\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2\frac { dy }{ dx } +3y\)=0
உச்ச வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) ஆகும்.
∴ வரிசை=2
உச்சவரிசை \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)-ன்படி 1 ஆகும்.
∴ படி=1

புள்ளியியல் அனுமானத்திற்கான செயல்பாட்டில் (i) மதிப்பிடுதல் (ii) கருதுகோள் சோதனை எனும் இரண்டு முக்கிய பகுதிகள் உள்ளன

(5,7,12,15) -இன் மீப்பெரு மதிப்பு =15 எனவே சிறந்த செயல்பாடு A4 ஆகும்.

  சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டளவை சமமாக உள்ள ஒரே பரவல், பாய்சான் பரவல் மட்டுமே.

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது ஒரு பகடையின் எண் என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X=x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(x) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}\)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
\(=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=\frac{7}{2}=3.5\)
\(\therefore\) எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 3.5 ஆகும் 

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

பரப்பு =\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ ydx } \)
=\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ (4x+3)dx } \)
=\(\left[ 2x^{ 2 }+3x \right] _{ 1 }^{ 4 }\)
= 32 + 12 - 2 - 3
= 39 சதுர அலகுகள்.

\(\int { \sqrt { 1+\sin2x dx } } =\int { \sqrt { { \left( \sin x+\cos x \right) }^{ 2 }dx } } \)
\(=\int { \left( \sin x+\cos x \right) dx } \)
=−cos x + sin x + c
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
1+ sin2x = sin² x + cos² x + 2sin x cos x
= (sin x + cos x)² 

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \)
AX=B

∴  ρ([A,B])=2,  ρ(A)=1
 ρ(A) ≠ ρ([A,B])
∴  கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது.

\(\mathrm{P}(\mathrm{Z}>\mathrm{z}) =0.5832 \)
\(\mathrm{P}(-\mathrm{z}<\mathrm{Z}<0) =0.5832-0.5=0.0832 \)
\(\mathrm{z} =-0.21 \)

\( \mu=10 \)
\( 2 \sigma^2=72 \Rightarrow \sigma^2=36 \)
\( N\left(\mu, \sigma^2\right)=(10,36) \)

பரப்பு \( =\int_0^{\infty} e^{-2 x} d x=\left[\frac{e^{-2 x}}{-2}\right]_0^x \)
\( =\frac{-1}{2}\left[e^{-\infty}-e^0\right]=\frac{1}{2} \)  ச.அலகு

 \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (a-x)^{ 2 } } \) f(x )dx = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (x^2 -2a-x)^{ 2 } } f(x)dx\)
= \(a^2 \int f(x) dx-2a \int _{ 0 }^{ 1 }x f(x) dx + \int _{ 0 }^{ 1 }x^2 f(x) dx\)
= a² - 2a² + a² = 0

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 4 }(1-x)^{ 2 } } }\)dx = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }(1-x)^{ 2 } } }\)
\(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-x^{ 3 } } }dx = \left[\frac{x^{3}}{3} \frac{x^4}{4}\right]^1_0\)
\(= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\)

A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1

(a) \(\sum p_i =1 \)
\(2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(9 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{9}\)
(b) \(P(X>2) =P(X=3)+P(X=5) =3 k+4 k=7 k=\frac{7}{9}\)

(i) சிறுமத்தில் பெருமம்

(3000, 1000,6000) ன் மீப்பெரு மதிப்புகள் = 6000, எனவே கடன் பத்திரங்கள் மூலம் முதலீடு செய்வதே சிறந்த திட்டமாகும்.
(ii) பெருமத்தில் சிறுமம்.

(10,000, 8000, 6000)-இன் மீச்சிறு மதிப்புகள் = 6000, எனவே கடன் பத்திரங்கள் மூலம் முதலீடு செய்வதே சிறந்த திட்டமாகும்.

