\(\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 2a }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) \right] \)
a=tan\(\theta\) என்க.
இனி \(\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 2a }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) \right] =\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 2\tan\theta }{ 1+{ \tan }^{ 2 }\theta } \right) +\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ \tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{ \tan }^{ 2 }\theta } \right) \right] \)
\(=\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }(\sin2\theta )+\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ 1 }(\cos 2\theta ) \right] =\tan[2\theta ]=\frac { 2\tan\theta }{ 1-{ \tan }^{ 2 }\theta } =\frac { 2a }{ 1-{ a }^{ 2 } } \)

\(\frac { cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } }{ 2\left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) } \right) \)
\(\left[ \because cos(-\theta )=cos\theta \ and \ sin(-\theta )=sin\theta \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [0-i(1)]=\frac { -i }{ 2 } \)

LHS = (z₁ + z₂) z₃
= (3 - 7i)(5 + 4i)
= 15 + 12i - 35i - 28i²
= 15 - 23i + 28 = 43 - 23i
RHS = z₁ z₃ + z₂ z₃
3 (5 + 4i) + (-7i) (5 + 4i)
15 + 12i - 35i - 28i²
= 15 - 23i + 28 = 43 - 23i
LHS = RHS
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ +z₂ z₃

z = 2 + 3i, (2, 3) எனக் குறிக்கலாம்.
-iz = -i (2 + 3i) = -2i -3i² = -2i -3 (-1)
= 3 -2i
z -iz = 2 + 3i + 3 -2i = 5 + i (5, 1) எனக் ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 12x²-9y² = 108
\(\div 18\) கிடைப்பது \(\cfrac { { 12x }^{ 2 } }{ 108 } -\cfrac { { 9y }^{ 2 } }{ 108 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 9 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)
\(\therefore\) a² = 9, b² = 12
அதிபரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு \(\cfrac { xsec\theta }{ a } -\cfrac { ytan\theta }{ b } =1\) 
\(\theta =\cfrac { \pi }{ 3 } \) எனில், சமன்பாடு 
\(\cfrac { xsec\cfrac { \pi }{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { ytan\frac { \pi }{ 3 } }{ 2\sqrt { 3 } } =1\) 

\(\Rightarrow \cfrac { 4x-3y }{ 6 } =1\Rightarrow 4x-3y-6=0\) தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
பரவளையத்திற்கான செங்கோட்டின் துணையலகுச் சமன்பாடு 
\(\cfrac { ax }{ sec\theta } +\cfrac { by }{ tan\theta } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) 
\(\theta =\cfrac { \pi }{ 3 } \quad \cfrac { 3x }{ sec\cfrac { \pi }{ 3 } } +\cfrac { 2\sqrt { 3 } y }{ tan\cfrac { \pi }{ 3 } } =9+12\) 

\(\Rightarrow \cfrac { 3x }{ 2 } +2y=21\Rightarrow 3x+4y=42\)
\(\Rightarrow 3x+4y-42=0\) தேவையான செங்கோட்டின் சமன்பாடாகும்.

கனச் செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம்
x+1, x+2, மற்றும் x+3
[∴ 1,2,3 அலகுகள் அதிகரிப்பதால்]
மேலும் கொள்ளளவு =V+52
[V என்பது அதிகரிப்பதால் 52]
 ∴ V+52 =(x+1)(x+2)(x+3)   .....(1)
⇒ V=(x+1)(x+2)(x+3)-52
இங்கு α=-1, β=-2, \(\gamma \)=-3
⇒ V=x³-x²(α+β+\(\gamma \))+x(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)-αβ\(\gamma \)-52
⇒ V=x³-x²(-1-2-3)+x(2+6+3)-(-1)(-2)(-3)-52
⇒ V=x³-x²(-6)+x(11)+6-52
⇒ x³=x³+6x²+11x+6-52
⇒ 6x²+11x-46=0
⇒ (6x+23)(x-2)=0
⇒ x=2
∴ கனச்சதுரத்தின் கொள்ளளவு =x³=2³=8 கன அலகுகள்
கனசெவ்வகத்தின் கன அளவு = 52 + 8 = 60 கன அலகுகள் 
[∵ x=\(\frac{-23}{6}\) என்பது சாத்தியமில்லை x ஆனது கனத்தின் பக்கத்தை குறிக்கிறது.

z = (cos θ + i sin θ) என்க.
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி
zⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
\(\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = z^-n =  cos nθ + i sin nθ
ஆகவே, \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) + (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2 cos nθ.
இதுபோலவே,
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) - (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2i sin nθ.

