\(\bar{X} =\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{16410}{12}=1367.5 \)
\(\therefore \bar{R} =\frac{\Sigma R}{n}=\frac{5130}{12}=427.5\)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL}  =\overline{\bar{X}}+A_2 \bar{R} \)
=1367.5+0.577(427.5) 
=1367.5+246.67=1614.17
\(\mathrm{CL}  =1367.5 \)
\(\mathrm{LCL}  =\bar{X}-A_2 \bar{R} \)
=1367.5-246.67=1120.83
வீச்சு வரைபடக் கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL}  =D_4 \bar{R}  =2.115(427.5)=904.16 \)
\(\mathrm{CL}  =427 .5 \)
\(\mathrm{LCL}  =D_3 \bar{R}=0\)

சராசரியின் புள்ளிகள் கட்டுப்பாட்டு வரம்பிற்கு வெளியே அமைகிறது.எனவே செயல்முறை கட்டுப்பாட்டுக்குள் இல்லை 

ஆண்டு	விற்பனை	நான்கு ஆண்டு மைய கூட்டுத் தொகை	நான்கு ஆண்டு நகரும் சராசரி
1990	506	-	-
1991	620
		2835	708.75
1992	1036
		2917	729.25
1993	673
		2993	748.25
1994	588
		3073	768.25
1995	696
		3138	784.5
1996	1116
		3213	803.25
1997	738
1998	663

இரு வேறுபட்ட சூழ்நிலைகளில், வீச்சு வரைபடங்களின் (R) வரம்புகளைக் கணக்கிடுவது.

வகை (i) X மற்றும் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படும்போது	வகை (ii) X மற்றும் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படாதபோது
\(U C L=\bar{R}+3 \sigma_R \)	\(U C L=D_4 \bar{R} \)
\(C L=\bar{R} \)	\(C L=\bar{R} \)
\(L C L=\bar{R}-3 \sigma_R \)	\( L C L=D_3 \bar{R}\)

\(\bar X\) வரைபடங்களின் கட்டுப்பாட்டின் வரம்புகளைக் கீழ்க்கண்ட வகைகளில் கணக்கிடலாம்.

வகை (i) X மற்றும் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படும்போது	வகை (ii) X மற்றும் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படாதபோது
\(U C L=\overline{\bar{X}}+3 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)	\( U C L=\overline{\bar{X}}+A_2 \bar{R} \)
\(C L=\overline{\bar{X}} \)	\(C L=\overline{\bar{X}} \)
\(L C L=\overline{\bar{X}}-3 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)	\( L C L=\overline{\bar{X}}-A_2 \bar{R} \)

ஆட்டோமொபைல், ஜவுளி, மின் உபகரணங்கள், பிஸ்கட், குளியல் சோப்புகள், இரசாயனங்கள், பெட்ரோலியப் பொருட்கள் போன்ற அனைத்து உற்பத்தி தொழிற்சாலைகளிலும் தரக்கட்டுப்பாட்டை நிர்ணயிக்க உதவுகிறது. புள்ளியியல் தரக்கட்டுப்பாட்டின் நோக்கம் குறிப்பிட்ட காரணங்களை நீக்குவது மற்றும் உற்பத்தி கட்டுப்பாட்டின் கீழ் கொண்டு வருவதற்கான புள்ளியியல் உத்திகளை வழங்குவதாகும்.

வீச்சு (R) விளக்கப்படம் கொடுக்கப்பட்ட செயல்முறையில் இருந்து பெறப்பட்ட கூறுகளின் மாறுபாடு அல்லது சிதறலைக் காண்பிக்க இவ்வரைபடம் பயன்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் இருந்து பெறப்பட்ட கூறுகளின் சராசரி தரத்தைக் காண்பதற்கு இந்த \(\bar X \) விளக்கப்படம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மாறிகளுக்கான இருவகையான கட்டுப்பாட்டு வரைபடங்கள் :
(i) சராசரி வரைபடங்கள் ( \(\bar X\) )
(ii) வீச்சு வரைபடங்கள்(R)

செயல்முறை கட்டுப்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் புள்ளிவிவர படம் கட்டுப்பாட்டு வரைபடமாகும். தரவுகளில் உள்ள வடிவ மாறுபாடுகளைக் கண்டறிவதற்கு இது ஒரு எளிய உத்தியாகும். கட்டுப்பாட்டு விளக்கப்படங்கள் எளிமையாக வடிவமைக்கக்கூடியது மற்றும் எளிதாக விளக்கக் கூடியது.

உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருளின் நிறைவான தர அளவை கட்டுபடுத்துவது மற்றும் பராமரிப்பது ஆகியவை உற்பத்தி செயல் முறையின் முக்கிய நோக்கம் ஆகும். இது செயல்முறைக் கட்டுப்பாட்டின் மூலமே சாத்தியமாகும். செயல்முறை கட்டுப்பாட்டில், உற்பத்தி செயல்முறை மூலம் குறைபாடுள்ள பொருள்களின் விகிதம் குறைக்கப்படவேண்டும். இது கட்டுப்பாட்டு வரைபடங்களின் உத்தியின் மூலம் பெறப்படுகிறது.

குறிப்பிட்ட காரணங்கள் என்பது எந்தவொரு உற்பத்தி செயல்களிலும் ஏற்படும் இரண்டாவது வகை மாறுபாடாகும். இந்த குறிப்பிட்ட காரணங்கள் மூலப்பொருள்கள் பெறுவதிலிருந்து இறுதியாக உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள் நுகர்வோரிடம் அளிக்கும் வரை செயல் முறையின் எந்த கட்டத்திலும் நிகழலாம். உதாரணமாக குறைபாடுள்ள மூலப்பொருள்கள், இயந்திரங்களில் தவறு, திறமையற்ற மனித ஆற்றல், பழுதடைந்த கருவிகள், புதிய செயல்பாடு ஆகியவை குறிப்பிட்ட காரணங்களின் முக்கிய காரணிகள் ஆகும்.

வாய்ப்பு காரணங்கள் என்பது உற்பத்தி செயல் முறைகளில் இயற்கையாகவோ அல்லது இயல்பாகவோ ஏற்படும் சிறிய மாறுபாடுகள் ஆகும். இந்த காரணங்களால் ஏற்படும் மாறுபாடுகள் மனித கட்டுப்பாட்டிற்கு அப்பாற்பட்டதாகும் இதைத் தடுக்கவோ, அகற்றவோ எந்த சூழ்நிலைகளிலும் முடியாது. பொருள்களின் தரத்திற்கு எந்தவித பாதிப்பையும் ஏற்படுத்தாத சிறிய விளைவுகள், வாய்ப்பு காரணங்கள் என அழைக்கப்படுகிறது . உதாரணமாக மழை, வெள்ளம், மின்தடை போன்றவை ஆகும்.

ஒரு பொருளின் தரத்தை நிர்ணயிக்கும் மாறுபாட்டின் காரணங்கள் இரண்டு வகைப்படுகிறது. அவை
1. வாய்ப்பு காரணங்கள்
2. குறிப்பிட்ட காரணங்கள்

தரக்கட்டுப்பாடு என்பது பொருள்கள், செயலாக்கம், இயந்திரங்கள் ஆகியவற்றில் காணப்படும் தரக்குறைபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க உதவும் வலிமை வாய்ந்த உத்தியாகும். உற்பத்தி செய்யப்பட்ட இறுதி பொருள்கள் நுகர்வோரிடமிருந்து எதிர்பார்க்கக்கூடிய தரத்தைப் பெற்றிருப்பது அவசியமாகும்.

சமவாய்ப்பு மாறி Z = (X–μ)/σ என்பது திட்ட இயல்நிலை பரவலைப் பின்பற்றுமானால் Z என்பது திட்ட இயல்நிலை மாறி என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் அதனுடைய சராசரி 0 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 1 ஆகும் அதாவது Z ~ N(0,1) அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு :
\((z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} -\infty<\mathrm{z}<\infty\)

(i) மீச்சிறுவின் மீப்பெரு மதிப்பு 

(2000, 3500, 4000) ன் மீப்பெரு மதிப்பு = 4000 எனவே பயிர் C மிக சிறந்த பயிர் ஆகும்.
(ii) மீப்பெருவின் மீச்சிறு

(8000, 5000, 5000) ன் மீச்சிறு மதிப்பு = 5000, பயிர் B மற்றும் பயிர் C சிறந்த பயிர் ஆகும்.

மதிப்பீட்டு பண்பளவையின் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு, மதிப்பீட்டு அளவை (Estimate) எனப்படும். மாறாக, கண்டறிந்த புள்ளியியல் அளவையின் மதிப்பே மதிப்பீட்டு அளவை ஆகும்.

