\(\vec { a } =4\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } ;\vec { b } =-2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \) என்க 
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| \) 
= \(-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \) 
\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\sqrt { 1+4+4 } =\sqrt { 9 } =3\) 
= \(\hat { n } =\pm \cfrac { 6\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) }{ \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| } \) 
= \(\pm \cfrac { 6\left( -\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \right) }{ 3 } =\pm \left( -\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \right) \)

2a=26
a=13 மீ 
b=5 மீ 
c²=a²-b²
c²=13²-5²
= 169-25
c²=144
\(c=\pm 12\) 
இரண்டு நபர்கள் நெட்டச்சின் மையத்திலிருந்து இருபுறமும் 12 மீ தொலைவில் இருக்கும்.

\(f(x)={ px }^{ 4 }+{ qx }^{ 3 }+{ rx }^{ 3 }+{ sx }^{ 2 }+tx+u\) என்க.
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் \({ \Sigma }_{ 4 }=\cfrac { u }{ p } \) 
இரண்டிரண்டு மூலங்களாக எடுத்துக் கொண்டு பெருக்கிக் கிடைக்கும் மதிப்புகளின் கூட்டல் பலன். 
\({ \Sigma }_{ 2 }=\cfrac { r }{ p } \) 
இப்போது, கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டின்படி,\(\cfrac { r }{ p } =3\cfrac { u }{ p } \) 
எனவே, \(\\ \\ \\ \\ r=3u\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { -2xy }{ { x }^{ 2 }+{ 2y }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படிதான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
y=vx எனப் பிரதியிட 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v\left( 1 \right) +x\cfrac { dv }{ dx } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(M\cfrac { dV }{ dt } =F-kV\) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dV }{ F-kV } =\cfrac { dt }{ M } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dV }{ F-kV } } =\int { \cfrac { dt }{ M } } \) 
\(\cfrac { log\left( F-kV \right) }{ -k } =\cfrac { t }{ m } +logc\) 
\(log\left[ F-kV \right] =-\cfrac { kt }{ M } +logC\) 
\(log\left[ F-kV \right] -logC=-\cfrac { kt }{ M } \) 
\(log\left( \cfrac { F-kV }{ C } \right) =-\cfrac { kt }{ M } \) 
\(\cfrac { F-kV }{ C } ={ e }^{ \frac { -kt }{ M } }\) 
\(\cfrac { F-kV }{ { e }^{ \frac { -kt }{ M } } } =C\Rightarrow C={ e }^{ \frac { kt }{ M } }\left( F-kV \right) \) ....(1)
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது t=0 எனும்போது  \(V=0\) 
\(C={ E }^{ \frac { k(0) }{ { e }^{ M } } }\left[ F-k(0) \right] \) 
= \({ e }^{ 0 }\left[ F-0 \right] \) 
 C=F
\(\therefore \left( 1 \right) \Rightarrow F=\left( F-kV \right) { e }^{ \frac { kt }{ M } }\)

ℤo = {2k + 1:k ∈ ℤ} = {...,−5,−3,−1,1,3,5,...} என்ற அனைத்து ஒற்றை முழுக்களைக் கொண்ட கணத்தைக் கருதுக. கூட்டல் + ஆனது ℤ_o -இன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது. ஏனெனில், x = 2m + 1,y = 2n + 1 எனும்பொழுது x + y = 2(m + n)+2 என்பது அனைத்து m,n-க்கும் இரட்டை எண்ணாகவே அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, 3, 7 ∈ ℤ_o என்ற இரு ஒற்றை எண்களைக் கருதுக. அவைகளின் கூடுதல் 3 + 7 = 10 என்பது ஓர் இரட்டை எண்ணாகும். பொதுவாக, x, y∈ ℤ₀ எனில், (x+y)∉ℤ₀ ஆகும். + ஆனது ℤ_o ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்லாததால் ஏனையப் பண்புகளைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

