\(\begin{equation} \frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c \end{equation}\) என்க .
ஃ2a + 3b + 4c = 14 .....(1)
3a - 2b +c= 3 .......(2)
a +b+c=5  .........(3)
ஃ\(​​\Delta =\left| \begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| \) = 8
\(​​\Delta _{ a }=\left| \begin{array}{lll} 14 & \quad 3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 5 & \quad 1 & 1 \end{array} \right| \)= 16
\(​​​​\Delta _{ b }=\left| \begin{array}{lll} 2 & 14 & \quad 4 \\ 3 & \quad 3 & \quad 1 \\ 1 & \quad 5 & \quad 1 \end{array} \right| \) = 16
\(\Delta _{ c }=\left| \begin{array}{lll} 2 & \quad 3 & \quad 4 \\ 3 & \quad -2 & \quad 3 \\ 1 & \quad 1 & \quad 5 \end{array} \right| \) = 16
கிரேமரின் விதிப்படி,
\(a=\frac { \Delta _{ a } }{ \Delta } =\frac { 16 }{ 8 } =2 \therefore x=\frac { 1 }{ 2 } \)   
\(b=\frac { \Delta _{ b } }{ \Delta } =\frac { 16 }{ 8 } =2 \ \therefore \ y=\frac { 1 }{ 2 } \)  
\(c=\frac { \Delta _{ c } }{ \Delta } =\frac { 8 }{ 8 } =1 \therefore z=1\)     
 தீர்வு (x, y, z) =(\(\frac { 1 }{ 2 } \),\(\frac { 1 }{ 2 } \),1)

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி
\(T=\underset { L }{ M } \left( \begin{matrix} 0.85 & 0.15 \\ 0.30 & 0.70 \end{matrix} \right) \)
(i) ஓராண்டிற்கு பிறகு
(М   L) T = (0.60 0.40) \(\left( \begin{matrix} 0.85 & 0.15 \\ 0.30 & 0.70 \end{matrix} \right) \)
= (0.51 + 0.12   0.09 + 0.28)
= (0.63   0.37)
ஃ  M = 0.63 = 63 %
L = 0. 37 = 37 %
ii) காலப்போக்கில் சமநிலை எட்டப்படும்போது
(М    L)T  =  (M L)
(М    L) \(\left( \begin{matrix} 0.85 & 0.15 \\ 0.30 & 0.70 \end{matrix} \right) \)=(M    L)
0.85M + 0.30L = M
0.85M + 0.30(1-M) = M
0.85M + 0.30 - 0.30M = M
0.30 = M - 0.55M
0,30 = 0.45M
M= \(\frac { 0.30 }{ 0.45 } \)= 0.6667
M= 66.67%
காலப்போக்கில் 66.67% பயணிகள் மெட்ரோ ரயில் போக்குவரத்து வசதியை பயன்படுத்துவர்.

\(​​\Delta =\left| \begin{array}{lll} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array} \right| \)
= 2(-3 + 2) - 2(-3 + 3) - 1(2 - 3)
= -2 + 0 + 1 = -1\(\neq \) 0
∴கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம்.
\(\Delta _{ x }=\left| \begin{array}{lll} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \end{array} \right| \)
= 1(-3 + 2) - 2(0-+1)- 1(0- 1)
= -1-2+1=-2
\(\Delta _{ y }=\left| \begin{array}{lll} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -3 \end{array} \right| \)
= 2 (0 + 1)-1 (-3 + 3)-1 (1-0)
= 2 + 0 -1 = 1
\(\Delta _{ z }=\left| \begin{array}{lll} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right| \)
= 2 (1 -0)-2 (1- 0)-1 (2-3)
= 2-2-1 =-1
\(x=\frac { \Delta _{ x } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ -1 } =2,\)
\(y=\frac { \Delta _{ y } }{ \Delta } =\frac { 1 }{ -1 } =-1\)
\(z=\frac { \Delta _{ z } }{ \Delta } =\frac { -1 }{ -1 } =1\)
x =2 ,y =-1 ,z =1

