x-அச்சைப்  பொருத்துச் சுழற்றப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. எனவே , தேவையான கன அளவானது

V = π \(\int ^{1}_{0} y^2 dx\) = π  
= π  \(\int ^{1}_{0} (x^2)^2 dx\)
=  π  \( [ \frac {x^5}{5}]^{1}_{0}\)
=  π  \((\frac {1}{5}-0) = \frac {π}{5} \)

[\(\therefore 1-\cfrac { cos0 }{ 0 } =\cfrac { 1-1 }{ 0 } =\cfrac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம்]
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த 
\(\underset { x\rightarrow 0 }{ \lim } \cfrac { \sin x }{ 2x } \) [\(\cfrac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம்]
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த 
= \(\underset { x\rightarrow 0 }{ \lim } \cfrac { \cos x }{ 2 } =\cfrac { \cos 0 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)

\(\int ^{2a}_{0}\)  f(x) dx = 2 \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx +\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx என  எழுதுவோம். ---- (1)
\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx  என்பதில்,
x = a+u எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது dx = du; x=a எனில் u = 0 , x= 2a எனில், u = a.
∴  \(\int ^{2a}_{0}\)  f(x) dx =   \(\int ^{a}_{0}\) f (a+u) du = \(\int ^{a}_{0}\) f (u) du, (∵  f(x) = f(a+x))
=  \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx.   ----- (2)
சமன்பாடு (2)-ஐ (1)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx = 2\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx .

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வலதுபுறம் உள்ள வெக்டரில் \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) -ஐ வெக்டர் முப்பெருக்கலின் முதல் வெக்டராக எடுத்துக்கொண்டு \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) \)-ன் விரிவாக்கம் காண்போம். எனவே
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) =\left( \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } \right) \vec { a } -\left( \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { a}\right)\vec { c } =\left( \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \right) \vec { a } \)

இங்கு, \(\vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ,\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = 0 ஆகும். இங்கு, \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \) = 0 எனவே, கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வெக்டர்களும் ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

\({ 8x }^{ \frac { 3 }{ 2n } }-8x^{ \frac { -3 }{ 2x } }\)=63 ⇒ \(\left[ \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2n } } \right) ^{ 3 }-\left( { x }^{ \frac { -1 }{ 2n } } \right) ^{ 3 } \right] \)=63
பிரதியிடு \(x^{ \frac { 1 }{ 2n } }\)=y
⇒ \(\left( { y }^{ 3 }-\frac { 1 }{ { y }^{ 3 } } \right) \)=63
⇒ \({ y }^{ 3 }-\frac { 1 }{ { y }^{ 3 } } =\frac { 63 }{ 8 } \Rightarrow \frac { { y }^{ 6 }-1 }{ { y }^{ 3 } } =\frac { 63 }{ 8 } \)
⇒ 8y⁶-8 = 63y³
⇒ 8y⁶-63y³-8 = 0
⇒ 8t²-63y-8=0 [இங்கு t=y³]
⇒ (8t-1)(t-8)=0
t =\(\frac{1}{8}\),8
நிலை (i) t =8 எனில், ⇒ y³=8 ⇒ y³=2³
⇒ y=2
நிலை (ii) t =8 எனில், y³=\(\frac { 1 }{ 8 } \Rightarrow y=\frac { 1 }{ 2 } \)
y=2 எனில், \(x^{ \frac { 1 }{ 2n } }\)=2
⇒ x=(2)²ⁿ ⇒ x=(2²)ⁿ
⇒ x=4ⁿ
y=\(\frac{1}{2}\) எனில், \(x^{ \frac { 1 }{ 2n } }\)=\(\frac{1}{2}\) ⇒ x=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2n }\)
⇒ x=\(\left( \frac { 1 }{ 2^{ 2 } } \right) ^{ n }=\frac { 1 }{ 4^{ n } } \)
எனவே மூலங்கள் 4ⁿ.