கொடுத்துள்ள அணியை A என்க. தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகளைப்  பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\(A = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ -6 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ -13 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ -45 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -30 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-15) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணியானது நிரை-ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது மற்றும் மூன்று அபூச்சிய நிரைகளை உடையது. எனவே \(\rho \)(A) = 3
தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகள் ஓர் அணியின் மீது செயல்படுத்துவது என்பது அந்த அணியை முன்புறமாக ஒரு சிறப்பு வகை (special class) அணிகளால் பெருக்குவதாகும். அந்த அணிகள் தொடக்க நிலை அணிகள் (Elementary matrices) எனப்படும்.

z₁ =(2 + i)x + (1 - i)y + 2i - 3 = (2x + y - 3) + i(x - y + 2) மற்றும்
z₂ = x + ( -1 + 2i)y + 1 + i = (x - y  + 1) i(2y + 1) என்க.
z₁ = z₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, (2x + y - 3) + i(x - y + 2) = (x - y  + 1) + i(2y + 1)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த
2x + y - 3 = x - y + 1 ⇒ x + 2y = 4
x - y + 2 = 2y + 1 ⇒ x - 3y = -1
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
x = 2 மற்றும் y = 1 எனப்பெறலாம்.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 11 \end{matrix} \right] \)என்க 
\(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 11 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 11 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணியானது நிரை ஏறுபடி வடிவத்தில் அமைந்துள்ளது. இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளை உடையது.
∴ ρ(A)=2

கொடுக்கப்பட்ட f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \right) \)
நமக்கு தெரியும் sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1,1]
\(\Rightarrow -1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\)
கருதுக \(-1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \)
\(\Rightarrow 0\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } +1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1+2x }{ 2x } \ge 0\)
\(\Rightarrow \frac { { (x+1) }^{ 2 } }{ 2x } \ge 0\) ⇒ x = -1 மற்றும் x < 0    .....(1)
கருதுக \(\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } -1\le 0\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-1+2x }{ 2x } \le 0\Rightarrow \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ 2x } \le 0\)
x = 1 மற்றும் x ≥ 0
(1) மற்றும் (2) லிருந்து சார்பகம் = {-1,1}

x + iy= \(\frac { i-1 }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \) என்க.
கருதுக x + iy = -2 - 2i = r (cos θ + i sin θ)
\(r=\sqrt { 1^{ 2 }+(1{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { -1 }{ -1 } \right| ={ \tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
(-1 + i) என்ற கலப்பெண் II -ம் கால் பகுதியில் அமைவதால் [x ➝ குறை y ➝ மிகை]
அதன் முதன்மை வீச்சு \(\theta =\pi -\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 3\pi }{ 4 } \)
\(\therefore i-1=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(\therefore x+iy=\frac { \sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right] }{ cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } } \)
\([\because \frac { cos{ \theta }_{ 1 }+isin{ \theta }_{ 1 } }{ cos{ \theta }_{ 2 }+isin{ \theta }_{ 2 } } =cos({ \theta }_{ 1 }-{ \theta }_{ 2 })+isin({ \theta }_{ 1 }-{ \theta }_{ 2 })]\)
\(=\sqrt { 2 } \left[ cos\left( \frac { 3\pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 3\pi }{ 4 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\sqrt { 2 } \left[ cos\frac { 5\pi }{ 12 } +isin\frac { 5\pi }{ 12 } \right] \)
எனவே துருவ வடிவம்
\(z =\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 5\pi }{ 12 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 5\pi }{ 12 } \right) \right) \)
இங்கு k ∈ Z 

பண்புகாட்டி Δ=(4p)²-4(4)(p+2)=16(p²-p-2)=16(p+1)(p-2) ஆகும்.
எனவே,
−1< p < 2 எனில், Δ< 0
p = −1 அல்லது p = 2 எனில், Δ = 0
−∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், Δ > 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,
−1< p < 2 எனில், கலப்பெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
p = -1 அல்லது p = 2 எனில், சமமான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
− ∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும்.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax 
செவ்வகலம் LL' குவியம் (a, 0) வழிச் செல்கின்றது.
எனவே L என்பது (a, y₁)ஆகும்.
அதனால் y₁² = 4a².
எனவே y₁ = ±2a 
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (a, 2a) மற்றும் (a, -2a) ஆகும்.
எனவே செவ்வகலத்தின் நீளம் LL' = 4a.

