அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் 'T' மட்டுமே உள்ளது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கூற்று ஒரு மெய்மம் ஆகும்.

\(N\times N\rightarrow \) ஆனது \((a,b)\rightarrow a-b\) 
'_ ' ஆனது N ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது ஏனெனில் (2,5)ன் \(\varepsilon N\times N\) -க்கு -\(-(2,5)=2-5=-3\notin N\) 

இதேபோல்,\(\div \) ஆனது N ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது. எடுத்துக்காட்டாக,\((1,2)\varepsilon N\times N\) க்கு \(\div (1,2)=\cfrac { 1 }{ 2 } \notin N\) .

\(P(X=x)=^{ n }{ C }_{ x }{ p }^{ x }{ q }^{ n-x }\) 
கொடுக்கப்பட்டது,\(P(X=3)=2P(X=2)\) 
\(^{ 5 }{ C }_{ 3 }{ p }^{ 3 }{ q }^{ 2 }=2\left( ^{ 5 }{ C }_{ 2 }{ p }^{ 2 }{ q }^{ 3 } \right) \) 
\(\\ p=2q\\ p=2(1-p)\\ 3p=2\\ p=\cfrac { 2 }{ 3 } \)

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 1+{ y }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } =\cfrac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } } =\int { \cfrac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \) 
\({ tan }^{ -1 }(y)=-{ tan }^{ -1 }(x)+c\) 
\({ tan }^{ -1 }(y)+{ tan }^{ -1 }(x)=c\)

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(cos\cfrac { dy }{ dx } =a\) 
இச்சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } ={ cos }^{ -1 }a\) என எழுதலாம்.
\(dy=\left( { cos }^{ -1 }a \right) dx\) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { dy } =\int { \left( { cos }^{ -1 }a \right) } dx\) 
\(y=\left[ { cos }^{ -1 }\left( a \right) \right] x+c\)    ...(1)
கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடு:
x=0 எனும்போது y=2
சமன்பாடு (1),\(2=\left[ { cos }^{ -1 }\left( a \right) \right] 0+c\) என மாறுகிறது.
2=c 
\(y=\left[ { cos }^{ -1 }(a) \right] x+2\) 
\(\cfrac { y-2 }{ x } ={ cos }^{ -1 }(a)\Rightarrow cos\left( \cfrac { y-2 }{ x } \right) =a\)

\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { sinx }{ sinx+cosx } dx } \) ...(1) 
\(\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } =\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x) } dx\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { sin\left( \pi /2-x \right) }{ sin\left( \pi /2-x \right) +cos\left( \pi /2-x \right) } dx } \)  
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { cosx }{ cosx+sinx } dx } \) 
(1) ....(2) 
= \(2I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( \cfrac { sinx+cosx }{ sinx+cosx } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ dx } =\left[ x \right] _{ 0 }^{ -\pi /2 }\) 
\(2I=\cfrac { \pi }{ 2 } \Rightarrow I=\cfrac { \pi }{ 4 } \)
 

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { e }^{ x }+1 } } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } } dx } \) 
\(-\left[ log\left( 1+{ e }^{ -x } \right) \right] _{ 0 }^{ 1 }\) 
=\(log2-log\left( 1+\cfrac { 1 }{ e } \right) \) 
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { e }^{ x }+1 } =log\left( \cfrac { 2e }{ 1+e } \right) } \)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { e }^{ x }+{ e }^{ -x } } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { { e }^{ x }dx }{ \left( { e }^{ 0 } \right) ^{ 2 }+1 } } } \) 
\(t={ e }^{ x },dt={ e }^{ x }dx\) 
\(\int _{ 1 }^{ e }{ \cfrac { dt }{ { t }^{ 2 }+1 } } \) 
= \(\left[ { tan }^{ -1 }t \right] _{ 1 }^{ e }\) 