அணிச் சமன்பாடு
\(\left(\begin{array}{lll} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
(A ,B ) = \(\left( \begin{array}{llll} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \end{array} \right) \)
\(\sim \left( \begin{array}{llll} 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ k & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) R_{ 1 }\leftrightarrow R{ 3 }\)
\(\sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & k & 1 \\ 0 & k-1 & 1-k & 0 \\ 0 & 1-k & 1-k^{ 2 } & 1-k \end{array} \right) \quad R_{ 2 }\rightarrow R_{ 2 }-R_{ 1 }\)
                                                       \(R_{ 3 }\rightarrow R_{ 3 }-kR_{ 1 }\)
~\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & k & 1 \\ 0 & k-1 & 1-k & 0 \\ 0 & 0 & 2-k-k^{ 2 } & 1-k \end{array} \right) \quad \)\(R_{ 3 }\rightarrow R_{ 3 }+ R_{ 2 }\)
= \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & k & 1 \\ 0 & k-1 & 1-k & 0 \\ 0 & 0 & (k +2)(1-k )& 1-k \end{array} \right) \quad \)
நிலை (i ): k \(\neq \) 1 எனில்
\(\rho \)(A. B) = \(\rho \)(A) = 3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை)
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வினைக் கொண்டது .
நிலை (ii ): k = 1 எனில் 
\(\rho \)(A. B) = \(\rho \)(A) = 3 ( 1 <3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை)
எனவே, சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது
நிலை  (iii): k =-2 எனில்
\(\rho \)(A, B) = 3, \(\rho \)(A) = 2
\(\rho \)(A,B) \(\neq \) \(\rho \) (A)
எனவே, சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமை அற்றது மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது.

\(P(0 \leq X \leq 10) \)
\( =P(X=0)+P(X=10) \)
\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf\left( x \right) } dx\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x4{ x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(E(X)=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }{ 4x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 6 } }{ 6 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(\frac { 4 }{ 6 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) ^{ 2 } \right] \)
= \(\cfrac { 2 }{ 3 } -\left[ \cfrac { 4 }{ 5 } \right] ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 2 }{ 75 } \)

மின்விளக்குகள் எரியும் நேரத்தைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X என்க
\(\mu=2040, \sigma=60\)
(i) 2150 மணி நேரத்திற்கு மேலாக
\(Z =\frac{X-\mu}{\sigma} =\frac{2150-2040}{60}=\frac{110}{60}=1.83 \)

\(P(X>2150) =P(Z>1.833) \)
= 0.5-P (0
= 0.5 - 0.4664 = 0.0336
2150 மணி நேரத்திற்கு மேலாக ஒளிரும் மின்விளக்குகளின் எண்ணிக்கை = 0.0336 x 2000 = 67
(ii) 1,950 மணி நேரத்திற்கும் குறைவாக
Z = 1950-2040/60 =-1.5


P (X < 1950) = P (Z <- 1.5)
= 0.5 - P (-1.5 = 0.5 - 0.4332 = 0.0668
1950 மணி நேரத்திற்கும் குறைவாக ஒளிரும் மின்விளக்குகளின் எண்ணிக்கை
= 0.0668 × 2000
= 133.6 - 134
(iii) 1920 மற்றும் 2100 மணி நேரத்திற்கும் இடையே
\( Z=\frac{1920-2040}{60}=-2 \)
\( Z=\frac{2100-2040}{60}=1 \)

P (1920X<2100)=P(-2<Z < 1)
= P(-2<Z < 0) + P (0<2< 1)
= 0.4772 + 0.3413 =0.8185
1920 மற்றும் 2100 மணி நேரத்திற்கும் இடைப்பட்ட நேரத்தில் ஒளிரும் மின்விளக்குகளின் எண்ணிக்கை
= 0.8185 × 2000 = 1637

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:

 

ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

படி 2: ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த நேரம்

கூறு அளவு n = 50 ஊழியர்கள்
மொத்த ஊதியம்  Σx=2250
கூறு சராசரி   
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ=52
முழுமைத் தொகுதி மாறுபாட்டளவை σ²=25
முழுமைத் தொகுதி திட்ட விலக்கம் SD =σ=25
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ=52
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ≠52 (இரு முனை)
மிகைகாண் நிலை  α =0.01
கூறுபண்பளவை சோதனை \(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 51-52 }{ \frac { 5 }{ \sqrt { 50 } } } =\frac { -1 }{ 0.7071 } =-1.4142\)
மாற்று கருதுகோள் இருமுனை சோதனையாகும், எனவே |Z|= 1.4142 எனப் பெறுகிறோம்.
தீர்மான மதிப்பு 1% மிகைகாண் நிலையில் \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பைவிட குறைவாக உள்ளது Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\), 1% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறு சராசரிக்கும் தொகுதி சராசரி μ= 52, திட்ட விலக்கம் σ = 5 -க்கும் குறிப்பிடத்தக்க வித்தியாசம் இல்லை என்பதால் m = 49 என்பது நிராகரிக்கப்படுகிறது.