I =  \(\int ^{1}_{0} (\tan ^{-1} x + \tan ^{-1}(1-x))\) dx
= \(\int ^{1}_{0} (\tan ^{-1} x dx + \int ^{1}_{0} \tan ^{-1}(1-x)) dx\)
= \(\int ^{1}_{0} (\tan ^{-1} x dx + \int ^{1}_{0} \tan ^{-1}(1-(1-x)) dx\) (∵  \(\int ^{a}_{0} f (x) dx = \int ^{a}_{0} f(a-x) dx)\)
= \(\int ^{1}_{0} \tan ^{-1} x dx + \int ^{1}_{0} \tan ^{-1} x dx\)
= 2 \(\int ^{1}_{0} \tan^{-1} x dx\)
=\([2 \int udv]^1_0\) ,  இங்கு u = tan^-1 x மற்றும் dν = dx
= 2  \([uν - \int udv]^1_0,\)  பகுதி தொகையிடலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,
= 2  \((x \tan^{-1} x - \int x \frac{dx}{1+x^2})^{1}_{0}\) = 2 \((x \tan^{-1} x - \frac {1}{2} \log (1+x^2))^{1}_{0}\) = \(\frac{\pi}{2} \) - log2

கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \) = α
\(\Rightarrow \frac { \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) +\left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }{ \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) -\left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \)
\(=\frac { tan\alpha +1 }{ tan\alpha -1 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } }{ -2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } =\frac { tan\alpha +1 }{ tan\alpha -1 } \)
\(\Rightarrow \sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow \sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { cos\alpha -sin\alpha }{ cos\alpha +sin\alpha } \)
\(\Rightarrow \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } ={ \left( \frac { cos\alpha -sin\alpha }{ cos\alpha +sin\alpha } \right) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 1-sin2\alpha }{ 1+sin2\alpha } \Rightarrow { x }^{ 2 }=sin2\alpha \)

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடுகள் x+2y+3z = 2 மற்றும் x - y + z  = 3 தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச் செல்லும் தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம் 
(a₁x+b₁y+c₁z-d₁) + \(\lambda \) (a₂x+b₂y+c₂z-d₂) = 0
\(\therefore\) தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு 
\(\left( x+2y+3z-2 \right) +\lambda \left( x+y+z+8 \right) =0\) 
\(\left( \lambda +1 \right) +y\left( 2+\lambda \right) +z\left( 3+\lambda \right) -2-3\lambda =0\)  
\( \frac{3(1+\lambda)+1(2-\lambda)-1(3+\lambda)-2-3 \lambda}{\sqrt{(1+\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(3+\lambda)^2}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{3+3 \lambda+2-\lambda-3-\lambda-2-3 \lambda}{\sqrt{1+2 \lambda+\lambda^2+4-4 \lambda+\lambda^2+9+6 \lambda+\lambda^2}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{-2 \lambda}{\sqrt{3 \lambda^2+4 \lambda+14}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \) 
வர்க்கப்படுத்த
\( \frac{\lambda^2}{3 \lambda^2+4 \lambda+14} =\frac{1}{3} \\ 3 \lambda^2 =3 \lambda^2+4 \lambda+14 \\ 4 \lambda=-14 \Rightarrow \lambda =\frac{-7}{2} \)
\(\lambda =\frac{-7}{2}\) 1 ல் பிரதியிட 
\( (x+2 y+3 z-2)-\frac{7}{2}(x-y+z-3)=0 \\ 2 x+4 y+6 z-4-7 x+7 y-7 z+21=0 \\ -5 x+11 y-z+17=0 \\ 5 x-11 y+z-17=0 \)

வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு x² + y² + 2gx +2fy + c = 0    ...(1)
இது (1, 1), (2, -1) மற்றும் (3, 2) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்வதால் 
2g + 2 f + c = -2 , … (2)
4g − 2 f + c = -5 , … (3)
6g + 4 f + c = -13 . … (4)
(2)-(3)-இலிருந்து -2g + 4f = 3.     ...(5)
(4)-(3)-இலிருந்து  2g + 6f = -8.     ...(6)
(5)+(6)-இலிருந்து f = -\(\frac{1}{2}\) என கிடைக்கும் மதிப்பை (6) இல் பிரதியிட g =\(\frac{-5}{2},f,g\) இன் மதிப்புகளை (2) இல் பிரதியிட c = 4 எனவும் கிடைக்கிறது.
எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2\left( -\frac { 5 }{ 2 } \right) x+2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) y+4=0\)
அதாவது x² + y² − 5x − y + 4 = 0.

