\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ ke^{ -|x| } } dx=1\)
\(k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\)
\(2k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\) ( ∴ e^{−| x |} ஒரு இரட்டை சார்பு))
\(2k\left[ \cfrac { { e }^{ -x } }{ -1 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\) 
\(\therefore k = \frac {1}{2}\)
சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி:
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ xe^{ |x| }dx } \)
 ( ∵ xe^{−| x |} ஒரு ஒற்றைச் சார்பு))
= 0
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }ke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ |x| }dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ -x }dx } \)
 ( ∵ x²e^{−| x |} ஒரு இரட்டைச் சார்பு))​​​​​​​
= \(\Gamma (3)\) \(\left( \because \Gamma (\alpha )=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -x }dx,\alpha >0;\Gamma } \left( n-1 \right) ! \right) \)
= 2
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] \)
= 2-[0]²
= 2

\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf\left( x \right) } dx\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x4{ x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(E(X)=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }{ 4x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 6 } }{ 6 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(\frac { 4 }{ 6 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) ^{ 2 } \right] \)
= \(\cfrac { 2 }{ 3 } -\left[ \cfrac { 4 }{ 5 } \right] ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 2 }{ 75 } \)

\(P(X<50)=\frac{30}{100}=0.3\)

X = μ மற்றும் X = 50 இவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள பரப்பு 0.5 – 0.3 = 0.2
பரப்பு = 0.2
\(Z =-0.52 \Rightarrow \frac{50-\mu}{\sigma}=-0.52 \)
\(50-\mu =-0.52 \sigma \quad \ldots(1) \)
\(P(X>86) =\frac{10}{100}=0.1 \)

X = μ மற்றும் X = 86 இவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள பரப்பு 0.5 – 0.1 = 0.4
பரப்பு = 0.4
Z = 1.28
\( \frac{86-\mu}{\sigma}=1.28 \)
\( 86-\mu=1.28 \sigma\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க கிடைப்பது,
\(\sigma=20, \mu=60.4\)

மாதாந்திர சராசரி குறியீடுகள்

மொத்த சராசரி = 17.4
ஜனவரி மாத பருவகால குறியீடு
= \(\frac {17.7}{17.4}\) × 100 = 101.7
பிப்ரவரி மாத பருவகால குறியீடு = \(\frac {20.3}{17.4}\) × 100 = 116.7
இதே போல் மற்ற மதிப்புகளை பெறலாம்.

போக்கு மதிப்பை மீச்சிறு வர்க்க முறையில் கணக்கிட்டுச் செய்யலாம். ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படையாக இருப்பதால், X-ஐக் காண பின்வரும் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.

\(a=\frac { \sum { Y } }{ n } =\frac { 47.8 }{ 8 } =5.975;b=\frac { \sum { XY } }{ \sum { { X }^{ 2 } } } =\frac { 8 6 }{ 168 } =0 05119\)
எனவே ,
Y = a + bX ; Y = 5.975 + 0 05119 X.
X = 1995, Y_t = 5 975 + 0 05119 \(\left( \frac { 1995-1998.5 }{ 0.5 } \right) \) = 5.6167
X = 1996, Y_t = 5 975 + 0 05119\(\left( \frac { 1996-1998.5 }{ 0.5 } \right) \)= 5.7190
இதே போல் மற்ற மதிப்புகளைப் பெறலாம்

p என்பது சரியான பதிலைக் கணிப்பதாகும் p =\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ q =\(\frac { 1 }{ 2 } \)
பத்து வினாக்களில் சரியான பதிலைக் கணிப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = x) = p(x) =\({ n }_{ C_{ x } }\)p^xq^n-x =10Cx\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 10-x }\)
சரியான 6 பதில்களை கணிப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(x ≥ 6) = P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10)
=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 10 }\)[10C₆ + 10C₇ + 10C₈ + 10C₉ + 10C₁₀]
=\(\frac { 1 }{ 1024 } \)[210+120+45+10+1]
=\(\frac { 193 }{ 512 } \).

மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவு p =\(\frac { 9 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 10 } \) மற்றும் q =1-p=\(\frac { 7 }{ 10 } \).
P(X = x)=\({ n }_{ C_{ x } }\)p^x q^n-x
ஒரு வாரத்திற்கு ஏழு நாள்கள் எனில் P(X = x) =\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ x }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-x }\)
குறைந்தபட்சம் இரண்டு நாள்கள் மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவுகள்,
P(x≥2)=1-P(X>2)
=1-[p(X=0)+P(X=1)]
P(X=0)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ 0 }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-0 }\)
=0.0823
மற்றும் P(X=1)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) \left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-1 }\)
=0.2471
எனவே , தேவையான நிகழ்தகவு = 1– [P(x = 0) +P(x = 1)]
= 1– [0.082 + 0.247]
= 0.6706

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
\(\int _{ 0 }^{ 10 }{ Axdx+\int _{ 10 }^{ 20 }{ A(20-x)dx=1 } } \)
\(A\left\{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }+\left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 } \right\} =1\)
A[(50−0)+(400−200)−(200 − 50)]=1
\(A=\cfrac { 1 }{ 100 } \)
(b) (i) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
\(P\left( 10\le X\le 20 \right) =\int _{ 10 }^{ 20 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \left( 400-200 \right) -\left( 200-50 \right) \right] \)
= 0.5
(ii)  மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 0\le X<10 \right) =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ { \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 10 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left( 50-0 \right) \)
= 0.5
(iii) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 5 மற்றும் 15 பவுண்டுகளுக்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 5\le X\le 15 \right) =\int _{ 5 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } +\int _{ 10 }^{ 15 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 5 }^{ 10 }+\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 15 }\)
= 0.75

(i) P[X≤a₁]=P[X>a₁] இதிலிருந்து
\(P\left[ X\le { a }_{ 1 } \right] =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\int _{ 0 }^{ { a }_{ 1 } }{ f(x)dx=\cfrac { 1 }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \int _{ 0 }^{ { { a } }_{ 1 } }{ { 5x }^{ 4 }dx=\cfrac { 1 }{ 2 } } \)
\(5\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ { a }_{ 1 } }=\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\({ a }_{ 1 }=\left( 0.5 \right) ^{ \frac { 1 }{ 5 } }\)
(ii) P[X>a₂] =0.05
\(\int _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx=0.05\)
\(\int _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }{ { 5x }^{ 4 }dx } =0.05\)
\(5\left[ \frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }=0.05\)
\({ a }_{ 2 }=\left[ 0.95 \right] { ^{ \frac { 1 }{ 5 } } }\)

2x + y −z = 3,
x + y + z =1,
x− 2y− 3z = 4
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| =2\)
= 2 (-3+2) - 1 (-3 -1) -1 (-2-1)
= 2(-1) -1 (-4) -1 (-3)
= -2 + 4 + 3 = 5.
\(\Delta \neq 0\),
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(x=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 3(-3 + 2) -1(-3 -4) -1(-2 -4)
= 3 (-1) -1 (-7) -1 (-6)
= -3 + 7 + 6 = 10.
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| \)
= 2(-3 -4) -3 (-3 -1) -1 (4-1)
= 2 (-7) -3 (-4) -1(3)
= 14 + 12 - 3 = -5
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \end{matrix} \right| \)
= \(2\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 2(4 + 2) -1(4 -1) + 3(-2 -1)
= 2(6) -1(3) + 3(-3)
= 12 - 3 - 9
= 0

\(z=\cfrac { \Delta z }{ \Delta } =\cfrac { 0 }{ 5 } =0\)
\(\therefore\) தீர்வு : {x, y, z} = {2, −1, 0}

