நியுட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காண்போம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
0	1
		1
1	2		1
		2		0
2	4		1
		3		0
3	7		1
		4		0
4	11		1
		5		0
5	16		1
		6		0
6	22		1
		7
7	29

x -ன் வாயிலாக y -ஐ காண, ∴ x_n+nh=x, x_n=7, h=1 ⇒ n=x-7
y_(x)=29+(x-7)(7)+\(\frac { (x-7)(x-6) }{ 2 } \)(1)
=29+7x-49+\(\frac { 1 }{ 2 } \)(x²-13x+42)
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)[58+14x-98+x²-13x+42]
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)[x²+x+2]

x என்பது மதிப்பெண் மற்றும் y என்பது மாணவர்களின் எண்ணிக்கை என்க.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
40-க்குக் குறைவான	31
		42
50	73		9
		51		-25
60	124		-16		37
		35		12
70	159		-4
		31
80	190

 y_(x=x0+nh)= \({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 45 இடத்து y-ஐக் காண் வேண்டும். 
∴ x₀+nh=45, x₀=40, h=10 ⇒ \(\frac{1}{2}\)
y_(x=45)=31+\(\frac { 1 }{ 2 } \times 42+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) }{ 2 } (9)+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) }{ 6 } \times 25+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) \left( \frac { -5 }{ 2 } \right) }{ 24 } \times (37)\)
= 31+21-\(\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 25 }{ 16 } -\frac { 37\times 15 }{ 128 } \)
=47.867 ≅48

x₀ = 15, x₁ = 25, x₂ = 30, x₃ = 35 x = 26
y₀= 36, y₁ = 40, y₂ = 45, y₃ = 48, 
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\(y= \frac{(1)(-4)(-9)}{(-10)(-15)(-20)} 36+\frac{(11)(-4)(-9)}{10(-5)(-10)} 40 +\frac{(11)(1)(-9)}{(15)(5)(-5)} 45+\frac{(11)(1)(-4)}{(20)(10)(5)} 48 \)
\(= -0.432+31.68+11.88-2.112 \)
\(= 41.016 \sim 41\) நபர்கள்

x என்பது மதிப்பெண்களையும் y என்பது மாணவர்களையும் குறிக்கட்டும்.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாடு அட்டவணை 

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
20-க்கும் குறைவாக	35
		62
40-க்கும் குறைவாக	103		3
		65		-18
60-க்கும் குறைவாக	168		-15		0
		50		-18
80-க்கும் குறைவாக	218		-33
		17
100-க்கும் குறைவாக	235

x = 70 என்பதால், நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∴ x_n = 100 h = 20
∴ x_n + nh = 70 ⇒ 20n =  70 - 100 = -30
\( \mathrm{n}=\frac{-30}{20}=-1.5 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(=235+(-1.5)(17)+ \frac{(-1.5)(-0.5)}{2 !}(-33) +\frac{(-1.5)(-0.5)(0.5)}{3 !}(-18) \)
= 235-25.5-12.375-1.125
= 196 மாணவர்கள் 

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

\(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y }{ x+y } \)     .......(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y =vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (i) ⇒ v +\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { x-vx }{ x+vx } \) =\(\frac { 1-v }{ 1+v } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { 1-v }{ 1+v } -v\)
=\(\frac { 1-2v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(\frac { 1+v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=\frac { dx }{ x } \)
இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்க,
\(\frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=-2\frac { dx }{ x } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv } =-2\int { \frac { dx }{ x } } \)
log(v²+2v-1)=-2log+logc
v²+2v-1=\(\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \)
x²(v²+2v-1)=c
v=\(\frac { y }{ x } \) என்பதால்
x²\(\left[ \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2y }{ x } -1 \right] \)=c
∴ y²+2xy-x²=c என்பது தீர்வாகும்.

(D²-3D+2)y=e^3x
துணைச் சமன்பாடு 
m² - 3m + 2 = 0
∴ (m - 1)(m - 2) = 0
⇒ m = 1,2
∴ நிரப்புச் சார்பு  \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}\)
CF is A^ex + Be^2x
சிறப்புத் தொகை = \(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-3D+2 } \).e^3x = \(\frac { { e }^{ 3x } }{ 2 } \)
தீர்வு : y = CF + PI
y = A^ex+Be^2x+= \(\frac { { e }^{ 3x } }{ 2 } \)
x = 0, y = 0 எனில் 
= A+B-\(\frac { 1 }{ 2 } \) 
∴ 2A + 2B = -1 ...(1)
x = log2, y = 0 எனில் 
⇒ 0 = Ae^log2+Be^2log2+ \(\frac {e^ {3log2}}{2}\)
⇒ 0 = A(2)+\(Be^{ \log4 }+\frac {e^ {\log8}}{2}\)
⇒ 0 = 2A+4B+\(\frac{8}{2}\) ⇒ 2A+4B=-4
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க
A = +1, B = -3/2
∴ சிறப்புத் தீர்வு :
y=\({ e }^{ x }-\frac { 3 }{ 2 } { e }^{ 2x }+\frac { { e }^{ 3x } }{ 2 }\)

