\(P(x,y)\) என்பது புள்ளி என்க.
வரையறைப்படி,
\(\cfrac { FP }{ PM } =e\) 
\(\therefore { FP }^{ 2 }={ e }^{ 2 }{ PM }^{ 2 }\) 
\(\left( x+1 \right) ^{ 2 }+\left( y+3 \right) ^{ 2 }=\cfrac { 16 }{ 25 } \left[ \pm \cfrac { x-2y }{ \sqrt { 1+4 } } \right] ^{ 2 }\) 
\(125\left[ \left( x+1 \right) ^{ 2 }+\left( y+3 \right) ^{ 2 } \right] =16(x-2y)^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow { 109x }^{ 2 }+64xy+61{ y }^{ 2 }+250x+750y+1250=0\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\({ x }^{ 4 }+{ P }_{ 1 }{ x }^{ 3 }+{ P }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ P }_{ 3 }x + { P }_{ 4 }=0\) 
இங்கு, \(P_{ 1 }={ P }_{ 2 }=0,{ P }_{ 3 }=2\)  மற்றும் \({ P }_{ 4 }=3\) 
நியூட்டனின் தேற்றப்படி,\({ S }_{ 3 }+{ S }_{ 2 }{ P }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }{ P }_{ 2 }+3{ P }_{ 3 }=0\) 
அதாவது, \({ S }_{ 3 }+0+0+3.2=0\) 
\(\Rightarrow { S }_{ 3 }=-6\) 
\({ x }^{ 4 }+2x+3=0\) ன் மூலங்களின் கணங்களின் கூடுதல் -6 ஆகும்.
 

(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை 
p : 6 + 2 = 5 (F)
q : பாலின் நிறம் வெண்மை (T)
\(\therefore\)  \(p\rightarrow q\) என்பதின் மெய்மதிப்பு T ஆகும்.
(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண் 
p : சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது (F)
\(q:\sqrt { 3 } \) ஒரு முழு எண் (F)
\(\therefore \quad p \vee q\) என்பதன் மெய் மதிப்பு F 
(iii) 5 + 5 = 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
p : 5 + 5 = 9 என்பது மெய்யல்ல (T)
q : பூமி ஒரு கோள் (T)
\(\therefore \neg p\vee q\) என்பதன் மெய் மதிப்பு T.
(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
p : 11 ஒரு பகா எண் (T)
q : ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம் (F)
\(\therefore p\wedge q\) என்பதன் மெய்மதிப்பு F

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(x\in (-\infty, \infty) \) -ல் வரையறுக்கப்பட்டு வகையிடத்தக்கதாக உள்ளது.
\(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\).
இதிலிருந்து \(f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\) எனப்பெறலாம்.
தேக்க நிலை எண்களைக் காண \(-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}=0\) -ஐ தீர்க்க நமக்குக் கிடைப்பது x = 0 ஆகும்.
ஆகவே சார்பு f(x) -ன் ஓரியல்பு இடைவெளிகள் \((-\infty,0)\) மற்றும் \((0,\infty)\) ஆகும்.
\(f'(x)<0, \forall x\in(0,\infty)\) என்பதால் f (x) ஆனது இவ்விடைவெளியில் திட்டமாக இறங்கும். மேலும் f'(x) -ன் குறி x = 0 -ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுவதால், முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி, x = 0 -வில் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு f(0) =1 ஆகும்.

(i) \(\left| z \right| =\left| z-i \right| \)
⇒ \(\left| x+iy \right| =\left| x+iy-i \right| \)
⇒ \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } \)
⇒ x² + y² = x² + y² - 2y + 1
⇒ 2y - 1 = 0
(ii) |2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²= 9
⇒ (2x−3)²+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

சங்கேத மொழியாக்குதலுக்கான \(A=\left[ \begin{matrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\\ |A|=-1+2=1\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)
ஆகையால் பெருக்கற் சாவி அணி \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)

சங்கேத மொழி மாற்றம் செய்யப்பட்ட நிரை அணிகளின் வரிசை பின்வருமாறு 
[8 5], [12 16]
இங்கு 8^வது ஆங்கில எழுத்து H.
5^வது ஆங்கில எழுத்து E.
12^வது ஆங்கில எழுத்து L மற்றும் 16^வது ஆங்கில எழுத்து P பெறுபவர் தாம் பெற்ற சங்கேத செய்தி "HELP" எனப் படிக்கிறார்.