கொள்கை \(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right| =r\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } ={ z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } ={ z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } ={ r }^{ 2 }\)
⇒ \({ z }_{ 1 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 1 } } } ,{ z }_{ 2 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 2 } } } ,{ z }_{ 3 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 3 } } } \)
ஆகவே, z₁ + z₂ + z₃ = \(\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 1 } } } + \frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 2 } } }+ \frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 3 } } } \)
\(={ r }^{ 2 }\left( \frac { \bar { { z }_{ 2 } } \bar { { z }_{ 3 } } +\bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 3 } } +\bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 2 } } }{ \bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 2 } } \bar { { z }_{ 3 } } } \right) \)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| { r }^{ 2 } \right| \left| \frac { \overline { z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) \((\because \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } )\)
= \(={ r }^{ 2 }\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ \left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| } \) \((\because \left| z \right| \left| \bar { z } \right| \) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { { z }_{ 3 } } \right| )\)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| ={ r }^{ 2 }\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ { r }^{ 3 } } =\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ r } \)
⇒ \(\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ \left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| } \) = r  (கொள்கையின் படி z₁ + z₂ + z₃ ≠ 0 )
எனவே, \(\left| \frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) = r

\(\hat { a } =\vec { OA } \)மற்றும்  \(\hat { b } =\vec { OB } \)என்பன அலகு வெக்டர்கள் என்க மற்றும் அவைகள் கோணங்கள் \(\alpha ,\beta \) வை x-அச்சின் மிகையுடன் ஏற்படுத்துகின்றன.AL மற்றும் BM \(\bot '\) லிருந்து x அச்சு எனுமாறு வரைக 
 பிறகு \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| cos\alpha =cos\alpha \) 
\(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| cos\alpha =cos\alpha \)
\(\left[ \because \Delta OAL,sin\alpha =\cfrac { opp }{ hyp } cos\alpha =\cfrac { adj }{ hyp } \right] \) 
\(\therefore \vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| =cos\alpha \hat { i } \) 
\(\vec { LA } =\left| \vec { LA } \right| \hat { j } =sin\alpha \hat { j } \) 
\(\therefore \hat { a } =\vec { OA } =\vec { OL } +\vec { LA } \) 
[\(\triangle\) விதியை பயன்படுத்தி கூட்டுக]
\(\hat { a } =cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \) 
அதை போல \(\hat { b } =cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \) 
\(\hat { a } \) மற்றும் \(\hat { b } \) க்கு இடையேயான கோணம்\(\left( \alpha -\beta \right) \) 
 \(\therefore \hat { a } .\hat { b } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| cos\left( \alpha -\beta \right) =cos\left( \alpha -\beta \right) \)
\(\left[ \because \left| \vec { a } \right| =\left| \vec { b } \right| =1 \right] \) 
மேலும் \(\hat { a } .\hat { b } =\left( cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \right) \left( cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \right) \) 
\(\hat { a } .\hat { b } =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \) 
(3) மற்றும் (4) லிருந்து 
\(cos\left( \alpha -\beta \right) =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \) 

மேற்காணும் முடிவை மெய்மை அட்டவணைகளை பயன்படுத்தாமல் நிரூபிக்க முடியும். இதனைத் தர்க்க சமானமானவை பற்றி அறிந்த பிறகே வழங்க முடியும்.

