கொடுக்கப்பட்டது:
\(2+i\sqrt { 3 } \) என்பது \(\\ { x }^{ 4 }-4{ x }^{ 2 }+8x+35=0\) ன் ஒரு மூலம் கலப்பெண் மூலங்கள் சோடி மூலங்களாக அமையும் என்பதால் \(2-i\sqrt { 3 } \) என்பதும் சமன்பாட்டின் மற்றொரு மூலமாகும்.
\(\Rightarrow \left[ x-(2+i\sqrt { 3 } ) \right] \left[ x-(2-i\sqrt { 3 } ) \right] =\left( x-2 \right) ^{ 2 }+3\) 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+7\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு காரணி.
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்  கோவையை, இந்தக் காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணி \({ x }^{ 2 }+4x+5\) என்பது கிடைக்கும்.
\({ x }^{ 2 }+4x+5=0\) என்பதன் மூலங்கள் 
\(\cfrac { -4\pm \sqrt { 16-20 } }{ 2 } =-2\pm i\) 
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(2+i\sqrt { 3 } ,2-i \sqrt { 3 },-2+i\) மற்றும் -2 -i 

மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q மற்றும் ( p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

f(x,y) = tan^-1\(\left( \frac { x }{ y } \right) \) 
\(\cfrac { \partial f }{ \partial x } =\cfrac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }/{ y }^{ 2 } } \times \cfrac { 1 }{ y } \) 
\(\cfrac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }_{ t }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\cfrac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) \times -1x\times 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } =\cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2{ y }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
\(\cfrac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } =\cfrac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) \times 1+x\times 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { -{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+{ 2x }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\cfrac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) \times -1+x\times 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { { -x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+{ 2x }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \) 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சமபடித்தான சமன்பாடாகும் என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 3y }{ 2x } -\frac { x }{ 2y } \) என எழுதலாம்.
y = vx எனில், v + x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { 3v }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2v } \) அல்லது x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { { v }^{ 2 }-1 }{ 2v } \).
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத \(\frac { 2vdv }{ { v }^{ 2 }-1 } =\frac { dx }{ x } \) எனப் பெறுகிறோம்.
இருபுறமும் தொகையிட log, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =log\left| x \right| +log\left| c \right| ,\)
எனவே, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =\left| Cx \right| \) இங்கு C என்பது எதேச்சை மாறிலி v க்குப் பதிலாக \(\frac { y }{ x } \) எனப் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைப்பது
\(\left| \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -1 \right| =\left| Cx \right| .\) 
எனவே, \(\left| { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right| =\left| C{ x }^{ 3 } \right| \)
ஆகவே, \({ y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }=\pm C{ x }^{ 3 }\) (அல்லது) y² - x² = kx³
இதுவே கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வாகும்.

0.006 செ.மீ²

\(f(x)=\sqrt { x } -\cfrac { x }{ 3 } ,x\varepsilon \left[ 0,9 \right] \) 
\(f(0)=0,f(9)=\sqrt { 9 } -\cfrac { 9 }{ 3 } =3-3=0\) 
\(\Rightarrow f\left( 0 \right) =0=f(9)\) 
f(x) என்பது [0,9]ல் தொடர்ச்சியானது 
f(x) என்பது (0,9)ல் வகையிடத்தக்கது.
இப்போது \(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } -\cfrac { 1 }{ 3 } \) 
தொடுகோடு, x அச்சுக்கு இணை என்பதால்,
\(f'(x)=0\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } -\cfrac { 1 }{ 3 } =0\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 2\sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ 3 } \) 
\(\sqrt { x } =\cfrac { 3 }{ 2 } \) 
\(x=\cfrac { 9 }{ 4 } \) 
\(x=\cfrac { 9 }{ 4 } \in \left( 0,9 \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட 2b = 5 மற்றும் 2ae = 13
\({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \Rightarrow b=a\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } \) 
\(2b=5\Rightarrow 2a\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } =5\)
\(\Rightarrow\) 4a²(a²-1)25
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
\(\Rightarrow\) 4a²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) (2ae)²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) 13²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) 169 - 25 = 4a²
\(\Rightarrow\) a² = 36
\(\Rightarrow\) a = 6
\(\therefore 2b=5\Rightarrow b=\cfrac { 5 }{ 2 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { 25 }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 25 }{ 4 } } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\cfrac { 4y^{ 2 } }{ 25 } =1\)