\(cos\theta =\cfrac { \vec { a } .\vec { b } }{ \left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| } =\cfrac { 6 }{ \left( 4 \right) \left( 3 \right) } =\cfrac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =\cfrac { \pi }{ 3 } \)

கொடுக்கப்பட்டது:
\(sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +{ cos }^{ -1 }\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \right) =sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { 2\pi }{ 3 } \right) \) 

= \(sin\pi \) 
= 0

  சமன்பாட்டின் மூலங்களை a-d, a , a+d என்க.
எனவே \({ S }_{ 1 }=a-d+a+a+d=3a-p\Rightarrow a=-\cfrac { p }{ 3 } \) 
a ஒரு மூலம் என்பதால், இது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
\(\Rightarrow \left( -\cfrac { p }{ 3 } \right) ^{ 3 }+p\left( -\cfrac { p }{ 3 } \right) ^{ 2 }+q\left( -\cfrac { p }{ 3 } \right) +r=0\) 
சுருக்கக் கிடைப்பது, \(2{ p }^{ 3 }-9pq+27r=0\)

w (x, y, z) = x² +y² +y², 
x = e^t, y = e^t sin t, z = e^t cos t
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = 2x; \(\frac { \partial u }{ \partial y} \) = 2y; \(\frac { \partial u }{ \partial z} \) = 2z
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = 2e^t
\(\frac { \partial u }{ \partial y} \) = 2e^t sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial z} \) = 2e^t cos t
\(\frac{dx}{dt}\) = e^t
\(\frac{dy}{dt}\) = e^t cas t + sin t e^t
⇒ \(\frac{dz}{dt}\) = et (- sin t ) + cos t et
\(\frac { dw }{ dt } =\frac { \partial u }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { dw }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
∴ \(\frac { dw }{ dt } \) = 2e^t(e^t) + 2e^t sin t (e^t cos t +sin t e^t) - e^t sin t + 2e^t cas t (e^t cos t - e^t sin t )

= e^2t [2 + 2] = 4e^2t
= e^2t [1 + 1] = 4e^2t
dw/dt = 4e^2t

\(\left( 26 \right) ^{ 1/3 }\)
\(f(x)={ x }^{ 1/3 },f({ x }_{ 0 })=\left( 27 \right) ^{ 1/3 }=3,\Delta x=-1\) 
\(f\left( { x }_{ 0 }+\Delta x \right) =f\left( { x }_{ 0 } \right) +f'\left( { x }_{ 0 } \right) \Delta x\)  என்பதை நாம் அறிவோம் 
\((26)^{ 1/3 }=3+\cfrac { 1 }{ 3\left( 27 \right) ^{ 2/3 } } \times -1\) 
 = \(3+\cfrac { 1 }{ 3\left( 27 \right) ^{ 2/3 } } \times -1\) 
= \(3+\cfrac { 1 }{ 27 } \times -1\) 
= \(3-\cfrac { 1 }{ 27 } \) 
= 3-0.370
\(\left( 26 \right) ^{ 1/3 }=2.963\)