உயரங்களின் பரவல் இயல்நிலைப்பரவலை ஒத்துள்ளது என்க. சராசரி 69.25 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 3.286
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { X-69.25 }{ 3.286 } \)
எனில், X = 74
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 74-69.25 }{ 3.286 } \)=1.4455
இப்பொழுது P(Z > 74) = P(Z > 1.44)
= 0.5 - 0.4251
= 0.0749
1200 குழந்தைகளில் 74 செ.மீ மேலாக உள்ள குழந்தைகளில் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை.
= 1200 × 0.0749 ≈ 90 குழந்தைகள்

  மூன்று ஆண்டு காலத்தைக் கொண்ட நகரும் சராசரி

கணக்கின்படி: n =169, \(\bar { x } \)=1350 மணி, σ= 100 மணி மிகைக்காண் (100-90)% =10% ஆகும். ∝ is 0.1, 10% இல் மிகைக்காண்  \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=1.645
\(S.E.=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 100 }{ \sqrt { 169 } } =7.69\)
முழுமைத்தொகுதியின் சராசரியின் 90% நம்பிக்கை எல்லைகள்
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \sigma }{ 2 } }<\mu <\bar { x } +{ Z }_{ \frac { \sigma }{ 2 } }SE\)
\(1350-(1.645\times 7.69)\le \mu < 1350 + (1.645 × 7.69)\)
\(1337.35\le \mu \le 1362.65\)
மின் விளக்கு சராசரி ஆயுட்காலமானது 90% நம்பிக்கை இடைவெளியில் அமைகிறது. (1337.35, 1362.65) என்று அமைகிறது.

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்பைக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
∴ Δ⁴ (y₀) = 0
⇒ (E - 1)⁴ (y₀) = 0
⇒ (E⁴ - 4E³ + 6E² - 4E + 1) y₀ = 0
⇒ (E⁴ y₀ - 4E³ y₀ + 6E² y₀ - 4E y₀ + 1+ y₀ = 0
⇒ y₄ - 4y₃ + 6y₂ - 4y₁ +y₀ = 0
⇒ 81 - 4(y₃) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0
⇒ 124 = 4y₃ = 0
⇒ y₃ = 31

\(\cos x(1+\cos y) d x-\sin y(1+\sin x) d y=0 \)
\(\cos x(1+\cos y) d x=\sin y(1+\sin x) d y \)
\(\int \frac{\cos x}{1+\sin x} d x=\int \frac{\sin y}{1+\cos y} d y \)
\(\log (1+\sin x)=-\log (1+\cos y)+\log c \)
\(\log (1+\sin x)+\log (1+\cos y)=\log c \)
\(\log (1+\sin x)(1+\cos y)=\log c \)
\((1+\sin x)(1+\cos y)=c \)

y²=8x           ....(1)
திட்ட வடிவம் y²=4ax, உடன் ஒப்பிட
4a=8
a=2
செவ்வகலத்தின் சமன்பாடு : x = 2

சமன்பாடு (1) ஆனது x -அச்சை பொறுத்து சமச்சீர் ஆதலால்,
தேவையான பரப்பு = 2 [முதல் கால்பகுதியில் சமன்பாடு 1 ஆனது x = 0 மற்றும் x = 2 எனும் எல்லைகளுக்குள் ஏற்படுத்தும் பரப்பு]
= \(2\int _{ 0 }^{ 2 }{ y } dx\)
=\(2\int _{ 0 }^{ 2 }{ \sqrt { 8x } dx } =2(2\sqrt { 2 } )\int _{ 0 }^{ 2 }{ x^{ 1/2 } } dx\)
=\(4\sqrt { 2 } \left[ \frac { 2x^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=4\sqrt { 2 } \times 2\times \frac { 2^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } \)
=\(\frac { 32 }{ 3 } \) சதுர அலகுகள்.