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 6 & -2 & -3 \end{matrix} \right] \)என்க
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 3 }]=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\\ \overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 6R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 4R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 \\ -3 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
ஆகையால், A^-1\(\left[ \begin{matrix} -2 & -3 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ -2 & -4 & 1 \end{matrix} \right] \) என அறிவோம்.

LHS = \(\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \)
\(\frac { { a\omega }^{ 3 }+{ b\omega +c\omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a{ \omega }^{ 3 }+b\omega { (\omega ) }^{ 2 }+c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } [\because { \omega }^{ 2 }=1]\)

= \(\omega +{ \omega }^{ 2 }=-1\)  \([\because 1+\omega +{ \omega }^{ 2 }=0]\)

i) \({ \tan }^{ -1 }\left( -\sqrt { 3 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =-\frac { \pi }{ 3 } \), ஏனெனில் \(-\frac { \pi }{ 3 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
ii) \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) \)
tan \(\theta\) = tan \(\frac{3\pi}{5}\) எனுமாறு \(\theta \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) ஐ நாம் கண்டறிய வேண்டும்.
தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் \(\pi \) என்பதால், \( \tan \frac{3\pi}{5}=\tan(\frac{3\pi}{5}-\pi)=\tan(-\frac{2\pi}{5})\)
எனவே, \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { 2\pi }{ 5 } \right) \right) =-\frac { 2\pi }{ 5 } ,\) ஏனெனில் \(-\frac {2\pi }{ 5 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) .\)
iii) tan(tan^-1 x) = x, x ∈ R, என்பதால், tan(tan^-1(2019)) = 2019 ஆகும்.

\(\left| \vec { c } \right| =1\) மற்றும் \(\vec { c } \bot \vec { a } \)  மற்றும் \(\vec { b } \) 
மேலும் \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \)  க்கு இடையேயான கோணம்  \(\cfrac { \pi }{ 6 } \) கருதுக. 
\(\left[ \vec { a } \quad \vec { b } \vec { c } \right] =\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } \) 
[\(\therefore \) \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\cfrac { \pi }{ 6 } \) \(\vec { c } \bot \alpha \) மற்றும் b இரண்டும் ]
= \(\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| sin\cfrac { \pi }{ 6 } .\vec { c } .\vec { c } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| .\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
= \(\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| .\cfrac { 1 }{ 2 } \)  \(\left[ \because \vec { c } .\vec { c } \right] \)
\(\therefore \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] ^{ 2 }=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| .\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\)

கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக்கொள்ள கட்டுப்பாடு 
\(\left[ \begin{matrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { l }_{ 1 } & { m }_{ 1 } & { n }_{ 1 } \\ { l }_{ 2 } & { m }_{ 2 } & { n }_{ 2 } \end{matrix} \right] =0\) 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { 1 }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { n }_{ 1 } } \) மற்றும் 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 2 } }{ { l }_{ 2 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 2 } }{ { m }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } \) உடன் ஒப்பிடக் கிடைப்பது 
\(\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 } \right) =\left( 1,1,-1 \right) ;\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 },{ z }_{ 2 } \right) =\left( 4,0,-1 \right) \) 
\(\left( { l }_{ 1 },{ m }_{ 1 },{ n }_{ 1 } \right) =\left( 3,-1,0 \right) ;\left( { l }_{ 2 },{ m }_{ 2 },{ n }_{ 2 } \right) =\left( 2,0,3 \right) \) 
அணிக்கோவை 
\(\left| \begin{matrix} 3 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =0\) 
\(\vec { u } \) மற்றும் \(\vec { v } \) என்பன இணையல்ல என்பதைக் கவனிக்க.
ஃ கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்கின்றன.
வெட்டும் புள்ளி 
 \(\cfrac { x-1 }{ 3 } =\cfrac { y-1 }{ -1 } =\cfrac { z+1 }{ 0 } =\lambda \) என்க 
ஃ கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி 
 \(\left( 3\lambda +1,-\lambda +1,-1 \right) \) என்க 
\(\cfrac { x-4 }{ 2 } =\cfrac { y }{ 0 } =\cfrac { z+1 }{ 3 } =\mu \) என்க 
கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி 
\(\left( 2\mu +4,0,3\mu -1 \right) \) என்க.
\(\lambda ,\mu \) ன் மதிப்புகளுக்கு கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்வதால் 
\(\left( 3\lambda +1,-\lambda +1,-1 \right) =\left( 2\mu +4,0,3\mu -1 \right) \Rightarrow \lambda =1\) மற்றும் \(\mu =0\) 
வெட்டும் புள்ளி காண \(\lambda =1\) அல்லது \(\mu =0\) 
ஃ வெட்டும் புள்ளி (4, 0, -1) 

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \) என்க.
இது வரிசை 2 உடைய அணியாகும்.
இது வரிசை 2 உடைய அணியாகும்.
A என்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.
சிற்றணிக்கோவை=\(\left| \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right| =4-4=0\) 
வரிசை 2 உடைய சிற்றணிக்கோவையின் மதிப்பு என்பதால் 
\(\rho (A)\neq 2\) 
வரிசை 1 உடைய சிற்றணிக்கோவை என்பது பூஜ்யமற்ற உறுப்பு ஆகும்.
\(\therefore \rho (A)=1\)

p மற்றும் q சம்பந்தப்பட்ட நான்கு விதமான நிபந்தனைக் கூற்றுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன
(i). p → q: (நிபந்தனைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது எனில் பின்னர் ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது”.
(ii). q → p: (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது”
(iii). ¬ p → ¬q (எதிர்மறைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல எனில், ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை”.
(iv). ¬ q → ¬p (நேர்மாறுக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை எனில், பின்னர் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல”.

(1) ¬p : குளிராக இல்லை
(2) p ∧ q : குளிராக இருக்கிறது மற்றும் மழை பெய்கிறது
(3) p ∨ q : குளிராக இருக்கிறது அல்லது மழை பெய்கிறது
(4) q ∨ ¬p : மழை பெய்கிறது அல்லது குளிராக இல்லை
¬p என்ற கூற்றில் ஒரே ஒரு தனிக்கூற்று p மட்டும் உள்ளதால் அதற்குரிய மெய்மை அட்டவணையில் 2 = (2²) நிரைகள் இருக்கும். p ∧ q மற்றும் p ∨ q என்கிற கூட்டுக் கூற்றுகள், p மற்றும் q ஆகிய இரண்டு தனிக் கூற்றுகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே அவைகளுக்குரிய மெய்மை அட்டவணைகளில் 4 = (2²) நிரைகள் இருக்கும். எனவே, இதேபோல ஒரு கூட்டுக் கூற்றில் n வெவ்வேறான உள் கூற்றுகள் இடம்பெறின் மெய்மை அட்டவணையானது 2ⁿ நிரைகளைக் கொண்டிருக்கும்.

x=-3 எனும்போது சார்பு வரையறுக்கப்படாததாகிறது.
\(\therefore x=-3\) என்பது நிலைக்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடு.
வளைவரைக்கு கிடைமட்டத் தொலைத்தொடுகோடு கிடையாது.
சாய்ந்த தொலை தொடுகோட்டை,பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் நீண்ட வகுத்தல் மூலம் காணலாம்.

\(\therefore\) y = x - 9 என்பது சாய்ந்த தொலைத் தொடுகோடாகும்.