(i) t நேரத்தில்,ரேடியத்தின் அளவு Q.Q சிதைவுறும் மாறுவீதமானது \(\frac { dQ }{ dt } \) மற்றும் இது ஒரு குறை மதிப்பு.ரேடியம் சிதைவுறும் வீதம் Qக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளது.எனவே,\(\cfrac { dQ }{ dt } +kQ=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
(ii). மக்கள்தொகை அதிகரிக்கும் வீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dp }{ dt } \) மற்றும் இதன் மாறுவீதம் மக்கள் தொகைக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp.\) மேலும் 5,00,000க்கும் மக்கள் தொகைக்கும் உள்ள வேறுபாடு,மக்கள் தொகை ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகியவற்றிக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp\) (5,00,000-P )என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
(iii) ஆவி அழுத்தம் Pன் மாறுவீதம் t ஐப் பொறுத்து \(\frac { dp }{ dt } \) மற்றும் T ஐப் பொறுத்து ஆவி அழுத்தம் Pன் அதிகரிக்கும் வீதம் வெப்பநிலையின் வர்க்கத்திற்கு எதிர்விகிதத்தில் உள்ளதால் 
\(\cfrac { dp }{ dt } =\cfrac { kp }{ { T }^{ 2 } } \) இங்கு \(\cfrac { k }{ { T }^{ 2 } } =\alpha \)
\(\cfrac { dp }{ dt } =\alpha p\Rightarrow \cfrac { dp }{ dt } -\alpha p=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
(iv) x என்பது முதலீட்டுத்தொகை என்க.தொகை ஒவ்வொரு வருடமும் மாறுவதால் அதன் மாறுவீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dx }{ dt } \) மற்றும் ஒவ்வொரு வருடமும் மற்றொரு முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வரவு ரூ.400 இத்தொகையுடன் தொடர்ச்சியாக சேர்க்கப்படுகிறது.
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 8 }{ 100 } \times x+400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 2x }{ 25 } +400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } -\cfrac { 2 }{ 25 } x-400=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { { d }y }{ { d }x } +xy-cosx=0\) என எழுதலாம். எனவே, dy +(xy - cosx ) dx = 0 என்பது படி 1 கொண்ட முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

[a, b] என்ற இடைவெளியில் சராசரி மாறுபாட்டு வீதம் \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ஆகும். அதேசமயத்தில் x புள்ளியில் கணப்பொழுது மாறுபாட்டு வீதம் கொடுக்கப்பட்ட சார்பிற்கு f'(x) ஆகும். அவை முறையே, b + a மற்றும் 2x ஆகும்.
மாறுபாட்டு வீதங்கள் 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பிற்கான அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \)
சமப்படித்தான் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையான தீர்வுகள் மட்டுமே உண்டெனில் |A|≠0
\(\therefore \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \neq 0\)
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த 
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} -3 & -3 \\ 1 & k \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \neq 0\)
⇒ 1(-3k+3)-2(k+6)+2(1+6)≠0
⇒ -3k+3-2k-12+14≠0
⇒-5k+5≠0
⇒-5k≠-5⇒k≠\(\frac{-5}{-5}=1\)
⇒ k≠1

\(\begin{array}{r} i \bar{z}=\mathrm{i}(x-\mathrm{iy}) \end{array}\)=ix - i²y = ix + y = y + ix
\(\begin{array}{r} \operatorname{Re}(i \bar{z}) \end{array}\)= y

A = 11, C = -25, D = -44, E = 50 மற்றும் F = -256
இங்கு \(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட \(\hat { a } \times \left( \hat { b } \times \hat { c } \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \hat { b } \) 
\(\Rightarrow \left( \hat { a } .\hat { c } \right) \hat { b } -\left( \hat { a } .\hat { b } \right) \hat { c } =\cfrac { 1 }{ 2 } \hat { b } \) 
\(\Rightarrow \lambda \hat { b } -\mu \hat { c } =\cfrac { 1 }{ 2 } \hat { b } \left[ \because \lambda =\hat { a } .\hat { c } ,\mu =\hat { a } .\hat { b } \right] \) 
\(\Rightarrow \left( \lambda -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \hat { b } -\mu \hat { c } =0\) 
\(\hat { b } \) மற்றும் \(\hat { c } \) ஒரு கோட்டமைவு வெக்டர்களிலில்லை ஆதலால்
\(\lambda -\cfrac { 1 }{ 2 } =0\quad \mu =0\) 
\(\therefore \gamma =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \hat { a } .\hat { c } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \left| \hat { a } \right| \left| \hat { c } \right| cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \left( 1 \right) \left( 1 \right) cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)     \(\left[ \because \left| \vec { a } \right| =\left| \vec { c } \right| =1 \right] \) 
 \(\Rightarrow cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta ={ 60 }^{ 0 }=\cfrac { \pi }{ 3 } \)
எனவே \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\cfrac { \pi }{ 3 } \)

 cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

tan^-1(\(\sqrt3\)) = y  என்க.
எனவே tan y =\(\sqrt3\).
ஆகையால், y = \(\frac{\pi}{3}\).
ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3}\) \(\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)
எனவே, tan^-1(\(\sqrt3\)) ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\)ஆகும்.