\(f(x)=x(x-4)^{ 3 }\) 
\(f'\left( x \right) =3x\left( x-4 \right) ^{ 2 }+\left( x-4 \right) ^{ 3 }(1)\) 
= \(\left( x-4 \right) ^{ 2 }\left( 4x-4 \right) =4\left( x-4 \right) ^{ 2 }\left( x-1 \right) \) 
\(f''(x)=4\left[ \left( x-4 \right) ^{ 2 }(1)+(x-1)2(x-4) \right] \) 
= \(4(x-4)(x-4+2x-2)\) 
= \(4(x-4)\left( 3x-6 \right) =12\left( x-4 \right) \left( x-2 \right) \) 
\(f"(x)=0\Rightarrow 12(x-4)(x-2)=0\) 
தேக்க நிலைப் புள்ளிகள் x =2,4
இடைவெளிகள் \(\left( -\infty ,2 \right) \left( 2, 4 \right) \) மற்றும் \(\left( 4,\infty \right) \) 
இடைவெளி \(\left( -\infty ,2 \right) \) ல் ,\(f''\left( x \right) >0\Rightarrow \) வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவானது.
இடைவெளி \(\left( 2,4 \right) \) ,\(f''\left( x \right) >0\Rightarrow \) வளைவரை கீழ்நோக்கி குழிவானது.
இடைவெளி \(\left( 4,\infty \right) \) ல்,\(f''(x)>0\Rightarrow \) மேல்நோக்கி குழிவானது.
\(\left( -\infty ,2 \right) ,\left( 4,\infty \right) \) ல் வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவாகவும்,(2, 4)ல் கீழ்நோக்கி குழிவாகவும் உள்ளது.
x = 2 மற்றும் x = 4 ஐக் கடக்கும்போது f''(x)ன் குறி மாறுகிறது.
இப்போது \(f(2)=2\left( 2-4 \right) ^{ 3 }=-16\) மற்றும் \(f(4)=4\left( 4-4 \right) ^{ 3 }=0\)
\(\therefore\)  வளைவு மாற்றப்புள்ளிகள் (2, -16) மற்றும் (4, 0).

u (x, y, z) = xyz; x = e^-t y = e^-t cos t; z = sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = yz; \(\frac { \partial u }{ \partial y } \) = xz; \(\frac { \partial u }{ \partial z } \) = xy
⇒ \(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = e^t cos t sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial y } \) = e^t sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial z } \) = e^-2t cos t மற்றும் 
\(\frac{dx}{dt}=-e^{-t}\)
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = e^-t (- sin t) - cos t e^-t
⇒ \(\frac{dz}{dt}\) = cos t
\(\frac { dw }{ dt } =\frac { \partial w }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
∴ \(\frac { dw }{ dt } =\frac { \partial u }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
= e^-1 cos t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t sin t - e^-t cos t)+ (-e-^2t) cos t(cos t)
= -e^-2t [(sin t cos t + sin² t + sin t cos t - cos² t]
= -e^-2t [2 sin t cos t - (cos² t - sin² t)]
\(\frac { du }{ dt } \) = - e^-2t [sin 2t - cos2t]
[∵ cas 2 t = cos² t - sin² t and sin 2t = 2 sin t cos t]

முதலில் \({ V }_{ x },{ V }_{ y },{ V }_{ z }\) ஆகியவற்றைக் காணலா.
இப்போது,\({ V }_{ x }=\cfrac { \partial v }{ \partial x } =y+z\) 
\({ V }_{ y }=\cfrac { \partial v }{ \partial y } =x+z\) 
\({ V }_{ z }=\cfrac { \partial v }{ \partial z } =y+x\) 
வகையீடு 
\(dV={ V }_{ x }dx+{ V }_{ y }dy+{ V }_{ z }dz\) 
= \(\left( y+z \right) dx+\left( x+z \right) dy+\left( y+x \right) dz\)

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு  \(x \in(0, \infty)\) -ல் வரையறுக்கப்பட்டு வகையிடத்தக்கதாக உள்ளது.
f(x) = x log x + 3x.
எனவே , f'(x) = logx + 1 + 3 = 4 + logx.
தேக்கநிலை எண்களைக் காண  4 + log x = 0 -ஐ தீர்க்க
நமக்குக் கிடைப்பது  x=e^-4 ஆகும்.
ஆகவே, சார்பு f(x) -ன் ஓரியல்பு இடைவெளிகள் (0,e^-4) மற்றும் \((e^{-4}, \infty)\) ஆகும்.
\(x=e^{-5}\in(0,e^{-4})\) -ல்  f'(e^-5) = -1 < 0 மேலும் இதிலிருந்து (0,e^-4) -ல் f(x) திட்டமாக இறங்கும்.
\(x=e^{-3}\in(e^{-4},\infty)\) -ல் f'(e^-3) = 1 > 0 மேலும் இதிலிருந்து \((e^{-4}, \infty)\)-ல் f(x) திட்டமாக ஏறும்.
f′(x) -ன் குறி x=e^-4 -ஐ கடக்கும்போது குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறுவதால், முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி x = e^-4 -ல் இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு  f(e^-4)=-e^-4ஆகும்.

