கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் (9,2) &(1,2)
A(9,2),A'(1,2)
AA'ன் நடுப்புள்ளி என்பது மையம் 
\(C(h,k)=\left( \cfrac { 9+1 }{ 2 } ,\cfrac { 2+2 }{ 2 } \right) \) 
= (5,2)
\(AA'=2a=8\) 
a=4
\(FF'=2c=10\) 
c=5
\({ b }^{ 2 }={ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }\) 
= 25-16
b²=9
குறுக்கச்சு x அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது.
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { \left( x-h \right) ^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { \left( y-k \right) ^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { \left( x-5 \right) ^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { \left( y-2 \right) ^{ 2 } }{ 5 } =1\) 
செவ்வகலத்தின் நீளம் = \(\cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =\cfrac { 2(9) }{ 4 } \) 
= \(\cfrac { 9 }{ 2 } \)

\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \vec { a } .\vec { b } & \vec { a } .\vec { d } \\ \vec { b } .\vec { c } & \vec { b } .\vec { d } \end{matrix} \right| =\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \left( \vec { b } .\vec { d } \right) -\left( \vec { b } .\vec { c } \right) \left( \vec { a } .\vec { d } \right) \) 
\(\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \vec { b } .\vec { a } & \vec { b } .\vec { d } \\ \vec { c } .\vec { a } & \vec { c } .\vec { d } \end{matrix} \right| =\left( \vec { b } .\vec { a } \right) \left( \vec { c } .\vec { d } \right) -\left( \vec { c } .\vec { a } \right) \left( \vec { b } .\vec { a } \right) \) 
\(\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \vec { c } .\vec { b } & \vec { c } .\vec { d } \\ \vec { a } .\vec { b } & \vec { a } .\vec { d } \end{matrix} \right| =\left( \vec { c } .\vec { b } \right) \left( \vec { a } .\vec { d } \right) -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \left( \vec { c } .\vec { d } \right) \) 
LHS:
= \(\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \left( \vec { b } .\vec { d } \right) -\left( \vec { b } .\vec { c } \right) \left( \vec { a } .\vec { b } \right) +\left( \vec { b } .\vec { a } \right) \left( \vec { c } .\vec { d } \right) -\left( \vec { b } .\vec { d } \right) +\left( \vec { c } .\vec { b } \right) \left( \vec { a } .\vec { d } \right) -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \left( \vec { c } .\vec { d } \right) =0\)

படத்திலிருந்து tan x என்பது \(\left( \cfrac { -\pi }{ 2 } ,\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) என்ற இடைவெளியில் \(1>tan\cfrac { \pi }{ 4 } \) என்பதால் கூடும் சார்பு என அறியப்படுகிறது.
\(tan1>tan\cfrac { \pi }{ 4 } \Rightarrow tan1>1\) 
\(\Rightarrow tan1>1>\cfrac { \pi }{ 4 } \) 
\(\Rightarrow tan1>1>\cfrac { \pi }{ 4 } \) 
\(\Rightarrow tan1>1>{ tan }^{ -1 }\left( 1 \right) \)

p	q	\(\neg p\)	\(p\vee q\)	\(\neg \left( p\vee q \right) \)	\(\neg p\wedge q\)	\(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \)
T	T	F	T	F	F	F
T	F	F	T	F	F	F
F	T	T	T	F	T	T
F	F	T	F	T	F	T

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\neg p\) மற்றும் \(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \) என்பன தர்க்க சமமானவை என்பது தெளிவு.
அதாவது \(\neg (p\vee q)\vee \left( \neg p\wedge q \right) =\neg p\)

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது y = f (x) = (x - 3)(x + 2) .

