\(\mathbb{Z}\) என்பது அனைத்து முழு எண்களின் கணம் என்பதால்
\(\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\frac{a b}{7} \notin \mathbb{Z}\)

a ஆனது குறைமதிப்பாகவும் b ஆனது பின்னமதிப்பாகவும் .: இருக்கும் பொழுது, \(\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \notin \mathbb{R}\)
எ.கா: \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} \notin \mathbb{R},\) இங்கு \(-2, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\((-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5} \notin \mathbb{R}\), இங்கு \(-5, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\(\therefore \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}^{\mathrm{b}}\) ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

\(f(x)  =2 \cos 4 x \)
\(f^{\prime}(x)  =-8 \sin 4 x\)
\(x=\frac{\pi}{12}\) ல் செங்கோட்டின் சாய்வு 
\(=-\frac{1}{-8 \sin 4\left(\frac{\pi}{12}\right)}\)
\(=\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{3}}=\frac{1}{8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{12}\)

\(f(x)  =\sqrt{8-2 x} \)
\(f^{\prime}(x) =-\frac{2}{2 \sqrt{8-2 x}}=-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}\)
தொடுகோட்டின் சாய்வு = - 0.25
அதாவது f'(x)=-0.25
\(-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}  =-0.25=\frac{-1}{4} \)
\(\sqrt{8-2 x}  =4 \Rightarrow 8-2 x=16 \)
\(x  =-\frac{8}{2}=-4\)
x ஆயத்தொலைவு = -4

\(\mathrm{v}(x, \mathrm{y})  =\log \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y\right) \)
\(\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}  =\frac{e^x}{e^x+e^y}, \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}=\frac{e^y}{e^x+e^y} \)
\(\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}  =\frac{e^x+e^y}{e^x+e^y}=1\)

\(u =e^{x^2+y^2} \)
\(\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x^2+y^2}(2 x)=2 x u\)

X^-1(7) = {(3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = 4
7 - இன் நேர்மாறு பிம்பத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 4

\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

'ω' என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் 
\(\omega=\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right) \) மற்றும் \(\omega^2=\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right) \) என்க.
கொடுக்கப்பட்டது :  \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { -\omega }^{ 2 }-1 & { \omega }^{ 2 } \\ 1 & { \omega }^{ 2 } & { \omega }^{ 7 } \end{matrix} \right| \) = 3k
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { \omega }^{ } & { \omega }^{ 2 } \\ 1 & { \omega }^{ 2 } & { \omega }^{ } \end{matrix} \right| \) = 3k
[ ∵ 1 + ω + ω² = 0 மற்றும் ω³ = 1]
\( 1\left(\omega^2-\omega^4\right)-1\left(\omega-\omega^2\right)+1\left(\omega^2-\omega\right)=3 \mathrm{k} \)
\( \omega^2-\omega-\omega+\omega^2+\omega^2-\omega=3 \mathrm{k} \)
\( 3 \omega^2-3 \omega=3 \mathrm{k} \Rightarrow 3\left(\omega^2-\omega\right)=3 \mathrm{k} \)
\( \therefore \mathrm{k}=\omega^2-\omega=\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right) \)
\( =\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}+\frac{1-i \sqrt{3}}{2}=-i \sqrt{3}=-\sqrt{3} i \)

\(|z+2| =|z-2| \)
\(z  =x+\mathrm{iy} \)
\(|(x+2)+\mathrm{iy}|  =|(x-2)+\mathrm{iy}| \)
\((x+2)^2+y^2  =(x-2)^2+\mathrm{y}^2 \)
\(x^2+4 x+4  =x^2-4 x+4 \)
\(\Rightarrow x  =0\)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

\( 3 x^2+b \mathrm{y}^2+4 b x-6 b \mathrm{y}+b^2 =0 \\ a=\mathrm{b} \ \Rightarrow \ b =3=\mathrm{a} \)
\( 3 x^2+3 y^2+12 x-18 y+9=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y+3=0 \\ 2 g=4 ; 2 f=-6 ; c=3 \\ g=2 ; f=-3 \\ r=\sqrt{g^2+f^2-c} \\ =\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10} \)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

|A| = 0 எனில் AX = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -1 & 1 \\ \sin \theta & 1 & -1 \end{array}\right|=0 \)
\( \Rightarrow 1(1-1)-\sin \theta(-\cos \theta-\sin \theta) -\cos \theta(\cos \theta+\sin \theta)=0 \)
\( \Rightarrow \sin \theta \cos \theta+\sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta-\cos \theta \sin \theta=0 \)
\(\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \Rightarrow \sin \theta=\cos \theta \)
\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

\(\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \end{array}\right] \xrightarrow[R_2 \rightarrow R_2-2 R_1]{R_3+R_1}\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
அபூச்சிய நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 1
\(\therefore \rho(A)=1\)

\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\operatorname{adj}(\mathrm{B}). \operatorname{adj}(\mathrm{A}) \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 3+2 \\ -6+4 & -9-1 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\left[\begin{array}{cc} -6 & 5 \\ -2 & -10 \end{array}\right] \)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

\( (\mathrm{AB})^{-1} =\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1} \)
\((\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} =\mathrm{B}^{-1}\left[\mathrm{~A}^{-1} \mathrm{~A}\right] \)
\((\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} =\mathrm{B}^{-1} \)
\( \left(A^{-1}\right)^{-1} =\mathrm{A} \)
\(\left|\mathrm{A}^{-1}\right| =3-2=1 \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{A}^{-1} =\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{A} =\frac{1}{\left|A^{-1}\right|} \operatorname{adj} \mathrm{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{B}^{-1} =(\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} \)
\(\mathrm{~B}^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 12 & -17 \\ -19 & 27 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 36-34 & 12-17 \\ -57+54 & -19+27 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -3 & 8 \end{array}\right] \)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

|A| = 14 - 12 = 2 ≠ 0
\( \text { adj } A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]=2 A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} & 9I-A=9\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] = 2A^{-1}\)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x\)
\(\cos x=\sin \frac{\pi}{2}-x\) என்று இருக்க வேண்டும் எனில்,
 \(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{\pi}{2} \\   -\pi \leq-x \leq 0 \\   \therefore 0 \leq x \leq \pi  \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)