x = வெட்டி எடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு சிறிய சதுரங்களின் நீளம் என்க.
V = மடிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் பெட்டியின் கன அளவு என்க.
நீளத்தின் இரு மூலைகளிலும் x நீளமுள்ள சதுரத்தை வெட்டிய பின் நீளம் 12 − 2x  மடித்த பின்பு பெட்டியின் ஆழம் x. எனவே, கன அளவு V = x \(\times\) (12 - 2x)² ஆகும். x = 0 அல்லது 6 -ல் கன அளவு பூச்சியமாவதைக் கவனிக்க. எனவே, x = 0 அல்லது 6 எனில் பெட்டி கிடைக்காது. எனவே, V = x \(\times\) (12 - 2x)² , x∈(0, 6) -ஐ பெருமப்படுத்த வேண்டும்.
இப்பொழுது, \(\frac { dV }{ dx } ={ (12-2x) }^{ 2 }-4x(12-2x)\)
= (12 − 2x)(12 − 6x).
\(\frac { dV }{ dx } \)= 0 ⇒ x = 2,6 . 6∉(0,6) என்பதால் x = 2∈(0,6) என்பது மட்டுமே தேக்கநிலை எண். மேலும் \(\frac { dV }{ dx } \)-ன் குறி x = 2 -ஐ கடக்கும்போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுகிறது. எனவே x = 2 -ல் V ஆனது இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பினை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த பெரும கன அளவு V =128 அலகுகள். எனவே பெரும கன அளவிற்கு 2 அலகுகள் வெட்ட வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு  \(x \in(0, \infty)\) -ல் வரையறுக்கப்பட்டு வகையிடத்தக்கதாக உள்ளது.
f(x) = x log x + 3x.
எனவே , f'(x) = logx + 1 + 3 = 4 + logx.
தேக்கநிலை எண்களைக் காண  4 + log x = 0 -ஐ தீர்க்க
நமக்குக் கிடைப்பது  x=e^-4 ஆகும்.
ஆகவே, சார்பு f(x) -ன் ஓரியல்பு இடைவெளிகள் (0,e^-4) மற்றும் \((e^{-4}, \infty)\) ஆகும்.
\(x=e^{-5}\in(0,e^{-4})\) -ல்  f'(e^-5) = -1 < 0 மேலும் இதிலிருந்து (0,e^-4) -ல் f(x) திட்டமாக இறங்கும்.
\(x=e^{-3}\in(e^{-4},\infty)\) -ல் f'(e^-3) = 1 > 0 மேலும் இதிலிருந்து \((e^{-4}, \infty)\)-ல் f(x) திட்டமாக ஏறும்.
f′(x) -ன் குறி x=e^-4 -ஐ கடக்கும்போது குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறுவதால், முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி x = e^-4 -ல் இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு  f(e^-4)=-e^-4ஆகும்.

வரையறைப்படி, \(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 3 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -7\hat { k } \)
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 0 & -7 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =-35\hat { i } -21\hat { j } -35\hat { k } \)     ...(1)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =14\hat { i } +3\hat { j } -13\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 14 & 3 & -13 \end{matrix} \right| =-33\hat { i } -54\hat { j } -48\hat { k } \)   ...(2)
எனவே,சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } \neq \vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) எனக் காண்கிறோம்.

A =\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. |A| = 3(0+2)-1(2+5)+4(4-0) = 6-7+16 = 15 ≠ 0. எனவே, A ஆனது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணியாகும்.
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & -\frac { 2 }{ 3 } & -\frac { 11 }{ 3 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 17 }{ 3 } \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-\frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 },{ R }_{ 3 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & -\frac { 15 }{ 2 } \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow \left( -\frac { 2 }{ 15 } \right) { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac { 11 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 3 },{ R }_{ 2 }\rightarrow- \frac { 11 }{ 2 } { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