(1) சார்பு f (x) -ன் சார்பகம் முழு மெய் எண் கோடாகும்.
(2) y = 0 எனப் பிரதியிட, x =-2,3 எனப் பெறலாம். எனவே, x -வெட்டுத்துண்டுகள் (−2,0) மற்றும் (3,0) . x = 0 எனப் பிரதியிட y =-6 எனப் பெறலாம். எனவே, y -வெட்டுத்துண்டு (0,−6).
(3) f '(x) = 2x -1 மேலும் இதிலிருந்து x=\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரையின் நிலைப்புள்ளி அமையும்.
(4) f''(x) = 2 > 0,∀x . எனவே, x =\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இதன் மதிப்பு f\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =-\frac { 25 }{ 4 } \)
(5) சார்பின் வீச்சகம் y \(\ge -\frac { 25 }{ 4 } \) 
(6) f''(x) = 2 > 0,∀x என்பதால் இந்த சார்பு மெய் எண் நேர்க்கோடு முழுமையிலும் மேல்நோக்கி குழிவு ஆகும்.
(7) f (x) = 2 ≠ 0,∀x எனவே வளைவரைக்கு வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இல்லை.
(8) வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை. இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலது பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

P என்பது முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை என்க.
கொடுக்கப்பட்ட வட்டிவீதம்=5% வருடத்திற்கு 
\(\therefore \cfrac { dp }{ dt } =P\left( \cfrac { 5 }{ 100 } \right) =0.05P\) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dp }{ p } =0.05dt \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dp }{ p } } =0.05\int { dt } \) 
\(logp=0.05t+logc\) 
\(log P-logC=0.05t\) 
 \(log\left( \cfrac { P }{ C } \right) =0.05t\) 
\(\cfrac { P }{ C } ={ e }^{ 0.05t }\) 
\(P={ Ce }^{ 0.05t }\)   ..(1) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு:
கொடுக்கப்பட்டது t =0 எனில் P=10,000 இம்மதிப்புகளை சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது.
\(P={ Ce }^{ 0.05t }\) 
\(10,000=C{ e }^{ 0.05(0) }\) 
\(10,000=C{ e }^{ 0 }\) 
\(C=10,000\) 
ஃ C ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(P=10000e^{ 0.05t }\) 
t=18 மாதங்கள்= \(1\cfrac { 1 }{ 2 } \) வருடம்= \(\cfrac { 3 }{ 2 } \) எனில் 
\((2)\Rightarrow P=10,000{ e }^{ 0.05(3/2) }\) 
\(P=10,000{ e }^{ 0.075 }\) 
அவர் வங்கிக் கணக்கில் உள்ள தொகை  \(\\ P=10,000{ e }^{ 0.075 }\)

(i) \(y=52\sqrt { x } \) 
\(dy=52\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times { x }^{ -1/2 }dx\)  
\(\cfrac { 26 }{ \sqrt { x } } \times 0.1=26\times 0.1\) 
= 2.6
\(\cong\) 3 வார்த்தைகள் 
(ii) \(y=52\sqrt { x } \) 
\(dy=52\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times { x }^{ -1/2 }dx\) 
= \(\cfrac { 26 }{ \sqrt { 4 } } \times 0.1=13\times 0.1\) 
= 1.3
\(\cong\) 1 வார்த்தை 

ℤ_e ={2k | k ∈ ℤ}={...,−6,−4,−2,0,2,4,6,...} என்ற இரட்டை முழு எண்களின் கணத்தைக் கருதுக.
ℤ_e -ன் மீது கூட்டலின் ' + ' என்ற ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்டு பின்வரும் பண்புகளைச் சரிபார்க்கலாம்.
(i) ஏதேனும் இரண்டு இரட்டை முழு எண்களின் கூடுதல் ஓர் இரட்டை முழு எண் ஆகும்.
ஏனெனில், x y ∈ ℤ_e  ⇒ x = 2m , மற்றும் y= 2n, m,n ∈ ℤ.
எனவே , (x+y) =2m + 2n = 2(m+n) ∈ ℤ_e  . எனவே , ℤ_e  -ன் மீது ' + ' ஆனது அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது.
(ii) ∀x, Y∈ ℤ_e , (x+y)=2(m+n)=2(n+m)=(2n+2m)=(y+x).
எனவே , + ஆனது பரிமாற்று விதியை நிறைவு செய்கிறது.
(iii) இதேபோல், ∀x, y z ∈ ℤ_e  , (x+y)+z=x+(y+z).
எனவே, சேர்ப்பு விதியும் உண்மையாகிறது.
(iv) x= 2k எனக் கொள்க . 2k+e=e+2k=2k⇒e=0.
எனவே ,∀x ∈ ℤ_e ∃0∈ ℤ_e ⋺x+0=0+x=x .
ஆகையால், 0 சமனி உறுப்பாகும்.
(v) x= 2k என எடுத்துக் கொண்டால், இதன் எதிர்மறை x′ ஆனது பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது.
2k+x'=0=x'+2k⇒x'=−2k. அதாவது x'= −x.
எனவே , ∀x ∈ ℤ_e ,∃−x∈ℤ_e ⋺x+(−x)=(−x)+x=0
எனவே , −x என்பது x -ன் எதிர்மறை ஆகும்.