\(dy=\cfrac { \left( 3-4x \right) \left( 3\left( 1-2x \right) ^{ 2 }\times -2 \right) -\left( 1-2x \right) ^{ 3 }\times \left( -4 \right) }{ \left( 3-4x \right) ^{ 2 } } \) 

= \(\cfrac { \left( 1-2x \right) ^{ 2 }\left( -18+24x+4-8x \right) }{ \left( 3-4x \right) ^{ 2 } } dx\)  
= \(\cfrac { \left( 1-2x \right) ^{ 2 }\left( 16x-14 \right) }{ \left( 3-4x \right) ^{ 2 } } dx\) 
= \(\cfrac { 2\left( 1-2x \right) ^{ 2 }\left( 8x-7 \right) }{ \left( 3-4x \right) ^{ 2 } } dx\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +5\frac { { d }y }{ { d }x } +\int { ydx } ={ x }^{ 3 }\) 
x-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { d^{ 2 }y }{ { dx }^{ 3 } } +5\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y={ 3x }^{ 2 }\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 3 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 1.
ஃ வரிசை = 3 மற்றும் படி = 1.  

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

கொடுக்கப்பட்ட cot^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) =0\Rightarrow cot\theta =\frac { 1 }{ 7 } \)
⇒ tan θ = 7
⇒ \(sec\theta =\sqrt { 1+{ tan }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1+{ 7 }^{ 2 } } =\sqrt { 50 } =5\sqrt { 2 } \)
⇒ \(cos\theta =\frac { 1 }{ 5\sqrt { 2 } } \)

z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar { z } \) = x - iy
z  + \(\bar { z } \) = x + iy + x - iy = 2x
\(\therefore \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =x\)
\( \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =Re(z)\)
மேலும் z- z = x + iy-(x-iy)
= x + iy - x + iy = 2iy
\(\frac { z-\bar { z } }{ 2i } =y\)
\(\therefore \frac { z-\bar { z } }{ 2i } =Im(z)\)

A = 11, C = -25, D = -44, E = 50 மற்றும் F = -256
இங்கு \(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும்.
y = cos^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகம் [0, \(\pi\)]என நாம் அறிவோம். எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) எனும்படி y மதிப்பு [0, \(\pi\)]-ல் காண வேண்டும். ஆனால், cos \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\) மற்றும் \( \frac{\pi}{6}\in[0,\pi]\) என்பதால் y = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகும். எனவே cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{6}\)ஆகும்.

\(\vec { a } =\hat { i } +\hat { j } -\hat { k, } \vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } ,\vec { c } =\hat { j } -\hat { k } \) 
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -3 \right) -\hat { j } \left( -2 \right) +\hat { k } \left( 2 \right) \) 
\(\vec { b } \times \vec { c } =-3\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \) 
\(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 1 & 1 \\ -3 & 2 & 2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( 2+2 \right) -\hat { j } \left( 2-3 \right) +\hat { k } \left( 2+3 \right) \) 
=  \(4\hat { i } +\hat { j } +5\hat { k } \) 
\(\vec { a } .\vec { c } =\left( \hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \right) .\left( \hat { j } -\hat { k } \right) \) 
= 0 + 1 + 1 = 2
\(\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } =4\hat { i } +6\hat { j } \) 
= \(\vec { a } .\vec { b } =\left( \hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \right) .\left( 2\hat { i } +3\hat { j } \right) \) 
= 2 + 3 + 0
\(\vec { a } .\vec { b } =5\) 
\(\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \vec { c } =5\hat { j } -5\hat { k } \) 
\(\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \vec { c } )=\left( 4\hat { i } +6\hat { j } \right) -\left( 5\hat { j } -5\hat { k } \right) \) 
= \(4\hat { j } +\hat { j } +5\hat { k } \)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \vec { c } \)