F (\(\alpha\)) = \(\left[ \begin{matrix} \cos { \alpha } & 0 & \sin { \alpha } \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin { \alpha } & 0 & \cos { \alpha } \end{matrix} \right] \) தரப்பட்டது.
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
|F(\(\alpha\))| = cos \(\alpha\) \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & cos\alpha \end{matrix} \right| -0+sin\alpha \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -sin\alpha & 0 \end{matrix} \right| \)
|F(\(\alpha\))| = cos \(\alpha\) (cos - 0) + sin \(\alpha\) (0 + sin \(\alpha\))
= cos² + sin² \(\alpha\) = 1 ≠ 0
F (\(\alpha\)) ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால், [F(\(\alpha\))]^-1 காணலாம்.
இங்கு, adj (F(\(\alpha\))) = \(\left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ -sin \space \alpha & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -sin \space \alpha & 0 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 0 & sin \space \alpha \\ 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & sin \space \alpha \\ -sin \space \alpha & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 \\ -sin \space \alpha & 0 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 0 & sin \space \alpha \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & sin \space \alpha \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] ^{ T }\)
= \(\left[ \begin{matrix} +(cos\alpha -0) & -(0-0) & +(0+sin \space \alpha ) \\ -(0-0) & +(cos^{ 2 }\alpha +sin^{ 2 }\alpha & -(0-0) \\ +(0-sin \space \alpha ) & -(0-0) & +(cos \space \alpha-0) \end{matrix} \right] ^{ T }\)
 \(\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & +sin\space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ +sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)
∴ F(\(\alpha\))^-1 = \(\frac { 1 }{ |F(\alpha )| } \) adj (F(\(\alpha\)))
[F(\(\alpha\))]^-1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ +sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ +sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)          ....(1)
இங்கு, F(-\(\alpha\)) = \(\left[ \begin{matrix} cos(-\alpha ) & 0 & sin(-\alpha ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(-\alpha ) & 0 & cos(-\alpha ) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)            ....(2)
[∵ cos \(\alpha\) ஒரு இரட்டைச் சார்பு, cos (-\(\alpha\)) = cos \(\alpha\) மற்றும் sin \(\alpha\) ஒரு ஒற்றைச் சார்பு, sin (-\(\alpha\)) = -sin \(\alpha\)]
(1) மற்றும் (2) லிருந்து [F(\(\alpha\))]^-1 = F (-\(\alpha\)) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த, y = f (x) = (x - 3)(x² + 3x + 3) ஆகும்.

(1) சார்பு f (x)-ன் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகங்கள் முழு மெய் எண் நேர்க்கோடாகும்.
(2) y = 0 எனப் பிரதியிட x = 3. மற்ற இரண்டு மூலங்களும் கற்பனை. எனவே, x -வெட்டுத்துண்டு (3,0) ஆகும். x = 0 எனப்பிரதியிட y =-9 ஆகும். எனவே y-ன் வெட்டுத்துண்டு (0,−9) ஆகும்.
(3) f'(x) = 3(x² - 2)  மேலும் இதிலிருந்து நிலை எண்கள் x =\(\pm \sqrt { 2 } \) ஆகும்.
(4) f''(x) = 6x . மேலும் x = \(\sqrt { 2 } \) -ல் f''( \(\sqrt { 2 } \)) = 6\(\sqrt { 2 } \) >0. எனவே x =- \(\sqrt { 2 } \) -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f(\(\sqrt { 2 } \)) =-4\(\sqrt { 2 } \) -9 அடையும். இதுபோலவே x=-\(\sqrt { 2 } \) -ல் f''(-\(\sqrt { 2 } \)) = -6\(\sqrt { 2 } \) <0. எனவே x = -\(\sqrt { 2 } \) -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு f (-\(\sqrt { 2 } \) )= 4\(\sqrt { 2 } \) -9-ஐ அடையும்.
(5) f'(x) = 6x > 0,∀x >0 என்பதால் வளைவரையானது மிகை மெய் எண் நேர்க்கோட்டில் மேல் நோக்கி குழிவானது f'(x) = 6x<0,∀x<0 என்பதால் வளைவரையானது கீழ்நோக்கி குழிவானது.
(6) x = 0 -வில் f''(x) = 0 மற்றும் f ′′(x) -ன் குறி x = 0 -ஐ கடக்கும்போது மாறுகிறது. எனவே வளைவு மாற்றப் புள்ளி (0, f (0)) = (0, −9).
(7) இவ்வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை, இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலதுபக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது y = f (x) = (x - 3)(x + 2) .

