வாய்ப்பு காரணங்கள் என்பது உற்பத்தி செயல் முறைகளில் இயற்கையாகவோ அல்லது இயல்பாகவோ ஏற்படும் சிறிய மாறுபாடுகள் ஆகும். இந்த காரணங்களால் ஏற்படும் மாறுபாடுகள் மனித கட்டுப்பாட்டிற்கு அப்பாற்பட்டதாகும் இதைத் தடுக்கவோ, அகற்றவோ எந்த சூழ்நிலைகளிலும் முடியாது. பொருள்களின் தரத்திற்கு எந்தவித பாதிப்பையும் ஏற்படுத்தாத சிறிய விளைவுகள், வாய்ப்பு காரணங்கள் என அழைக்கப்படுகிறது . உதாரணமாக மழை, வெள்ளம், மின்தடை போன்றவை ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 21
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம்
P → A, P → Q,Q → B, Q → C, Q → D, R → D, R → E
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
\( =(3 \times 2)+(1 \times 11)+(2 \times 4)+(4 \times 7)+ (2 \times 2)+(3 \times 8)+(6 \times 12) \)
= 6 + 11 + 8 + 28 + 4 + 24 + 72 = ரூ. 153 

\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
=0+0.1+0.8+0.9=1.8
∴∴ எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 1.8

ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனை இரண்டு விளைவுகளை ஏற்படுத்தும். அவ்விளைவானது இரு வகைப்படும் அவை வெற்றி (S) மற்றும் தோல்வி (F) ஆகும். அதனுடைய நிகழ்தகவுகள் முறையே p மற்றும் q எனக் குறிக்கப்படும். அது பெர்னோலி சோதனை (அல்லது முயற்சி) என்று அழைக்கப்படும்

கூறின் அளவு n = 50
மாதிரியின் திட்டவிலக்கம் S.D s = 6.3
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் S.D σ = 6
மாதிரியின் திட்டப்பிழை
\(S.E=\sqrt { \frac { { \sigma }^{ 2 } }{ 2n } } =\frac { 6 }{ \sqrt { 2(50) } } =\frac { 6 }{ \sqrt { 100 } } =0.6\)
∴ மாதிரியின் திட்டப்பிழை S.D = 6

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y \\ \hline 240 & 484 & & & \\ \hline & & 20 & & \\ \hline 50 & 204 & & 2 & \\ \hline & & 22 & & 0 \\ \hline 60 & 226 & & 2 & \\ \hline & & 24 & & 0 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & \\ \hline & & 26 & & 0 \\ \hline 80 & 276 & & 2 & \\ \hline & & 28 & & \\ \hline 90 & 304 & & & \\ \hline \end{array}\)
\(x_0 =40, \mathrm{~h}=10, x_0+\mathrm{nh}=43 \)
\(10 \mathrm{n} =3 \Rightarrow \mathrm{n}=0.3 \)
\(\mathrm{y} =y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 \)
\( =184+0.3(20)+\frac{(0.3)(-0.7)}{2}(2) \)
\( =184+6-0.21=189.79 \)
\(x_{\mathrm{n}} =90, \mathrm{~h}=10, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=84 \)
\(10 \mathrm{n} =-6 \Rightarrow \mathrm{n}=-0.6 \)
\(\mathrm{y} =y_n +\frac{n}{1 !} \Delta y_n +\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_n + ....\)
\( =304+\frac{(-0.6)}{1 !}(28)+\frac{(-0.6)(+0.4)}{2 !}(2) \)
\(=304-16.8-0.24=286.96 \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு,\(\mathrm{P}=\frac{3 x^2}{1+x^3} \) மற்றும் \(\mathrm{Q}=\frac{1+x^2}{1+x^3}\)
\(\int P d x=\int \frac{3 x^2}{1+x^3} d x \)
\(=\log \left(1+x^3\right) \)
தொ.கா.\(=e^{\int P d x}=e^{\log \left(1+x^2\right)} \)
\(=1+x^3 \)
\( y e^{\int P d x}=\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\( \mathrm{y}\left(1+x^3\right)=\int \frac{1+x^2}{1+x^3}\left(1+x^3\right) \mathrm{d} x+\mathrm{c} \)
\( =\int\left(1+x^2\right) d x+c \)
\( \mathrm{y}\left(1+x^3\right)=x+\frac{x^3}{3}+c \)
\(y(1+{ x }^{ 3 })=x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)+c

கொடுக்கப்பட்டவை: y=36-x² மற்றும் y₀=11
11=36-x₀²
x₀²=25
x₀=5

=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ (36-x^{ 2 }) } dx-5\times 11\)
=\(\left[ 36x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 5 }-55\)
=\(\left[ 36(5)-\frac { { 5 }^{ 3 } }{ 3 } \right] -55\)
=\(180-\frac { 125 }{ 3 } -55=\frac { 250 }{ 3 }\)
நுகர்வோர் உபரி =\(\frac { 250 }{ 3 } \) அலகுகள்.