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 30 & 15.9 & & & & \\ \hline & & -1 & & & \\ \hline 35 & 14.9 & & 0.2 & & \\ \hline & & -0.8 & & -0.2 & \\ \hline 40 & 14.1 & & 0 & & 0.2 \\ \hline & & -0.8 & & 0 & \\ \hline 45 & 13.3 & & 0 & & \\ \hline & & -0.8 & & & \\ \hline 50 & 12.5 & & & & \\ \hline \end{array}\)
x = 32 எனும்போது நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
x₀ = 30 h = 5
∴ x₀ + nh = 32 ⇒ 30 + n(5) = 32 [∵ h = 5]
⇒ 5n = 2
⇒ n = 2/5 = 0.4
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(y= 15.9+0.4(-1)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(0.2) \)
=  15.9-0.4-0.024-0.0128-0.00832
\(=  15.45488 \approx 15.45\)

x என்பது மதிப்பெண்களையும் y என்பது மாணவர்களையும் குறிக்கட்டும்.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாடு அட்டவணை 

x = 70 என்பதால், நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∴ x_n = 100 h = 20
∴ x_n + nh = 70 ⇒ 20n =  70 - 100 = -30
\( \mathrm{n}=\frac{-30}{20}=-1.5 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(=235+(-1.5)(17)+ \frac{(-1.5)(-0.5)}{2 !}(-33) +\frac{(-1.5)(-0.5)(0.5)}{3 !}(-18) \)
= 235-25.5-12.375-1.125
= 196 மாணவர்கள் 

\(\left(D^2+D-6\right) y=e^{3 x}+e^{-3 x}\)
துணைச் சமன்பாடு
\(\mathrm{m}^2+\mathrm{m}-6  =0 \)
\((\mathrm{~m}+3)(\mathrm{m}-2)  =0 \)
\(\mathrm{~m}  =-3,2\)
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^{-3 x}+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை 1: P.I \(I_1=\frac{1}{D^2+D-6} e^{3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக 3 -ஐ பதிலிட)
\(\text { P.I } I_1=\frac{1}{9+3-6} e^{3 x}=\frac{e^{3 x}}{6}\)
சிறப்புத் தொகை 2:
\(\text { P.I } I_2=\frac{1}{D^2+D-6} e^{-3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக -3 -ஐ பதிலிட)
\( \text { P. } I_2=\frac{1}{9-3-6} e^{-3 x} \)
[D = -3 எனில் \(\left(D^2+D-6\right)=0 \text { ] }\)
\( \therefore \text { P.I } I_2=x \frac{1}{2 D+1} e^{-3 x} \)
\( =x\left(\frac{1}{-6+1}\right) e^{-3 x}=\frac{-x}{5} e^{-3 x}\)
தீர்வு : C.F = P.I₁ + P.I₂
y=Ae^-3x+Be^2x+\(\frac { { e }^{ 3x } }{ 6 } -\frac { x }{ 5 } \)e^-3x

இறுதிநிலைச் செலவுச் சார்பு: (x²+xy)dy + (3xy+y²)dx =0
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -(3xy+{ y }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }+xy } \)        .....(1)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(3xvx+{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }+xvx } \)
=\(\frac { -(3v+{ v }^{ 2 }) }{ 1+v } \)
இப்பொழுது, \(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -3v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } -v\)
=\(\\ \frac { -3v-{ v }^{ 2 }-v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -4v-2v^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(\frac { 1+v }{ 4v+2{ v }^{ 2 } } dv=\frac { -dx }{ x } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 1+v }{ 4v+2{ v }^{ 2 } } dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
இருபுறமும் 4 -ஆல் பெருக்கிட,
\(\int { \frac { 4+4v }{ 4v+2v^{ 2 } } } dv=-4\int { \frac { dx }{ x } } \)
log(4v+2v²)=-4logx+logc
4v+2v²=\(\frac { c }{ { x }^{ 4 } } \)
x⁴(4v+2v²)=c
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\({ x }^{ 4 }\left( 4\frac { y }{ x } +2\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right) \)=c
\({ x }^{ 4 }\left[ \frac { 4xy+2{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right] \)=c
c=2x²(2xy+y²) ...(2)
ஒரு ஜோடி காலணிகளை தயாரிப்பதற்கான செலவு =ரூ.12
x =2 மற்றும் y =12 எனில் c=8[48+144]=1536
செலவுச் சார்பு: x²(2xy+y²)=768