∝, β என்க. x²+bx+ca=0 இன் மூலங்கள்.
∝+β=-b, ∝β=ca
மற்றும் ∝, ૪ என்பது x²+cx+ab=0 இன் மூலங்கள் என்க 
∝+૪=-c, ∝૪=ab
இனி, ∝²+b∝+ca =0 மற்றும் 
∝²+c∝+ab=0
⇒(b-c) ∝+a(c-b)=0⇒∝=a
மேலும்,∝β=ca மற்றும் ∝૪=ab
∴ β=c மற்றும் ૪=c
x²+bx+ca=0க்கு ∝=a ஒரு மூலம் ஆதலால் நமக்கு கிடைப்பது a²+ba+ca=0
⇒ a+b+c=0
ஆகையால், β+૪=b+c=-a மற்றும் β૪=bc எனவே β,૪ என்பது 
x²+ax+bc=0
என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் 

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(d=\cfrac { 4+2(3)+3(2) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\cfrac { 4+6+6 }{ \sqrt { 14 } } \) 
= \(\cfrac { 14 }{ \sqrt { 14 } } =\cfrac { \sqrt { 14 } .\sqrt { 14 } }{ \sqrt { 14 } } =\sqrt { 14 } \) 
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec { u } =4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \), \(\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் p = 38 
பிறகு பிம்பம் \(\vec { v } =\vec { u } +\cfrac { 2\left[ p-\left( \vec { u } .\vec { n } \right) \right] }{ \left| \vec { n } \right| ^{ 2 } } \vec { n } \) 
\(\vec { v } =\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2\left[ 2-\left( 4+6+6 \right) \right] }{ \left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(2-16) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(-14) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) -2\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } -2\hat { i } -4\hat { j } -6\hat { k } =2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\therefore\) (4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் அடிப்பகுதி 
\(=\cfrac { \left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \right) }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 6\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } }{ 2 } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)

பரவளையம் பாலம் கீழ் நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம் என்க. அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
ஆதலால் 10 மீ உயர மையம் (0, 0) மற்றும் AD = 30மீ 

\(\therefore\) (15,-10) என்ற புள்ளி A ஆனது IV ஆம் கால்பகுதியில் உள்ளது.A(15,-10),(1) ல் அமைந்துள்ளது.
15² = -4a(-10)
\(\Rightarrow \cfrac { 225 }{ 40 } = a\) 
(1) லிருந்து \({ x }^{ 2 }=-4\cfrac { 225 }{ 40 } y\) 
B(6, y₁) பரவளையத்தில் அமைந்துள்ளது.
\( 6^2 =-\frac{225}{10} y_1 \\ y_1 =-\frac{36 \times 10}{225}=\frac{-8}{5}=\frac{8}{5} \\ B C =A C-A B=10-\frac{8}{5} \\ =\frac{50-8}{5}=\frac{42}{5}=8.4 \)
\(\therefore\) இருபுறமும் பாலத்தின் உயரம் = 8.4 மீ 

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

\(\vec { a }\) = \(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\), \(\vec { b }\) = \(\hat { i }\) ,\(\vec { c }\) = c₁\(\hat { i }\)+c₂\(\hat { j }\)+c₃\(\hat { k }\)  
\(\therefore \vec { c } =\hat { i } +2\hat { j } +{ c }_{ 3 }\hat { k } \) 
\(\left[ \because { c }_{ 1 }=1,{ c }_{ 2 }=2 \right] \) 
மேலும்,கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } ,\vec { b } \)  மற்றும் c ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.
\(\vec { a } ,\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\) 
 \(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow 1(0-0)-1\left( c_{ 3 }-0 \right) +1\left( 2-0 \right) =0\) 
\(\Rightarrow 0-{ c }_{ 3 }+2=0\Rightarrow { c }_{ 3 }=2\quad \\\therefore { c }_{ 3 }=2\)