புள்ளியியல் அனுமானத்திற்கான செயல்பாட்டில் (i) மதிப்பிடுதல் (ii) கருதுகோள் சோதனை எனும் இரண்டு முக்கிய பகுதிகள் உள்ளன

(–10,–4, 0) இன் மீப்பெரு மதிப்பு = 0. எனவே Z என்ற மாற்று நடவடிக்கையை வியாபாரி தேர்ந்தெடுப்பார் .

n வேலைகளை n இயந்திரங்களுக்கு ஒதுக்கீடு செய்வதாக கொள்வோம் (ஒரு இயந்திரத்திற்கு ஒரு வேலை) . C_ij என்பது i -வது வேலையை j -வது இயந்திரத்திற்கு ஒதுக்கீடு செய்ய ஆகும் செலவு என்க.

ஒதுக்கீடு கணக்கை நேரிய திட்டமிடல் கணக்காக கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{Z}=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \mathcal{C}_{i j} x_{i j} \)
\( \sum_{j=1}^n x_{i j}=a_i, \mathrm{i}=1,2, \ldots \ldots . n \)
\(\sum_{i=1}^n x_{i j}=b_j, \mathrm{j}=1,2, \ldots \ldots . n \) மற்றும் x_ij = 0 (அல்லது) 1 அனைத்து (i,j) என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கிணங்க.

\(\operatorname{Var}(a X+b) =a^2 \operatorname{Var}(X) \)
\(\operatorname{Var}(X) =5 \)
\(\therefore \operatorname{Var}(Y) =\operatorname{Var}(2 X+1) \)
\( =2^2 \operatorname{Var}(X)=4(5)=20\)

மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.

ஏற்புடையத் தீர்வுகள்:
கட்டுப்பாடுகளைப் பூர்த்தி செய்யக்கூடிய குறை குறியற்ற x_ij(i=1,2,..,m, j=1,2,…n) இன் மதிப்புகள் போக்குவரத்து கணக்குகளின் ஏற்புடையத் தீர்வுகளாகும். x_ij(i=1,2,..,m, j=1,2,…n) இன் மதிப்புகள் போக்குவரத்து கணக்குகளின் ஏற்புடையத் தீர்வுகளாகும்.
சிதைவற்ற அடிப்படை ஏற்புடையத் தீர்வு:
சிதைவற்ற அடிப்படை தீர்வு என்பது போக்குவரத்து கணக்கின் ஏற்புடையத் தீர்வில் சரியாக m+n-1 ஒதுக்கீடுகள் ஒன்றை ஒன்று சாரா நிலையில் அமைந்ததாகும். இங்கு m, n என்பது முறையே நிரை மற்றும் நிரலைக் குறிக்கிறது.

\(\mathrm{Z}=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \mathcal{C}_{i j} x_{i j}\) என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கிணங்க என்ற குறிக்கோள் சார்பின் சிறுமம் காணுதல்.
\( \sum_{j=1}^n x_{i j}=a_i, \mathrm{i}=1,2, \ldots \ldots . m \)  (அளிப்பு கட்டுப்பாடுகள்)
\( \sum_{i=1}^m x_{i j}=b_j, \mathrm{j}=1,2, \ldots \ldots . n \) (தேவை கட்டுப்பாடுகள்)
\(x_{i j} \geq 0 \text { for all } i, j \)  (குறை குறியற்ற நிபந்தனைகள்)
இங்கு C_ij என்பது ஒரு அலகு பொருளை ஆதி i யிலிருந்து சேருமிடம் j வுக்கு கொண்டு செல்ல ஆகும் போக்குவரத்து செலவு cij என்க மற்றும் இதனுடைய எல்லா சேர்வுகள் (i,j) எனத் தெரியும். ஆதி i யிலிருந்து சேருமிடம் j க்கு கொண்டு செல்லும் பொருள்களின் அளவு x_ij ஆகும்.

மொத்த போக்குவரத்துச் செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒவ்வொரு ஆதியிலிருந்து ஒவ்வொரு சேரும் இடத்திற்கு அனுப்பக் கூடிய பொருள்களின் அளவை தீர்மானிப்பது போக்குவரத்து கணக்காகும்.

ஒரு தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு p(x) எனில் அதன் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு 
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum_x x p(x) \)
தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X - இன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு p(x) எனில்
\(\operatorname{Var}(\mathrm{X})=\Sigma[x-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 \mathrm{p}(x)\)

[X - E(X)]² இன்‌ எதிர்பார்க்கும்‌ மதிப்பானது சமவாய்ப்பு மாறியின்‌ மாறுபாட்டு அளவை என்று அழைக்கப்படுகிறது. 
\(\operatorname{Var}(X)=E[X-E(X)]^2=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2\)
இங்கு E(X)²

1. கடந்த கால நடவடிக்கைகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு.
2. எதிர்கால அம்சங்களை கணிப்பதற்கும் மற்றும் திட்டமிடுவதற்கும் உதவுகிறது.
3. நிகழ்கால செயல்பாடுகளை மதிப்பீடு செய்வதற்கு.
4. காலம்சார் தொடரானது ஒரு குறிப்பிட்ட கால வரைவுகளை மற்ற கால வரைவுகளுடன் ஒப்பிட்டு ஆய்வுகள் செய்ய உதவுகிறது.