\(\int { \frac { 2 }{ 3x+5 } dx } =2\int { \frac { 1 }{ 3x+5 }} \)dx
\(=\frac { { 2 } }{ 3 } \log\left| 3x+5 \right| +c\)

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1

சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்த்தல்.
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 100 }^{ \infty }{ { xe }^{ \frac { x }{ 100 } }dx } \)
= \(\left\{ \left[ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) \right] _{ 100 }^{ \infty }-\int _{ 100 }^{ \infty }{ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) } dx \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) +\left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) \right] \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) +\left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) \right] \)
= 7358 மணிகள்
எனவே, வானொலி குழலின்  சராசரி வாழ்நாள் 7,358 மணிகள் ஆகும்.

X என்பது சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் மாதாந்திர மின்சாரக் கட்டணம் 
\(\mu=225, \sigma=55\)
\(\mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{100-225}{55}=-2.27\)

\(P(X \leq 100) =P(Z \leq-2.27) =0.5-P(-2.27 \leq Z \leq 0) \)
 =0.5-0.4884=0.0116

(i) சிறுமத்தில் பெருமம்

(3000, 1000,6000) ன் மீப்பெரு மதிப்புகள் = 6000, எனவே கடன் பத்திரங்கள் மூலம் முதலீடு செய்வதே சிறந்த திட்டமாகும்.
(ii) பெருமத்தில் சிறுமம்.

(10,000, 8000, 6000)-இன் மீச்சிறு மதிப்புகள் = 6000, எனவே கடன் பத்திரங்கள் மூலம் முதலீடு செய்வதே சிறந்த திட்டமாகும்.

கீழ்க்காணும் முறைகளின் மூலம் நாம் போக்கு மதிப்பை அளவிட முடியும்.
(i) வரைபட முறை (Freehand or Graphic Method).
(ii) பகுதி சராசரி முறை (Method of Semi Averages).
(iii) நகரும் சராசரி முறை (Method of Moving Averages).
(iv) மீச்சிறு வர்க்க முறை (Method of Least Squares).

மாதிரியின் அளவு= 100, \(\bar { x } \) = 7.4, σ -ன் மதிப்பு தெரியாத
நிலையில் உள்ளது. ஆனால் \(\hat { \sigma } \) = s = 1.2
\(\breve { \sigma } =s\quad { Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96\)
\(S.E=\frac { \breve { \sigma } }{ \sqrt { n } } =\frac { s }{ \sqrt { n } } =\frac { 1.2 }{ \sqrt { 100 } } =0.12\)
95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் முழுமைத்தொகுதியின் சராசரியானது
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } <\mu <\bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
\(7.4-(1.96\times 0.12)\le \mu \le 7.4+(1.96\times 0.12)\)
\(7.4-0.2352\le \mu \le 7.4+0.2352\)
\(7.165\le \mu \le 7.635\)
முழுமைத்தொகுதியின் சராசரி வலிமைத் திறனாது (7.165,7.635) என்ற 95% நம்பிக்கை இடைவெளிக்குள் உள்ளது.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்பைக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
∴ Δ⁴ (y₀) = 0
⇒ (E - 1)⁴ (y₀) = 0
⇒ (E⁴ - 4E³ + 6E² - 4E + 1) y₀ = 0
⇒ (E⁴ y₀ - 4E³ y₀ + 6E² y₀ - 4E y₀ + 1+ y₀ = 0
⇒ y₄ - 4y₃ + 6y₂ - 4y₁ +y₀ = 0
⇒ 81 - 4(y₃) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0
⇒ 124 = 4y₃ = 0
⇒ y₃ = 31

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்கோட்டுத் தொகுப்பைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
y = mx ⇒ \(\frac { dy }{ dx } = m \)
y=x\(\frac { dy }{ dx } \)