கம்பி வடத்தின் அடிப்புள்ளியை முனையாகவும் அதையே ஆதியாகவும் கொள்க.AB மற்றும் CD என்பன இரு தூண்கள் என்க.தூண்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் 1500 அடி என்பதால் 
VA'=750 அடி;AB=200 அடி 
ஃ A'B=200-70=130 அடி 
எனவே,புள்ளி B என்பது (750,130)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு x²=4ay  
புள்ளிB,\({ x }^{ 2 }=4ay\) ன் மேல் அமைவதால் 
\(\left( 750 \right) ^{ 2 }=4a\left( 130 \right) \) 
\(\Rightarrow 4a=\cfrac { 75\times 750 }{ 13 } y\) 
பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(x_{ 1 }^{ 2 }=\cfrac { 75\times 730 }{ 13 } y\) 
PQ என்பது தூண் RQ லிருந்து கம்பி வடத்திற்கு உள்ள செங்குத்துத் தூரம் என்க.
RQ=122 அடி,RR'=70 அடி,RQ=52 அடி 
VR'=x₁ என்க. ஃQ என்பது (x₁,52) 
புள்ளி Q என்பது பரவளையத்தின் மேலுள்ளது.
\({ x }_{ 1 }^{ 2 }=\cfrac { 75\times 750 }{ 13 } \times 52\) 
= 300X750
\({ x }_{ 1 }^{ 2 }=225000\) 
\({ x }_{ 1 }=\sqrt { 225\times 100\times 10 } \) 
= \(15\times 10\sqrt { 10 } \) 
\({ x }_{ 1 }=150\sqrt { 10 } \) அடி 
தேவையான தூரம் \(PQ={ 2x }_{ 1 }=300\sqrt { 10 } \)

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\neg p\) மற்றும் \(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \) என்பன தர்க்க சமமானவை என்பது தெளிவு.
அதாவது \(\neg (p\vee q)\vee \left( \neg p\wedge q \right) =\neg p\)

மேய்ச்சல் நிலத்தின் நீளம் 'x' மீ என்க.
மேய்ச்சல் நிலத்தின் அகலம் 'y' மீ என்க.
கொடுக்கப்பட்ட பரப்பு = 1,80,000
xy=1,80,000
\(y=\cfrac { 1,80,000 }{ x } \) 
வேலி அமைக்கத் தேவைப்படுவது 2y+x 
(ஒரு பக்கம் ஆறு உள்ளது)
P=2y+x என்க 
\(P=2\left( \cfrac { 180000 }{ x } \right) +x=\cfrac { 360000 }{ x } +x\) 
\(\cfrac { dP }{ dx } =-\cfrac { 360000 }{ { x }^{ 2 } } +1\) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dp }{ dx } =0\) 
\(\Rightarrow -360000+{ x }^{ 2 }=0\) 
\({ x }^{ 2 }=360000\) 
\(x=\pm 600\) 
[x=-600 என்பது சாத்தியமல்ல]
\(\therefore x=600\) 
இப்போது,\(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { 720000 }{ { x }^{ 3 } } \) 
x=600ல்,\(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=600\) ல் \(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=600\) எனும்போது P என்பது சிறுமமாகிறது.
\(y=\cfrac { 180000 }{ 600 } =300\) 
\(\therefore\) வேலி அமைக்கத் தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் 
= \(2y+x=2\left( 300 \right) +600=1200\) மீ   