இணைகரத்தின் கனஅளவு = \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =90\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 7 & \lambda & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 7 & 5 \end{matrix} \right| =90\) 
\(\Rightarrow 7\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right| -\lambda \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 7 \end{matrix} \right| =90\) 

\(\Rightarrow 7(10+7)-\lambda \left( 5-3 \right) -3\left( 7+6 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 7(17)-\lambda \left( 2 \right) -3\left( 13 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 119-2\gamma -39=90\) 
\(\Rightarrow 119-39-90=2\lambda \) 
\(\Rightarrow -10=2\lambda \) 
\(\Rightarrow \lambda =-5\)

p என்பது மின் சோதனையில் சாதனத்தின் தாங்கு திறனுக்கான நிகழ்தகவு என்க.
\(n=5,p=\cfrac { 3 }{ 4 } ,X\sim B(n,p),k=3\) 
\(q=1-p=\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
\(\mathrm{P}(X=x)={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n}\)
\(\mathrm{P}(X=3)={ }^5 \mathrm{C}_3\left(\frac{3}{4}\right)^3 \left(\frac{1}{4}\right)^2\) 
= \(\cfrac { 5\times 4\times 3 }{ 3\times 2 } \times \cfrac { { 3 }^{ 3 } }{ { 4 }^{ 5 } } =\cfrac { 270 }{ 1024 } =\cfrac { 135 }{ 512 } \)

(i) என்பது தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 
\(\Rightarrow P=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(n=100,P=\cfrac { 1 }{ 2 } ,X\sim B(n, p)\) 
\(q=1-p=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
சராசரி = np = \(100\times \cfrac { 1 }{ 2 } \) = 50
பரவற்படி = npq = \(50\times \cfrac { 1 }{ 2 } \) = 25
(ii) p என்பது பகடையில் 4  கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்க.
\(n=240,p=\cfrac { 1 }{ 6 } ,X\sim B(n,p)\) 
\(q=1-p=\cfrac { 5 }{ 6 } \) 
சராசரி = np = \(240\times \cfrac { 1 }{ 6 } =40\) 
பரவற்படி = npq = \(40\times \cfrac { 5 }{ 6 } =\cfrac { 100 }{ 3 } \)

சராசரி:
\(\begin{aligned} \mu & =\mathrm{E}(X)=\int_1^2 x f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_1^2 x \times 2(x-1) d x=2 \int_1^2\left(x^2-x\right) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=2\left[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left(\frac{7}{3}-\frac{3}{2}\right)=2 \times \frac{5}{6}=\frac{5}{3} \end{aligned}\)
பரவற்படி:
\(\begin{aligned} \mathrm{E}\left(X^2\right) & =\int_1^2 x^2 f(x) d x=2 \int_1^2\left(x^3-x^2\right) d x \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=2\left[\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{15}{4}-\frac{7}{3}\right]=2 \times \frac{17}{12}=\frac{17}{6} \end{aligned}\)
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
\(=\frac{17}{6}-\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{17}{6}-\frac{25}{9}\)
\(=\frac{51-50}{18}=\frac{1}{18}\)

இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும்.
எனவே பின்வருமாறு எழுதலாம்.
6\(\left( x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) -35\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) +62=0\)
பிரதியிடு \(x+\frac { 1 }{ x } \)=y
⇒ \(x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \)+2=y²
⇒ \(x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \)=y²-2
∴ (1) ஆனது,
⇒ 6(y²-2)-35y+62 = 0
⇒ 6y²-12-35y+62 = 0
⇒ 6y² - 35y + 50 = 0
⇒ (3y-10)(2y- 5) = 0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 2 } \)
நிலை (i) y =\(\frac { 10 }{ 3 } \) எனில், \(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²+3=10x
⇒ 3x²-10x+3=0
⇒ (x-3)(3x-1)=0
⇒ x=3, \(\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii) y= \(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
\(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2=5x
⇒ 2x²-5x+2=0
⇒ (x-2)(2x-1)=0
⇒ x=2, \(\frac { 1 }{ 2 }\).
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1 }{ 2 } ,3,\frac { 1 }{ 3 } \).

(i) கொடுக்கப்பட்ட குவியம் (4, 0) மற்றும் இயக்குவரை x = -4 (4, 0) குவியம் மற்றும் இயக்குநரை இயக்குவரை x = -4, ஆதலால் பரவளையத்தின் வடிவம் y² = 4ax

மேலும் a = 4
\(\therefore\) பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x
(ii) பரவளையம் (2, -3) வழி செல்கிறது மற்றும் சமச்சீர் அச்சு y-அச்சு ஆகும்.