\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \sqrt { 1+\cos\ x } dx } \)
cos 2x = 2 cos² x-1
⇒ 1+cos 2x = 2 cos²x
⇒ 1+cos 2x = 2 cos² \(\frac { x }{ 2 } \)
\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \sqrt { 1+\cos\ x } dx } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \sqrt { 2{ \cos }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } } } dx\)
\(=\sqrt { 2 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos } \frac { x }{ 2 } dx\)
\(=\sqrt { 2 } { { \left( \frac { \sin\frac { x }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } } }\)
\(=2\sqrt { 2 } \left( \sin\frac { \pi }{ 2(2) } -\sin \frac { 0 }{ 2 } \right) \)
\(=2\sqrt { 2 } \left( \sin\frac { \pi }{ 4 } -\sin0 \right) \)
\(=2\sqrt { 2 } \left[ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -0 \right] \)

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 14 \\ 30 \end{matrix} \right) \)
A X = B

 கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் இரண்டு பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=ρ([A,B])=2
இங்கு, ρ(A)=ρ([A,B])=2 < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. மேலும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கு சமானமான அணி சமன்பாடு
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
x+y+z = 6   .....(1)
y+2z=8      .....(2)
(2) ⇒ y=8-2z
(1) ⇒ x=6-y-z=6-(8-2z)-z=z-2
z=k, k\(\in \)R எனக் கொண்டால் வெவ்வேறு தீர்வுகளை நாம் பெறலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

லாஸ்பியரின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\(P^{L}_{01}\)  =  \({\frac {\sum p_{1}q_{0}}{\sum p_{0}q_{0}}} \times 100\)
=  \(\frac {1280}{1200} \times {100}\) = 106.66
பாசியின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\(P^{P}_{01}\) =  \({\frac {\sum p_{1}q_{1}}{\sum p_{0}q_{1}}} \times 100\)
=  \(\frac {1040}{973} \times {100}\) = 106.88
ஃபிஷர் விலைக் குறியீட்டு எண்
\(P_{01}^{F }=\sqrt{P_{01}^{L } \times P_{01}^P}=\sqrt{106.6 \times 106.8}=106.7\)

நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும்.



ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.


உகந்த ஒதுக்கீடு செய்ய முடியாது என்பதால் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களையும் வெட்டுமாறு குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான நேர்கோடுகளை வரையவும் 

நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை 3 < நிரைகளின் எண்ணிக்கை, நேர்க்கோடுகள் வெட்டாத மதிப்புகளின் மீச்சிறு மதிப்பு 15.எனவே, அவற்றுடன் 15ஐ கழிக்க மற்றும் இரு கோடுகள் வெட்டும் மதிப்புடன் 15ஐ கூட்டுக.


அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த தொலைவு 

உகந்த தொலைவு =570 மைல்கள்

கூறின் அளவு n = 400 கடைகள்
கூறு சராசரி \(\bar { x } \) = 153.7 சோதனைகள்
கூறு திட்ட விலக்கம் SD s = 17.2 சோப்புகள்
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் m = 146.3 சோப்புகள்
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படாததால் கூறு திட்ட விலக்கம் s =σ என கொள்வோம்.
இன்மை கருதுகோள் : விளம்பர பிரச்சாரம் வெற்றியாக இல்லை. H₀ : μ = 146.3 (விளம்பரத்திற்கு முன்னும் பின்னும் வாராந்திர சோப்பு விற்பனையில் சிறப்பான வித்தியாசம் இல்லை)
மாற்று கருதுகோள் H₀ : μ> 146.3 (வலதுமுனை சோதனை) விளம்பர பிரச்சாரம் வெற்றிகரமானதாக உள்ளது)
மிகைகாண் நிலை ∝ = 0.05
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு ஏற்பக் கணக்கிடல்
\(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 153.7-146.3 }{ \frac { 17.2 }{ \sqrt { 400 } } } \)
\(=\frac { 7.4 }{ 0.86 } =8.605\)
\(\therefore\) Z=8.605
கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு Z = 8.605 மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அல்லது அட்டவணை மதிப்பு Z_∝ = 1.645 ஆகியவற்றிலிருந்து 8.605 > 1.645 என பெறுகிறோம்.
கண்டறியப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக உள்ளதால் Z>Z_∝ , 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ மறுக்கப்படுகிறது. எனவே விளம்பர பிரச்சாரம் சோப்பு விற்பனையை அதிகரித்துள்ளது என கருதலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 30
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.