கொள்கை z² = \(\bar { z } \).
⇒ \({ \bar { \left| z \right| } }^{ 2 }=\left| z \right| \)
⇒  \(\left| z \right| (\left| z \right| -1)\) = 0
⇒ \(\left| z \right| \) = 0, அல்லது \(\left| z \right| \) = 1
\(\left| z \right| \) = 0 ⇒ z = 0 என்பது ஒரு தீர்வு \(\left| z \right| \) = 1 ⇒ z\(\bar { z } \) = 1 ⇒ \(\bar { z } \) = \(\frac12\)
கொள்கையிலிருந்து z² = \(\bar { z } \) ⇒ \({ z }^{ 2 }=\frac 1z \) ⇒ z³ = 1
இதற்கு 3 பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். ஆகவே பூஜ்ஜியத்தையும் சேர்த்து இதற்கு நான்கு தீர்வுகள் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட adj \(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு \(adj(adj\quad A)={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(2-0) \\ -(0) \\ +(0-2) \end{matrix}\begin{matrix} -(0) \\ +(1+1) \\ -(0) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+2) \\ -(0) \\ +(2-0) \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
adj(adj) A \(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \)

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right] \)என்க 
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 2 }]=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -\frac { 5 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\times 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
∴.A^-1\(\left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)

f(x) = tan^-1 \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) என்க.
\(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ∈ R ஆனால் \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ≥ 0
∴ 9 - x² ≥ 0
⇒ x² - 9 ≤ 0
⇒ (x + 3) (x - 3) ≤ 0
⇒ சார்பகம் [-3, 3]

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+px+q=0  .....(1)
மற்றும் x²+p'x+q'=0    .....(2)
α என்பது (1) மற்றும் (2)-ன் பொது மூலம்
∴ α²+pα+q=0       ........(3)
மற்றும் α²+p'α+q'=0          .........(4)
(3) மற்றும் (4) ஐ குறுக்கு பெருக்கல் முறையில் தீர்க்க கிடைப்பது
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ pq'-p'q } =\frac { \alpha }{ q-q' } =\frac { 1 }{ p'-p } \)
\( \Rightarrow \alpha^2=\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{p^{\prime}-p} \& \alpha=\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p} \)
⇒ \( \alpha=\frac{\alpha^2}{\alpha}=\frac{\frac {p q^{\prime}-p^{\prime} q}{p'-q }}{\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p}}=\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{q-q^{\prime}} \)
எனவே மூலங்கள் \(\frac { pq'-p'q }{ q-q' } \) அல்லது \(\frac { q-q' }{ p'-p } \).

கொடுக்கப்பட்ட lx²+nx+n=0 -ன் மூலங்கள் p,q
இங்கு a=l, b=+n, c=n
மற்றும் p+q=\(\frac { -b }{ a } =\frac { -n }{ l } \)    .....(1)
pq=\(\frac { c }{ a } =\frac { n }{ l } \)   .........(2)
கருதுக \(\left( \sqrt { \frac { p }{ q } } +\sqrt { \frac { q }{ p } } +\sqrt { \frac { n }{ l } } \right) \)
=\(\frac { p }{ q } +\frac { q }{ p } +\frac { n }{ l } +2\sqrt { \frac { pq }{ qp } } +2\sqrt { \frac { qn }{ pl } } +2\sqrt { \frac { np }{ ql } } \)
[∵ (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca]
⇒ \(\frac { { p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 } }{ pq } +\frac { n }{ l } +2+2\sqrt { \frac { p }{ q } .pq } +2\sqrt { \frac { q }{ p } .pq } +2\sqrt { \frac { p }{ q } .pq } \)
=\(\frac { (p+q)^{ 2 }-2pq }{ pq } +\frac { n }{ l } +2+2\sqrt { { p }^{ 2 } } +2\sqrt { { q }^{ 2 } } \)
=\(\frac { (p+q)^{ 2 } }{ pq } -\frac { 2pq }{ pq } +\frac { n }{ l } \)+2+2p+2q