நெட்டச்சு y-அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது.
ஃ சமன்பாடு \(\cfrac { \left( x-h \right) ^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { \left( y-k \right) }{ { a }^{ 2 } } =1\) எனும் வடிவில் இருக்கும்.
  \({ CF }_{ 1 }=ae=1\) 

ஆனால்,\(e=\cfrac { 1 }{ 2 } \Rightarrow a=2,{ a }^{ 2 }=4\) 
\({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) =4\left( 1-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) =3\) 
\(C(h,k)=\left( 1,2 \right) \) 
ஃ தேவையான சமன்பாடு  \(\cfrac { (x-1)^{ 2 } }{ 3 } +\cfrac { \left( y-2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } =1\)

\(v\left( x,y \right) =log\left( \cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \right) \) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற 
\({ e }^{ x }=\cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } =f\left( x,y \right) \) என்க 
f (x, y) = \(\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \)
⇒ v = log f
⇒ ev = f
f(tx, ty) = \(\frac { { t }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ t }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ tx+ty } =\frac { { t }^{ 2 }({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ t(x+y) } \)
= t.f(x, y)
f என்பது படி 1 உடைய சமப்படிதான சார்பாகும்.
ஆய்லரின் தேற்றப்படி,
⇒ \(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } \) = 1.f
\(x.\frac { \partial }{ \partial x } \left( { e }^{ v } \right) +y.\frac { \partial }{ \partial y } \left( { e }^{ v } \right) ={ e }^{ v }\) என்பது 
⇒ \(x.{ e }^{ v }.\frac { \partial }{ \partial x } +y.{ e }^{ v }.\frac { \partial }{ \partial y } ={ e }^{ v }\)
⇒  \(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \) = 1
எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { cosx }{ cosx } \cfrac { dy }{ dx } +y\cfrac { sinx }{ cosx } =\cfrac { 1 }{ cosx } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { dy }{ dx } +\left( \cfrac { sinx }{ cosx } \right) y=secx\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } +\left( tanx \right) y=secx\) 
இது \(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=tanx 
Q=secx 
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு தொகையீட்டுக் காரணி (I.F)
= \({ e }^{ \int { pdx } }={ e }^{ \int { tanx } }={ e }^{ log(secx) }=secx\) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு 
\(\left[ y\times I.F \right] =\int { \left[ Q\times IF \right] dx+c } \) 
\(y\times secx=\int { secx } \times secxdx+c\) 
\(ysecx=\int { { sec }^{ 2 }xdx } +c\) 
\(ysecx=tanx+c\) 
\(\div secx,\cfrac { ysecx }{ secx } =\cfrac { tanx }{ secx } +\cfrac { c }{ secx } \) 
\(y=\cfrac { sinx }{ cosx } \times \cfrac { 1 }{ secx } +\cfrac { c }{ secx } \) 
\(y=\cfrac { sinx }{ cosx } +cosx+ccosx\) 
 \(y=sinx+c\quad cosx\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

எல்லா \(\lambda \) ∈ R.
F(\(\lambda \)x,\(\lambda \)y)=\(\frac { { \left( { \lambda x } \right) }^{ 2 }+5\left( \lambda x \right) \left( \lambda y \right) -10 ( { \lambda x ) }^{ 2 } }{ 3\lambda x+7\lambda y } =\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ \lambda } \left( \frac { { x }^{ 2 }+5xy-10{ y }^{ 2 } }{ 3x+7y } \right) =\lambda F(x,y)\)