= \({ tan }^{ -1 }e-{ tan }^{ -1 }\) 
= \({ tan }^{ -1 }\left( e \right) -\cfrac { \pi }{ 4 } \)

\(u={ xy }^{ 2 }sin\left( x/y \right) \) 
\(u\left( \lambda x,\lambda y \right) =\lambda x{ \lambda }^{ 2 }sin\left( \lambda x/\lambda y \right) \) 
=  \({ \lambda }^{ 3 }{ xy }^{ 2 }sin\left( x/y \right) \) 
ஃ என்பது படி 3 உடைய சமப்படிதான சார்பாகும்.
 \(\therefore x\cfrac { \partial u }{ \partial x } +y\cfrac { \partial u }{ \partial y } =3u\)
 

\(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+{ 2x }^{ 2 }\) 
\(f'\left( x \right) ={ 3x }^{ 2 }+4x\) 
\(dy=\left( { 3x }^{ 2 }+4x \right) dx\) 
\(dy=\left( 3\left( 4 \right) +4\left( 2 \right) \right) 0.1\) 
= \(\left( 12+8 \right) 0.1\) 
= \(20\times 0.1=2\)

y=2-x²
y'=-2x 
yn=-2<0 எல்லா x க்கும் 
எனவே வளைவரை எல்லா இடத்தும் கீழ்நோக்கி குழிவானது. (மேல்நோக்கி குவிவானது).

\(f(x)={ x }^{ 3 }-8\) 
\({ f }^{ ' }(x)={ 3x }^{ 2 }\) 
எல்லா \(x\varepsilon [1,2]\) க்கும் \(f'(x)>0\) 
\(\therefore \left[ 1,2 \right] \) ல் f(x) ஒரு கூடும் சார்பு 

\(R(x)={ 3x }^{ 2 }+36x+5\) 
இறுதிநிலை வருவாய் 
\(MR=\cfrac { dR }{ dx } =6x+36\) 
x=5 எனும்போது,\(MR=6(5)+36=66\)
 

வட்டத்தின் பரப்பு 
\(A={ \pi r }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { dA }{ dr } =2\pi r\) 
r=3 செ.மீ எனும்போது 
\(\cfrac { dA }{ dr } =2\pi \times 3\)

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து வெக்டர்கள் 
\(\Leftrightarrow \left| \left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \right| \Leftrightarrow \left| \left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \right| =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \left| \vec { c } \right| \) 
\(\Leftrightarrow \left| \left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \right| =abc\)

\(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } =\vec { 0 } \) 
\(\vec { a } +\vec { b } =-\vec { c } \) 
\(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) =\left( -\vec { c } \right) ^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow \left( \vec { a } \right) ^{ 2 }+\left( \vec { b } \right) ^{ 2 }=\left( -\vec { c } \right) ^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow \left| \vec { a } \right| ^{ 2 }+\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }+2\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| cos\theta =\left| \vec { c } \right| ^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow { 3 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }+2(3)(5)cos\theta ={ 7 }^{ 2 }\) 
\(cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =\cfrac { \pi }{ 3 } \)

\(\vec { a } =7\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \) ;\(\vec { b } =2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \) என்க.
\(\vec { b } \) ன் மீது \(\vec { a } \) ன் வீழல் = \(\cfrac { \vec { a } .\vec { b } }{ \left| \vec { b } \right| } \) 
= \(\cfrac { \left( 7\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right) .\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \right) }{ \left| 2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \right| } \) 
= \(\cfrac { 14+6-12 }{ \sqrt { 4+36+9 } } =\cfrac { 8 }{ 7 } \)

