_{i j}\) என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கிணங்க என்ற குறிக்கோள் சார்பின் சிறுமம் காணுதல்.
\( \sum_{j=1}^n x_{i j}=a_i, \mathrm{i}=1,2, \ldots \ldots . m \)  (அளிப்பு கட்டுப்பாடுகள்)
\( \sum_{i=1}^m x_{i j}=b_j, \mathrm{j}=1,2, \ldots \ldots . n \) (தேவை கட்டுப்பாடுகள்)
\(x_{i j} \geq 0 \text { for all } i, j \)  (குறை குறியற்ற நிபந்தனைகள்)
இங்கு C_ij என்பது ஒரு அலகு பொருளை ஆதி i யிலிருந்து சேருமிடம் j வுக்கு கொண்டு செல்ல ஆகும் போக்குவரத்து செலவு cij என்க மற்றும் இதனுடைய எல்லா சேர்வுகள் (i,j) எனத் தெரியும். ஆதி i யிலிருந்து சேருமிடம் j க்கு கொண்டு செல்லும் பொருள்களின் அளவு x_ij ஆகும்.

கணக்கியல்‌ எதிர்பார்த்தலின்‌ பண்புகள்‌:
(i) E (a) = a, 'a' என்பது ஒரு மாறிலி,
(ii)  E(aX) = aE(X)
(iii) E (aX + b) = aE (X) + b, 'a' மற்றும்‌ ‘b’ ஆகியவை மாறிலிகள்‌.
(iv) X ≥ 0 எனில்‌ E(X) ≥ 0 ஆகும்‌.
(v) V(a) =0 a ஒரு மாறிலி.
(vi) X என்பது ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி எனில்‌, V (aX + b) = a² V(X)

1. எதிர்கால மதிப்பீடுகளை மதிப்பிடுவதற்கும் மற்றும் அவற்றைக் கணிக்கவும் உதவுகிறது.
2. ஒரு குறிப்பிட்ட கால வரைவுகளை மற்ற கால வரைவுகளுடன் ஒப்பிட்டு ஆய்வுகள் செய்ய உதவுகிறது.
3. வணிகத்துறை, பொருளாதாரம், தொழிற்சாலை ஆகிய துறைகளின் காலம் தொடர்புடைய புள்ளி விவரங்களைப் படிப்பதற்கும் மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும் நமக்கு உதவுகிறது.

ஈருறுப்புப் பரவலைக் காணும் நிபந்தனைகளின்படி நாம் பயன்படுத்துகின்றோம் :
1. முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை ‘n’ என்பது ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும்.
2. முயற்சிகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாக இருத்தல் வேண்டும்.
3. வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு p என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும்.
4. ஒவ்வொரு முயற்சிக்கும் இரண்டு விளைவுகளே சாத்தியமானது. அவை வெற்றி அல்லது தோல்வி மட்டுமே.

குறைகள் :
1. முறைப்படுத்திய கூறெடுப்பானது சமவாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்யப்படுவதில்லை.
2. முழுமைத்தொகுதியின் அளவு N ஆனது மாதிரித்தொகுதி அளவு n இன் பெருக்கற் பலனாக இல்லாதிருப்பின் இடைவெளி k-இன் மதிப்பானது முழு எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. இவ்வாறான தருணங்களில் கூறுகளைத் தெரிவு செய்வது கடினம்.

நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் f(x) ஒரு மூன்றாம் படி பல்லுறுப்புக் கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம்.
\(\Delta^4 y_0 =0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4 \mathrm{y}_3+6 \mathrm{y}_2-4 \mathrm{y}_1+\mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4(18)+6 \mathrm{y}_2-4(11)+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-72+6 \mathrm{y}_2-44+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_2 =109 \) ...(1)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\mathrm{y}_5-4 \mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_3-4 \mathrm{y}_2+\mathrm{y}_1 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+6(18)-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+108-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(4 \mathrm{y}_2+4 \mathrm{y}_4 =151 \) ...(2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க 
y₂ = 14.25, y₄ = 23.5

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2k\frac { dy }{ dx } +{ k }^{ 2 }y\)=0
துணைச் சமன்பாடு 
m²- 2mk+ k²= 0
(m - k)² =0
m = k, k 
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் 
ஃ நிரப்புச் சார்பு = (Ax+B)e^mx
ஃ தீர்வு : y=(Ax+B)e^kx

கொடுக்கப்பட்டவை: y=36-x² மற்றும் y₀=11
11=36-x₀²
x₀²=25
x₀=5

=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ (36-x^{ 2 }) } dx-5\times 11\)
=\(\left[ 36x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 5 }-55\)
=\(\left[ 36(5)-\frac { { 5 }^{ 3 } }{ 3 } \right] -55\)
=\(180-\frac { 125 }{ 3 } -55=\frac { 250 }{ 3 }\)
நுகர்வோர் உபரி =\(\frac { 250 }{ 3 } \) அலகுகள்.

\(\int { \frac { { x }^{ 2 }+2x+3 }{ x+1 } dx=\int { \left\{ \left( x+1 \right) +\frac { 2 }{ x+1 } \right\} } } \)dx
\(=\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x+2\log\left| x+1 \right| +c\)
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
\(\frac { { x }^{ 2 }+2x+3 }{ x+1 } =\frac { \left( { x }^{ 2 }+2x+1 \right) +2 }{ x+1 } =\left( x+1 \right) +\frac { 2 }{ x+1 } \)

\(A=\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 9 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} \right) \)
\(\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 0 & 28 & -34 & -63 \end{matrix} \right) { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-9{ R }_{ 1 }\)
அணியின் தரம்  ρ(A)=2