T =10x-x² எனக்  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே ஒரு முனையிலிருந்து எந்த அளவு தூரத்திலும் வெப்பநிலை மாறுபாட்டு வீதமானது \(\frac{dT}{dx}=10-2x \) ஆகும். கம்பியின் மையப்புள்ளி  x = 5 –ல் உள்ளது. 
x = 5 எனப்பிரதியிட, \(\frac{dT}{dx}=0\) எனக்கிடைக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்பது x² = -36y ...(1)
குவியம் (0, -9) = (0, -9)மற்றும் செவ்வகலம் என்பது (1)ல் y = -9

நமக்கு கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=-36(-9)\Rightarrow \sqrt { 36(9) } =6(3)=18\) 
\(\Delta AOB\) ன் பரப்பு  2(\(\Delta OSB\) ன் பரப்பு )
= \(2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times b\times h \right) =2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times 18\times 9 \right) \) 
[\(\therefore\) b = SB = 18, h = OS = 9]

பிரதியிடு 5+2√6=y; இனி 5-2√6=\(\frac{1}{y}\)
∴ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது 
\({ y }^{ { x }^{ 2 }-3 }+{ \left( \frac { 1 }{ y } \right) }^{ { x }^{ 2 }-3 }=10\)
பிரதியிடு \({ y }^{ { x }^{ 2 }-3 }=z\quad \quad \quad \quad \quad ...(1)\)
\(\Rightarrow z+\frac { 1 }{ z } =10\Rightarrow { z }^{ 2 }-10z+1=0\)
\(\Rightarrow z=\frac { 10\pm \sqrt { 100-4 } }{ 2 } =5\pm 2\sqrt { 6 } \)
\(\\ \therefore (5+2\sqrt { 6 } )^{ { x }^{ 2 }-3 }=5\pm 2\sqrt { 6 } =(5\pm 2\sqrt { 6 } )\pm 1\)
⇒ x²-3=1 (அ) x²-3=-1
⇒  x²=4 (அ) x²=2
⇒ x=土2 (அ) x=土√2
∴  மூலங்கள் 2,-2, √2,-√2

\({ \cot }^{ -1 }x-{ \cot }^{ -1 }\left( x+2 \right) =\frac { \pi }{ 12 } ,x>0\)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 12 } \)
[∵ cot^-1 (x) = tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ x } \right) \) எனில் x > 0]
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ x+2 } }{ 1+\frac { 1 }{ x } .\frac { 1 }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 12 } \)
\(\Rightarrow \left( \frac { \frac { x+2-x }{ x(x+2) } }{ \frac { x(x+2)+1 }{ x(x+2) } } \right) =\tan{ 15 }^{ o }\)

\(\Rightarrow\frac { 2 }{ { x }^{ 2 }+2x+1 } =\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2 }{ { (x+1) }^{ 2 } } =\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ 2 } \)
⇒ 4 = (x+1)² \({ \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 }\)
இருபுறமும் வர்க்க மூலம் எடுக்க கிடைப்பது 
2 = (x + 1) \(\left( \sqrt { 3 } -1 \right) \)
\(\Rightarrow x+1=\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } -1 } \times \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 2\left( \sqrt { 3 } +1 \right) }{ 3-1 } =\sqrt { 3 } +1\)
x + 1 = \(\sqrt { 3 } \) + 1 = x = \(\sqrt { 3 } \)
x = \(\sqrt { 3 } \) என்பது தீர்வாகும்.

