\(x= cos \space t, y=2 \space sin^{2}t; t=\frac{\pi}{3}\) 
\(t=\cfrac { \pi }{ 3 } \) ல்,\(x=cos\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(t=\cfrac { \pi }{ 3 } \) ல் \(y=2{ sin }^{ 2 }\cfrac { \pi }{ 3 } =2\left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) =\cfrac { 3 }{ 2 } \) 
புள்ளி \(\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,\cfrac { 3 }{ 2 } \right) \) 
இப்போது \(x=cos \space t\) \(y=2 \space { sin }^{ 2 }t\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(\cfrac { dx }{ dt } =-sint\)  \(\cfrac { dy }{ dt } =4 \space sin \space t \space cost\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு 
\(m=\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 4 \space sin \space t \space cost }{ -sin \space t } =-4 \space cos \space t\) 
\(\left( \cfrac { dx }{ dy } \right) _{ (t=\pi /3) }=-4cos\cfrac { \pi }{ 3 } =-2\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { 3 }{ 2 } =-2\left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow 2y-3=-4x+2\) 
\(\Rightarrow 4+2y-5=0\) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { 3 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow 2(2y-3)=2x-1\) 
\(\Rightarrow 4y-6=2x-1\) 
 \(\Rightarrow 2x-4y+5=0\)

\(P=\frac{234+16x}{x+3}\)
எனவே , \(\frac{dP}{dt}= - \frac{186}{(x+3)^{2}}\times \frac{dx}{dt}\).
\(x=90, \frac{dx}{dt}=15\) எனப் பிரதியிட, \(\frac{dP}{dt}= -\frac{186}{93^{2}}\times 15= -\frac{10}{31}\approx -0.32\) ரூபாய் / வாரம் எனக் கிடைக்கிறது.
அதாவது விலையில் மாற்றம் உண்மையில் வாரத்திற்கு 0.32 ரூபாய் எனும் வீதத்தில் குறைகிறது.

\(\theta =2\frac { \pi }{ 3 } \) எனில்
z ஐ சுற்றினால், \({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 3 } }\)
\({ ze }^{ i\theta }=2{ e }^{ -i2\frac { \pi }{ 4 } }.{ e }^{ -i\frac { \pi }{ 3 } }\) [(1) ஐ பயன்படுத்தி]
\(=2\sqrt { 2 } { e }^{ \left( i\frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 4 } \right) }=2{ e }^{ -i5\frac { \pi }{ 12 } }\)

A = \(\left[ \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 4 வரிசையுடைய அணி.
எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3, 4} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை
\(\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 6 & 7 & -1 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ -3 & -1 & 4 \\ 6 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \\ 7 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\rho \)(A) < 3 அடுத்து 2-ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்.
ஏனெனில் \(\left| \begin{matrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right| \)= -4 + 9 = 5 ≠ 0
எனவே, \(\rho \)(A) = 2.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { (x-11) }^{ 2 } }{ 484 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 64 } =1\). 
சிறுநீரகக் கற்களைக் கரைக்க ஒலி அலைகள் தோன்றும் இடமும் நோயாளியின் சிறுநீரகக் கல்லும் குவியங்களில் உள்ளவாறு அமைய வேண்டும்.
a² = 484 மற்றும் b²=64
c² = a² -b²
= 484-64
= 420
c ≃ 20.5 .
நோயாளியின் சிறுநீரகக்கல் நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சில் மையத்திலிருந்து 20.5 செ.மீ தூரத்தில் இருக்க வேண்டும்.

கெழுக்களின் கூடுதல்
2 - 9 + 10 - 3 = 12 - 12 = 0 ஆதலால்
⇒ x = 1 என்பது f(x) -ன் ஒரு மூலம்
∴ (x - 1) என்பது f(x)- ஒரு காரணி
மற்ற காரணியை காண f(x) ஐ x-1 ஆல் வகுக்க

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி]
f(x) = (x - 1)(x - 3)(2x - 1) = 0
⇒ x - 1 = 0, x - 3 = 0 or 2x - 1 = 0
⇒ x = 1, x = 3, x = \(\frac{1}{2}\)
எனவே மூலங்கள் 1, 3, \(\frac{1}{2}\).