x² + y² = a²   என்ற வட்டத்திற்கு (x₁y₁) எனும் புள்ளியில்  தொடுகோட்டின்  சமன்பாடு  (xx₁ + yy₁ = a²) என நாம்  அறிவோம். எனவே x² + y² =4 என்ற வட்டத்திற்கு (1, \(\sqrt {3}\) ) எனும் புள்ளியில்  தொடுகோட்டின்  சமன்பாடு x+y\(\sqrt {3}\) = 4;
அதாவது y= − \(\frac {1}{\sqrt {3}}\)(x -4 ). தொடுகோடு  (4,0) எனும் புள்ளியில் x-அச்சை சந்திக்கிறது. எனவே தொடுகோட்டின்  சாய்வு  - ( \(\frac {1}{\sqrt {3}}\)).  எனவே செங்கோட்டின் சாய்வு \(\sqrt {3}\) . செங்கோட்டின் சமன்பாடு y− \(\sqrt {3}\) = \(\sqrt {3}\)(x−1); அதாவது y= \(\sqrt {3}\) x. இக்கோடு ஆதி வழிச் செல்கிறது. தேவையான பரப்பானது அருகில் உள்ள படத்தில் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பினை இரு வழிகளில் காணலாம்.

முறை 1
y-அச்சின் மிகை திசையில் நோக்கி பார்க்கும் போது, தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது x-அச்சு, y= \(\sqrt {3}\) x மற்றும் x+y\(\sqrt {3}\) = 4 ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பாகும். இதற்கு  \(\int ^{b}_{a}\)ydx  என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இதற்குத் தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பை இரு பகுதிகளாக பிரித்துக்  காண்போம். ஒரு பகுதியானது x-அச்சு, செங்கோடு y= \(\sqrt {3}\) x மற்றும் x =1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பு  மற்றொரு  பகுதியானது x-அச்சுத்  தொடுகோடு  x +y \(\sqrt {3}\) = 4 மற்றும் x =1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பு ஆகும்.
∴ தேவையான பரப்பு  = \(\int ^{1}_{0}\) y dx + \(\int ^{4}_{1}\) y dx = \(\int ^{1}_{0}\)  \(\sqrt 3x dx\) + \(\int ^{4}_{1} [- \frac {1}{\sqrt 3} (x-4)] dx\)
= \([\sqrt 3 \frac {x^2}{2}]^{1}_{0}\) +  \([ -\frac {1}{\sqrt 3} (\frac {x^2}{2}-4x)]^{4}_{1} \) = \(\frac {\sqrt 3}{2} + \frac {8}{\sqrt 3} - \frac {7}{2\sqrt 3} = 2\sqrt 3\).

முறை 2
x-அச்சின் மிகை திசையில் நோக்கி  பார்க்கும்  போது, தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது  y= \(\sqrt 3\) x, x + y\(\sqrt 3\) = 4,  y = 0 மற்றும் y =  \(\sqrt 3\)ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பாகும். இப்பரப்பைக் காண  \(\int ^{d}_{c} (x_{R} - x_{L}) dy\) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
இங்கு c = 0, d = \(\sqrt 3\)  ,  x_R  என்பது  தொடுகோடு  x + y \(\sqrt 3\)  =  4  மற்றும்  x_L என்பது செங்கோடு y = \(\sqrt 3\) x  இன் x மதிப்பாகும்.
∴ தேவையான பரப்பு  =  \(\int ^{d}_{c} (x_R - x_L) dy = \int ^{\sqrt 3}_{0} ((4 - y \sqrt {3}) - \frac {y}{\sqrt {3}} )dy\)
= \([(4y - \frac {y^2}{2} \sqrt {3}) - \frac {y^2}{2\sqrt {3}}]^{\sqrt {3}}_{0}\)
= 4  \(\sqrt {3} - \frac {3}{2} \sqrt {3} - \frac {3}{2 \sqrt {3} } = 2 \sqrt {3}\) . 

\(x=a,{ cos }^{ 3 }t,y=bsin^{ 3 }t\)
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dx }{ dt } =-3a{ cos }^{ 2 }tsint\) 
\(\cfrac { dy }{ dt } =3b{ sin }^{ 2 }tcost\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 3b{ sin }^{ 2 }tcost }{ -3a{ cos }^{ 2 }tsint } \) 
= \(-\cfrac { b }{ a } \cfrac { sint }{ cost } =- \cfrac { b }{ a } tant\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ (t=\pi /2) }\) 
= \(-\cfrac { b }{ a } tan\cfrac { \pi }{ 2 } =\infty \)

x²-y² இரட்டை ஆதலால், x மற்றும் y இரண்டுமே இரட்டை அல்லது x மற்றும் y இரண்டுமே ஒற்றை.
எந்த நிலையிலும் (x+y) மற்றும் (x-y) இரண்டுமே இரட்டை முழுக்கள் 
∴ x²-y² = (x+y) (x+y) 4 ஆல் வகுபடும் ஆனால் 353702 4ஆல் வகுபடாது.
∴ x² - y² = 353702 க்கு மிகை முழுக்கள் தீர்வு இல்லை.