(1) சார்பு f (x) -ன் சார்பகம் முழு மெய் எண் கோடாகும்.
(2) y = 0 எனப் பிரதியிட, x =-2,3 எனப் பெறலாம். எனவே, x -வெட்டுத்துண்டுகள் (−2,0) மற்றும் (3,0) . x = 0 எனப் பிரதியிட y =-6 எனப் பெறலாம். எனவே, y -வெட்டுத்துண்டு (0,−6).
(3) f '(x) = 2x -1 மேலும் இதிலிருந்து x=\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரையின் நிலைப்புள்ளி அமையும்.
(4) f''(x) = 2 > 0,∀x . எனவே, x =\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இதன் மதிப்பு f\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =-\frac { 25 }{ 4 } \)
(5) சார்பின் வீச்சகம் y \(\ge -\frac { 25 }{ 4 } \) 
(6) f''(x) = 2 > 0,∀x என்பதால் இந்த சார்பு மெய் எண் நேர்க்கோடு முழுமையிலும் மேல்நோக்கி குழிவு ஆகும்.
(7) f (x) = 2 ≠ 0,∀x எனவே வளைவரைக்கு வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இல்லை.
(8) வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை. இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலது பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்டது 
கூம்பின் உயரம் = b செ.மீ 
மற்றும் அடிப்புற ஆரம் = a செ.மீ 
உருளை அடிப்புற ஆரம் 'r' செ.மீ.என்க.
அடிப்புற உயரம் 'h' செ.மீ.என்க 
படத்திலிருந்து, \(\cfrac { h }{ a-r } =\cfrac { b }{ a } \) (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பைப் பயன்படுத்த) 
\(\Rightarrow h=\cfrac { b }{ a } \left( a-r \right) \) 
= \(b-\cfrac { b }{ a } r\) 
உருளையின் கன அளவு \(V={ \pi r }^{ 2 }h\) 
= \(\pi { r }^{ 2 }\left( b-\cfrac { b }{ a } r \right) \) 
\(V=\pi \left( { br }^{ 2 }-\cfrac { b }{ a } { r }^{ 3 } \right) \) 
\(\cfrac { dv }{ dr } =\pi \left( 2br-3\cfrac { { br }^{ 2 } }{ a } \right) \) 
= \(\cfrac { \pi }{ a } \left( 2abr-{ 3br }^{ 2 } \right) \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு,
\(\cfrac { dV }{ dr } =0\Rightarrow br\left( 2a-3r \right) =0\) 
r=0 மற்றும் \(r=\cfrac { 2a }{ 3 } \) 
r=0 என்பது சாத்தியமல்ல 
\(\therefore r=\cfrac { 2a }{ 3 } \) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dr }^{ 2 } } =\pi \left( 2b-\cfrac { 6br }{ a } \right) \) 
\(r=\cfrac { 2a }{ 3 } \cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dr }^{ 2 } } =2\pi b-\cfrac { 6\pi b }{ a } \left( \cfrac { 2a }{ 3 } \right) =-2\pi b<0\) 
\(\therefore r=\cfrac { 2a }{ 3 } \) எனும்போது,கனஅளவு பெருமமாகிறது.
\(h=b-\cfrac { b }{ a } \left( \cfrac { 2a }{ 3 } \right) =\cfrac { b }{ 3 } \) 
இப்போது,உருளையின் கன அளவு = \({ \pi r }^{ 2 }h\) 
= \(\pi \left( \cfrac { 2a }{ 3 } \right) ^{ 2 }\left( \cfrac { b }{ 3 } \right) \) 
= \(\cfrac { 4 }{ 9 } \left( \cfrac { 1 }{ 3 } { \pi a }^{ 2 }b \right) \) 
= \(\cfrac { 4 }{ 9 } \) (கூம்பின் கன அளவு) எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(x\in (-\infty, \infty) \) -ல் வரையறுக்கப்பட்டு வகையிடத்தக்கதாக உள்ளது.
\(f(x)=\frac{x }{1+x^{2}}\)
\(f'(x)=\frac{1-x^{2} }{(1+x^{2})^{2}}\)
தேக்கநிலை எண்களைக் காண 1-x²=0 -ஐ தீர்க்க \(x=\pm1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது. ஆகவே ஓரியல்பு இடைவெளிகள் \((-\infty, -1) , (-1,1)\) மற்றும்  \((1,\infty)\) ஆகும்.