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { { 3x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 3 } } y=\cfrac { { sin }^{ 2 }x }{ 1+{ x }^{ 3 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது \(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) எனும் வடிவில் உள்ளது.
இங்கு \(P=\cfrac { { 3x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } ;Q=\cfrac { { sin }^{ 2 }x }{ 1+{ x }^{ 3 } } \) 
\(\int { pdx } =\int { \cfrac { { 3x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } =log\left( 1+{ x }^{ 3 } \right) \) 
ஃ தொ.கா =  \({ e }^{ \int { pdx } }={ e }^{ log\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }dx+c\) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு : \(y{ e }^{ \int { pdx } }=\int { Q } { e }^{ \int { Pdx } }dx+c\) 
\(y\left( 1+{ x }^{ 3 } \right) =\int { \cfrac { { sin }^{ 2 }x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \times \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) dx+c } \) 
\(\int { { sin }^{ 2 }xdx+c } \) 
\(\int { \cfrac { 1-cos2x }{ 2 } } dx+c\) 
\(y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =\int { \cfrac { { sin }^{ 2 }x }{ 1+{ x }^{ 3 } } \times \left( 1+{ x }^{ 3 } \right) dx+c } \) 
=\(\int { { sin }^{ 2 }xdx+c } \) 
=\(\int { \cfrac { 1-cos2x }{ 2 } dx+c } \) 
 \(y\left( 1+{ x }^{ 3 } \right) =\int { \left( \cfrac { 1 }{ 2 } -\cfrac { cos2x }{ 2 } \right) dx+c } \) 
= \(\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { sin2x }{ 4 } +c\) 
\(y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { sin2x }{ 4 } +c\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

(i) \(y=52\sqrt { x } \) 
\(dy=52\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times { x }^{ -1/2 }dx\)  
\(\cfrac { 26 }{ \sqrt { x } } \times 0.1=26\times 0.1\) 
= 2.6
\(\cong\) 3 வார்த்தைகள் 
(ii) \(y=52\sqrt { x } \) 
\(dy=52\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times { x }^{ -1/2 }dx\) 
= \(\cfrac { 26 }{ \sqrt { 4 } } \times 0.1=13\times 0.1\) 
= 1.3
\(\cong\) 1 வார்த்தை 

முதலில் \(y=2x+5\) மற்றும் \(y={ x }^{ 2 }-2x\) ஆகியவை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண 
\({ x }^{ 2 }-2x=2x+5\) 
\({ x }^{ 2 }-4x-5=0\) 
\(\left( x-5 \right) \left( x+1 \right) =0\) 
\(x=5,x=-1\) 
x=5 எனும்போது y=15
x=-1 எனும்போது y=3
(5,-15),(-1,3) என்பன வெட்டும் புள்ளிகள் 

தேவையான பரப்பு = \(\int _{ a }^{ b }{ \left( { y }_{ L }-{ y }_{ C } \right) dx } \) 
= \(\int _{ -1 }^{ 5 }{ \left( 2x+5 \right) dx } \int _{ -1 }^{ 5 }{ \left( { x }^{ 2 }-2x \right) dx } \) 
= \(\left[ \cfrac { { 2x }^{ 2 } }{ 2 } +5x \right] _{ -1 }^{ 5 }-\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { 2x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 5 }\) 
= \(\left[ 25+25-1+5 \right] -\left[ \cfrac { 125 }{ 3 } -25+\cfrac { 1 }{ 3 } +1 \right] \) 
= 54-18
= 36

(i) (a*b) = a^b ∈ℕ,∀a,b∈ℕ என்பது உண்மை. எனவே ℕ ஆனது ∗ –ன் கீழ் அடைவு பெற்றுள்ளது.
(ii) a = 2 , b = 3 ஆகிய மதிப்புகளை a*b=a^b மற்றும் b*a=b^a ஆகியவைகளில் பிரதியிட,
a*b=2³ = 8 ஆனால் b*a=3²=9 ⇒ a*b≠b*a
எனவே ∗ ஆனது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
(iii) a*(b*c) = a*(b^c) \({ a }^{ ({ b }^{ c }) }\)  எனக் கொள்க.
இதில் a=2,b=3 மற்றும் c = 4 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
a*(b*c)=2*(3*4)=\({ 2 }^{ ({3 }^{ 4 }) }\)=2⁸¹
ஆனால் (a*b)*c=(a^b)*c=(a^b)^c=c=a^(bc)=a^bc=2¹²
a*(b*c)≠(a*b)*c
எனவே, ∗ ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
குறிப்பு
இந்த ஈருறுப்பு செயலிக்கு சமனியும் எதிர்மறையும் இல்லை. (காரணத்துடன் விளக்குக)