\(\frac { cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } }{ 2\left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) } \right) \)
\(\left[ \because cos(-\theta )=cos\theta \ and \ sin(-\theta )=sin\theta \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [0-i(1)]=\frac { -i }{ 2 } \)

g(x) = 2sin⁻¹(2x−1)−\(\frac{\pi}{4}\)
sin^-1 x ன் வரையறையிலிருந்து 
-1 ≤ 2x - 1 ≤ 1
⇒ -1 + 1 ≤ 2x ≤ 1 + 1 ⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2
⇒ 0 ≤ x ≤ 1
∴ சார்பகம் = [0, 1]

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\([A/B]=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ kR }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k+2 & k \\ 0 & -2+2k & 1-{ k }^{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 1-k \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ 1-{ k }^{ 2 }+1-k \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \)
\(\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ (k+2)(1-k) \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \quad .....(1)\)
நிலை (i) k=1 எனில் 
\([A|B]\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
[2 - k - k² = - (k² +k-2)
=-(k+2) (k-1)
= (k + 2) (1-k)]
நிலை (i) k = 1 எனில்
ρ(A)=1, ρ([A } B]) = 3.
ρ(A) ≠ ρ([A | B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது.
நிலை (ii): k ≠ 1, k ≠ -2 எனில் ρ(A)=3, ρ([A | B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii): k=-2 எனில்
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 11 \end{matrix} \right] \)என்க 
\(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 11 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 11 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணியானது நிரை ஏறுபடி வடிவத்தில் அமைந்துள்ளது. இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளை உடையது.
∴ ρ(A)=2

\(\vec { a } ={ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \) என்க.
 \(\hat { i } \times \left( \vec { a } \times \hat { i } \right) =\left( \hat { i } .\hat { i } \right) \vec { a } -\left( \hat { i.\vec { a } } \right) \hat { i } =\vec { a } -{ a }_{ 1 }j\) 
\(\hat { j } \times \left( \vec { a } \times \hat { j } \right) =\left( \hat { j } .\hat { j } \right) \vec { a } -\left( \hat { j } .\vec { a } \right) \hat { j } =\vec { a } -{ a }_{ 2 }\hat { j } \) 
\(\hat { k } \times \left( \vec { a } \times \hat { k } \right) =\left( \hat { k } .\hat { k } \right) \vec { a } =\left( \hat { k } .\vec { a } \right) \hat { k } =\vec { a } -{ a }_{ 3 }\hat { k } \) 
LHS = \(3\vec { a } -\left( { a }_{ 1 }\hat { j } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \right) \) 
\(3\vec { a } -\vec { a } =2\vec { a } =RHS\)

  சமன்பாட்டின் மூலங்களை a-d, a , a+d என்க.
எனவே \({ S }_{ 1 }=a-d+a+a+d=3a-p\Rightarrow a=-\cfrac { p }{ 3 } \) 
a ஒரு மூலம் என்பதால், இது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
\(\Rightarrow \left( -\cfrac { p }{ 3 } \right) ^{ 3 }+p\left( -\cfrac { p }{ 3 } \right) ^{ 2 }+q\left( -\cfrac { p }{ 3 } \right) +r=0\) 
சுருக்கக் கிடைப்பது, \(2{ p }^{ 3 }-9pq+27r=0\)

19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல.\(\Rightarrow p\vee \neg q\)

\(y\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { x }{ \frac { dy }{ dx } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 } } \) 
\(y=\cfrac { dy }{ dx } \left[ \cfrac { dy }{ dx } +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 } \right] =x\) 
\(y\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+y\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 4 }=x\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { dy }{ dx } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 4.
ஃ வரிசை = 1 மற்றும் படி = 4 

f (x) ஆனது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டு மற்றும் 1< x< 2 என்ற இடைவெளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் உள்ளது. மேலும் f(1) = 0 மற்றும் f (2)=-2. எனவே, சராசரி மதிப்புத் தேற்றப்படி  c ∈ (1, 2) ஆனது  \(f'(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=1-2c\) என்று இருக்கும்.
அதாவது, \(1-2c= -2 \Rightarrow c= \frac{3}{2}\) ஆகும்.