2a=26
a=13 மீ 
b=5 மீ 
c²=a²-b²
c²=13²-5²
= 169-25
c²=144
\(c=\pm 12\) 
இரண்டு நபர்கள் நெட்டச்சின் மையத்திலிருந்து இருபுறமும் 12 மீ தொலைவில் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டது:\(f(x)={ x }^{ 3 }-7{ x }^{ 2 }+0x+36\) 
\(\alpha ,\beta \) மற்றும் \(\gamma \) என்பன முப்படிச் சார்பு f(x)ன் மூலங்கள் என்க.
\(\alpha +\beta +\gamma =-\cfrac { b }{ a } =7\) 
\(\alpha \beta +\gamma \beta +\alpha \gamma =\cfrac { c }{ a } =0\) 
\(\alpha \beta \gamma =-\cfrac { d }{ a } =-36\) 
கொடுக்கப்பட்டது:\(\alpha =2\beta \) என்பதால் 
(1) லிருந்து \(3\beta +\gamma =7\) 
மேலும்,\({ 2\beta }^{ 2 }+3\beta \gamma =0\)  [(2) லிருந்து]
\(\beta \left( 2\beta +3\gamma \right) =0\) 
\(\beta \neq 0\) என்பதால்,\(2\beta +3\gamma =0\) 
மற்றும்,\({ 2\beta }^{ 2 }\gamma =-36\) [(3) லிருந்து]
(4), (5) ஆகிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது \(\beta =3\) மற்றும் \(\gamma =-2\) 
எனவே, \({ x }^{ 3 }+36={ 7x }^{ 2 }\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் 3,6 மற்றும் -2.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது y = f (x) = (x - 3)(x + 2) .

(1) சார்பு f (x) -ன் சார்பகம் முழு மெய் எண் கோடாகும்.
(2) y = 0 எனப் பிரதியிட, x =-2,3 எனப் பெறலாம். எனவே, x -வெட்டுத்துண்டுகள் (−2,0) மற்றும் (3,0) . x = 0 எனப் பிரதியிட y =-6 எனப் பெறலாம். எனவே, y -வெட்டுத்துண்டு (0,−6).
(3) f '(x) = 2x -1 மேலும் இதிலிருந்து x=\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரையின் நிலைப்புள்ளி அமையும்.
(4) f''(x) = 2 > 0,∀x . எனவே, x =\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இதன் மதிப்பு f\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =-\frac { 25 }{ 4 } \)
(5) சார்பின் வீச்சகம் y \(\ge -\frac { 25 }{ 4 } \) 
(6) f''(x) = 2 > 0,∀x என்பதால் இந்த சார்பு மெய் எண் நேர்க்கோடு முழுமையிலும் மேல்நோக்கி குழிவு ஆகும்.
(7) f (x) = 2 ≠ 0,∀x எனவே வளைவரைக்கு வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இல்லை.
(8) வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை. இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலது பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { x }{ x } \cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { y }{ x } =\cfrac { xlogx }{ x } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { 1 }{ x } y=logx\) 
இது \(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) எனும் வடிவில் உள்ளது.
இங்கு \(P=\cfrac { 1 }{ x } ;Q=logx\) 
எனவே,இது நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
தொ.கா= \({ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ x } dx } }={ e }^{ logx }=x\) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு 
\(y\times I.F=\int { \left( Q\times .I.F \right) } dx+c\) 
\(yx=\int { logx\times dx } +c\)

\(u=logx\) 
 \(du=\cfrac { 1 }{ x } dx\) 
\(\int { udv } =uv-\int { vdu } \) 
\(yx=logx\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) -\int { \cfrac { x }{ 2 } .\cfrac { 1 }{ x } dx+c } \) 
= \(\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) logx-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) +c\) 
= \(yx=\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } logx-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) +c\) 
= \(yx=\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } logx-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +c\)  
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது  
\(\\ 4yx=2{ x }^{ 2 }logx-{ x }^{ 2 }+4c\) என்பது தேவையான தீர்வாகும். 