பரவளையம் (2, -3) வழிச் செல்வதன் காரணமாக அது கீழ்நோக்கி திறப்புடையது.
\(\therefore\)  அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
(2,-3) என்ற புள்ளியை பிரதியிட கிடைப்பது
2²= -4z(-3)
\(\Rightarrow\) 4 = -12a

(1)  லிருந்து 
\(\therefore { x }^{ 2 }=-4\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) y\)
\(\Rightarrow\) 3x² = -4y
(iii) முனை (1, -2) மற்றும் குவியம் (4, -2) பரவளையம் வலது புறம் திறப்புடையது.

a =(1, -2) மற்றும் (4, 2) க்கு இடைப்பட்ட தூரம்
\(a=\sqrt { \left( 1-4 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow a=\sqrt { \left( -3 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
(y-k)² = 4a(x-h)
(y+2)² = 4(3)(x-1)
[\(\therefore\) (h, k)(1, -2)]
\(\therefore\) (y+2)² = 12(x-1)
(iv) செவ்வகலத்தின் முனை புள்ளிகள் (4, -8) மற்றும் (4, 8)
குவியம்(4, -8) மற்றும் (4, 8)ன் மையப்புள்ளி 

\(\therefore\) குவியம் = \(\left( \cfrac { 4+4 }{ 2 } ,\cfrac { -8+8 }{ 2 } \right) =(4,0)\)
\(\therefore\) a = 4 மற்றும் உச்சிப்புள்ளி (0, 0)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
\(\therefore\) y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
RHS :
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  .......... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
எனவே \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ......(1)
RHS : 
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

\(\vec { a }\)= 2\(\hat { i }\)+3\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\),  \(\vec { b } \) = \(\hat { i }\)-2\(\hat { j }\)+2\(\hat { k }\), மற்றும் \(\vec { c } \) = 3\(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)+3\(\hat { k }\) 
\(\vec { a } , \vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில் \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
கருதுக \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
= \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \) 
 = 2 (-6 - 2) -3 (3 - 6) + 1 (1 + 6)
= 2(-8) - 3(-3) + 1(7) = -16 + 9 + 7 = -16 + 16
= 0
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

\(\neg \mathbf{p} \wedge \neg \mathbf{q}\)

p	q	\(\neg \mathbf{p}\)	\(\neg \mathbf{q}\)	¬p ∧ ¬q
T	T	F	F	F
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர் இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
மறுதலை: ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் எனில் பின்னர் அது ஒரு சதுரமாகும்.
எதிர்மறை: ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சதுரம் அல்ல எனில் பின்னர் அது ஒரு செவ்வகம் அல்ல.
நேர்மாறு: ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் அல்ல எனில் பின்னர் அது ஒரு சதுரம் அல்ல.

19 ஒரு பகா எண் அல்ல \(\Rightarrow \neg p\)

19 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம் \(\Rightarrow p\wedge q\) .

இங்கு உள்கூற்றுகள் p மற்றும் q பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது.
p: இன்று திங்கள் கிழமை; q: 4 + 4 = 8.
q –ன் முடிவானது T என்பதால் p → q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகிறது.
ஒரு முக்கியமான கருத்து என்னவென்றால் p மற்றும் q-ன் வாக்கியங்களின் அர்த்தங்களை கருத்தில் கொண்டு p → q ஐ செயல்படுத்தக்கூடாது. மேலும் p என்பது q வுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.
விளைவுகள் :
p → q என்ற நிபந்தனைக் கூற்றிலிருந்து மேலும் மூன்று நிபந்தனைக் கூற்றுகள் வருவிக்கப்படுகின்றன. அவைகள் கீழே பட்டியலிடப்படுகிறது.
(i) மறுதலைக் கூற்று (Converse statement) q → p .
(ii) எதிர்மறைக் கூற்று (Inverse statement) \(\neg p \rightarrow \neg q .\)
(iii) நேர்மாறுக் கூற்று (Contrapositive statement) \(\neg q \rightarrow \neg p\)

(i) \(p\vee \neg t \wedge (p\vee \neg s)\) என்ற கூற்றில் p, s , t என்ற மாறிகள் அதாவது 3 உள் கூற்றுகள் இடம்பெறுகின்றன. எனவே, இதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2³ = 8 நிரைகள் இடம்பெறும்.
(ii) \(((p\wedge q)\vee (\neg r\vee \neg s))\wedge (\neg t\wedge v)\) என்ற கூற்றில் p, q, r, s,t, v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2⁶ = 64 நிரைகள் இடம்பெறும்.