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =cos\theta \) என்க.
∴ \(\therefore sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 9 }{ 25 } } =\sqrt { \frac { 25-9 }{ 25 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 16 }{ 25 } } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)

\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 5 & -6 \\ 7 & -3 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 & 5 & -6 \\ -1 & -3 & 12 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & -3 & 12 \\ 4 & 5 & -6 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }+{ (-1) }R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 13 & -12 \\ 4 & 5 & -6 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 13 & -12 \\ 0 & -47 & 42 \end{matrix}\begin{matrix} -6 \\ 25 \end{matrix} \right] \)
சமான ஏறுபடி வடிவ அணியில் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=2

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²+x+2y-3 = 0
இங்கு\(2g=-1\Rightarrow g=\cfrac { -1 }{ 2 } \)
2f = 2
\(\Rightarrow\) f = 1 மற்றும் c = -3
மையம் \((-g,-f)=\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +1+3 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +4 } =\sqrt { \cfrac { 1+16 }{ 2 } } \)
\(r=\sqrt { \cfrac { 17 }{ 2 } } \) அலகுகள்

\(\bar { 3i } +\frac { 1 }{ 2-i } \)\(=\frac { 60-20i-30i+10{ i }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 2 }-({ 2i) }^{ 2 } } =\frac { 60-50i-10 }{ 36+4 } \)  \([\because \) 3i ன் இணை கலப்பெண் -3i]
= \(3i+\frac { 2+1 }{ { 2 }^{ 2 }-{ i }^{ 2 } } =-3i+\frac { 2+i }{ 4+1 } =-3i+\frac { 2+i }{ 5 } \)
\(\frac { -15i+2+1 }{ 5 } =\frac { -14i+2 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } -\frac { 14i }{ 5 } \)
\(=\frac { 2 }{ 5 } +i\left( \frac { -14 }{ 5 } \right) \)

 cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

\(\begin{aligned} (p \vee q) & \rightarrow r \end{aligned}\)
நேர்மாறு \(\begin{aligned} \neg r & \rightarrow \neg(p \vee q) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \neg r & \rightarrow(\neg p \wedge \neg q) \end{aligned}\)

f| 3- x | + 9 
| 3- x | ன் சிறும மதிப்பு = 0
| 3- x | + 9 ன் சிறும மதிப்பு = 0 + 9 = 9 மற்றும் பெரும மதிப்பு இல்லை.

நிகழ்தகவு நிரைச் சார்பு

x	36	-1	-4	-9	-16	-25
f(x)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)

\(E(X)=\frac{36}{6}-\frac{1}{6}-\frac{4}{6}-\frac{9}{6}-\frac{16}{6}-\frac{25}{6}=-\frac{19}{6}\)

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

\( (\mathrm{AB})^{-1} =\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1} \)
\((\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} =\mathrm{B}^{-1}\left[\mathrm{~A}^{-1} \mathrm{~A}\right] \)
\((\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} =\mathrm{B}^{-1} \)
\( \left(A^{-1}\right)^{-1} =\mathrm{A} \)
\(\left|\mathrm{A}^{-1}\right| =3-2=1 \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{A}^{-1} =\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{A} =\frac{1}{\left|A^{-1}\right|} \operatorname{adj} \mathrm{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{B}^{-1} =(\mathrm{AB})^{-1} \mathrm{~A} \)
\(\mathrm{~B}^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 12 & -17 \\ -19 & 27 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 36-34 & 12-17 \\ -57+54 & -19+27 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -3 & 8 \end{array}\right] \)

 \(\alpha=\cot ^{-1} \frac{1}{2} \) என்க \(\Rightarrow \cot \alpha=\frac{1}{2}\) மற்றும்\(\ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(\therefore \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad\left(\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right)\)