தேவையான பரப்பு படம் - ல்   நிழலிடப்பட்டுள்ளது.  பரப்பின் ஒரு பகுதியானது x − அச்சின் மேல் x = 0 மற்றும் x = π ஆகியவற்றுக்கு இடையில் அமைந்துள்ளது.  மற்றொரு  பகுதியானது x − அச்சின் கீழ் x  = π  மற்றும் x = 2π ஆகியவற்றுக்கு இடையே அமைந்துள்ளது. எனவே தேவையான பரப்பானது.

A  = \(\int^{\pi}_{0} ydx + |\int^{2\pi}_{0} ydx| =+ |\int ^{\pi}_{0} sin x dx| +|\int ^{2\pi}_{\pi} sin x dx| = [-cos x]^x_0 + |[-cos x]^{2\pi}_{\pi}|\)
 = [- cos  π + cos 0] + |[- cos 2π + cos π]| = 2+ |-2| = 4

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]

x² - 2x + 8y + 17 = 0
x²- 2x = -8y - 17
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட கிடைப்பது
 x² - 2x + 1 = -8y - 17 + 1
\(\therefore\) (x-1)² = -8y-16= -8(y+2)
\(\therefore\) (x-1)² = 8(y+2)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8
\(\Rightarrow\) a = 2
(a) முனை(1, -2)
\(\Rightarrow\) h = 1, k = -2
(b) குவியம் (0+h, -a+k)
\(\therefore\) h = 1, k = -2
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k + a
y = -2 + 2 \(\Rightarrow\) y = 0
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

\(\vec { r } =(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )+t(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) என்ற கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ 2 } \) = s(என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) ....... (1)
இரண்டாவது கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-2 }{ 1 } =\frac { y-4 }{ 2 } =\frac { z+3 }{ 4 } \) = t (என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (t + 2, 2t + 4, 4t - 3) ..... (2)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளுமானால், ஒரு பொதுவான புள்ளி இருக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு சில s, t ∊ R களுக்கு,
(2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) = (t + 2, 2t + 4, 4t - 3)
x, y மற்றும் z -ன் அச்சுத்தூரங்களை சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
2s - 1 = 1, 3s - 2t = 1 மற்றும் s - 2t = -1.
இம்மூன்று சமன்பாடுகளில் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்பதால் s = 1 மற்றும் t = 1 எனக் கிடைக்கிறது. s மற்றும் t -ன் இம்மதிப்புகள் மூன்றாவது சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டும் கோடுகளாகும். இப்பொழுது, s -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் அல்லது t -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட, இவ்விரு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளி (3, 6, 1) எனக் கிடைக்கிறது.
\(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { d } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \) என எடுத்துக் கொண்டால்,
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இவ்வெக்டர் கொடுக்கப்பட்ட இரு கோடுகளுக்கும் செங்குத்தான வெக்டராகும்.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் இரு நேர்க்கோடுகளுக்கும் செங்குத்தானதும் ஆகும். ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் \(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகவும் இருக்கும். எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(3\hat { i } +6\hat { j } +\hat { k } )+m(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k }) \), m ∊ R

\(z={ (-1) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) என்க.
\(z={ (cos\pi +isin\pi ) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\)
[∵ cosπ = -1 மற்றும் sin π = 0]
\(\Rightarrow z=cos\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )+isin\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )\)
k = 0, 1, 2, 3
k = 0 எனில்
\(z=cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i)\)
k = 1 எனில்
\(z=cos\frac { 3\pi }{ 4 } +isin\frac { 3\pi }{ 4 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) II -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது cos θ குறை மற்றும் sin θ மிகை]
\(=-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i)\)
k = 2 எனில்
\(z=cos5\frac { \pi }{ 4 } +isin5\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= -\(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) III - கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மற்றும் sin θ குறை]
= - \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i)\)
k = 3 எனில்
\(z=cos7\frac { \pi }{ 4 } +isin7\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) -isin2\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵\(\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) IV  -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை]
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
எனவே நான்கு மூலங்கள்
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
∵ மூலங்கள் \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1\pm i)\)