P(x,y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட செங்கோட்டின் சாய்வு=\(\frac { dx }{ dy } \)
Q, (1,0) என்க.
∴ செங்கோடு PQ -ன் சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
அதாவது, \(\frac { y-0 }{ x-1 } =\frac { y }{ x-1 } \)
∴ \(-\frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ x-1 } \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ 1-x } \)
அதாவது, (1-x)dx=ydy
\(\int { (1-x) } dx=\int { y } dy+c\)
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +c\)          .....(1)
இது (1, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } +c\)
c =\(\frac { 1 }{ 2 } -2=\frac { 3 }{ 2 } \)
c =\(-\frac { 3 }{ 2 } \)  என (1) -ல் பிரதியிட,
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } \)
2x-x²=y²-3
⇒ y²=2x-x²+3 என்பது வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

\(\frac { { E }_{ y } }{ { E }_{ x } } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { dy }{ y } =\frac { x }{ x-2 } .\frac { dx }{ x } \)
\(\int { \frac { dy }{ y } } =\int { \frac { dx }{ x-2 } } \)
logy =log(x-2)+log k
y =k(x-2)
இங்கு x = 6, எனும்போது y = ⇒ 16=k(6-2)
k =4
y =4(x-2)

இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x
\(C(x) =\int(5+0.13 x) d x \)
\( =5 x+\frac{0.13 x^2}{2}+k_1\)
\( =5 x+0.065 x^2+\mathrm{k}_1\)
x  =0, C=120 எனில்,\(\mathrm{k}_1=120\)
செலவுச் சார்பு : \( C(x)=5 x+0.065 x^2+120 \)
\( R^{\prime}(\mathrm{x})=18 \)
வருவாய்ச் சார்பு : \( \mathrm{R}=\int 18 d x=18 x+\mathrm{k}_2 \)
x = 0, R = 0 எனில் 
\( \mathrm{k}_2=0 \)
\( \mathrm{R}=18 x \)
இலாபச் சார்பு : \(\text { P(x ) }=\mathrm{R}(x)-\mathrm{C}(x) \)
\(=18 x-5 x-0.065 x^2-120 \)
\(=13 x-0.065 x^2-120 \)

\(\frac{d C}{d x} =100-10 x+0.1 x^2 \)
\(\mathrm{C} =\int\left(100-10 \mathrm{x}+0.1 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{C} =\left[100 x-\frac{10 x^2}{2}+\frac{0.1 x^3}{3}\right]+k \)
\(\mathrm{k} =500 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(\mathrm{C} =100 x-5 x^2+\frac{0.1 x^3}{3}+500 \)
\(\mathrm{AC} =\frac{C}{x}=100-5 x+\frac{0.1 x^2}{3}+\frac{500}{x}\)
\( =100-5 x+\frac{x^2}{30}+\frac{500}{x} \)

I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } } \) dx என்க.        ......(1)
I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { 2+5-x } }{ \sqrt { 2+5-x } +\sqrt { 7-(2+5-x) } } } dx\)   \(\left[ \because \int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } \int _{ 0 }^{ a }{ (a-x)dx } \right] \)
I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { 7-x } }{ \sqrt { 7-x } +\sqrt { x } } } dx\)   ....(2)
(1)+(2)⇒
2I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } +\frac { \sqrt { 7-x } }{ \sqrt { 7-x } +\sqrt { x } } \right] } dx \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ \frac { \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } \right] } dx\)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ dx } =\left[ x \right] _{ 2 }^{ 5 }=3\)
∴ I=\(\frac { 3 }{ 2 } \)

I=\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { sinx }{ sinx+cosx } } dx\) என்க.    ......(1)
I=\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) }{ sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) +cos\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } } dx\)  \(\left[ \because \int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } \int _{ 0 }^{ a }{ (a-x)dx } \right] \)
=\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { cosx }{ cosx+sinx } } dx\)     .......(2)
(1)+(2) ⇒
2I=\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left[ \frac { sinx }{ sinx+cosx } +\frac { cosx }{ cosx+sinx } \right] } dx\)
=\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ dx } =\left[ x \right] _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=\frac { \pi }{ 2 } \)
∴ I =\(\frac { \pi }{ 4 } \)