இடைவெளி	\((-\infty,-1)\)	(-1,1)	\((1,\infty)\)
f'(x)-ன் குறி	-	+	-
ஓரியல்புத் தன்மை	திட்டமாக இறங்கும்	திட்டமாக ஏறும்	திட்டமாக இறங்கும்

எனவே , \((-\infty,-1)\) மற்றும் \((1,\infty)\) இடைவெளிகளில் f(x) திட்டமாக இறங்கும், (-1,1) என்ற இடைவெளியில் f(x)திட்டமாக ஏறும்.

f ′(x) -ன் குறி x=-1-ஐ கடக்கும் போது குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறுவதால் , முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி x=-1-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு \(f(-1)=-\frac{1}{2}\) ஆகும். இதுபோலவே , f′(x) -ன் குறி x =1-ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுவதால், முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி x =1-ல் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு \(f(x)=\frac{1}{2}\) ஆகும்.

தேவையான நேர்க்கோடு (-5, 7, -4) மற்றும் (13, -5, 2) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, இப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 18, -12, 6 ஆகும். அதாவது 3, -2, 1 ஆகும்.
ஆதலால், தேவையான நேர்க்கோடு \(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும். எனவே,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(-5\hat { i } +7\hat { j } -4\hat { k } )+t(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\)அல்லது \(\vec { r } =(13\hat { i } -5\hat { j } +2\hat { k } )+s(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\) இங்கு s,t \(\in R\) ஆகும்.
தேவையான கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள் \(\frac { x+5 }{ 3 } =\frac { y-7 }{ -2 } =\frac { z+4 }{ 1 } \) அல்லது \(\frac { x-13 }{ 3 } =\frac { y+5 }{ -2 } =\frac { z-2 }{ 1 } \) ஆகும்.
இந்நேர்க்கோட்டில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் அமைப்பு
(3t-5, -2t+7, t-4) அல்லது (3s+13, -2s-5, s+2)
நேர்க்கோடு xy-தளத்தை சந்திப்பதால், வெட்டும் புள்ளியின் z -அச்சுத் தொலைவு பூச்சியமாகும். எனவே, t−4 = 0, அதாவது, t = 4 ஆகும். ஆகையால், நேர்க்கோடு xy-தளத்தை வெட்டும் புள்ளி (7, -1, 0) ஆகும்.

x -அச்சின் மிகை திசையுடன் \(\hat { a } =\vec { OA } \), \(\hat { b } =\vec { OB } \)  என்ற அலகு வெக்டர்கள் முறையே α, β என்ற கோணங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்க. இங்கு A, B என்பன படம் -ல் காட்டப்பட்டுள்ளன. ஆகவே \(\hat { a } =cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \) மற்றும் \(\hat { b } =cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \).
\(\hat { a } ,\hat { b } \) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்டக் கோணம் \(\alpha -\beta \) மற்றும் \(\hat { b } ,\hat { a } ,\hat { k } \) என்ற வெக்டர்கள் வலக்கை முறையில் அமைந்துள்ளதால், 
\(\hat { b } \times \hat { a } =\left| \hat { b } \right| \left| \hat { a } \right| \)sin(α −β )\(\hat {k}\)=sin(α −β)\(\hat {k}\)
மாறாக 
\(\hat { b } \times \hat { a } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ cos\beta & sin\beta & 0 \\ cos\alpha & sin\alpha & 0 \end{matrix} \right| \) = (sin α cos β -cos α sin β)\(\hat { k } \)
ஆகவே, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2)-லிருந்து 
sin(α −β) = sin α cos β − cos α sin β

