\(E(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x \)
\( =\int_0^{\infty} x\left(2 e^{-2 x}\right) d x=2 \int_0^{\infty} x e^{-2 x} d x \)
\( =2\left\{\left[\frac{x \mathrm{e}^{-2 x}}{-2}\right]_0-\int_0^{\mathrm{e}^{-2 x}} \frac{\mathrm{d}}{-2} \mathrm{~d} x\right\} \)
\({\left[\because \int \mathrm{udv}=\mathrm{uv}-\int \mathrm{vdu}\right]} \)
\( \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x=\left[\frac{\mathrm{e}^{-2 x}}{-2}\right]_0^{\infty}=0+\frac{1}{2}\)
\( \therefore \mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{1}{2} \)

இங்கே, அடிப்படை ஆண்டு அளவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே மொத்த செலவு முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் = \(\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 3140 }{ 1974 } \times 159.0679\)

ஒரு நாணயம் சுண்டும் போது அமையும் சமவாய்ப்புகள்  (கூறுவெளி) \(\mathrm{S}={\mathrm{H}, \mathrm{T}}\) 
X என்பது சமவாய்ப்பு மாறியில் ஒருவர் வெற்றி பெறும் தொகை என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 4 & -2 \\ \hline \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}\)
\(E(X)  =\sum_x x P_X(x) \)
\(=4\left(\frac{1}{2}\right)-2\left(\frac{1}{2}\right)=2-1=1\)
எதிர்பார்த்தல் = 1
\(E\left(X^2\right)  =\sum_x x^2 P_X(x) \)
\(=16\left(\frac{1}{2}\right)+4\left(\frac{1}{2}\right)=8+2=10 \)
\(\operatorname{Var}(X)  =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=10-1=9\)
மாறுபாடு  = 9

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 950
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.


போக்குவரத்து விவரம் 
A → D,A → E, B → E, B → F,C → F, C → G
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
=(200×11)+(50×13)+(175×18)+(125×14)+(150×13)+(250×10)
= 2200 + 650 + 3150 + 1750 + 1950 + 2500 
= 12200

கீழ்க்காணும் முறைகளின் மூலம் நாம் போக்கு மதிப்பை அளவிட முடியும்.
(i) வரைபட முறை (Freehand or Graphic Method).
(ii) பகுதி சராசரி முறை (Method of Semi Averages).
(iii) நகரும் சராசரி முறை (Method of Moving Averages).
(iv) மீச்சிறு வர்க்க முறை (Method of Least Squares).

p = பக்க விளைவை ஏற்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு
\(\mathrm{n} =10, \mathrm{p}=\frac{3}{100}=0.03 \)
\(\mathrm{q} =1-\mathrm{p}=1-0.03=0.97 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X} =x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\(P(X \geq 1) =1-\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \)
\( =1-10 \mathrm{C}_0(0.03)^0(0.97)^{10} \)
=1-0.7374=0.2626

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது தேர்ந்தெடுக்கப்படும் வெளிநாட்டு மகிழுந்தைப் பயன்படுத்துபவர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
\( \mathrm{p}=\frac{18}{28}=0.6429 \)
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=0.3571, \mathrm{n}=5 \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)= \mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 3)= \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=5) \)
\(= 5 \mathrm{C}_3(0.6429)^3(0.3571)^2+  5 \mathrm{C}_4(0.6429)^4(0.3571)+  5 \mathrm{C}_5(0.6429)^5 \)
\(=(0.6429)^3[10(0.1275)+ \left.5(0.6429)(0.3571)+(0.6429)^2\right] \)
= 0.2657[1.275+1.1479+0.4133] 
=(0.2657)(2.8362)=0.7535