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

\(\left(D^2-2 D-15\right) y=0\)
துணைச் சமன்பாடு
m²-2 m-15  =0 
(m-5)(m+3)  =0
m  =-3,5
மூலங்கள் மெய்  மற்றும் வெவ்வேறானவை 
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}\)
தீர்வு: \(\mathrm{y}=\mathrm{Ae}^{-3 x}+\mathrm{Be}^{5 x}\)
கொடுக்கப்பட்டது: \(\frac{d y}{d x}=0\) மற்றும் x=0
\(\frac{d y}{d x}  =-3 \mathrm{Ae}^{-3 x}+5 \mathrm{Be}^{5 x} \)
\(0  =-3 \mathrm{~A}+5 \mathrm{~B} \)
\(3 \mathrm{~A}-5 \mathrm{~B}  =0\)
மேலும் கொடுக்கப்பட்டது:
\(\frac{d^2 y}{d x^2} =2 \)  மற்றும்  x=0 
\(\frac{d^2 y}{d x^2}  =9 \mathrm{Ae}^{-3 x}+25 \mathrm{Be}^{5 x} \)
\(9 \mathrm{~A}+25 \mathrm{~B}  =2\)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க
(1) \(\times 5 \Rightarrow 15 \mathrm{~A}-25 \mathrm{~B}=0\)
(2) \(\Rightarrow \frac{9 \mathrm{~A}+25 \mathrm{~B}=2}{24 \mathrm{~A}=2} \Rightarrow \mathrm{A}=1 / 12\)
(1) \(\Rightarrow \quad 3\left(\frac{1}{12}\right)-5 B=0\)
\(\frac{1}{4}=5 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{B}=1 / 20\)
சிறப்புத் தீர்வு : \(\mathrm{y}=\frac{e^{-3 x}}{12}+\frac{e^{5 x}}{20}\)
y=\(\frac { { e }^{ -3x } }{ 12 } +\frac { { e }^{ 5x } }{ 20 } \)

\(\frac { { E }_{ y } }{ { E }_{ x } } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { dy }{ y } =\frac { x }{ x-2 } .\frac { dx }{ x } \)
\(\int { \frac { dy }{ y } } =\int { \frac { dx }{ x-2 } } \)
logy =log(x-2)+log k
y =k(x-2)
இங்கு x = 6, எனும்போது y = ⇒ 16=k(6-2)
k =4
y =4(x-2)

தொடக்க நிலையில் தங்கத்தின் அளவு (t=0 எனும்போது (2000-ஆம் ஆண்டு))
p₀=2,547 மெட்ரிக் டன்கள்.
2000 முதல் 2013 வரை தங்கத்தின் மொத்த உற்பத்தி=\(\int _{ 0 }^{ 13 }{ 2547e^{ 0.006t } } dt\)
=\(\frac { 2547 }{ 0.006 } \left[ e^{ 0.006t } \right] _{ 0 }^{ 13 }\)
=424500(e^0.078-1)
=34,426.95 மெட்ரிக் டன்கள் (தோராயமாக).

இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x
\(C(x) =\int(5+0.13 x) d x \)
\( =5 x+\frac{0.13 x^2}{2}+k_1\)
\( =5 x+0.065 x^2+\mathrm{k}_1\)
x  =0, C=120 எனில்,\(\mathrm{k}_1=120\)
செலவுச் சார்பு : \( C(x)=5 x+0.065 x^2+120 \)
\( R^{\prime}(\mathrm{x})=18 \)
வருவாய்ச் சார்பு : \( \mathrm{R}=\int 18 d x=18 x+\mathrm{k}_2 \)
x = 0, R = 0 எனில் 
\( \mathrm{k}_2=0 \)
\( \mathrm{R}=18 x \)
இலாபச் சார்பு : \(\text { P(x ) }=\mathrm{R}(x)-\mathrm{C}(x) \)
\(=18 x-5 x-0.065 x^2-120 \)
\(=13 x-0.065 x^2-120 \)

\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ f(x) } dx=\int _{ 1 }^{ 3 }{ f(x) } dx+\int _{ 3 }^{ 4 }{ f(x) } dx\)
=\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ (7x+3) } dx+\int _{ 3 }^{ 4 }{ 8x } dx\)
=\(\left[ \frac { 7x^{ 2 } }{ 2 } +3x \right] _{ 1 }^{ 3 }+\left[ \frac { 8x^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 3 }^{ 4 }\)
=\(\frac { 63 }{ 2 } +9-\frac { 13 }{ 2 } \)+64-36
=62