போக்குவரத்து விவரம் : 
A → I,B → I, B → II, C → II,C → III 
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
= (7 ×1) + (3×0) + (9×4) + (1×1) + (10×5)
= 7 + 0 + 36 + 1 + 50 = ரூ.94

X - ன் சராசரி  \(=\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x \)
\( =\int_1^{\infty} x\left(\frac{3}{x^4}\right) d x \)
\(=3 \int_1^{\infty} x^{-3} d x=3\left[\frac{x^{-2}}{-2}\right]_1^{\infty} \)
\(=\frac{-3}{2}\left[\frac{1}{x^2}\right]_1^{\infty}=\frac{-3}{2}\left[\frac{1}{\infty}-1\right]=\frac{3}{2} \)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})^2 =\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x=\int_1^{\infty} x^2\left(\frac{3}{x^4}\right) d x \)
\( =3 \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x=3 \int_1^{\infty} x^{-2} d x \)
\( =3\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_t^{\infty}=-3\left[\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} \)
\(=-3[0-1]=3\)
X - ன் திட்டவிலக்கம் \(=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2\)
\(=3-\left(\frac{3}{2}\right)^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. p = குறைபாடு உள்ள பொருட்களின் நிகழ்தகவு 
\( \mathrm{p}=\frac{5}{100}=0.05 \)
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.05=0.95 \)
\( \mathrm{n}=20 \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}\)
(i) \(P(X=3)  =20 C_3(0.05)^3(0.95)^{17} \)
\(=\frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}(0.000125)(0.4181)\)
=0.059
(ii) \(P(X \geq 2)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X}<2) \)
\(=1-[\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)] \)
\(=1-\left[20 \mathrm{C}_0(0.05)^0(0.95)^{20}+\right. \left.20 \mathrm{C}_1(0.05)^1(0.95)^{19}\right] \)
\( =1-(0.95)^{19}[0.95+20(0.05)]\)
 =1-(0.37735)(1.95)=1-0.7358
 =0.2642 
(iii) \(P(X=4)=20 C_4(0.05)^4(0.95)^{16} \)
\(=\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times(0.00000625)(0.4401)  =0.0133\)
(iv) சராசரி \(= n p=20 \times\left(\frac{5}{100}\right)=1 \)
மாறுபாடு \( =n p q=20 \times \frac{5}{100} \times \frac{95}{100}=0.95 \)

படுகை சமவாய்ப்பு கூறெடுப்பு முறையில் முழுமைத்தொகுதி பல துணை முழுமைத் தொகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இவற்றை படுகை (Strata) என அழைக்கிறோம். பிறகு ஒவ்வொரு படுகையிலிருந்தும் சமவாய்ப்பு முறையில் கூறுகள் (மாதிரிகள்) தெரிவு செய்யப்படுகிறது. எல்லா படுகைகளிலிருந்தும் பெறப்பட்ட கூறுகளின் தொகுப்பே படுகை கூறெடுப்பாகும்.
முழுமைத்தொகுதியானது அதன் பண்புகளைப் பொறுத்து அதாவது ஒத்த பண்பற்றவையாகவோ (heterogeneous), அல்லது வெவ்வேறு பகுதிகளாகவோ (துண்டுகளாகவோ) அல்லது பிரிவுகளாகவோ இருக்கும் போது படுகை கூறெடுப்பு முறை பயன்படுகிறது. படுகை கூறெடுப்பு முறையின் மூலம் கூறுகளை தெரிவு செய்வதற்கு முன், முழுமைத்தொகுதியை ஒத்த பண்புகள் (homogeneous) உடைய துணைப் பிரிவுகளாக அல்லது படுகைகளாக (Strata) பிரிக்கப்பட்டு ஒவ்வொரு படுகையிலிருந்தும் கூறுகள் தெரிவு செய்யப்படவேண்டும். படுகை கூறெடுப்பு முறையில் சமவாய்ப்பு மாதிரிகளை தெரிவுசெய்யும் போது பின்பற்ற வேண்டிய படிநிலைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(a) முழுமைத்தொகுதியானது ஏறத்தாழ ஒத்த பண்புகளைக் கொண்ட உறுப்புகளாலான வெவ்வேறு படுகைகளாகப் பிரிக்கப்பட வேண்டும். படுகைகள் ஒன்றோடொன்று சேராதவாறு வடிவமைக்கப்படவேண்டும்.
(b) முழுமைத்தொகுதி, படுகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டப் பின் ஒவ்வொரு படுகையிலிருந்தும் குறிப்பிட்ட அளவு கொண்ட கூறுகளைச் சமவாய்ப்பு முறையில், குலுக்கல் முறையில் அல்லது சமவாய்ப்பு எண் அட்டவணையிலிருந்து பெறலாம்.
ஒரு மாநிலத்தில் தேர்தலுக்காக, வெவ்வேறு சட்டமன்றப் பகுதிகளை பிரிப்பது மாநிலத்திலிருந்து மாவட்டங்களை பிரிப்பது படுகைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இதுபோன்ற மற்ற நிகழ்வுகளிலும் படுகை கூறெடுப்பு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