\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx=\int _{ -1 }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx\)
\(=\int _{ -1 }^{ 0 }{ -x } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ x } dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ -1 }{ x } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ x } dx\)
\(\left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx=-\int _{ b }^{ a }{ f\left( x \right) } dx } \right] \)
\(={ { \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] } }_{ 0 }^{ -1 }+{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\)
\(=- \left[ { \left(0 -\frac { 1 }{ 2 } \right) } \right] +\frac { 1 }{ 2 } -0= 1\)
= 1

A  =\(\left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
\(~ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & 18 \\ 0 & -1 & 6 & -2 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { { 4R }_{ 3 } }{ -3R _ 1 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 1 }\)
\(~ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & 18 \\ 0 & -1 & 44 & -32 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { 7R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\)
அணியின் தரம்  ρ(A)=3

\(P(X \leq 0) =P(X=-2)+P(X=0) \)
\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

கூறின் அளவு n = 100
கூறு சராசரி \(\bar{x}=67.45\)
கூறு பரவற்படி \(s^2=9\)
கூறு திட்டவிலக்கம்  s=3
μ என்பது முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி 
(அ) 95 % மாணவர்களின் சராசரியில் அமையும் நம்பிக்கை இடைவெளி 
\( =\bar{X} \pm Z_v \frac{s}{\sqrt{n}} \)
\( =67.45 \pm 1.96\left(\frac{3}{\sqrt{100}}\right) =67.45 \pm 0.588\)
95 % மாணவர்களின் சராசரியில் அமையும் நம்பிக்கை இடைவெளி (68.86, 68.04).
(ஆ) 99% -ல் மாணவர்களின் சராசரியின் அமையும் நம்பிக்கை இடைவெளி
\( =\bar{X} \pm Z_1 \frac{s}{\sqrt{n}}\)
\( =67.45 \pm 2.58\left(\frac{3}{\sqrt{100}}\right) =67.45 \pm 0.774 \)
99% -ல் மாணவர்களின் சராசரியின் அமையும் நம்பிக்கை இடைவெளி (66.67, 68.22).

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், நிரைகளின் எண்ணிக்கையும், சமமாக உள்ளன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும்.

படி 1: ஒவ்வொரு நிரையிலும் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள எல்லா மதிப்பிலும் கழிக்க வேண்டும்.

படி 2: ஒவ்வொரு நிரலிலும் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள எல்லா மதிப்பிலும் கழிக்க வேண்டும்.

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளது.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த செலவு

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:

 

ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

படி 2: ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த நேரம்

\(\sum\)X = 0, a =\(\frac {\sum Y}{n}\) = \(\frac {244}{5}\) = 48.8
b = \(\frac {\sum XY}{\sum X^2}\) = \(\frac {20}{10}\) = 2
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டு போக்குச் சமன்பாடானது
Y = a + bX
Y = 48.8 + 2X
Y = 48.8 + 2(x - 1994)
x = 1992 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1992–1994)= 48.8 - 4 = 44.8
x = 1993 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1993–1994)= 48.8 - 2 = 46.8
x = 1994 எனில், 
Yt = 48.8 + 2 (1994 - 1994) = 48.8
x = 1995 எனில்,
Yt = 48.8 + 2(1995-1994) = 48.8 + 2 = 50.8
x = 1996 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1996 – 1994) = 48.8 + 4 = 52.8
x = 1997 எனில்,
Y = 48.8 + 2 (1997 – 1994) = 48.8 +6 = 54.8