\(\int _{ 1 }^{ e }{ \log x } dx\)=\(\int _{ 1 }^{ e }{ u } dv\) =\(\left[ uv \right] _{ 1 }^{ e }-\int _{ 1 }^{ e }{ vdu } \)
=\(\left[ x\log x \right] _{ 1 }^{ e }-\int _{ 1 }^{ e }{ x\frac { 1 }{ x } } dx\)
=(elog e-1log1)-\(\left[ x \right] _{ 1 }^{ e }\)
=(e-0)-(e-1)
=1

\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } } dx\)=\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left[ \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] } dx\)
=\(\left[ \log|x+1|-\log|x+2| \right] _{ 1 }^{ 2 }\)
\(=\log\frac { 3 }{ 4 } -\log\frac { 2 }{ 3 } \)
\(=\log\frac { 9 }{ 8 } \)
பகுதி பின்னமாக்கல் முறையில்,
\(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ x+2 } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { 1 }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+2 } \)

(i) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி

எனவே முதல் பாடவேளைக்குப் பின், கணிதம் பயிலும் மாணவர்கள் 76 பேர்களும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்கள் 24 பேர்களும் இருப்பார்கள்.
இரு பாடவேளைகளுக்குப் பின்

=(77.6 22.4)
இரு பாட வேளைகளுக்குப் பின், கணிதம் பயிலும் மாணவர்கள் 78 பேர்களும் (தோராயமாக) மற்றும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்கள் 22 பேர்களும் (தோராயமாக) இருப்பர்.
மாற்றுமுறை:

=(46.8+30.8, 13.2+9.2)
(77.6 22.4)

x ,y மற்றும் z என்பன முறையே 6% ,7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் இடப்பட்ட தொகை என்க.
x +y +z  = 5000
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }+\frac { 8z }{ 100 } = 358\)
 6x +7y +8z  = 35800
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }-\frac { 8z }{ 100 } = 70\)
  6x +7y -8z  = 7000
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\ 6&7&8\\ 6&7& -8\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\35800\\ 7000\end{matrix} \right) \)
      AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\6&7&8&35800 \\ 6& 7& -8 &7000\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -14 &-23000\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 6R₁
                                              R₃ ⟶ R₃ - 6R_1
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -16 &-28800\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ - R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
சமன்பாட்டு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\0&1&2\\ 0&0& -16\end{matrix} \right) \) \(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\5800\\ -28800\end{matrix} \right) \)
-16z  = -28800
z  = 1800
y +2z  = 5800
y = 5800-3600
y = 2200
x +y +z  = 5000
x +2200+1800 = 5000
x =1000
\(\therefore \quad \)6% , 7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை முறையே  ரூ. 1000, ரூ. 2200 மற்றும் ரூ. 1800 ஆகும் .

x ,y ,z  என்பன X ,Y ,மற்றும் Z ஆகிய பொருட்களின் ஓர் அலகிற்கான விலையைக் குறிக்கட்டும் .
2x +3y-6z = 5000
3x-y+2z=2000
-x+3y+z =5500
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 3&-1&2\\ -1& 3& 1\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\2000\\ 5500\end{matrix} \right) \)
               AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 3&-1&2&2000\\ -1& 3& 1&5500\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-11&22&-11,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 2R₂ - 3R₁
                                                 R₃ ⟶ 2R₃ +R_1
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \) \({ R }_{ 2 }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 0& 14&7000\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶R₃ +9R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 0&-1&2\\ 0&0& 14\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\-1000\\ 7000\end{matrix} \right) \)
2x+3y-6z = 5000   ....(1)
 -y +2z = -1000 .....(2)
14z = 7000 .....(3)
(3)\(\Rightarrow \) z =\(\frac { 7000 }{ 14 } \) = 500
-y + 1000 = -1000
-y = -2000
y = 2000
2x+3y-6z = 5000
2x + 6000-3000 = 5000
2x = 5000-3000
2x = 2000
x= 1000
தீர்வு :
X -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .1000/-
Y -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .2000/-
Z -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .500/-