x என்பது மதிப்பெண் மற்றும் y என்பது மாணவர்களின் எண்ணிக்கை என்க.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

 y_(x=x0+nh)= \({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 45 இடத்து y-ஐக் காண் வேண்டும். 
∴ x₀+nh=45, x₀=40, h=10 ⇒ \(\frac{1}{2}\)
y_(x=45)=31+\(\frac { 1 }{ 2 } \times 42+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) }{ 2 } (9)+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) }{ 6 } \times 25+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) \left( \frac { -5 }{ 2 } \right) }{ 24 } \times (37)\)
= 31+21-\(\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 25 }{ 16 } -\frac { 37\times 15 }{ 128 } \)
=47.867 ≅48

1955 - ஆம் வருடத்தின் மக்கள்தொகை காண,அதாவது x = 1955 எனில்,
நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
\({ y }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
இங்கு x₀ + nh = 1955 ⇒ 1951 + n(10) = 1955
⇒ 10n = 1955 - 1951 = 4
⇒ 4/10 = 0.4
\({ y }=35+0.4(7)+\frac { (0.4)(0.4-1) }{ 2 } (9)+\frac { (0.4)(0.4-1) }{ 6 } (1)\)

⇒ y = 35 + 2.8 + (0.2)(-0.6)(9) + \(\frac { (0.4)(-0.6)(-1.6) }{ 6 } \)
⇒ y = 37.8 - 1.08 + 0.384/6
⇒ y = 37.8 - 1.08 + 0.064
⇒ y_(x=1955) = 36.784
= 36.784 (இலட்சங்கள்)

x-y\(\frac { dx }{ dy } =a\left( { x }^{ 2 }+\frac { dx }{ dy } \right) \)
\(x-y\frac { dx }{ dy } =ax^{ 2 }+a\frac { dx }{ dy } \)
x-ax²=\(a\frac { dx }{ dy } +y\frac { dx }{ dy } \)
x(1-ax)=(a+y)\(\frac { dx }{ dy } \)
மாறிகளை பிரிக்க, நாம் பெறுவது
\(\frac { dx }{ x(1-ax) } =\frac { dy }{ a+y } \)
\(\left( \frac { a }{ 1-ax } +\frac { 1 }{ x } \right) dx=\frac { dy }{ a+y } \)
தொகையிட, \(\int { \left( \frac { a }{ 1-ax } +\frac { 1 }{ x } \right) dx } =\int { \frac { dy }{ a+y } } \)
-log(1-ax)+logx=log(a+y)+logc
\(\log\left( \frac { x }{ 1-ax } \right) \)=log(c(a+y))
\(\left( \frac { x }{ 1-ax } \right) \)=c(a+y)
x = (1-ax)(a+y)c என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x
\(C(x) =\int(5+0.13 x) d x \)
\( =5 x+\frac{0.13 x^2}{2}+k_1\)
\( =5 x+0.065 x^2+\mathrm{k}_1\)
x  =0, C=120 எனில்,\(\mathrm{k}_1=120\)
செலவுச் சார்பு : \( C(x)=5 x+0.065 x^2+120 \)
\( R^{\prime}(\mathrm{x})=18 \)
வருவாய்ச் சார்பு : \( \mathrm{R}=\int 18 d x=18 x+\mathrm{k}_2 \)
x = 0, R = 0 எனில் 
\( \mathrm{k}_2=0 \)
\( \mathrm{R}=18 x \)
இலாபச் சார்பு : \(\text { P(x ) }=\mathrm{R}(x)-\mathrm{C}(x) \)
\(=18 x-5 x-0.065 x^2-120 \)
\(=13 x-0.065 x^2-120 \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f\left( a+rh \right) } \)
இங்கு  a = 0, b = 1
\(h=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1-0 }{ n } =\cfrac { 1 }{ n } \)மற்றும்  f(x) = x²
\(f(a+rh)=f\left( 0+r.\cfrac { 1 }{ n } \right) =f\left( \cfrac { r }{ n } \right) \)
⁼ \(\left( \cfrac { r }{ n } \right) ^{ 2 }=\cfrac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }dx } =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } \left( \frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } .\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim }\cfrac { 1 }{ 6n ^ 2 }[n(2 n^2 +3n+1)]\)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim }[ \left( \cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 2n }+\cfrac { 1 }{ 6n ^2 } \right) ]\)
= \(\cfrac { 1 }{ 3 } \)