வழக்கமான குறியீடுகளுடன், முக்கோணம் ABC-ல் \(\vec { BC } =\vec { a } \), \(\vec { CA } =\vec { b } \), மற்றும் \(\vec { AB } =\vec { c} \) என்க. 
\(|\vec { BC } |=|\vec { a } |\), \(|\vec { CA } |=|\vec { b } |\) மற்றும் \(|\vec { AB }| =|\vec { c } |\) என்க.
எனவே, ΔABC, \(\vec { BC }+\vec { CA }+\vec { AB}=0\) என்பதால் \(\vec { BC }\times(\vec { BC }+\vec { CA }+\vec { AB })=\vec { 0 }\)
\(\vec { BC }\times\vec { CA }=\vec { AB }\times\vec { BC }\).....(1)
இதேபோல் \(\vec { BC }+\vec { CA }+\vec { AB}=0\) என்பதால்,
\(\vec { CA } \times (\vec { BC } +\vec { CA } +\vec { AB } )=\vec { 0 } \)
\(\vec { BC }\times\vec { CA }=\vec {CA }\times\vec {AB }\)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2)-லிருந்து
\(\vec { AB }\times\vec {BC }\) = \(\vec { CA }\times\vec {AB }\) = \(\vec { BC}\times\vec {CA}\)
ஆகவே, \(\left| \overrightarrow { AB} \times \overrightarrow { BC } \right| =\left| \overrightarrow { CA } \times \overrightarrow { AB } \right| =\left| \overrightarrow { BC } \times \overrightarrow { CA } \right| \)
ca sin(π − B) = bc sin(π - A) = ab sin (π - C)
அதாவது, ca sin B = bc sin A = ab sin C. இதனை abc-ஆல் வகுத்தால்,
\(\frac { sinA }{ A } =\frac { sinB }{ b } =\frac { sinC }{ c } \) or \(\frac { a }{ sinA }= \frac { b }{ sinB } =\frac { c }{ sinC } \) எனக் கிடைக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை மாற்றியமைக்க,
(2x−3)(3x−2)(6x−1)(x−2)−5=0
சோடிகளாகப் பெருக்க,
(6x² −13x+6) (6x² −13x+2)−5 = 0 .
இதில் y=6x²-13x எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு
( y+6) ( y+2)−5 = 0
என மாறுகிறது. அதாவது,
y² + 8y + 7 = 0 .
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க,y=−1 மற்றும் y=−7 எனக் கிடைக்கிறது.
y=6x²-13x-ல் y-ன் மதிப்புகளை பிரதியிட,
6x² −13x+1 = 0
6x² −13x+7 = 0
எனப் பெறுகிறோம். இவ்விரு சமன்பாட்டுகளையும் தீர்க்க.
\(x = 1 ,x=\frac { 7 }{ 6} ,x=\frac { 13+\sqrt { 145 } }{ 12 } \) மற்றும் x=\(\frac { 13-\sqrt { 145 } }{ 12 } \)
என சமன்பாட்டின் மூலங்களைப் பெறுகிறோம்.

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

சுரங்க பாதையின் குறுக்கு வெட்டு நீள்வட்ட வடிவில் உள்ளது என்க.

கொடுக்கப்பட்ட AA' = 16மீ \(\Rightarrow\) OA = 8 மீ மற்றும் OB = 5மீ 
\(\therefore\) \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } =1\) 
சாலையின் அகலம் BB' மற்றும் AA' சுரங்கப் பாதை திறப்பின் முனைகள் என்க.
CB = 8 மற்றும் BD = 4
D(8, 4) என்ற புள்ளி நீள்வட்டத்தில் உள்ளது.
\( \frac{8^2}{a^2}+\frac{4^2}{5^2} =1 \\ \Rightarrow a^2 =\frac{25}{9} \times 64 \\ \Rightarrow a =\frac{40}{3} \) 
\( \mathrm{AA}^{\prime} =2 a=\frac{80}{3} \\ =26.66 \) 
சுரங்கப்பாதையின் திறப்பின் அகலம் = 26.66 மீ 

பரவளையம் பாலம் கீழ் நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம் என்க. அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
ஆதலால் 10 மீ உயர மையம் (0, 0) மற்றும் AD = 30மீ 