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }=25,{ b }^{ 2 }=9,e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 9 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
\(\therefore ae=4\) 
குவியங்கள் \(\left( \pm ae,0 \right) =\left( \pm 4,0 \right) \) 
கொடுக்கப்பட்டது :
அதிபரவளையத்தின் குவியம், நீள்வட்டத்தின் குவியத்தின் மேல் அமைவதால் அதிபரவளையத்தின் குவியம் \(\left( \pm ae,0 \right) =\left( \pm 4,0 \right) \) 
\(\therefore ae=4\) 
கொடுக்கப்பட்டது :
அதிபரவளையத்தின் மையத்தொலைத்தகவு = 2
\(a(2)=4\Rightarrow a=2\) 
அதிபரவளையத்திற்கு \({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \) 
= \({ a }^{ 2 }{ e }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }\) 
= 16 - 4 = 12
ஃ அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு   \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)

\(\cfrac { \left( y+2 \right) ^{ 2 } }{ 9 } -\cfrac { \left( x-2 \right) ^{ 2 } }{ 2 } =1\) 
குறுக்கச்சு y-அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது.
\({ a }^{ 2 }=9\) 
a = 3
\({ b }^{ 2 }=4\) 
b = 2
\({ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) 
= 9 + 4
\({ c }^{ 2 }=13\) 
\(c=\sqrt { 13 } \) 
\(ae=\sqrt { 13 } \) 
\(3e=\sqrt { 13 } \Rightarrow e=\cfrac { \sqrt { 13 } }{ 3 } \) 
மையம் (h,  k) = (2, -2)
இயக்குவரைகள் \(y=\pm \cfrac { a }{ e } +k\) 
= \(\pm \cfrac { 3 }{ \frac { \sqrt { 13 } }{ 3 } } -2\) 
\(y=\pm \cfrac { 9 }{ \sqrt { 13 } } -2\) 

செவ்வகல நீளம் = \(\cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \) 
= \(\cfrac { 2(4) }{ 3 } =\cfrac { 8 }{ 3 } \)

குறுக்கச்சு x-அச்சுக்கு இணையாக உள்ளதால் சமன்பாடு 
\(\cfrac { \left( x-h \right) ^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { \left( y-k \right) ^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) எனும் வடிவில் இருக்கும்.
இங்கு மையம்  \(C(h,k)=(1,2)\) 
துணை அச்சின் நீளம் 2b = 4 மற்றும் e = 2
\({ b }^{ 2 }=a^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \) 
\(4={ a }^{ 2 }\left( 4-1 \right) \) 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
ஃ தேவையான சமன்பாடு  \(\cfrac { \left( x-1 \right) ^{ 2 } }{ 4/3 } -\cfrac { \left( y-2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } =1\)

P(x, y) என்பது அதிபரவளையத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
இயக்குவரைக்கு செங்குத்தாக PM-ஐ வரைக.
வரையறைப்படி \(\cfrac { FP }{ PM } =\Rightarrow { FP }^{ 2 }={ e }^{ 2 }.{ PM }^{ 2 }\) 
அதாவது \(\left( x-1 \right) ^{ 2 }+\left( y-2 \right) ^{ 3 }=3\left( \cfrac { 2x+y-1 }{ \sqrt { 4+1 } } \right) ^{ 2 }\) 
\(\left( x-1 \right) ^{ 2 }+\left( y-2 \right) ^{ 2 }=\cfrac { 3 }{ 5 } \left( 2x+y-1 \right) ^{ 2 }\) 
அதாவது \({ 7x }^{ 2 }+12xy-{ 2y }^{ 2 }-2x+14y-22=0\) 
இதுவே, தேவையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு ஆகும்.