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு பரவல் p(x) இன் மதிப்புகளிலிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\mathrm{F}(3) =P(X \leq 3)=\mathrm{p}(3)=0.3 \)
\(\mathrm{F}(5) =P(X \leq 5)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5) \)
\( =0.3+0.2=0.5 \)
\(\mathrm{F}(8) =P(X \leq 8)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5)+\mathrm{p}(8)\)
\(=\mathrm{F}(5)+\mathrm{p}(8)=0.5+0.3=0.8 =0.8+0.2=1 \)
\(\mathrm{F}(10) =\mathrm{P}(X \leq 10)=\mathrm{F}(8)+\mathrm{p}(10) \)
\(\mathrm{F}_x(x) =\left\{\begin{aligned} 0, & x<3 \\ 0.3, & 3 \leq x<5 \\ 0.5, & 5 \leq x<8 \\ 0.8, & 8 \leq x<10 \\ 1, & x \geq 10 \end{aligned}\right. \)

முதலாவதாக முழுமை தொகுதிலுள்ள 8585 குழந்தைகளுக்கும் கொடுக்கப்பட்ட அலைவெண் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி வரிசை எண் குறிப்பிட வேண்டும். உயரம் 105 செ.மீ இல் 2 குழந்தைகள் உள்ளதால், இவ்விரு குழந்தைகளுக்கு 1, 2 என எண்கள் குறிப்பிடவேண்டும். 107 செ.மீ. உயரமுள்ள அடுத்த நான்கு குழந்தைகளுக்கு 3, 4, 5 மற்றும் 6 ஆகிய வரிசை எண்களை குறிக்க வேண்டும். இதேபோல் மற்ற உயரங்கள் கொண்ட குழந்தைகளுக்கும் தொடர் வரிசை எண்களைக் கொண்டு குறியிட வேண்டும். கடைசியாக 145 செ .மீ.உயரமுள்ள குழுவில் இரண்டு குழந்தைகளுக்கு 8584 மற்றும் 8585 ஆகிய எண்களை குறியீடாக வழங்கலாம்.

முழுமைத் தொகுதியின் அளவு நான்கிலக்க எண் ஆதலால் நமக்கு தேவையான 10மாதிரிகளை   அட்டவணையிலிருந்து பெறலாம். அட்டவணையின் முதல் நிரலிருந்து தொடங்கி முழுமை தொகுதியின் அளவான 8585-க்கு மிகாமல் எண்களை தேர்வு செய்து கீழ்கண்டவாறு நிழலிடப்படுகிறது.

2952 என்ற எண் குறியிட்டுள்ள குழந்தையின் உயரத்தை காண வேண்டுமாயின் குவிவு நிகழ்வெண் நிரலில் 2952- க்கு அடுத்த அதிககுவிவு நிகழ்வெண் 3589-க்கு உரிய உயரமான 123 செ.மீட்டரை தேர்வு செய்யவும். இதேபோல் மற்ற எண்களுக்கு உரிய குழந்தையின் உயரத்தை கண்டு தேவையான 10 குழந்தைகள் மற்றும் அவர்களின் உயரங்கள் மாதிரியை கீழ்கண்ட அட்டவணையை உள்ளவாறு காணலாம்.

\( \nabla f(x)= \mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(x-\mathrm{h}) \)
\(E^{\prime}(\nabla f(x))=\mathrm{E}[\mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(x-\mathrm{h})] \)
\(=\mathrm{E}[\mathrm{f}(x)]-\mathrm{E}[\mathrm{f}(x-\mathrm{h})] \)
\(=\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(=\nabla f(x+h)=\nabla E f(x) \)
\( \therefore E \nabla=\nabla E \)
\( \nabla=\frac{E-1}{E} \)
\( E \nabla=\mathrm{E}-1 \)
\(E \nabla=\Delta \)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(E \nabla=\Delta=\nabla E\) எனவே நிறுவப்பட்டது 

\(\mathrm{f}(x)  =\mathrm{e}^{\mathrm{a} x} \)
\(\mathrm{f}(0) =\mathrm{e}^0=1 \)
\(\Delta f(x)  =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{a}(x+\mathrm{h})}-\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \)
\(\Delta \mathrm{f}(x)  =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \)
\(\Delta f(0)  =\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1 \)
\(\Delta^2 f(x) =\Delta .[\Delta \mathrm{f}(x)] \)
\(=\Delta\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\right)\)
\( =\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \Delta \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \Delta \mathrm{f}(x) \)
\(=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\)
\(=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\)
இங்கு \(1, \mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1,\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)^2\) என்பன பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன.
\(\therefore \quad f(0), \Delta f(0), \Delta^2 f(0)\) என்பன பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன.