\(\begin{equation} \int\left(\frac{x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2}\right) d x \end{equation}\)
2x⁴-3x²-2=2x⁴-4x²+x²-2
=2x⁴- (x²-2) + 1(x²-2)
= (2x² + 1)(x² - 2)
\(\int \frac{x d x}{(2 x^{2}+1)( x^{2}-2} )= \frac {1}{2}\frac {dt}{(2t + 1)(t -2)}\)
\(\frac {1}{(2t + 1)(t -2)} = \frac{A}{2t + 1}+ \frac{B }{t -2}\)

t = x2 dt=2xdx \(\frac{dt}{2}=xdx\)

1 = A (t - 2) + B (2t + 1) ... (1)
t = 2 எனில் 
1 = B ( 5) ⇒ B = \(\frac{1}{5}\)
(1) - ல், 't' - ன் கெழுக்களைக் சமப்படுத்த 
0 = A + 2B
\(A =-\frac {2}{5}\)
\(\frac{1}{(2 t+1)(t-2)} =-\frac{2}{5(2 t+1)}+\frac{1}{5(t-2)} \)
\( \int \frac{d t}{(2 t+1)(t-2)} =-\frac{2}{5} \int \frac{d t}{2 t+1}+\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t-2}\)
\(=-\frac{1}{5} \int \frac{2 d t}{2 t+1}+\frac{1}{5} \log |t-2|+c \\ \)
\(=-\frac{1}{5} \log |2 t+1|+\frac{1}{5} \log |t-2|+c \\ \)
\(=\frac{1}{5} \log \left|\frac{t-2}{2 t+1}\right|+c \\ \)
\(\int \frac{x d x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2} =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{5} \log \left|\left(\frac{t-2}{2 t+1}\right)\right|\right]+c \)
\(=\frac{1}{10} \log \left|\frac{x^{2}-2}{2 x^{2}+1}\right|+c\)

சமன்பாடுகள்
x+y+z=1
3x-y-z=4
x+5y+5z=k
அணிச் சமன்பாடு ,
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ k \end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) =\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 5 & 5 & k \end{pmatrix}\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & k-1 \end{pmatrix}\quad { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\quad { R }_{ 1 }\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}\)\(\quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\quad \)
சமன்பாடுகள் ஒருங்கமையற்றதாக இருக்க ,
\(\rho \)(A ,B ) \(\neq \) 2
ஃ k \(\neq \) 0

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
                S     N 
T  =\(\underset { N }{ S } \begin{pmatrix} .6 & .4 \\ .25 & .75 \end{pmatrix}\\ \)
தொடக்க நிலை =(0.4 0.6)
(0.4 0.6) \(\begin{pmatrix} .6 & .4 \\ .25 & .75 \end{pmatrix}\) = (.24+.15 .16+0.45) =(.39  .61)
எனவே, தற்போதைய கடிதத்தைப் பெறுபவர்களில் 39% பேர்  சந்தாதாரர்களாவர் என எதிர்பார்க்கலாம்.

ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.y என்க.
ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு, கீழ்காணும் சமன்பாடுகளை பெறலாம்.
∴ 3x+2y+z=840
2x+y+z=570
x+y+2z=630
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-2≠0,
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 840 & 2 & 1 \\ 570 & 1 & 1 \\ 630 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-240
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 840 & 1 \\ 2 & 570 & 1 \\ 1 & 630 & 2 \end{matrix} \right| \)=-300
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 840 \\ 2 & 1 & 570 \\ 1 & 1 & 630 \end{matrix} \right| \)=-360
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -240 }{ -2 } \)=120
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -300 }{ -2 } \)=150
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -360 }{ -2 } \)=-180
∴ ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.120.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.150 மற்றும் ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.180.

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ a \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-1 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-10 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - R2

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 7 \\ 18 \\ 6 \end{matrix} \right) \)
   A                      X   =     B 

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ k \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 18 \\ 6 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ k \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 3R1 R3 ⟶ R3 - 7R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ k-2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 11 \\ -5 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - 2R2
ρ(A)=2  (அல்லது) 3, ρ([A,B])=3

சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு அற்றவை எனில்
ρ([A,B]) ​​​​​​≠ ​ρ(A)
k-2=0, ∴ k=2

x ,y மற்றும் z என்பன முறையே 6% ,7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் இடப்பட்ட தொகை என்க.
x +y +z  = 5000
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }+\frac { 8z }{ 100 } = 358\)
 6x +7y +8z  = 35800
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }-\frac { 8z }{ 100 } = 70\)
  6x +7y -8z  = 7000
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\ 6&7&8\\ 6&7& -8\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\35800\\ 7000\end{matrix} \right) \)
      AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\6&7&8&35800 \\ 6& 7& -8 &7000\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -14 &-23000\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 6R₁
                                              R₃ ⟶ R₃ - 6R_1
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -16 &-28800\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ - R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
சமன்பாட்டு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\0&1&2\\ 0&0& -16\end{matrix} \right) \) \(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\5800\\ -28800\end{matrix} \right) \)
-16z  = -28800
z  = 1800
y +2z  = 5800
y = 5800-3600
y = 2200
x +y +z  = 5000
x +2200+1800 = 5000
x =1000
\(\therefore \quad \)6% , 7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை முறையே  ரூ. 1000, ரூ. 2200 மற்றும் ரூ. 1800 ஆகும் .