ஊசிமூலம் மருந்து எடுத்துக்கொள்ளும் 2000 தனிநபர்களைக் கருத்தில் கொள்க. n = 2000
x=0,1,2,...2000
தனிநபர் எதிர்விளைவால் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு p என்க. p =0.001
∴ q = 1- p = 1- 0.001 = 0.999
இங்கு n பெரியதாகவும் p சிறியதாகவும் உள்ளதால் இது பாய்சான் பரவலுக்கு உட்பட்டுள்ளது.
λ = np = 2000 × 0.001 = 2
(i) 2000, பேரில் சரியாக, 3 நபர்கள் எதிர்விளைவால் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = 3) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 3 } }{ 3! } \)=0.1804
(ii) 2000, பேரில் 2 தனி நபர்களுக்கு மேல் எதிர்விளைவால் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
= P(X > 2)
= 1- [(P(X ≤ 2)]
= 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)]
=1-\(\left[ \frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 0 } }{ 0! } +\frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 1 } }{ 1! } +\frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 2 } }{ 2! } \right] \)
=1-e^-2\(\left( \frac { { 2 }^{ 0 } }{ 0! } +\frac { { 2 }^{ 1 } }{ 1! } +\frac { { 2 }^{ 2 } }{ 2! } \right) \)
=0.323

கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் (Sampling Errors) :
கூறுகளை வாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்வதிலும், அவற்றின் விவரங்களை சேகரிப்பதிலும் ஏற்படும் பிழைகள் கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் எனப்படும். இப்பிழைகள் கூறினைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையினை உள்ளடக்கியதாகும். இப்பிழை தற்செயலாகவும், சார்பற்றதாகவும், பாரபட்சம் இல்லாமலும் ஏற்படலாம். கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் ஏற்படுவதற்கு முக்கிய காரணங்கள் பின்வருமாறு
(a) குறைபாடுள்ள உத்தியின் மூலம் சரியான கூறுக்கு பதில், தகுதியற்ற கூறு தேர்வு செய்யப்படும் போது.
(b) ஆய்வாளர் கூறெடுத்தலின் போது உகந்த உறுப்பு கிடைக்காதபோது அதற்கு பதிலாக தமக்கு தேவையான உறுப்பினைத் தெரிவு செய்யும்போது.
(c) நில அளவீடுகளின்போது எல்லைக்கோட்டினைக் கூறில் தேர்ந்தெடுப்பதா அல்லது தவிர்ப்பதா என்பது ஒவ்வொரு ஆய்வாளரைப் பொறுத்ததாகும். இவ்வாறு கூறெடுப்பது, தவறான வரையறை கொண்ட மாதிரி அலகுகள் (Faulty demarcation of sampling) எனப்படுகிறது.

x₀ = 1974, x₁ = 1978, x₂ = 1982, x₃ = 1990
y₀ = 25, y₁ = 60, y₂ = 80, y₃ = 170, x = 1986.
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\( =\frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)} 25+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)} 60+ \frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)} 80+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)} 170 \)
\( =\frac{25}{4}-60+120+\frac{170}{4}=\frac{195}{4}+60 \)
 =48.75+60=108.75 (ஆயிரம் டன்கள்)

1905 ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகை காணல் அதாவது, x=1905-க்கு y-ன் மதிப்பு காணல்.
y-ன் தேவையான மதிப்பு அட்டவணையில் x-ன் ஆரம்ப மதிப்புக்கு அருகில் உள்ளது. எனவே நாம் நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 1905 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும். ∴ x₀+nh=1905, x₀=1891, h=10
1891+n(10)=1905 ⇒ n=1.4

y_(x=1905)= 98752+(1.4)(33533)+\(\frac { (1.4)(0.4) }{ 2 } (2258)+\frac { (1.4)(0.4)(-0.6) }{ 6 } (-10435)+\frac { (1.4)(0.6)(-0.6)(-1.6) }{ 24 } (41358)\)
= 98752 + 46946.2 + 632.24 + 584.36 + 926.4192
= 1,47,841.2192

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

\(\mathrm{I}(x)=500-0.03 x^2 ; \mathrm{C}_1=0.3 ; \mathrm{T}=30\)
சரக்கின் மொத்த தேக்கச் செலவு
\( =C_1 \int_0^T I(\mathrm{x}) \mathrm{dx} \)
\(=0.3 \int_0^{30}\left(500-0.03 \mathrm{x}^2\right) \mathrm{dx} \)
\(=0.3\left[500 x-0.01 x^3\right]_0^{30} \)
\(=0.3[15000-270]=₹ 4419\)
= ரூ.4,419