(1) ¬p : குளிராக இல்லை
(2) p ∧ q : குளிராக இருக்கிறது மற்றும் மழை பெய்கிறது
(3) p ∨ q : குளிராக இருக்கிறது அல்லது மழை பெய்கிறது
(4) q ∨ ¬p : மழை பெய்கிறது அல்லது குளிராக இல்லை
¬p என்ற கூற்றில் ஒரே ஒரு தனிக்கூற்று p மட்டும் உள்ளதால் அதற்குரிய மெய்மை அட்டவணையில் 2 = (2²) நிரைகள் இருக்கும். p ∧ q மற்றும் p ∨ q என்கிற கூட்டுக் கூற்றுகள், p மற்றும் q ஆகிய இரண்டு தனிக் கூற்றுகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே அவைகளுக்குரிய மெய்மை அட்டவணைகளில் 4 = (2²) நிரைகள் இருக்கும். எனவே, இதேபோல ஒரு கூட்டுக் கூற்றில் n வெவ்வேறான உள் கூற்றுகள் இடம்பெறின் மெய்மை அட்டவணையானது 2ⁿ நிரைகளைக் கொண்டிருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டது:\(*\) என்பது A={a,b,c} என்ற கணத்தின் மீது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

*	a	b	c
a	b	c	a
b	c	b	a
c	a	a	c

அட்டவணையிலிருந்து b \(*\) a = c என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow a\ast b=c\) 
\(*\) என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்வதால் 
\(c\ast a=a=a\ast c\) மற்றும் \(b\ast c=a=c\ast b\)

ஆதியை மையமாகவும் செல்லும்,y அச்சின் மீதும் கொண்ட நீள்வட்டத் தொகுதியின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
இங்கு \(b>a\) மற்றும் a,b என்பது தனித்த மாறிலிகள் (துணையலகுகள்).
இங்கு இரண்டு மாறிலிகள் உள்ளதால்,சமன்பாடு (1) ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { 2x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { 2y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(2\left( \cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } \right) =0\) 
\(\cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } =0\) ...(2)
சமன்பாடு (2)ஐ மீண்டும் xஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(\cfrac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\cfrac { dy }{ dx } \cfrac { dy }{ dx{ b }^{ 2 } } =0\) 
\(\cfrac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\cfrac { 1 }{ { b }^{ 2 } } =0\) 
x ஆல் பெருக்க 
\(\cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { xy }{ { b }^{ 2 } } \left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\cfrac { x }{ { b }^{ 2 } } =0\) 
சமன்பாடு (3)-(2),நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { xy }{ { b }^{ 2 } } \left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\left( \cfrac { x }{ { b }^{ 2 } } \right) -\left( \cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { dy }{ dx } \right) =0\) 
\(\cfrac { xy }{ { b }^{ 2 } } \left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\cfrac { x }{ { b }^{ 2 } } -\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(\cfrac { 1 }{ { b }^{ 2 } } \) ஐ வெளியே,எடுக்க,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { 1 }{ { b }^{ 2 } } \left[ xy\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +x\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }-y\cfrac { dy }{ dx } \right] =0\) 
\(xy\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +x\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }-y\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

செவ்வகலம் 4a மற்றும் x அச்சுக்கு இணையான அச்சுகளைக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு \(\left( y-b \right) ^{ 2 }=4a\left( x-a \right) \) ,இங்கு (a,b) என்பது பரவளையத்தின் முனை.
\({ y }^{ 2 }-2yb+{ b }^{ 2 }=4ax-4{ a }^{ 2 }\) ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -2b\cfrac { dy }{ dx } +0=4a-0\) 
\(2\left( y\cfrac { dy }{ dx } -b\cfrac { dy }{ dx } \right) =4a\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( y-b \right) =\cfrac { 4a }{ 2 } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( y-b \right) =2a\) 
 \(y\cfrac { dy }{ dx } -2a=b\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\because \cfrac { dy }{ dx } =y'\) 
\(\therefore yy'-2a=by'\)  ...(2)
சமன்பாடு (2) ஐ 'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(yy''+y'y=by''\) 
\(yy''+y^{ '2 }=by''\)   ...(3)
b-ன் மதிப்பை (3) ல் பிரதியிட,நாம் பெறுவது 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }=\left( \cfrac { yy'-2a }{ y' } \right) y''\) 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-y''\left( \cfrac { yy'-2a }{ y' } \right) =0\) 
 \(yy''+(y')^{ 2 }-\cfrac { yy''y' }{ y' } +\cfrac { 2ay' }{ y' } =0\) 
 \(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-\cfrac { yy''y' }{ y' } +\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-{ yy }^{ '' }+\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
\(\left( y' \right) ^{ 2 }+\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
'y' ஆல் வகுக்க 
\(\left( y' \right) ^{ 3 }+\cfrac { 2ay''\times { y }^{ 1 } }{ y' } =0\) 
\(\left( y' \right) ^{ 3 }+2ay''=0\) 
என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