அளவிடக் கூடிய புள்ளி விவரங்களை அதன் நிகழ்வுகளின்படி வரிசைப்படுத்துவதின் முடிவில் கிடைக்கக்கூடிய தொடரானது காலம்சார் தொடர் வரிசை ஆகும்.

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறி ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றி அதனுடைய பண்பளவைகளான n மற்றும் p ஆகியவை குறையற்ற மதிப்பினைக் கொண்டிருப்பின், அதன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு 
P (X = x) = p(x)

கூறின் அளவு =400
சைவ உணவு உண்பவர்களின் எண்ணிக்கை =230
\(P =\frac{230}{400}=0.575\)
Q =1-P =1-0.575=0.425
\(\mathrm{S} . \mathrm{E}=\sqrt{\frac{P Q}{n}}=\sqrt{\frac{(0.575)(0.425)}{400}}=0.025\)

(i) படுகை கூறெடுப்பில், கூறுகளின் எண்ணிக்கை சிறிய அளவுள்ளதாக இருப்பினும் அதன் துல்லியத்தன்மை குறைவதில்லை .
(ii) முழுமைத்தொகுதி பகுக்கப்பட்டிருந்தால் எளிதில் நிர்வகிக்க முடியும்.
(iii) அரசானது புவியியல் அடிப்படையில் நிலப்பகுதிகளை இடம் மற்றும் பரப்பளவைப் பொறுத்து படுகைகளாக பிரித்துள்ளதால் நேரம் மற்றும் செலவைக் குறைக்க முடிகிறது.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியாகும்‌.
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்‌.

பரவற்படி \(\sigma\)² =4, \(\sigma\)=2 n =1 மணிநேரம் = 60 நிமிடங்கள், \(\bar { X } \) =20/நிமிடம் 
திட்டப்பிழை \(=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 60 } } =0.2582\)

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \) R₂ → R₂ -3R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A) = 2

\(\frac{1+x^2}{1+y}=x y \frac{d y}{d x}\)
\( \int \frac{\left(1+x^2\right) \mathrm{dx}}{x}=\int(1+y) y d y \)
\( \int \frac{d x}{x}+\int \frac{x^2 d x}{x}=\int\left(y+y^2\right) d y\)
\( \log x+\int x d x=\int\left(y+y^2\right) d y \)
\( \log x+\frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}+c \)

\(\frac { { d }^{ 3 }y }{ dx^{ 3 } } +3\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }+2\frac { dy }{ dx } =0\)
வரிசை = 3 படி = 1

\( x_0=0, x_1=1, x_2=3, x_3=4 .\)
\( y_0=-12, y_1=0, y_2=6, y_3=12 \text {. } \)
\( \mathrm{y}=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\( =\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(-1)(-3)(-4)}(-12)  +\frac{(x-0)(x-3)(x-4)}{(1)(-2)(-3)}(0)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(3)(2)(-1)}(6)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(4)(3)(1)}(12) \)
\( y=(x-1)\left(x^2-7 x+12\right)-(x)\left(x^2-5 x+4\right)+x(x^2 -4 x+3) \)
\(=x^3-7 x^2+12 x-x^2+7 x-12-x^3+5 x^2-4 x  +x^3-4 x^2+3 x \)
\( =x^3-7 x^2+18 x-12 \)

நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் f(x) ஒரு மூன்றாம் படி பல்லுறுப்புக் கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம்.
\(\Delta^4 y_0 =0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4 \mathrm{y}_3+6 \mathrm{y}_2-4 \mathrm{y}_1+\mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4(18)+6 \mathrm{y}_2-4(11)+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-72+6 \mathrm{y}_2-44+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_2 =109 \) ...(1)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\mathrm{y}_5-4 \mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_3-4 \mathrm{y}_2+\mathrm{y}_1 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+6(18)-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+108-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(4 \mathrm{y}_2+4 \mathrm{y}_4 =151 \) ...(2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க 
y₂ = 14.25, y₄ = 23.5

x₀=3, x₁ = 7, x₂ = 11, x₃ = 19, x = 15
y₀ = 42, y₁ = 43, y₂ = 47, y₃ = 60
\(y= \frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\(= \frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)}(42)+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)}(43) +\frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)}(47)+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)}(60)\)
\(= \frac{42}{4}-43+\frac{47(3)}{2}+15 = 10.5-43+70.5+15=53 \)