\(\frac { 3 }{ 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) .6\left( cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \left( 6 \right) \left( cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left(- cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) =-\frac { 9\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 9i }{ 2 } \)
இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது

மையம் (2, 1) உடைய வட்டத்தில் 3x + 4y +10 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டு AB என்ற நாணை வெட்டுகிறது. AB-ன் மையப்புள்ளி M என்க.
AM = BM = 3. BMC ஒரு செங்கோண முக்கோணம் 
\(CM=\frac { |3(2)+4(1)+10| }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =4.\)
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி BC² = BM² + MC² = 3² + 4² = 25.
BC = 5 = ஆரம் 
தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு (x-2)² + (y-1)² = 5²
அதாவது x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0

கொடுக்கப்பட்டது  v =3 - 4i
w = 4 + 3i மற்றும் w = 3i + 4 = i (3 - 4i) = iv 
கொடுக்கப்பட்டது \(\frac { 1 }{ u } +\frac { 1 }{ v } +\frac { 1 }{ w } \)
∴ \(\frac { 1 }{ u } =\frac { 1 }{ 3-4i } +\frac { 1 }{ 4+3i } \)
\(=\frac { 3+4i }{ (3-4i)(3+4i) } +\frac { 4-3i }{ (4+3i)(4-3i) } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 9-({ 4i })^{ 2 } } +\frac { 4-3i }{ 16-{ (3i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 9+16 } +\frac { 4-3i }{ 16+9 } \)
\(=\frac { 3+4i }{ 25 } +\frac { 4-3i }{ 25 } =\frac { 3+4i+4-3i }{ 25 } \)
\(\frac { 1 }{ u } =\frac { 7+i }{ 25 } \)
\(\therefore u=\frac { 25 }{ 7+i } \times \frac { 7-i }{ 7-i } =\frac { 25(7-i) }{ { 7 }^{ 2 }-{ (i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 25(7-i) }{ 49+1 } =\frac { 25(7-i) }{ 50 } =\frac { 1 }{ 2 } (7-i)\)
\(\therefore u=\frac { 1 }{ 2 } (7-i)\)

z, iz மற்றும் z + iz  ஐ ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z = 2 + 3i (2,3) எனக் குறிக்கலாம்.
iz = i (2 + 3i) = 2i + 3i² = 2i -3 = -3 + 2i (-3, 2) எனக் குறிக்கலாம்.
z + iz = 2 + 3i; -3 + 2i = -1 + 5i (-1, 5) என ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

z₁ =(2 + i)x + (1 - i)y + 2i - 3 = (2x + y - 3) + i(x - y + 2) மற்றும்
z₂ = x + ( -1 + 2i)y + 1 + i = (x - y  + 1) i(2y + 1) என்க.
z₁ = z₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, (2x + y - 3) + i(x - y + 2) = (x - y  + 1) + i(2y + 1)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த
2x + y - 3 = x - y + 1 ⇒ x + 2y = 4
x - y + 2 = 2y + 1 ⇒ x - 3y = -1
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
x = 2 மற்றும் y = 1 எனப்பெறலாம்.

\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 20 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \frac { 22 }{ 3 } \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 16 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 3R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 22 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 48 \end{matrix} \right] \)

\(s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t+1\) ஐ வகையிட, v(t)= 3t²-12t+9 மற்றும் a(t)=6t-12 எனக் கிடைக்கிறது.   
(i) v(t) = 0 எனும் போது துகள் ஓய்வினை அடைகிறது. எனவே , v(t)=3(t-1)(t-3)=0 என்பதன் மூலம், t=1 மற்றும்  t=3 எனக்கிடைக்கிறது.
(ii) v (t) ஆனது குறியினை மாற்றும் போது துகளின் திசை மாறும். இப்பொழுது 
\(0\le t< 1\) எனில் (t −1) மற்றும் (t-3)<0 ஆகையால் v(t)>0 ஆகும்.
1< t < 3 எனில் (t −1) > 0 மற்றும் (t-3)<0 ஆகையால் v(t)<0 ஆகும்.
t > 3 எனில் (t −1) மற்றும் (t-3)>0 ஆகையால் v(t)>0 ஆகும்.
எனவே t =1 மற்றும் t = 3 எனும்போது துகளின் திசை மாறும்.
 (iii) t = 0 நேரத்திலிருந்து t = 2 வரை துகள் பயணிக்கும் மொத்த தூரம்,
\(|s(0)-s(1)|+|s(1)+s(2)|=|1-5|+|5-3|=6\) மீட்டர்கள் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட lx²+nx+n=0 -ன் மூலங்கள் p,q
இங்கு a=l, b=+n, c=n
மற்றும் p+q=\(\frac { -b }{ a } =\frac { -n }{ l } \)    .....(1)
pq=\(\frac { c }{ a } =\frac { n }{ l } \)   .........(2)
கருதுக \(\left( \sqrt { \frac { p }{ q } } +\sqrt { \frac { q }{ p } } +\sqrt { \frac { n }{ l } } \right) \)
=\(\frac { p }{ q } +\frac { q }{ p } +\frac { n }{ l } +2\sqrt { \frac { pq }{ qp } } +2\sqrt { \frac { qn }{ pl } } +2\sqrt { \frac { np }{ ql } } \)
[∵ (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca]
⇒ \(\frac { { p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 } }{ pq } +\frac { n }{ l } +2+2\sqrt { \frac { p }{ q } .pq } +2\sqrt { \frac { q }{ p } .pq } +2\sqrt { \frac { p }{ q } .pq } \)
=\(\frac { (p+q)^{ 2 }-2pq }{ pq } +\frac { n }{ l } +2+2\sqrt { { p }^{ 2 } } +2\sqrt { { q }^{ 2 } } \)
=\(\frac { (p+q)^{ 2 } }{ pq } -\frac { 2pq }{ pq } +\frac { n }{ l } \)+2+2p+2q