p = வாடிக்கையாளர் ஒருவர் ஒரு வருடத்தில் விபத்துக்குள்ளாவதற்கான நிகழ்தகவு
= 0.1/100 = 1/1000
இங்கு n = 10,000
ஆகையால், λ=np =10000\(\left( \frac { 1 }{ 1000 } \right) \)=10
5-க்கு மிகாமல் வாடிக்கையாளர்கள் விபத்துக்குள்ளாவதற்கான நிகழ்தகவு
P(x≤5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=e^-10\(\left[ 1+\frac { 10 }{ 1! } +\frac { { 1 }0^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { 10 }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { 10 }^{ 4 } }{ 4! } +\frac { 10^{ 5 } }{ 5! } \right] \)
=0.06651

எளிய சராசரியின் மூலம் பருவகால குறியீட்டை கணக்கிடுதல்
மாதங்கள் ஜன பிப் மார்ச் ஏப் மே ஜூன் ஜூலை ஆகஸ்ட் செப் அக் நவம் டிசம் ஆண்டு 2001 15 41 25 31 29 47 41 19 35 38 40 30 2002 20 21 27 19 17 25 29 31 35 39 30 44 2003 18 16 20 28 24 25 30 34 30 38 37 39 மாதாந்திர
 மொத்தம் 53 78 72 78 70 97 100 84 100 115 107 113 மாதாந்திர
சராசரி 17.67 26 24 26 23.33 32.33 33.33 28 33.33 38.33 35.67 37.67
மொத்த சராசரி = \(\frac { 355.66 }{ 12 } \) = 29.64
பருவகால குறியீடு (ஜனவரி) = \(\frac { 17.67 }{ 29.64 } \times 100\) = 59.62;
பருவகால குறியீடு (பிப்ரவரி) = \(\frac { 26 }{ 29.64 } \times 100\) = 87.72;
இதேபோல் மற்ற பருவகாலக் குறியீட்டு மதிப்புகள் பெற முடியும்.
மாதங்கள் ஜன பிப் மார்ச் ஏப் மே ஜூன் ஜூலை ஆகஸ்ட் செப் அக் நவம் டிசம் பருவகால
குறியீட்டு 59.62 87.72 80.97 87.72 78.71 109.08 112.45 94.47 112.45 129.32 120.34 127.09

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\sum_{i=0}^{7} p\left(x_i\right) =1 \)
⇒ 0+k+2k+2k+3k+k²+2k²+7k²+k = 1
⇒ 10k²+9k = 1
⇒10k²+9k-1 = 0
(k+1)(10k-1) = 0 ⇒k = -1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
\([\because p(x_i) \ge 0 ]\)
ii) \(P(X<6) =1-P(X \geq 6) \)
\( =1-[P(X=6)+P(X=7)] \)
\( =1-\left(2 k^2+7 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(9 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(\frac{9}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{9}{100}-\frac{1}{10} \)
\( =\frac{100-9-10}{100}=\frac{81}{100} \)
\(P(X \geq 6)=P(X=6)+P(X=7) \)
\( =2 k^2+7 k^2+k=9 k^2+k \)
\( =\frac{9}{100}+\frac{1}{10}=\frac{9+10}{100}=\frac{19}{100} \)
P(0X<5) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)
= k+2k+2k+3k
\(8k=\left( \frac { 8 }{ 10 } \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
iii) சோதனை மற்றும் பிழை முறைப்படி x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 
\( P(X \leq 0)=0<\frac{1}{2} ; P(X \leq 1)=\frac{1}{10}<\frac{1}{2} \)
\(P(X \leq 2)=\frac{3}{10}<\frac{1}{2} ; P(X \leq 3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(P(X\le 4 ) =\frac { 8 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore P(X\le x )\frac { 1 }{ 2 } \) - க்கான x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும் 