\(\therefore\) (15,-10) என்ற புள்ளி A ஆனது IV ஆம் கால்பகுதியில் உள்ளது.A(15,-10),(1) ல் அமைந்துள்ளது.
15² = -4a(-10)
\(\Rightarrow \cfrac { 225 }{ 40 } = a\) 
(1) லிருந்து \({ x }^{ 2 }=-4\cfrac { 225 }{ 40 } y\) 
B(6, y₁) பரவளையத்தில் அமைந்துள்ளது.
\( 6^2 =-\frac{225}{10} y_1 \\ y_1 =-\frac{36 \times 10}{225}=\frac{-8}{5}=\frac{8}{5} \\ B C =A C-A B=10-\frac{8}{5} \\ =\frac{50-8}{5}=\frac{42}{5}=8.4 \)
\(\therefore\) இருபுறமும் பாலத்தின் உயரம் = 8.4 மீ 

f(x) = x⁶ − 3x⁵ − 5x⁴ + 22x³ − 39x² − 39x +135 என்க.
கொடுக்கப்பட்ட (1+2i) ஒரு மூலம்  (1-2i) யும் ஒரு மூலம்.
மேலும், \(\sqrt { 3 } \) ஒரு மூலம் ⇒ -\(\sqrt { 3 } \) ஒரு மூலம்
எனவே f(x)-ன் காரணிகள் [x-(1+2i)]
[x-(1-2i)][x-\(\sqrt { 3 } \)][x+\(\sqrt { 3 } \)]
[(x-1)2i][(x-1)+2i][x-\(\sqrt { 3 } \)][x+\(\sqrt { 3 } \)]
((x-1)²+2²)(x²-3) =(x²-2x+1+4)(x²-3)
⇒ f(x) -ன் காரணிகள் (x²-2x+5)(x²-3)
⇒ x⁴-3x²-2x³+6x+5x²-15
⇒ (x⁴-2x³+2x²+6x-15), f(x)-ன் காரணி
மற்ற காரணியை காண f(x) ஐ x⁴-2x³+2x²+6x-15 ஆல் வகுக்க
மற்ற காரணியானது x²-x-9
⇒ x=\(\frac { 1\pm \sqrt { (-1)^{ 2 }-4(1)(-9) } }{ 2 } \)
\(\left[ \because x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \right] \)
⇒ x=\(\frac { 1\pm \sqrt { 37 } }{ 2 } \)
எனவே மற்ற மூலங்கள்
1+2i, 1-2i, \(\sqrt { 3 } \), -\(\sqrt { 3 } \), \(\frac { 1+\sqrt { 37 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 37 } }{ 2 } \).

AS = 94.5 × 10⁶ கி.மீ, SA' = 152 × 10⁶ கி.மீ
a+c = 152 × 10⁶
a-c = 94.5 × 10⁶
கழிக்க 2c = 57.5 × 10⁶ = 575 × 10⁵ கி.மீ
மற்றொரு குவியத்திலிருந்து சூரியனுக்கு உள்ள தூரம் SS' = 575 × 10⁵ கி.மீ.

சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதாலும் 2+i மற்றும் 3-\(\sqrt { 2 } \)  ஆகியவை மூலங்கள் என்பதாலும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு 2-i மற்றும் 3+\(\sqrt { 2 } \) ஆகியவையும் மூலங்களாக அமையும். எனவே (x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) மற்றும் (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) ஆகியவையும் காரணிகளாகும். ஆகையால் இவற்றின் பெருக்கல்
((x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) என்பதும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு காரணியாகும். அதாவது (x²-4x+5)(x²-6x+7)
என்பது ஒரு காரணி. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை இக்காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணியாக (x²-3x-4) பெறப்படுகிறது. இதிலிருந்து 4 மற்றும் −1ஆகியவை மற்ற இரு மூலங்களாகும். எனவே 2+i, 2-i, 3+\(\sqrt { 2 } \), 3-\(\sqrt { 2 } \), -1, மற்றும் 4 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தளம் புள்ளிகள் \(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =9\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \) வழிச் செல்கிறது.
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு \(2x+6y+6z=9\)
இதை இவ்வாறு எழுதலாம் \(\vec { r } .\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \right) =9\)
கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \)க்கு செங்குத்து ஆதலால், தேவையான தளம்   \(\vec { c } =2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \)க்கு இணை ஆகையால் இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் \(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\vec { c } ,s,t\in R\)
\(\vec { r } =2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } +s\left( 7\hat { i } +\hat { j } +5\hat { k } \right) +t\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \right) ,s,t\in R\)
தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } & { { c }_{ 2 } } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 7 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 6 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left( x-2 \right) (6-30)-(y-2)(42-10)+(z-1)(42-2)=0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(-24)-(y-2)(32)+(z-1)(40)=0\) 
\(\Rightarrow -24x+48-32y+64+40z-40=0\) 
\(\Rightarrow -24x-32y+40z+72=0\) 
\(\div -8\) கிடைப்பது
3x + 4y - 5z - 9 = 0 என்பது கார்டீசியன் வடிவம்.
\(\therefore\) வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
\(\vec { r } =\vec { r } .\left( 3\vec { i } +4\hat { j } -5\vec { k } \right) =9\)