\({ cos }^{ -1 }\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =y\) என்க 
\(\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =cosy\) 
\(cos\cfrac { \pi }{ 3 } =cos\gamma \) 
\(y=\cfrac { \pi }{ 3 } \) 
\({ sin }^{ -1 }\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) =x\) என்க 
 \(-\cfrac { 1 }{ 2 } =sinx\) 
\(sin\left( \cfrac { -\pi }{ 6 } \right) =sinx\) 
\(x=\cfrac { -\pi }{ 6 } =sinx\) 
\(x=\cfrac { -\pi }{ 6 } \) 
\({ cos }^{ -1 }\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) -{ sin }^{ -1 }\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\cfrac { \pi }{ 3 } -2\left( -\cfrac { \pi }{ 6 } \right) \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 2\pi }{ 3 } \)

\({ tan }^{ -1 }\left( sin\left( \cfrac { -\pi }{ 2 } \right) \right) ={ tan }^{ -1 }\left( -sin\left( \cfrac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) 
= \({ tan }^{ -1 }\left( -1 \right) =\cfrac { \pi }{ 4 } \)

தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் கெழுக்களை தலைகீழ் வரிசையில் மாற்றி அமைக்க வேண்டும். அதாவது \({ 5x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }+7{ x }^{ 2 }-5x+1=0\) என்பது தேவையான சமன்பாடாகும்.

\(\cfrac { \left( cos\theta +isin\theta \right) }{ \left( sin\theta +icos\theta \right) } =\cfrac { \left( cos\theta +isin\theta \right) ^{ 4 } }{ { i }^{ 5 }\left( \frac { 1 }{ i } sin\theta +cos\theta \right) ^{ 5 } } \) 
\(\cfrac { \left( cos\theta +isin\theta \right) ^{ 4 } }{ i\left( cos\theta -isin\theta \right) } =\cfrac { \left( cos\theta +isin\theta \right) ^{ 4 } }{ i\left( cos\theta +isin\theta \right) } \\ \) 
=  \(\cfrac { 1 }{ i } \left[ cos\theta +isin\theta \right] ^{ 0 }\) 

= \(sin9\theta -icos9\theta \)

\(z=-1-i\) என்க.
z ன் மட்டு \(r=|z|=\sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+\left( -1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \) 
'α' என்பது குறுங்கோணம் என்க மற்றும் 
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \cfrac { -1 }{ -1 } \right| ={ tan }^{ -1 }(1)=\cfrac { \pi }{ 4 } \) 
zஐக் குறிக்கும் புள்ளி (-1,-1) என்பது மூன்றாம் கால்வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
ஃ முதன்மைவீச்சு  \(\theta =\alpha -\pi =\cfrac { \pi }{ 4 } -\pi =-3\cfrac { \pi }{ 4 } \) 
வடிவம் \(z=r\left( cos\theta +isin\theta \right) \) 
\(-1-i=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( -3\cfrac { \pi }{ 4 } \right) +isin \right] \) 
= \(\sqrt { 2 } \left[ cos3\cfrac { \pi }{ 4 } -isin3\cfrac { \pi }{ 4 } \right] \)

\(z={ 4i }^{ 40 }-5{ i }^{ 35 }+{ 6i }^{ 17 }+2\) 
= \({ 4(1) }^{ 10 }-5\left( 1 \right) ^{ 8 }\left( -i \right) +6(1)i+2\) 
= 4+5i+6i+2
= 6+11i
\(\left| z \right| =\left| 6+11i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 11 }^{ 2 } } \) 
= \(\sqrt { 36+121 } =\sqrt { 157 } \)

கொடுக்கப்பட்டது 4x+i(3x-y)=3-6i  
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த 
\(4x=3\Rightarrow x=\cfrac { 3 }{ 4 } \) 
\(3x-y=-6\) 
\(3\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) -y=-6\) 
\(y=\cfrac { 9 }{ 4 } +6=\cfrac { 33 }{ 4 } \)

(i) \({ i }^{ 4n+1 }={ i }^{ 4n }i=\left( { i }^{ 4 } \right) ^{ n }i\) 
= \(\left( 1 \right) ^{ n }i=i\) 
(ii) \({ i }^{ 3 }+{ i }^{ -3 }={ i }^{ 3 }+\left( { i }^{ 3 } \right) ^{ -1 }\) 
=  \(-i+(-i)^{ -1 }\) 
= \(-i-\cfrac { 1 }{ i } =-i+i=0\) 