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
\(\int _{ 0 }^{ 10 }{ Axdx+\int _{ 10 }^{ 20 }{ A(20-x)dx=1 } } \)
\(A\left\{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }+\left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 } \right\} =1\)
A[(50−0)+(400−200)−(200 − 50)]=1
\(A=\cfrac { 1 }{ 100 } \)
(b) (i) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
\(P\left( 10\le X\le 20 \right) =\int _{ 10 }^{ 20 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \left( 400-200 \right) -\left( 200-50 \right) \right] \)
= 0.5
(ii)  மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 0\le X<10 \right) =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ { \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 10 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left( 50-0 \right) \)
= 0.5
(iii) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 5 மற்றும் 15 பவுண்டுகளுக்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 5\le X\le 15 \right) =\int _{ 5 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } +\int _{ 10 }^{ 15 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 5 }^{ 10 }+\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 15 }\)
= 0.75

வயது = x , காப்பீட்டுத்தொகை = y என்க.
இங்கு, நியூட்டனின் பின்நோக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி y-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.
y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)
x=63, ∴ x_n+nh=63, x_n=68.48, h=5 ⇒ -\(\frac{2}{5}\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
45	114.84
		-18.68
50	96.16		5.84
		-12.84		-1.84
55	83.32		4		0.68
		-8.84		-1.16
60	74.48		2.84
		-6
65	68.48

 y_(x=63)=68.48+\(\frac { \frac { -2 }{ 5 } }{ 1! } (-6)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) }{ 2! } 2.84+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) }{ 3! } (-1.16)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +3 \right) }{ 4! } (0.68)\)
=68.48+2.4-0.3408+0.07424-0.028288
y(63)=70.585

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 30 & 15.9 & & & & \\ \hline & & -1 & & & \\ \hline 35 & 14.9 & & 0.2 & & \\ \hline & & -0.8 & & -0.2 & \\ \hline 40 & 14.1 & & 0 & & 0.2 \\ \hline & & -0.8 & & 0 & \\ \hline 45 & 13.3 & & 0 & & \\ \hline & & -0.8 & & & \\ \hline 50 & 12.5 & & & & \\ \hline \end{array}\)
x = 32 எனும்போது நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
x₀ = 30 h = 5
∴ x₀ + nh = 32 ⇒ 30 + n(5) = 32 [∵ h = 5]
⇒ 5n = 2
⇒ n = 2/5 = 0.4
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(y= 15.9+0.4(-1)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(0.2) \)
=  15.9-0.4-0.024-0.0128-0.00832
\(=  15.45488 \approx 15.45\)

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

MC =6+10x-6x²
அதாவது, \(\frac { dC }{ dx } \) =6+10x-6x²
dC=(6+10x-6x²)dx
\(\int { dC } =\int { (6+10x-6x^{ 2 } } )dx+k\)
C=\(6x+10\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -6\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)
C=6x+5x²-2x³+k ....(1) 
கொடுக்கப்பட்டது : x = 2 எனில் C = 100
∴ (1) ⇒ 100 =12+5(4)-2(8)+k
⇒ k=84
∴ (1) ⇒ C(x)=6x+5x²-2x³+84
சராசரி செலவுச் சார்பு: AC=\(\frac { C }{ x } \)=6+5x-2x²+\(\frac { 84 }{ x } \)

\(\frac { { E }_{ y } }{ { E }_{ x } } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ x-2 } \)
\(\frac { dy }{ y } =\frac { x }{ x-2 } .\frac { dx }{ x } \)
\(\int { \frac { dy }{ y } } =\int { \frac { dx }{ x-2 } } \)
logy =log(x-2)+log k
y =k(x-2)
இங்கு x = 6, எனும்போது y = ⇒ 16=k(6-2)
k =4
y =4(x-2)

இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x
\(C(x) =\int(5+0.13 x) d x \)
\( =5 x+\frac{0.13 x^2}{2}+k_1\)
\( =5 x+0.065 x^2+\mathrm{k}_1\)
x  =0, C=120 எனில்,\(\mathrm{k}_1=120\)
செலவுச் சார்பு : \( C(x)=5 x+0.065 x^2+120 \)
\( R^{\prime}(\mathrm{x})=18 \)
வருவாய்ச் சார்பு : \( \mathrm{R}=\int 18 d x=18 x+\mathrm{k}_2 \)
x = 0, R = 0 எனில் 
\( \mathrm{k}_2=0 \)
\( \mathrm{R}=18 x \)
இலாபச் சார்பு : \(\text { P(x ) }=\mathrm{R}(x)-\mathrm{C}(x) \)
\(=18 x-5 x-0.065 x^2-120 \)
\(=13 x-0.065 x^2-120 \)