தளமானது \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \) 
புள்ளி வழிச் செல்கிறது மற்றும் கோடுகள் \(\cfrac { x-1 }{ 2 } =\cfrac { y+1 }{ 3 } =\cfrac { z-3 }{ 1 } \) 
மற்றும் \(\cfrac { x+3 }{ 2 } \) = \(\cfrac { y-3 }{ -5 } =\cfrac { z+1 }{ -3 } \) 
\(\Rightarrow \vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { c } =2\hat { i } -5\hat { j } -3\hat { k } \) 
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & -3 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -9+5 \right) -\hat { j } \left( -6-2 \right) +\hat { k } \left( 10-6 \right) \) 
= \(-4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \)
தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு 
 \(\left( \vec { r } .\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\left( \vec { r } -2\hat { i } +3\hat { j } +16\hat { k } \right) .\left( -4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \right) =0\) 
 \(\Rightarrow \left[ \vec { r } (-4\hat { \quad i } +8\hat { j } -16\hat { k } ) \right] -(-4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } )]=0\)
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } (-4\hat { \quad i } +8\hat { j } -16\hat { k } ) \right] -\left( -8+24-96 \right) =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -4\hat { i } +8\hat { j } -16\hat { k } \right) =-80\) 
\(\div -4\) , கிடைப்பது
\(\vec { r } .\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) =20\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்க.
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) =20\) 
\(\Rightarrow x-2y+4z=20\Rightarrow x-2y+4z-20=0\)

கொடுக்கப்பட்ட C₂ H₆ + O₂ ➝ H₂O + CO₂
நாம் மிகை எண்கள் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ இவ்வாறு காண வேண்டும்.
x₁ C₂ H₆ + x₂ O₂ ➝ x₃ H₂O + x₄ CO₂ ... (1)
(1) ல் இடது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை வலது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
∴ 2x₁ = 1x₄
⇒ 2x₁ - x₄ = 0                ...(2)
ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
6x₁ = 2x₃
⇒6x₁ - 2x₃ = 0
⇒ 3x₁ - x₃ = 0                ...(3)
மேலும், ஆக்ஸிஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
2x₂ = 1x₃ + 2x₄
⇒ 2x₂ - x₃ - 2x₄ = 0       ...(3)
4 மாறிகளில் அமைந்த நேரியில் சமபடித்தான தொகுப்பு சமன்பாடுகள் (2), (3) மற்றும் (4)
∴ விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
[A|B] \(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை மூலம் கிடைப்பது,
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } - 3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ { -2 } \\ { 3 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 < 4, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரு சாராமாறிக் குடும்ப தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும், ஆகையால் x₄ = t என்க.
ஏறுபடிவத்திலிருந்து சமன்பாடுகளை எழுத கிடைப்பது 
2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ = x₄
⇒ 2x - t
⇒ x₁ = \(\frac{t}{2}\)
4x₂ - 7x₄ = 0
⇒, 4x₂ = 7t ⇒ x₂=\(\frac{7t}{4}\)
-2x₃ + 3x₄ = 0 ⇒ 2x₃ = 3x₄
⇒x₃ = \(\frac{3t}{2}\)
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ மிகை முழுக்கள், ஆதலால், t = 4 என தேர்ந்தெடுக்க
∴ x₁=\(\frac{4}{2}=2\) 

x₄=t=4
ஆகையால் சமநிலைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு 
2C₂H₆ + 7O₂ ⟶ 6H₂O + 4CO₂