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்பைக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
∴ Δ⁴ (y₀) = 0
⇒ (E - 1)⁴ (y₀) = 0
⇒ (E⁴ - 4E³ + 6E² - 4E + 1) y₀ = 0
⇒ (E⁴ y₀ - 4E³ y₀ + 6E² y₀ - 4E y₀ + 1+ y₀ = 0
⇒ y₄ - 4y₃ + 6y₂ - 4y₁ +y₀ = 0
⇒ 81 - 4(y₃) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0
⇒ 124 = 4y₃ = 0
⇒ y₃ = 31

\(\cos x(1+\cos y) d x-\sin y(1+\sin x) d y=0 \)
\(\cos x(1+\cos y) d x=\sin y(1+\sin x) d y \)
\(\int \frac{\cos x}{1+\sin x} d x=\int \frac{\sin y}{1+\cos y} d y \)
\(\log (1+\sin x)=-\log (1+\cos y)+\log c \)
\(\log (1+\sin x)+\log (1+\cos y)=\log c \)
\(\log (1+\sin x)(1+\cos y)=\log c \)
\((1+\sin x)(1+\cos y)=c \)

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்கோட்டுத் தொகுப்பைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
y = mx ⇒ \(\frac { dy }{ dx } = m \)
y=x\(\frac { dy }{ dx } \)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{MR} =5+3 \mathrm{e}^{-0.03 x} \)
\(\frac{d R}{d x} =5+3 \mathrm{e}^{-0.03 x} \)
\(\mathrm{R} =\int\left(5+3 \mathrm{e}^{-0.03 x}\right) \mathrm{dx}=5 x+\frac{3 e^{-0.03 x}}{-0.03}+k \)
\(\mathrm{R} =5 x-\frac{e^{-0.03 x}}{0.01}+k \)
\(x =0, \mathrm{R}=0 \) எனில் 
\(\mathrm{k} =\frac{1}{0.01}=100\)
\(\mathrm{R} =5 x-\frac{e^{-0.03 x}}{0.01}+100\)
x =100 அலகுகள் எனில்,
\(\mathrm{R}  =5(100)-\frac{e^{-3}}{0.01}+100=600-\left(\frac{0.05}{0.01}\right)\)
=ரூ.5.95(ரூபாய் ஆயிரங்களில்)
=ரூ.5,95,000

(i) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
x=0, C=100 ⇒100=2(0)+5(e⁰)+k
k=95
∴ C=2x+5e^x+95
(ii) சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

கொடுக்கப்பட்ட இறுதிநிலை செலவு சார்பு: MC =6+10x-6x²
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (6+10x-6x^{ 2 }) } dx+k\)
=6x+5x²-2x³+k      .....(1)
x=2 எனும் போது C=12
∴ 12=12+20-16+k
k=-4
C=6x+5x²-2x³-4
சராசரி செலவு: \(\frac { C }{ x } =\frac { 6x+5x^{ 2 }-2x^{ 3 }-4 }{ x } \)
=6+5x-2x²-\(\frac { 4 }{ x } \).

\(I=\int { \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) dx } \)
\(u=\log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) \)
dv = dx
v = x
\(du=\cfrac { 1 }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \left[ \cfrac { d }{ dx } \left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) \right] dx\)

= \(\cfrac { 1 }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \left( 1-\cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \right) dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 } } -1 } \left( \cfrac { \sqrt { { x }^{ 2 }-1-x } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \right) dx\)
\(du=\cfrac { -1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }1 } } dx\)
\(I=\int { u } dv==uv-\int { v } du\)
= \(\int { \log } (x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } )dx\)
= \(x \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) -\int { } \left( \cfrac { xdx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } dx \right) \)
= \(I=x \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) +{ I }_{ 1 }\)
\({ I }_{ 1 }=\int { \cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } dx } \)
t =x²-1
\(dt=2xdx\Rightarrow \cfrac { dt }{ 2 } =xdx\)
\({ I }_{ 1 }=\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dt }{ \sqrt { t } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \int { t^{ -\cfrac { 1 }{ 2 } } } dt } \)