a = 1, b = 3
\(h=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 3-1 }{ n } =\cfrac { 2 }{ n } \) மற்றும்  f(x) = 2x + 3
\(\therefore f(a+rh)=f\left( 1+r+r.\cfrac { 2 }{ n } \right) =f\left( 1+\cfrac { 2r }{ n } \right) \)
= \(2+\cfrac { 4r }{ n } +3=5+\cfrac { 4r }{ n } \)
\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f\left( a+rh \right) } \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 3 }{ (2x+3) } dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 2 }{ n } } \left( 5+\frac { 4r }{ n } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { 10 }{ n } +\frac { 8r }{ { n }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( \frac { 10 }{ n } .\sum _{ r=1 }^{ n }{ .1+\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } \cdot \sum _{ r=1 }^{ n }{ \cdot r } } \right) \)

\(\left[ \because \Sigma 1=n\& \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\cfrac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } 10+\frac { 4 }{ n^ 2 } \left( n^2+ n \right) \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } [10+4+\frac { 4 }{ n } ] =14\)

u = (log x2)  வகையிட \(du=(2 \log x )(\frac { 1 }{ x } dx)\)

dv = dx. தொகையிட v = x

\(\int { { \left( \log x \right) }^{ 2 } } dx= \int { udv } \)
= uv − \(\int { } \)vdu
= x (log x)² − 2\(\int { } \) logxdx...(*)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2\int { udv } \)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2[uv-\int { udv } ]\)
\(=x(logx)^{ 2 }-2[xlogx-\int { dx] } \)
\(=x(logx)^{ 2 }-2xlogx+x+c\)
\(=x[(log{ ) }^{ 2 }-log{ x }^{ 2 }+2]+c\)

(*)-ல் உள்ள \(\int { logx } \)dx -க்கு
u = (log x)  வகையிட \(du=\frac { 1 }{ x } dx\)	dv = dx. தொகையிட v = x

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
                S     N 
T  =\(\underset { N }{ S } \begin{pmatrix} .6 & .4 \\ .25 & .75 \end{pmatrix}\\ \)
தொடக்க நிலை =(0.4 0.6)
(0.4 0.6) \(\begin{pmatrix} .6 & .4 \\ .25 & .75 \end{pmatrix}\) = (.24+.15 .16+0.45) =(.39  .61)
எனவே, தற்போதைய கடிதத்தைப் பெறுபவர்களில் 39% பேர்  சந்தாதாரர்களாவர் என எதிர்பார்க்கலாம்.

ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.y என்க.
ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு, கீழ்காணும் சமன்பாடுகளை பெறலாம்.
∴ 3x+2y+z=840
2x+y+z=570
x+y+2z=630
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-2≠0,
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 840 & 2 & 1 \\ 570 & 1 & 1 \\ 630 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-240
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 840 & 1 \\ 2 & 570 & 1 \\ 1 & 630 & 2 \end{matrix} \right| \)=-300
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 840 \\ 2 & 1 & 570 \\ 1 & 1 & 630 \end{matrix} \right| \)=-360
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -240 }{ -2 } \)=120
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -300 }{ -2 } \)=150
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -360 }{ -2 } \)=-180
∴ ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.120.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.150 மற்றும் ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.180.

x ,y ,z என்பன முறையே வகை I ,II மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் என்க.
எனவே , சமன்பாடுகள் 
x + 2y + 3z = 11
2x + 4y + 5z = 21
3x + 5y + 6z = 27
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
    = 1(24-25)-2(12-15)+3(10-12)
    = -1+6-6
    =-1\(\neq \)0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\(\Delta _{ x }=\begin{vmatrix} 11 & 2 & 3 \\ 21 & 4 & 5 \\ 27 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 11(24-25)-2(126-135) + 3(105-108)
       = -11+18-9 = -2
\(\Delta _{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 11 & 3 \\ 2 & 21 & 5 \\ 3 & 27 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 1(126 -135)-11(12-15)+3(54-63)
       = -9+33-27 =-3
\(\Delta _{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 4 & 21 \\ 3 & 5 & 27 \end{vmatrix}\)
       = 1(108 -105)-2(54-63)+11(10-12)
       = 3+18-22 =-1
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { -2 }{ -1 } =2\)
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { -3 }{ -1 } =3\)
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { -1 }{ -1 } =1\)
தரங்கள்  I,II,மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் முறையே 2,3 மற்றும் 1.