(9D²-12D+4)y=0
துணைச் சமன்பாடு:
(3m-2)²=0
(3m-2)(3m-2)=0 ⇒ m=\(\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 2 }{ 3 } \)
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிரப்புச் சார்பு: C.F=(Ax+B)e^2/3x
பொதுத் தீர்வு: y=(Ax+B)e^2/3x

(x²+x+1)dx+(y²-y+3)dy=0
இது, f(x)dx+g(y)dy=0 என்ற வடிவில் உள்ளது.
தொகையிட நாம் பெறுவது,
\(\int { ({ x }^{ 2 }+x+1) } dx+\int { ({ y }^{ 2 }-y+3) } dy\)=c
\(\left( \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) +\left( \frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +3y \right) \)=c

(i) y=mx+c        .....(1)
m மட்டுமே மாறத்தக்க மாறிலி என்பதால், ஒருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m        .....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து m-ஐ நீக்குவதால் கிடைக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
y =x\(\frac { dy }{ dx } \)+c
x\(\frac { dy }{ dx } \)-y+c=0 இதுவே தேவையான முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு.

(ii) c மாறத்தக்க மாறிலி
சமன்பாடு (1) -ஐ வகைப்படுத்த கிடைப்பது \(\frac { dy }{ dx } \)=m
இந்த சமன்பாட்டில் c நீக்கப்பட்டிருப்பதால், தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } \)=m ஆகும்.

(iii) இங்கு m,c ஆகிய இரண்டுமே மாறத்தக்க மாறிலிகள் என்பதால், சமன்பாடு (1) -ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0
இந்த சமன்பாட்டில் m, c இரண்டுமே நீக்கப்பட்டிருப்பதால் தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0 ஆகும்.

\( \mathrm{p}=7+x, x=5 \)
\( \mathrm{p}=7+5=12\)
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{d} x \)
\(=60-\int_0^5(7+x) \mathrm{d} x \)
\(=60-\left[7 x+\frac{x^2}{2}\right]_0^5=60-\left(35+\frac{25}{2}\right) \)
\(=25-\frac{25}{2}=\frac{25}{2} \)
P.S=\(\frac{25}{2}\) அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்டவை: y=36-x² மற்றும் y₀=11
11=36-x₀²
x₀²=25
x₀=5

=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ (36-x^{ 2 }) } dx-5\times 11\)
=\(\left[ 36x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 5 }-55\)
=\(\left[ 36(5)-\frac { { 5 }^{ 3 } }{ 3 } \right] -55\)
=\(180-\frac { 125 }{ 3 } -55=\frac { 250 }{ 3 }\)
நுகர்வோர் உபரி =\(\frac { 250 }{ 3 } \) அலகுகள்.

\(I=\int { \cfrac { dx }{ 2-3x-{ 2x }^{ 2 } } } \)= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } x-1 } } \)
\(=-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-1-\frac { 9 }{ 16 } } } \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25 }{ 16 } } } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } } } \)
= \(\left[ \because \int { \cfrac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2a } log\left( \cfrac { a+x }{ a-x } \right) } +c \right] \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 2\times \frac { 5 }{ 4 } } log\left[ \cfrac { \frac { 5 }{ 4 } +x+\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { 5 }{ 4 } -x\frac { 3 }{ 4 } } - \right] \right] +c\)

= \(\cfrac { 1 }{ 5 } log\left[ \cfrac { 2+x }{ 1-2x } \right] +c\)

\(\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-x-2 } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ { \left( { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-2-\frac { 1 }{ 4 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ { \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } +c } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } \log { \left| \frac { x-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } }{ x-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| \frac { x-2 }{ x+1 } \right| } +c\)

\(\int \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } dx\)

\(x^{ 3 }=(x+2)\left( x^{ 2 }-2x+4 \right) -8\)
\(\int \frac { x^{ 3 } }{ x+2 } dx=\int \left( x^{ 2 }-2x+4 \right) dx-8\int \frac { dx }{ x+2 }\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +4x-8\log |x+2|+c\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -x^{ 2 }+4x-8\log |x+2|+c\)

\(\int { \frac { dx }{ { \left( 2x+3 \right) }^{ 2 } } } \) =\(\int { { \left( 2x+3 \right) }^{ -2 }dx } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2\left( 2x+3 \right) } +c\)

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1