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
(2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x²    ....(1)
x=0(1) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை 
∴ (1) ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(\left( 2x+\frac { 1 }{ x } -3 \right) \left( 2x+\frac { 1 }{ x } +5 \right) =9\quad \quad \quad \quad ...(2)\)
பிரதியிடு  \(2x+\frac { 1 }{ x } =y\)
∴ (2) ⇒(y-3)(y+5)=9
⇒ y²+2y-15=9
அல்லது  y²+2y-24=0
⇒ (y+6)(y-4)=0
⇒ y=-6, -4
நிலை (i)
y=-6, 2x+\(\frac{1}{x}\)=-6
எனில் 2x²+6x+1=0 
⇒\(x = {-6 \pm \sqrt{36-8} \over 4}\)
\(x=-3\pm \frac { \sqrt { 7 } }{ 2 } \)
நிலை (ii)
y=4 எனில்,
\(2x+\frac { 1 }{ x } =4\)
⇒ 2x²-4x+1=0
⇒ x=\(x = {4 \pm \sqrt{16-8} \over 4}\)
\(x=\frac { 2\pm \sqrt { 2 } }{ 2 } \)
மூலங்கள் 
\(\frac { -3+\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { -3-\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { 2+\sqrt { 2 } }{ 2 } ,\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]

\(\hat { a } =\vec { OA } \) மற்றும் \(\hat { b } =\vec { OB } \) என்ற அலகு வெக்டர்கள் x-அச்சின் மிகை திசையுடன் முறையே α , β என்ற கோணங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்க. இங்கு A, B என்பன படம் -ல் காட்டப்பட்டுள்ளன.
AL மற்றும் BM என்பவற்றை x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைக.
ஆகவே, \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) cos α = cos α, \(\left| \vec { LA } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) sin α = sin α.
\(\vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| \)\(\hat { i } \) =  cos α \(\hat { i } \), \(\overrightarrow { LA } \) = sin α (-\(\hat { j } \))
எனவே, \(\hat { a } =\overrightarrow {OA}=\overrightarrow { OL } +\overrightarrow { LA } \) = cosα\(\hat { i } \) - sinα\(\hat { j } \) .....(1)
இதேபோல்,  \(\hat { b } \) = cos β \(\hat { i } \)+ sin β \(\hat { j } \)                          .......(2)
 \(\hat { a } \), \(\hat{b}\) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்டக் கோணம் α + β என்பதால்,
\(\hat { a } .\hat { b } =\left| \hat { a } \right| \left| \hat { b } \right| \)cos (α + β) = cos (α + β) ..... (3)
மாறாக, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2)-லிருந்து
\(\hat { a } .\hat { b } =(cos\alpha \hat { i } -sina\hat { j } )(cos\beta \hat { i } -sin\beta \hat { j } )\) = cos α cos β - sin α sin β .......(4)
சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4)லிருந்து, cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

சமன்பாட்டின் உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தி அதிபரவளையத்தின் திட்டவடிவமாக மாற்ற
11(x² - 4x) - 25( y² - 2y) - 256 = 0
11(x-2)²-25(y-1)² = 256 - 44 + 25
11(x-2)²-25y(-1)² = 275
\(\frac { { (x-2) }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ 11 } =1\)
மையம் (2,1), a² = 25, b² = 11
c² = a² + b²
= 25 + 11 = 36
எனவே c = ±6
\(e=\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 5 } \) மற்றும் குவியங்கள் (8, 1) மற்றும் (-4, 1)