= \(\frac { { n }^{ 2 } }{ { l }^{ 2 }.\frac { n }{ l } } +\frac { n }{ l } -\frac { 2n }{ l } \) [∵ p+q=\(\frac{-n}{l}\)]
⇒ \(\frac { n }{ l } +\frac { n }{ l } -\frac { 2n }{ l } \quad \left( \sqrt { \frac { p }{ q } } +\sqrt { \frac { q }{ p } } +\sqrt { \frac { n }{ l } } \right) ^{ 2 }\)=0
இருபுறமும் வர்க்க மூலம் காண, கிடைப்பது
\(\sqrt { \frac { p }{ q } } +\sqrt { \frac { q }{ p } } +\sqrt { \frac { n }{ l } } \)=0

கொடுக்கப்பட்ட குவியங்கள் \(\left( \pm ,0 \right) \)
\(\Rightarrow ae=2\) மற்றும் மையம் (0, 0)
\(a\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) =2\Rightarrow a=\cfrac { 4 }{ 3 } \)
b² = a²(e²-1)

\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { 4\times 5 }{ 9 } =\cfrac { 20 }{ 9 } \)
\(\therefore\) அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { 9x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { 9y }^{ 2 } }{ 20 } =1\)
(ii) ae = மையம் மற்றும் குவியத்திற்கு இடைப்பட்ட தூரம் 
\(ae=\sqrt { \left( 8-2 \right) ^{ 2 }-\left( 1-1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { { 6 }^{ 2 } } =6\)
மேலும் \(\cfrac { a }{ e } \) = மையம் மற்றும் இயக்கு வரைக்கு இடைப்பட்ட தூரம் 
\(\cfrac { a }{ e } =\sqrt { \left( 4-2 \right) ^{ 2 }+\left( 1+1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { { 2 }^{ 2 } } =2\)
[\(\therefore\) (4, 1) இயக்குவரை மீது அமைந்துள்ள புள்ளி ]

\(\Rightarrow\) a² = 12
(1) \(\rightarrow\)  a²e² = 36
12(e²) = 36
\(\Rightarrow\) e² = 3
\(\Rightarrow\) \(e=\sqrt { 3 } \)
மேலும் b² = a²(e²-1) = 12(3-1) = 12(2) = 24
\(\therefore\) அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { \left( x-h \right) ^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { \left( y-k \right) ^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { \left( x-2 \right) ^{ 2 } }{ 12 } -\cfrac { \left( y-1 \right) ^{ 2 } }{ 24 } =1\)
(iii) (5, -2) வழிச் செல்வது மற்றும் குற்றச்சின் நீளம் 8 அலகுகள் நெட்டச்சு x அச்சு 
\(2a=8\Rightarrow a=4\)
நெட்டச்சு x-அச்சு ஆதலால் மையம்(0, 0) அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
(5, -2) பரவளையத்தின் வழிச் செல்கிறது ஆதலால் 
\(\cfrac { 25 }{ 16 } -\cfrac { 4 }{ { b }^{ 2 } } \Rightarrow \cfrac { 4 }{ { b }^{ 2 } } =\cfrac { 25 }{ 16 } =1\)
= \(\cfrac { 25-16 }{ 16 } =\cfrac { 9 }{ 16 } \)
\(\therefore { b }^{ 2 }=\cfrac { 16\times 4 }{ 9 } =\cfrac { 64 }{ 9 } \)
\(\therefore\) அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 64 }{ 9 } } =1\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { 9{ y }^{ 2 } }{ 64 } =1\)

\({ \tan }^{ -1 }\frac { x }{ y } -{ \tan }^{ -1 }\frac { x-y }{ x+y } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x }{ y } -\frac { x-y }{ x+y } }{ 1+\frac { x }{ y } \left( \frac { x-y }{ x+y } \right) } \right) \)
[∵ tan^-1 x - tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(x+y)-y(x-y) }{ y(x+y) } }{ \frac { y(x+y)+x(x-y) }{ y(x+y) } } \right) \)

= tan^-1 (1) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

x கேள்விகளுக்கு சரியாக பதில் அளித்திருப்பார் மற்றும் y கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y =100 மற்றும் 
\(x-\frac { 1 }{ 4 } y=80...(1)\)
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது 
4x-y=320      ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -1/4 \end{matrix} \right| =-1/4-1=-5/4 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 100 & 1 \\ 80 & -1/4 \end{matrix} \right| =-25-80=-105\)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 100 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right| =80-100=-20\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\frac { -105 }{ -5/4 } =21 \times 4 =+84\)
மற்றும் \(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -5/4 } =4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) 84 கேள்விகளுக்குச் சரியான பதில் அளித்திருப்பார்.
16 கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார்.

ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
\(\frac { 4 }{ x } +\frac { 4 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ y } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\(\frac { 1 }{ x } =s\) மற்றும் \(\frac { 1 }{ y } =t\) என பிரதியிடு 
\(\therefore 4s+4t=\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(2s+5t=\frac { 1 }{ 4 } \)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s \\ t \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
X=A^-1 B 
இங்கு \(|A|=\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| =20-8=12\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 3 } -1 \\ \frac { -2 }{ 3 } +1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 18 } \\ \frac { 1 }{ 36 } \end{matrix} \right] \)
\(\therefore s=\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow x=18\)
\(t=\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow y=36\)
ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.

2x − y = 8, 3x + 2y = −2
தொகையின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \)
⇒ AX=B இங்கு A\(=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B.\)
இப்பொழுது \(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] =4+3=7\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 16 & -2 \\ -24 & -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 14 \\ -28 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 14 }{ 7 } \\ \frac { -28 }{ 7 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=2,\quad y=-4\)
எனவே, தீர்வுக் கணம்{2,-4}

\(\vec { p } =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \)என எடுத்துக்கொண்டு \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) \)-ன் விரிவாக்கம் காண்போம்
\((\vec { a } \times \vec { b } )\times(\vec{c}\times\vec{d})=\vec{p}\times(\vec{c}\times\vec{d})\)
= \((\vec { p } .\vec { d } )\vec { c } -(\vec { p } .\vec { c } )\vec { d } \)
= \(((\vec { a } \times \vec { b } ).\vec { d } )\vec { c } -((\vec { a } \times \vec { b } ).\vec { c } )\vec { d } =[\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } ]\vec { c } -[\vec { a }, \vec { b }, \vec { c } ]\vec { d } \)
இவ்வாறே,\(\vec { q } =\vec { c } \times \vec { d } \) என எடுத்துக்கொண்டால்
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { q } \)
= \(\left( \vec { a } .\vec { q } \right) \vec { b } -\left( \vec { b } .\vec { q } \right) \vec { a } \)
= \(\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { b } -\left[ \vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { a } \)

\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }\) என்க.
\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }={ \left[ 2\left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ 2 } \right) \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right] }^{ n }\) [2 ஆல் பெருக்கி வகுக்க]
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ cos\frac { \pi }{ 6 } +i \ sin\frac { \pi }{ 6 } \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } +i\ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)  ...(1)
\(\bar { z } ={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \) ...(2)
ஆதலால் z என்பது மெய், z = \(\bar { z } \)
⇒ \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } +isin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(\Rightarrow 2i \ sin\ n\frac { \pi }{ 6 } =0\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =0\)
\(\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =sin \ \pi \)
\(\Rightarrow \frac { n\pi }{ 6 } =\pi \Rightarrow \frac { n }{ 6 } =1\Rightarrow n=6\)

z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், மட்டுமே \(z=\bar { z } \)
z = x + iy என்க.
பிறகு \(\bar { z } \) = x- iy
z = \(\bar { z } \) 
⇔ x + iy = x-iy
⇔ x + iy - x + iy = 0
⇔ 2iy = 0
⇔ y = 0
[∵ 2 மற்றும் i மாறிலிகள்]
y = 0, எனில் z = x இது மெய்
∴ z முழுவதும் மெய் ⇔ \(z=\bar { z } \)

கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = - 4 + 3i
z₁ z₂ = (2 + i)(- 4 + 3i)
= - 8 + 6i + 4i - 3i²
= -8 + 10i - 3(-1)
= -8 + 10i + 3 = - 5 + 10i
z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ -5+10i } \times \frac { -5-10i }{ -5-10i } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { (-5) }^{ 2 }-({ 10i })^{ 2 } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { 25-{ 100i }^{ 2 } } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ 25+100 } \)  [∵ i²=1]

∴ z₁z₂ - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 25 } (-1-2i)\)
\(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } \)
∴ நேர்மாறு \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } =\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -8-4i+6i+{ 3 }i^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 }-{ (i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { -8+2i-3 }{ 4+1 } =\frac { -11+2i }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)
∴ \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)