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 3& 26& 2\\ 7& 2& 10\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 9\\ 5\end{matrix} \right) \)
   AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 26 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 10\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 9 \\5 \end{matrix} \right) \)
 ~  \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 121 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -11 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 33 \\-3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 5R₂ - 3R₁
                                    R₃ ⟶ 5R₃ - 7R₁
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\-3 \end{matrix} \right) \)\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\0\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ + R₂
இதுவே முக்கோண அமைப்பில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(A,B ) = ρ(A) =2 < 3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 0& 11& -1\\ 0& 0& 0\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 0\end{matrix} \right) \)
5x +3y  +7z  = 4
11y -z =3
z =k என்க ,k \(\epsilon \)R (k ஒரு மெய்யெண் )
(2)ல் பதிலிட \(\Rightarrow \)11y = 3+k 
y = \(\frac { 3+k }{ 11 } \)
(1) ல்  பதிலிட
5x +3\(\frac { k+3 }{ 11 } \) +7k =4
55x +3k +9+77k =44
55x =35 - 80k 
x =\(\frac { 35-80}{ 55 } \)
x =5\(\frac { (7-16k )}{ 55 } \)
= \(\frac {7-16k }{11 } \)
தீர்வுக் கணம் ={\(\frac {7-16k }{11 } \),\(\frac { 3+k }{ 11 } \),k } k \(\epsilon \)R 

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 7 \\ 2 & 1& -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 52\\ 0\end{matrix} \right) \)
       AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -1\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 52 \\0 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -3\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-18\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - 2R₁
                R₃ ⟶ R₃ - 2R₁
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-20\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ 3R₃ - R2
இதுவே ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
ρ(A,B ) = ρ(A)=3= (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 34\\ -20\end{matrix} \right) \)
x +y +z = 9
3y +5z = 34
-4z = -20
z =5
3y =34-25=9
y =3
x +3+5 = 9
 x =9 - 8 =1
\(\therefore \)  தீர்வு x =1,y =3, z =5.

AB = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1-2-5 & -2+4-1 & 3-6+1 \\ 2+6+20 & -4-12+4 & 6+18-4 \\ 3+4+15 &-6-8+3 &9+12-3\end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} -6 & 1 & -2 \\ 28 & -12& 20 \\ 22 & -11 & 18 \end{matrix} \right) \)
AB -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
AB ∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\-3& 7& 5 \\ -11 & 22 & 18 \end{matrix} \right) \)C₁ ↔️ C₂
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & -44 & -4 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ + 12R₁
                                             R₃ ⟶ R₃ +11 R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(AB)=2
BA  = \(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)
     =\(\left( \begin{matrix} 1-4+9 & 1+6-6 &-1-8+9 \\ -2+8-18 & -2-12+12 & 2+16-18 \\ 5+2-3 &-5-3+2 &-5+4-3\end{matrix} \right) \)
BA  = \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ -12 & -2 & 0\\ 4 & 4 & -1 \end{matrix} \right) \)_{\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ -2 } \)}
BA  = -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
      ∼\(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &0& 0\\ 0 & 5 & -6 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                                              R₃ ⟶ 6R₃ - R₁
         ∼ \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &5&-6\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₂ <--> R₃

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
அணியின் தரம் ρ(BA )=2

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
A  X  = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} - \\ -2 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 4+k \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 3R1 R3 ⟶ R3 - 2R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 21+7k \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ 7R3 - 2R2
ρ(A)=2, ρ([A,B])=2 (அல்லது) 3

 சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையவை எனில் ρ(A)=2, ρ([A,B])=2
∴ 21+7k =0
7k =-21
k =-3

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
A X = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right) \)	R1 ↔️ R2
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ - \\ -3 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 2R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - 2R2
ρ(A)=3, ρ([A,B])=3

கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் மூன்று பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
ρ(A)=3, ρ([A,B])=3 மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
தீர்வு காண தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு சமானமான அணி சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம்.
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{matrix} \right) \)
x+y+z = 4    ......(1)
y+z=3         .......(2)
3z=3         ...........(3)
(3) ⇒ z=1
(2) ⇒ y=3-z=2
(1) ⇒ x=4-y-z
x=1
∴ x=1, y=2, z=1