\({ i }^{ 57 }={ i }^{ 56 }{ i }^{ 1 }\) 
= \(\left( { i }^{ 4 } \right) ^{ 14 }=i\) 
= \(\left( { i }^{ 125 } \right) ={ i }^{ 124 }i=\left( { i }^{ 4 } \right) ^{ 31 }i=\left( i \right) ^{ 31 },i=1\) 
\(\therefore { i }^{ 57 }+\cfrac { 1 }{ { i }^{ 125 } } =i+\left( \frac { 1 }{ i } \times \frac { i }{ i } \right) \) 

= \(i+\cfrac { i }{ { i }^{ 2 } } =i-i=0\)  

|A|=1(0+3)+1(0+6)+(0-4)
=3+6-4=5
\(\cfrac { |adjB| }{ |c| } =\cfrac { |adj(adjA)| }{ |5A| } \) 
= \(\cfrac { |A|^{ (3-1)^{ 2 } } }{ { 5 }^{ 3 }|A| } =\cfrac { \left| A \right| ^{ 4 } }{ { 5 }^{ 3 }.|A| } =\cfrac { \left| A \right| ^{ 3 } }{ { 5 }^{ 3 } } =\cfrac { { 5 }^{ 3 } }{ { 5 }^{ 5 } } =1\)

\({ A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{matrix} \right] \) 
= \(3\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \) 
A²=3A
A³=A2.A=3A.A=3A²
=3.3A=32A=33-1A
A²⁰¹³=3²⁰¹²A

\({ A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] =2\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] =2A\) 
= \({ A }^{ 3 }=A.{ A }^{ 2 }=A.2A=2{ A }^{ 2 }=2(2A)\) 
= 22 . A = 23 - 1A 
\({ A }^{ 2013 }={ A }^{ 2012 }A\)

A²=AxA 
=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} 1+10-2 & 2+4-1 & 1+12-3 \\ 5+10-12 & 10+4-6 & 5+12-18 \\ -2-5+6 & -4-2+3 & -5-6+9 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} 9 & 5 & 10 \\ 3 & 8 & -1 \\ -1 & -3 & 1 \end{matrix} \right] \) 
\(A^{ 3 }=A2XA\) 

= \(\left[ \begin{matrix} 9 & 5 & 10 \\ 3 & 8 & -1 \\ -1 & -3 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} -9+25-20 & 18+10-10 & 9+30-30 \\ 3+40+2 & 6+16+1 & 3+48+3 \\ -1-15-2 & -2-6-1 & -1-18-3 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} 14 & 18 & 9 \\ 45 & 23 & 54 \\ -18 & -9 & -22 \end{matrix} \right] \)

குவியங்கள் x-அச்சின் மீதுள்ளதால் அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
கொடுக்கப்பட்ட குறுக்கச்சு = \(\cfrac { 3 }{ 4 } \) ( துணையச்சு)
\(\Rightarrow 2b=\cfrac { 3 }{ 4 } \left( 2a \right) \Rightarrow b=\cfrac { 3a }{ 4 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { { 9a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\therefore e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { { 9a }^{ 2 } }{ { 16a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 9 }{ 16 } } =\sqrt { \cfrac { 25 }{ 16 } } =\cfrac { 5 }{ 4 } \) 
\(\therefore e=\cfrac { 5 }{ 4 } \) 

தளங்கள் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) மற்றும் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) செங்குத்து எனில் \({ \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 }=0\)
இங்கு \({ \vec { n } }_{ 1 }=\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { { n }_{ 2 } } =\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } \)
∴ \({ \vec { n } }_{ 1 }{ .\vec { n } }_{ 2 }=(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } )=0\)
⇒ \(\lambda +4-21=0\Rightarrow \lambda -17=0\Rightarrow \lambda =17\)