இங்கு மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ c-3a \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ (c-3a)-2(b-a) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b-a \\ (c-2b-a) \end{matrix} \right] \)
தொகுப்பின் தீர்வுகள் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக இருக்க வேண்டுமாயின், ρ(A) = ρ[(A,B]) = 2. எனவே ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள மூன்றாவது நிரையானது பூச்சிய நிரையாக இருக்க வேண்டும்.
எனவே, c-2b-a = 0 ⇒ c = a +2b

(i) \(\left| \frac { 2+i }{ -1+2i } \right| =\frac { \left| 2+i \right| }{ \left| -1+2i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } =1\)   \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \).
(ii) \(\left| \overline { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| =\left| \overline { (1+i) } \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \)  \(\left( \because \left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| \right) \)
= \(\left| (1+i) \right| \left| (2+3i) \right| \left| (-3+4i) \right| \) \(\left( \because \left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { \bar z } \right| \right) \)
= \(\left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { (-3) }^{ 2 }+4^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 25 } \right) =5\sqrt { 26 } \)
(iii)  \(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 2 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

கொடுக்கப்பட்டது : z₁ = 3, z₂ = -7i, z₃ = 5 + 4i
z₂ z₃ = -7i + 5 + 4i = 5 - 3i
z₁ (z₂ z₃) = 3(5 - 3i) = 15 - 9i  ...(1)
z₁ z₂ = 3(-7i) = -21i 
z₁ z₂ + z₁ z₃ = -21i + 15 + 12i 
= 15 - 9i  ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃ எனவே நிறுவப்பட்டது.

கூற்றுகளின் எண்ணிக்கை =3
மெய்மை அட்டவணையில் நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2³ = 8 நிரைகள்

\(\begin{aligned} a * b & =\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} b * a & =\sqrt{b^2+a^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow a * b & =b * a \end{aligned}\)
\(\therefore\) \(*\) என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
\(\begin{aligned} (\mathrm{a} * \mathrm{~b}) * \mathrm{c} & =\sqrt{a^2+b^2} * \mathrm{c} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{aligned}\)
\(\mathrm{a} *(\mathrm{~b} * \mathrm{c})=\mathrm{a} * \sqrt{b^2+c^2}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{a^2+\left(\sqrt{b^2+c^2}\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{aligned}\)
\(\therefore\) \(\begin{aligned} (\mathrm{a} * \mathrm{~b}) * \mathrm{c} & =\mathrm{a} *(\mathrm{~b} * \mathrm{c}) \end{aligned}\)
\(*\) என்பது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

கொடுக்கப்பட்டது \(x^2+y^2=200\)
\(y^2  =200-x^2 \)
\(y  =\sqrt{200-x^2}\)
பெருக்கற்பலன் \(\mathrm{P}=x \mathrm{y}=x \sqrt{200-x^2}\)
\(\mathrm{F}=\mathrm{P}^2\) என்க.
\(\mathrm{F}=x^2\left(200-x^2\right)=200 x^2-x^4\)
F பெருமம் எனில்,P ஆனது பெருமமாகும்.
பெருமத்திற்கு, \(\frac{d F}{d x}=0 \Rightarrow 200(2 x)-4 x^3=0\)
\( \Rightarrow 4 x\left(100-x^2\right)=0 \Rightarrow x=0, x= \pm 10\)
x=0,-10 ஆக இருக்க முடியாது
\(\therefore x  =+10 \)
\(y =\sqrt{200-10^2}=10 \)
\(\frac{d^2 F}{d x^2}  =400-12 x^2\)
x  =10-ல், F'' = 400 - 12 x 10 x 10<0
பெருக்கற்பலனின் பெரும மதிப்பு P = xy 
= (10)(10)
= 100

\(\mathrm{y}^2-x y+9  =0 \)
\(2 y \frac{d y}{d x}-\left(x \frac{d y}{d x}+y\right)  =0 \)
\(\frac{d y}{d x}(2 y-x)  =y \)
\(\frac{d y}{d x}  =\frac{y}{2 y-x}\)
தொடுகோடு நிலைகுத்தாக இருக்கும்போது, \(\frac{d y}{d x}=\infty\)
அதாவது \(\frac{y}{2 y-x}=\frac{1}{0} \Rightarrow 2 \mathrm{y}-x=0\)
\(2 \mathrm{y}=x\)
(1)ல் பிரதியியிட,
\(y^2-2 y^2+9  =0 \)
\(y^2  =9 \Rightarrow y= \pm 3\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] }  =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\  =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\) 
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