அரைவட்ட வளைவு வழிகளின் மையப்புள்ளிகள் O₁ மற்றும் O₂ என்க.
முதல் வளைவு வழியின் மையம் O₁(12, 0) மற்றும் r =10. இதிலிருந்து அந்த அரைவட்டத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
(x −12)² + ( y − 0)² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 24x + 44 = 0 , y > 0 .
இரண்டாம் வளைவு வழியின் மையம் O₂ (34, 0) மற்றும் ஆரம் r = 10. முதல் வளைவு போல இரண்டாம் வளைவு வழியின் சமன்பாடு 
(x − 34)² + y² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 68x +1056 = 0, y > 0 .

மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B
இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 21 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 21 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ 8 \\ 21 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-15{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -6 & 18 \\ 0 & -18 & 54 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ 12 \\ 36 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-6),\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-18) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & - \\ 0 & 1 & -3 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே \(\rho \)(A) = \(\rho \)([A|B]) = 2 < 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x + y - 3z = -1, y - 3z = -2, 0 = 0
இதில் கடைசி சமன்பாடு 0 = 0 வெளிப்படையானது மற்றும் பொருத்தமுடையது.
மேலும் வெளிப்படையற்ற சமன்பாடுகள் இரண்டு உள்ளன. மூன்று தொகுப்பில் மாறிகள் உள்ளன. எனவே மாறிகளில் ஒன்றை நமது விருப்பப்படி நிலை நிறுத்தி மற்ற இரு மாறிகளுக்கான இரு சமன்பாடுகளைப் பெறலாம். எனவே z-ஐ t என்ற மெய்யெண் பெறும் தன்னிச்சை மாறியாகக் கொள்வோம். எனவே நாம் பெறுவது y = 3t - 2, x = -1-(3t - 2) + 3t = 1. எனவே தீர்வானது (x = 1, y = 3t - 2, z = t) ஆகும். இங்கு t என்பது தன்னிச்சை மெய்யெண் ஆகும். மேல் உள்ள தீர்வுக் கணமானது ஒரு சாராமாறி குடும்பத் தீர்வுகள் ஆகும். எனவே கொடுத்துள்ள தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும். இந்த எண்ணற்ற தீர்வுகள் ஒரு குடும்பத் தீர்வுகளாகும்.

ஒரு தோசையின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. y என்க.
ஒரு வடையின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
2x+3y+2z=150
2x+2y+4z=200
5x+4y+2z=250
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \)
=2(4-16)-3(4-20)+2(8-10)
=2(-12)-3(-16)+2(-2)
=-24+48-4=20 ≠ 0 
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 150 & 3 & 2 \\ 200 & 2 & 4 \\ 250 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
C₃ லிருந்து 50ஐ பொதுவில் எடுக்க கிடைப்பது 
\(=50\left| \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50[3(4 - 16) - 3(8 - 20) + 2(16 - 10)]
= 50[- 36 + 36 + 12] = 600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 150 & 2 \\ 2 & 200 & 4 \\ 5 & 250 & 2 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50 [2(8-20)-3(4-20)+2(10-20)]
= 50[-24+48-20] = 200
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 150 \\ 2 & 2 & 200 \\ 5 & 4 & 250 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
=50[2(10-16)-3(10-20)+3(8-10)]
=50[2(-6)-3(-10)+3(-2)]
=50[-12+30-6]=50[12]=600
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 200 }{ 20 } =10\)
\(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
ஆகையால் ஒரு தோசையின் விலை ரூ.30, ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. 10 மற்றும் 1 வடையின் விலை ரூ.30.
மேலும் 3 தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் 6 வடைகளின் விலை
=3x+6y+6z =3(30)+6(10)+6(30)
=90+60+180=ரூ.330
அக்குடும்பத்தினரிடம் ரூ.350 இருப்பதால் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியும்.