(\(\vec { a } \)) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் (\(\vec { b } \)) இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்.
\(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } ,t\epsilon R\)
⇒ இங்கு \(\vec { a } =2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \)
∴ \(\vec { r } =(2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\), t ∈ R என்பது தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு

p(x) = x⁷-6x⁶+7x⁵+5x²+2x+2  என்க 
இது ஒரே ஒரு குறி மாற்றத்தை கொண்டுள்ளது 
இங்கு 
p(-x) = (-x)⁷-6(-x)⁶+7(-x)⁵+5(-x)²+2(-x)+2
= -x⁷-6x⁶-7x⁵+5x²-2x+2
இது இரண்டு குறி மாற்றங்களை கொண்டுள்ளது. எனவே p(x) ஒரு மூலம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் இரண்டு குறை மூலங்கள் கொண்டிருக்கும்.

மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் 
= sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{-b}{a}\)
மூலங்களின் கூடுதல் = sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{c}{a}\)
இங்கு 1 = cos² ∝ + sin² ∝
= (sin ∝+cos ∝)² - 2sin ∝ cos ∝
\(1=\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2c }{ a } \Rightarrow 1=\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2ac\Rightarrow { a }^{ 2 }+2ac={ b }^{ 2 }\)
இருபுறமும் C² ஐ கூட்ட, a²+2ac+c² = b²+c²
⇒ (a+c)² = b² + c²

⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3i⁹
⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3.i⁴.i⁴.i¹
⇒ 3x + (2x - 2y)i = 6 + 3i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது.
3x = 6 ⇒ x = 2
2x - 3y = 3 ⇒ 2(2) - 3y = 3
⇒ 4 - 3y = 3
⇒ 4 - 3 = 3y
⇒ 3y = 1 ⇒ y = \(\frac13\)
∴ x = 2, y = \(\frac13\)

z = -2 என்க
z = 2(-1) = 2 (cosπ + isinπ)
ஃ arg(z) =  π

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =cos\theta \) என்க.
∴ \(\therefore sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 9 }{ 25 } } =\sqrt { \frac { 25-9 }{ 25 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 16 }{ 25 } } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)

LHS = (1 + ω²)³ - (1 + ω)³ 
= (-ω)³ - (-ω²)³ [∵ 1 + ω + ω² = 0]
= -ω³ + ω⁶
= -1 + 1 = 0

i²⁵ = (i⁴)⁶ x i¹ = 1⁶ x i = i
∴ |i²⁵| = | i | = 1

\(z={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\)
\(\bar { z } ={ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }+{ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }\)
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\) = z
ஆதலால் z = \(\bar { z } \), Im (z) = 0

(cos θ + i sin θ)² = cos 2θ + isin 2θ [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
⇒ cos 2θ + isin 2θ = x + iy
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
x = cos 2θ, y = isin 2θ
∴ x² + y² = cos²θ + sin²2θ = 1
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
\([A|B]\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 13 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }{ \rightarrow R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(a) ≠ρ([A|B])
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கிமைவற்றது.

கொடுக்கப்பட்ட A³= I 
முன்புறமாக A-1 ல் பெருக்க கிடைப்பது,
A^-1.A³=A^-1. I 
⇒ (A^-1.A)A²=A^-1      [∵ A^-1 I=A^-1]
⇒ I.A² =A^-1  [∵ A^-1 A=I]
⇒ A²=A^-1   [∵ I.A²=A²]
∴ A^-1 =A²

\(\left [ \begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 10\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
\(\Delta =\left|\begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 12 - 3 = 9
\(\Delta_{x} =\left|\begin{matrix} 10& 3\\ 4& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 60 - 12 = 48
\(\Delta_{y} =\left|\begin{matrix} 2& 10\\ 1& 4\\ \end{matrix} \right|\) = 8 - 10 = -2
\(x \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\)
\(y\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta }=\frac{-2}{9}\)