= \(\sqrt { t } =\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }-1 \right] \)
\(I=x \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) +\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } +c\)

\(\int { \frac { { x }^{ 3 }dx }{ \sqrt { x^{ 8 }+1 } } } =\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { 4x^{ 3 }dx }{ \sqrt { (x^{ 4 })^{ 2 }+1^{ 2 } } } } \)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \log|{ x }^{ 4 }+\sqrt { ({ x }^{ 4 })^{ 2 }+1^{ 2 } } |+c\)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \log|{ x }^{ 4 }+\sqrt { { x }^{ 8 }+1 } |+c\).

\(\int \left( \frac { \cos 2x+2\sin ^{ 2 } x }{ \cos ^{ 2 } x } \right) dx\)=\(\int \frac { 1-2\sin ^{ 2 } x+2\sin ^{ 2 } x }{ \cos ^{ 2 } x } dx\)
\(=\int \frac { dx }{ \cos ^{ 2 } x } =\)\(\int \sec ^{ 2 } xdx=\tan x+c\)
 

\(\int { \frac { { x }^{ 3 }+3x^{ 2 }-7x+11 }{ x+5 } } dx\)

\(x^{3}+3 x^{2}-7 x+11=(x+5)\left(x^{2}-2 x+3\right)-4 \)
\(\int \frac{x^{5}+3 x^{2}-7 x+11}{x+5} d x \)
\(=\int\left(x^{2}-2 x+3\right) d x-4 \int \frac{d x}{x+5} \)
\(=\frac{x^{3}}{3}-\frac{2 x^{2}}{2}+3 x-4 \log |x+5|+c\)
\(=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+3 x-4 \log |x+5|+c \)

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T=\(\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.75 \\ 0.35 & 0.65 \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S F)\(\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.75 \\ 0.35 & 0.65 \end{matrix} \right) \)= (S F)
இங்கு S + F = 1
0.25S +0.35F =S 
0.25 S + 0.35 (1 – S) = S
இதை தீர்க்க S =\(\frac { 0.35 }{ 1.10 } \)
⇒ S=0.318 மற்றும் F = 0.682
∴ ஆகாஷின் வெற்றி வாய்ப்பு சராசரி 31.8% ஆகும்.

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T =\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S H)\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \) (S H)
இங்கு S + H = 1
\(\frac { 1 }{ 3 } S+\frac { 4 }{ 5 } H\)=S
\(\frac { 1 }{ 3 } (1-H)+\frac { 4 }{ 5 } H\)=1-H
இதைத் தீர்க்க, நாம் பெறுவது S =\(\frac { 6 }{ 11 } \) மற்றும் H =\(\frac { 5 }{ 11 } \) 
நீண்ட கால அடிப்படையில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac { 5 }{ 11 } \) ஆகும்.

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி
T =
சமநிலையில், நாம் பெறுவது (A B) T (A B) மேலும், இங்கு A + B=1 ஆகும்.
(A B)\(\left( \begin{matrix} 0.9 & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 \end{matrix} \right) \)=(A B)
0.9A+0.3B=A
0.9A+0.3(1-A)=A
0.9A-0.3A+0.3=A
0.6A+0.3=A
0.4A=0.3
A=\(\frac { 0.3 }{ 0.4 } =\frac { 3 }{ 4 } \)
⇒ B=\(1-\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
எனவே A -ன் சந்தைப்பங்கீடு 75% மற்றும் B-யின் சந்தைப்பங்கீடு 25% ஆகும்.

A -ன் வரிசை 3 x 3  ∴ ρ(A) ≤3.
அணி A -ஐ, ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றியமைக்க,

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். ∴ ρ(A)= 2.