\(z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\) மற்றும் \(z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) எனில், 1/z ஆனது z - ன் இணை எண் ஆகும்.
ie) \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

A - ல் A₃₂ ன் இணைக்காரணி =\(-\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right|\)=-(0+2)=-2 
|A|  =3(2)-1(-2)-1(4+2)
=6+2-6=2
\(\mathrm{A}^{-1}\) - ல் \(\mathrm{a}_{23}\)இணைக்காரணி
\(=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}_{32}=\frac{1}{2}(-2)=-1\)

\(  \sin ^{-1}(1)-\sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{x}}\right)   =\frac{\pi}{6} \\ \frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}   =\frac{\pi}{6} \Rightarrow \cos ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{\pi}{6} \\ \sqrt{\frac{3}{x}}   =\cos \frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{x}   =2 \Rightarrow x=4  \)
விடை (2) :  \(x^2-x-12=0 \Rightarrow(x-4)(x+3)=0 \) 
\(\Rightarrow x=4,-3\)
விடை (3) :\( x^2+x-12=0 \Rightarrow(x+4)(x-3)=0 \\\)
\(  \Rightarrow x=3,-4\)
 x = 4 க்கு, விடை(2) சரியானது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { r } =\vec { c } +t\vec { b } \) உடன் ஒப்பிட 
\(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } \)  \(\vec { b } =2\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \) 
\(\vec { c } =\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \) \(\vec { d } =2\hat { i } -\hat { j } -\hat { k } \) 
\(\vec { c } -\vec { a } =2\hat { j } -\hat { k } \) 
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -1+1 \right) -\hat { j } \left( -2-2 \right) +\hat { k } \left( -2-2 \right) \) 
= \(4\hat { j } -4\hat { k } \) 
= \(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left( 2\hat { j } -\hat { k } \right) .\left( 4\hat { j } -4\hat { k } \right) \) 
= 8+4=12
\(\left| \left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \right| =12\) 
\(\left| \left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \right| =\sqrt { 16+16 } =\sqrt { 32 } =4\sqrt { 2 } \) 
தொலைவு = \(\cfrac { \left| \left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \right| }{ \left| \vec { b } \times \vec { d } \right| } \) 
= \(\cfrac { 12 }{ 4\sqrt { 2 } } =\cfrac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \) அலகுகள் 

p ↔ q ஜூபிடர் ஒரு கோள் என்றால் மட்டுமே இந்தியா ஒரு தீவு.

(i) \(g(x,y)=\cfrac { { x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 4 }+{ y }^{ 2 } } \) என்க.\(\left( x,y \right) \neq \left( 0,0 \right) \) 
மற்றும் f(0,0)=0
y=mx 
\(g(x,y)=\cfrac { { x }^{ 2 }(mx) }{ { x }^{ 4 }+\left( mx \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { x }^{ 3 }m }{ { x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+{ m }^{ 2 } \right) } \) 
\(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right) }{ \lim } g\left( x,y \right) =\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right) }{ \lim } \cfrac { mx }{ { x }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } = 0\)   எனவே நிறுவப்பட்டது.
(ii) பரவளையம் \(y={ kx }^{ 2 }\) க்கு 
\(g\left( x,y \right) =\cfrac { { x }^{ 2 }\left( mx \right) }{ { x }^{ 4 }+\left( mx \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { kx }^{ 4 } }{ { x }^{ 4 }+{ k }^{ 2 }{ x }^{ 4 } } \) 
= \(\cfrac { { kx }^{ 4 } }{ { x }^{ 4 }\left( 1+{ k }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { k }{ 1+{ k }^{ 2 } } \) 
\(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right) }{ \lim } g\left( x,y \right) =\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right) }{ \lim } \cfrac { k }{ 1+{ k }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { k }{ 1+{ k }^{ 2 } } \) 
எனவே நிறுவப்பட்டது.