I = \(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { \sin }^{ 7 }x }{ { \sin }^{ 7 }x+{ \cos }^{ 7 }x } dx } \)  என்க   ---(1)
\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { \sin }^{ 7 }\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) }{ { \sin }^{ 7 }\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) +{ \cos }^{ 7 }\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } } dx\)
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ a }{ f\left( x \right) } dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x) } dx \right]\)
\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { \cos }^{ 7 }x \ dx }{ { \cos }^{ 7 }x+{ \sin }^{ 7 }x } } \) ---(2)
(1) + (2) 
\(2I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( \frac { { \sin }^{ 7 }x }{ { \sin }^{ 7 }x+{ \cos }^{ 7 }x } +\frac { \cos^{ 7 }x }{ { \cos }^{ 7 }x+{ \sin }^{ 7 }x } \right) } dx\)

\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ dx } ={ \left[ x \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=\frac { \pi }{ 2 } -0=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\therefore 2I=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\Rightarrow I=\frac { \pi }{ 4 } \)

AB = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1-2-5 & -2+4-1 & 3-6+1 \\ 2+6+20 & -4-12+4 & 6+18-4 \\ 3+4+15 &-6-8+3 &9+12-3\end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} -6 & 1 & -2 \\ 28 & -12& 20 \\ 22 & -11 & 18 \end{matrix} \right) \)
AB -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
AB ∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\-3& 7& 5 \\ -11 & 22 & 18 \end{matrix} \right) \)C₁ ↔️ C₂
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & -44 & -4 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ + 12R₁
                                             R₃ ⟶ R₃ +11 R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(AB)=2
BA  = \(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)
     =\(\left( \begin{matrix} 1-4+9 & 1+6-6 &-1-8+9 \\ -2+8-18 & -2-12+12 & 2+16-18 \\ 5+2-3 &-5-3+2 &-5+4-3\end{matrix} \right) \)
BA  = \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ -12 & -2 & 0\\ 4 & 4 & -1 \end{matrix} \right) \)_{\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ -2 } \)}
BA  = -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
      ∼\(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &0& 0\\ 0 & 5 & -6 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                                              R₃ ⟶ 6R₃ - R₁
         ∼ \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &5&-6\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₂ <--> R₃

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
அணியின் தரம் ρ(BA )=2

\(\mathrm{P}(\mathrm{Z}>\mathrm{z}) =0.5832 \)
\(\mathrm{P}(-\mathrm{z}<\mathrm{Z}<0) =0.5832-0.5=0.0832 \)
\(\mathrm{z} =-0.21 \)

\(\mathrm{P}(\mathrm{Z} >2.18)+\mathrm{P}(\mathrm{Z}<-1.75) \)
\(=0.5-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<2.18)+0.5-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<1.75) \)
=0.5-0.4854+0.5-0.4599=0.0547

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(\Delta\left(x^2\right) =(x+\mathrm{h})^2-x^2 {\left[\because \mathrm{f}(x)=x^2\right]} \)
\(=(x+1)^2-x^2=2 x+1 {[\because \mathrm{h}=1]} \)

\(\mathrm{m}^2+4 =0 \Rightarrow \mathrm{m}^2=-4 \Rightarrow \mathrm{m} ± 2i \)
\(\alpha  =0, \ \beta=2\)
நிரப்புச் சார்பு : \(\mathrm{A} \cos 2 x+\mathrm{B} \sin 2 x\)

பரப்பு \( =\int_c^d x d y=\int_1^2 y d y \)
\(=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) ச.அலகுகள்

\(∵ \int \frac {f '(x)}{f (x )} dx = \log |f (x )|+c \)
இங்கு f (x ) = e^x + 1 ; f'(x ) = e^x 
∴ \(\int { \frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }+1 } } \)dx = log|e^x+1|+c