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=0-1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
= -1( 0-1) +1(1-0) =1+1 = 2
\(adjA{ =\left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} \left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 1-0 \right) \end{matrix}\begin{matrix} -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \end{matrix}\begin{matrix} +\left( { 1-0 } \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ....(1)\)
இங்கு \( { A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }-3I=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -0 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -3 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -0 \\ -3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { A }^{ 2 }-3I \right] \)

\(y=a x^4+b x^2, a b>0\)
ab >0 \(\Rightarrow \mathrm{a}>0\) மற்றும் b >0  (அல்லது) a < 0 மற்றும் b < 0   ...(1)
(i) கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு, \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=4 \mathrm{a} x^3+2 \mathrm{~b} x=2 x\left(2 \mathrm{a} x^2+\mathrm{b}\right) \)
\( \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0 \Rightarrow x=0, \pm \sqrt{\frac{-\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\). எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
x = 0 ல், \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
x = 0 ல், கிடைமட்டத் தொடுகோடு உண்டு.
(ii) வளைவு மாற்றப் புள்ளிக்கு, f''(x) ஆனது குறி மாற்றம் அடையும்.
\( f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 b=2\left(6 a x^2+b\right) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow 6 a x^2+b=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{-b}{6 a}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\) எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\) f''(x) ஆனது குறிமாற்றம் அடையவில்லை. எனவே f(x) ஆனது வளைவு மாற்றப் புள்ளியை பெறவில்லை.

\(f(x)  =\sqrt{8-2 x} \)
\(f^{\prime}(x) =-\frac{2}{2 \sqrt{8-2 x}}=-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}\)
தொடுகோட்டின் சாய்வு = - 0.25
அதாவது f'(x)=-0.25
\(-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}  =-0.25=\frac{-1}{4} \)
\(\sqrt{8-2 x}  =4 \Rightarrow 8-2 x=16 \)
\(x  =-\frac{8}{2}=-4\)
x ஆயத்தொலைவு = -4

வளைபரப்பு S = 6x² 
dS = 12 x dx ⇒ dS = 12 x₀ + dx

n = 1 எனில், x = 0, 1
n = 2 எனில், x = -2, 0, 2
n = 3 எனில், x = -3, -1, 1, 3
x = 2i - n என்க.
n = 2 எனும்போது
x = 2i - 2      i = 0, 1, 2
i = 0 எனில்,     x = -2
i = 1 எனில்,     x = 0
i = 2 எனில்,     x = 2
                          x = -2, 0, 2
n = 3 எனும்போது
x = 2i - 3            i = 0, 1, 2, 3
i = 0 எனில்,   x = -3
i = 1 எனில்,   x = -1
i = 2 எனில்,   x = 1
i = 3 எனில்,   x = 3
                        x = -3, -1, 1, 3
\(\therefore\) 2i - n, i = 0, 1, 2, ............n.

\( {[\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}] } = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{a} \times \vec{b})= \frac{1}{4} \\ |\vec{a} \times \vec{b}|^2 =\frac{1}{4} \\ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \)
\(\sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \quad(\because \vec{a}, \vec{b} \)  என்பன அலகு வெக்டர்கள்) 
\(\\ \sin \theta =\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6} \)

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

\(|z| =1 \Rightarrow|z|^2=1 \)
\(z \bar{z} =1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \)
\(\frac{1+z}{1+z} =\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1+z}{\frac{1+z}{z}}=z \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\(\mathrm{A}^{\mathrm{T}} =\mathrm{A}^{-1} \Rightarrow \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{I} \)
\({\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & x \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\(\frac{3}{5} x+\frac{12}{25} =0\)
\(\frac{3}{5} x=\frac{-12}{25} \Rightarrow x = \frac{-4}{5}\)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x\)
\(\cos x=\sin \frac{\pi}{2}-x\) என்று இருக்க வேண்டும் எனில்,
 \(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{\pi}{2} \\   -\pi \leq-x \leq 0 \\   \therefore 0 \leq x \leq \pi  \)