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட A=\(\left[ \begin{matrix} -5 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \), 
B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+3+6 \\ 7+3-10 \\ 1-3+2 \end{matrix}\begin{matrix} -5+2+3 \\ 7+2-5 \\ 1-2+1 \end{matrix}\begin{matrix} -10+1+9 \\ 14+1-15 \\ 2-1+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+7+2 \\ -15+14+1 \\ -10+7+3 \end{matrix}\begin{matrix} 1+1-2 \\ 3+2-1 \\ 2+1-3 \end{matrix}\begin{matrix} 3-5+2 \\ 9-10+1 \\ 6-5+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
ஆகையால் AB = BA = 4I₃ என அறிவோம்.
\(\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4 } A \right) B=B\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) =I\)
\(\Rightarrow { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 4 } =I\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது, 
\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
BX = C 
X = B^-1 C 
\(\Rightarrow B\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] =\left[ \frac { 1 }{ 4 } A \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} -5+7+6 \\ 7+7-10 \\ 1-7+2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ x = 2, y = 1, z = -1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1, -1}

\(\begin{aligned} a \odot b=a+b+a b \end{aligned}\)
கொடுக்கப்பட்டது \(\begin{aligned} 3 \odot(y \odot 5)=7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 3 \odot(y+5+5 y) & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 3 \odot(6 y+5) & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 3+6 y+5+3(6 y+5) & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 8+6 y+18 y+15 & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 24 y & =7-23=-16 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =-\frac{16}{24}=-\frac{2}{3} \end{aligned}\)

\(\mathrm{f}(x)  =x^2 \mathrm{e}^{-2 x}, x>0\) என்க.
\(f^{\prime}(x)  =-2 x^2 \mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{-2 x}(2 x) \)
\(\mathrm{f}^{\prime}(x)  =2 \mathrm{e}^{-2 x}\left(x-x^2\right)\)
f பெருமத்திற்கு, \(\mathrm{f}^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \mathrm{e}^{-2 x} \neq 0, x-x^2=0 \Rightarrow x(1-x)=0 \Rightarrow x=0,1\)
x > 0 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே x = 1
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2\left[\mathrm{e}^{-2 x}(1-2 x)+\left(x-x^2\right)\left(-2 \mathrm{e}^{-2 x}\right)\right. \)
\(=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[1-2 x-2 x+2 x^2\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[2 x^2-4 x+1\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(1)=2 \times \mathrm{e}^{-2}[2-4+1]=\frac{-2}{e^2}<0\)
x = 1 ல், பெரும மதிப்பை அடையும் 
எனவே f(x) ன் பெரும மதிப்பு = \(\mathrm{f}(1)=1^2 \times \mathrm{e}^{-2} \)
\(=\frac{1}{e^2}\)

f| 3- x | + 9 
| 3- x | ன் சிறும மதிப்பு = 0
| 3- x | + 9 ன் சிறும மதிப்பு = 0 + 9 = 9 மற்றும் பெரும மதிப்பு இல்லை.

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, p/q என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலம். இங்கு a₀ = -5, a_n = 4 மற்றும் (4, -5) = 1. எனவே p என்பது 5 ஐயும், q என்பது 4 ஐயும் வகுக்க வேண்டும்.
p ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, -1, +5,-5
q ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, - 1, 4, -4
4/5 என்பது சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்.

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

adj (adj A) = |A|^{n - 2} A
|A|^3-2 = A = |A| A 
IA| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2)
= 3 + 6 - 8 = 1
adj (adj A) = 1 A = A

\( \sin ^{-1} \frac{3}{5}-\cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sec ^{-1} \frac{5}{3}-\operatorname{cosec}^{-1} \frac{13}{12} \\ =\sin ^{-1} \frac{3}{5}-\sec ^{-1} \frac{13}{12}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}-\operatorname{cosec}^{-1} \frac{13}{12} \)
\( =\left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}\right)-\left(\sec ^{-1} \frac{13}{12}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{13}{12}\right) \\ =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0 \)