= \(\frac { { n }^{ 2 } }{ { l }^{ 2 }.\frac { n }{ l } } +\frac { n }{ l } -\frac { 2n }{ l } \) [∵ p+q=\(\frac{-n}{l}\)]
⇒ \(\frac { n }{ l } +\frac { n }{ l } -\frac { 2n }{ l } \quad \left( \sqrt { \frac { p }{ q } } +\sqrt { \frac { q }{ p } } +\sqrt { \frac { n }{ l } } \right) ^{ 2 }\)=0
இருபுறமும் வர்க்க மூலம் காண, கிடைப்பது
\(\sqrt { \frac { p }{ q } } +\sqrt { \frac { q }{ p } } +\sqrt { \frac { n }{ l } } \)=0

(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) 
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 
ஃ (cos α + cos β + cos ⋎) +  (cos α + cos β + cos ⋎)
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos ⋎ + i sin ⋎
a + b + c = 0 எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α+ i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos ⋎ + i sin ⋎)³ = 3[(cos α+ i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3⋎ + i sin 3⋎
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3⋎) +i [sin 3α + sin 3β + sin 3⋎)]
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த கிடைப்பது.
cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎)
மற்றும் sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு 
3x²+(3-p)xy+qy²-2px = 8pq
வட்டத்திற்கு xy-ன் கெழு 
\(\therefore\) 3 = q
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு 
3x²-3y²-6x = 8(3)(3)
3x²-3y²-6x-72 = 0
3 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
x²+y²-2x-24 = 0
இங்கு \(2g=2\Rightarrow g=-1\)
f = 0 மற்றும் c = -24
மையம் (-g, -f) = (1, 0)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-\quad c } \)
= \(\sqrt { (-1)^{ 2 }+0+24 } \)
= \(\sqrt { 25 } =5\) அலகுகள்

பம்பு A தொட்டியை நிரப்ப x நிமிடங்கள் எடுத்துக் கொள்ளும் மற்றும் பம்பு B தொட்டியை நிரப்ப y நிமிடங்கள் எடுத்துக் கொள்ளும் என்க.
1 நிமிடத்தில் எடுத்துக்கொள்ளும் என்க.
1 நிமிடத்தில் A ஆல் \(\frac{1}{x}\) அலகும் மற்றும் B ஆல் \(\frac{1}{y}\) அலகும் நிரப்ப முடியும்.
\(\therefore \frac { 10 }{ x } +\frac { 10 }{ y } =1\) மற்றும் \(\frac { 30 }{ x } -\frac { 30 }{ y } =1\)
\(\frac{1}{x}\) =a மற்றும் \(\frac {1}{y}=b \) என பிரதியிட 
\(\Rightarrow 10a+10b=1\)
மற்றும் \(30a-30b=1\)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 10 & 10 \\ 30 & -30 \end{matrix} \right| =10 \times (-30) - 10 \times 30 = 600 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} { 1 } & 10 \\ { 1 } & -30 \end{matrix} \right| =1 \times (-30) - 10 \times 1= -40 \)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 10 & { 1 } \\ 30 & { 1 } \end{matrix} \right| =10 \times 1 - 1 \times 30 = -20\)
கிராமரின் விதிப்படி 
\(\therefore a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -40 }{ -600 } =\frac { 1 }{ 15 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 15 } x=15\)
\(b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -600 } =\frac { 1 }{ 30 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } \Rightarrow y=30\)
A 15 நிமிடங்களிலும், B 30 நிமிடங்களிலும் தொட்டியை நிரப்பும்.

கொடுக்கப்பட்டது : கலப்பெண்கள் சமம். எனவே  (3 -i) x - (2 - i) y + 2i + 5
= 2x + (-1 + 2i) y + 3 + 2i
⇒ 3x - ix - 2y + iy + 2i + 5 = 2x - y + 2iy + 3 + 2i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை தேர்ந்தெடுக்க
(3x-2y + 5) + i (-x + y + 2) = 2x - y + 3 + i (2y+ 2)
இருபுறமும் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட கிடைப்பது.
3x- 2y+ 5 = 2x-y+3
⇒ 3x - 2y + 5 - 2x + y - 3 = 0
⇒ x-y = -2  ...(1)
⇒ -x + y + 2 = 2y + 2
⇒ -x + y + 2 - 2y - 2 = 0
⇒ -x - y = 0 = x + y = 0 ... (2)
(1) - (2) கிடைப்பது,
x - y =   -2
(-) x+y = 0
_____________
-2y + 2 = 0
⇒ y = 1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
x + 1 = 0 ⇒ 0 - x = -1
∴ x = - 1 மற்றும் y = 1