\(\int { { e }^{ x } } \left[ \frac { x-1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right] \)
\(=\int { { e }^{ x } } \left[ \frac { x-1+1-1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right] dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } \left[ \frac { x+1-2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right] dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } \left( \frac { x+1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } -\frac { 2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right) dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } \left( \frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } -\frac { 2 }{ { { \left( x+1 \right) } }^{ 3 } } \right) dx\)
\( f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } ={ \left( x+1 \right) }^{ -2 }\)
\(\Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =-2{ \left( x+1 \right) }^{ -2-1 }\)
\(=-2{ \left( x+1 \right) }^{ -3' }\)
\(=\frac { -2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \)
\(\therefore I=\int { { e }^{ x }\left[ f\left( x \right) +f^{ ' }\left( x \right) \right] } dx\)
\(={ e }^{ x }\quad f\left( x \right) +c\)
\(={ e }^{ x }\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } +c\)
\(=\frac { { e }^{ x } }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } +c\)

\(\int { ​​\frac { 4x^{ 2 }+2x+6 }{ (x+1)^{ 2 }(x-3) } dx } \)
\(\frac { 4x^{ 2 }+2x+6 }{ (x+1)^{ 2 }(x-3) } \) =\(\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ (x+1)^{ 2 } } +\frac { C }{ x-3 } \)
\(\frac { 4x^{ 2 }+2x+6 }{ (x+1)^{ 2 }(x-3) } \) =\(\frac { A(x+1)(x-3)+B(x-3)+C(x+1)^{ 2 } }{ (x+1)^{ 2 }(x-3) } \)
\(4x^{ 2 }+2x+6\)
\(=A(x+1)(x-3)+B(x-3)+C(x+1)\) .......(1)
x=3 எனில் 
36+6+6 =C (4)²
C =\(\frac { 48}{ 16} =3\)
x=-1 எனில்
4-2+6 =B(-4)
B=\(\frac { 8}{ -4} =-2\)
(1) -ல்  x²  -ன் கெழுக்களை சமப்படுத்த 
4=A +C 
4 = A +3 \(\Rightarrow \)A =1 
\(\frac { 4x^{ 2 }+2x+6 }{ (x+1)^{ 2 }(x-3) } =\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 2 }{ (x+1)^{ 2 } } +\frac { 3 }{ x-3 } \)
\(\int \frac { 4x^{ 2 }+2x+6 }{ (x+1)^{ 2 }(x-3) } dx\) \(=\int \frac { dx }{ x+1 } -2\int \frac { dx }{ (x+1)^{ 2 } } +3\int \frac { dx }{ x-3 } \)
\(=\log |(x+1)|-2\int (x+1)^{ -2 }dx+3\log |(x-3)|+c\)
\(=\log |(x+1)|+3\log |(x-3)|-2\frac { (x+1)^{ -1 } }{ -1 } +c\)
\(=\log |(x+1)|+3\log |(x-3)|+\frac { 2 }{ x+1 } +c\)

சமன்பாடுகள் 
 x + 2y + z = 7,
2x − y + 2z = 4,
x + y − 2z = −1
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
=1(2-2)-2(-4-2)+1(2+1)
=12+3 =15 \(\neq \) 0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
  = 7(2-2)-2(-8+2)+1(4-1)
 = 12+3 =15
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}\)
   = 1 (-8+2)-7(-4-2)+1(-2-4)
   = -6+42-6 =30
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)
= 1(1- 4) - 2 (- 2 - 4) + 7 (2 + 1)
 = - 3 + 12 + 21 = 30
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { 15 }{ 15 } =1\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\)
ஃ  தீர்வு x =1,y =2,z =2.