(i) t நேரத்தில்,ரேடியத்தின் அளவு Q.Q சிதைவுறும் மாறுவீதமானது \(\frac { dQ }{ dt } \) மற்றும் இது ஒரு குறை மதிப்பு.ரேடியம் சிதைவுறும் வீதம் Qக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளது.எனவே,\(\cfrac { dQ }{ dt } +kQ=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
(ii). மக்கள்தொகை அதிகரிக்கும் வீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dp }{ dt } \) மற்றும் இதன் மாறுவீதம் மக்கள் தொகைக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp.\) மேலும் 5,00,000க்கும் மக்கள் தொகைக்கும் உள்ள வேறுபாடு,மக்கள் தொகை ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகியவற்றிக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp\) (5,00,000-P )என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
(iii) ஆவி அழுத்தம் Pன் மாறுவீதம் t ஐப் பொறுத்து \(\frac { dp }{ dt } \) மற்றும் T ஐப் பொறுத்து ஆவி அழுத்தம் Pன் அதிகரிக்கும் வீதம் வெப்பநிலையின் வர்க்கத்திற்கு எதிர்விகிதத்தில் உள்ளதால் 
\(\cfrac { dp }{ dt } =\cfrac { kp }{ { T }^{ 2 } } \) இங்கு \(\cfrac { k }{ { T }^{ 2 } } =\alpha \)
\(\cfrac { dp }{ dt } =\alpha p\Rightarrow \cfrac { dp }{ dt } -\alpha p=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
(iv) x என்பது முதலீட்டுத்தொகை என்க.தொகை ஒவ்வொரு வருடமும் மாறுவதால் அதன் மாறுவீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dx }{ dt } \) மற்றும் ஒவ்வொரு வருடமும் மற்றொரு முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வரவு ரூ.400 இத்தொகையுடன் தொடர்ச்சியாக சேர்க்கப்படுகிறது.
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 8 }{ 100 } \times x+400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 2x }{ 25 } +400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } -\cfrac { 2 }{ 25 } x-400=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(3{ \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right) }={ \left[ 4+{ \left( \frac { { d }y }{ { d }x } \right) }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
இருபுறமும் வர்க்கம் காண, நாம் பெறுவது \(9{ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } }={ \left[ 4+{ \left( \frac { { d }y }{ { d }x } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 3 }\)
இச்சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வரிசையுடைய வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \) ஆகும். இதன் அடுக்கு 2 ஆகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை 2 மற்றும் படி 2 ஆகும்.

∝, β என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில் 
மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் \(=\alpha +\beta =\frac { -b }{ a } \)
\(=\frac { [-(a-2)] }{ 1 } =a-2\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(=\alpha \beta =\frac { c }{ a } \)
\(=\frac { -(a+1) }{ 1 } =(a+1)\)
நம்மிடம் ∝²β² = -2∝β
= (a-2)²+2(a+1)
= a² -4a+4+2a+2
= (a-1)²+5
ஆகையால் ∝²+β² குறைந்த மதிப்புடைய எனில் a = 1

sin^-1 (-1) = y என்க. இங்கு \(\frac { -\pi }{ 2 } <y<\frac { \pi }{ 2 } \) 
இனி sin^-1 (-1) = y ⇒ sin y = -1
-1 = sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \) ⇒ y = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)
\(\left[ \because \frac { -\pi }{ 2 } \epsilon \left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
முதன்மை மதிப்பு sin^-1 (-1) = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)

தொகுப்பின், அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 12 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| -1\begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 2 & 7 \end{vmatrix}+9\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \)
=3(14-12)-1(21-24)+9(3-4)
=6+3-9=9-9=0
|A|=0 எனில், சமப்படித்தான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளும் உண்டு.

2x − y = 8, 3x + 2y = −2
தொகையின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \)
⇒ AX=B இங்கு A\(=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B.\)
இப்பொழுது \(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] =4+3=7\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 16 & -2 \\ -24 & -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 14 \\ -28 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 14 }{ 7 } \\ \frac { -28 }{ 7 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=2,\quad y=-4\)
எனவே, தீர்வுக் கணம்{2,-4}

கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையம் (3, -2). இது x + y - 1 = 0 - ல் உள்ளது. எனவே x + y - 1 = 0 என்ற கோடு c-இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் வட்டத்தின் மையம் வழிச்செல்லும் ஆதலால் x + y - 1 = 0 என்ற கோடு c-இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் வட்டத்தின் விட்டமாக அமையும்.