\(\left( 26 \right) ^{ 1/3 }\)
\(f(x)={ x }^{ 1/3 },f({ x }_{ 0 })=\left( 27 \right) ^{ 1/3 }=3,\Delta x=-1\) 
\(f\left( { x }_{ 0 }+\Delta x \right) =f\left( { x }_{ 0 } \right) +f'\left( { x }_{ 0 } \right) \Delta x\)  என்பதை நாம் அறிவோம் 
\((26)^{ 1/3 }=3+\cfrac { 1 }{ 3\left( 27 \right) ^{ 2/3 } } \times -1\) 
 = \(3+\cfrac { 1 }{ 3\left( 27 \right) ^{ 2/3 } } \times -1\) 
= \(3+\cfrac { 1 }{ 27 } \times -1\) 
= \(3-\cfrac { 1 }{ 27 } \) 
= 3-0.370
\(\left( 26 \right) ^{ 1/3 }=2.963\)

\(\sqrt { \frac { { d }y }{ { d }x } } -4\frac { { d }y }{ { d }x } -7x=0\) 
\(\sqrt { \cfrac { dy }{ dx } } =4\cfrac { dy }{ dx } +7x\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =16\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+49{ x }^{ 2 }+56x\cfrac { dy }{ dx } \) 
இது வரிசை 1 மற்றும் படி 2 உடைய வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது தெளிவு.

\({ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } }+{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }=x \sin\left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { d }x^{ 2 } } \right) \) 
சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \),இதன் வரிசை 2.
இதில் \(\sin\left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) \) என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

இச்சமன்பாட்டில் காணப்படும் மிக உயர்ந்த வரிசை கொண்ட வகைக்கெழு \(\frac { dy }{ dx } \)ஆகும். 
மேலும் இதன் அடுக்கு 1 ஆகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை 1 மற்றும் படி 1 ஆகும்

முதலில் y²=x மற்றும் y=x-2 ஆகியவை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண 
y=y²-2
y²-y-2=0
y=2,y=-1
வெட்டும் புள்ளிகள் (4,2),(1,-1)

தேவையான பரப்பு = \(\int _{ e }^{ d }{ \left( { X }_{ R }-{ X }_{ L } \right) dy } \) 
= \(\int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( y+2 \right) dy-\int _{ -1 }^{ 2 }{ { y }^{ 2 }dy } } \) 
= \(\left[ \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +2y \right] _{ -1 }^{ 2 }-\left[ \cfrac { { y }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ -1 }^{ 2 }\) 
= \(\left[ 2+4-\cfrac { 1 }{ 2 } +2 \right] -\left[ \cfrac { 8 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { 15 }{ 2 } -3=\cfrac { 9 }{ 2 } \) 
தேவையான பரப்பு = \(\frac { 9 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள் 

x = 0 என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம். ஆகவே, லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\sin x}{x^{2}})=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\cos x}{2x})=\infty\)
\(\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}(\frac{\sin x}{x^{2}})=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}(\frac{\cos x}{2x})=-\infty\)
இடது மற்றும் வலது எல்லைகள் சமமில்லை ஆதலால் எல்லை இல்லை .

\(s={ 2t }^{ 2 }+3t\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4t+3\)
t=3 ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(3)+3=15\) மீ/வி 
t=6ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(6)+3=27\) மீ/வி 

(i) \(s={ 2t }^{ 2 }+3t\) 
t=3 மற்றும் t=6 வினாடிகளுக்கிடையே உள்ள சராசரி திசைவேகம் 
இப்போது \(s(t)={ 2t }^{ 2 }+3t\) 
சராசரி திசைவேகம் = \(\cfrac { s(6)-s(3) }{ 6-3 } \) 
= \(\cfrac { \left[ 2\left( { 6 }^{ 2 } \right) +3(6) \right] -\left[ 2(3)^{ 2 }+3(3) \right] }{ 3 } \) 
= \(\cfrac { (72+18)-(18+9) }{ 3 } =\cfrac { 90-27 }{ 3 } \) 
= \(\cfrac { 63 }{ 3 } =21\) மீ/வி 
(ii) \(s={ 2t }^{ 2 }+3t\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4t+3\)
t=3 ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(3)+3=15\) மீ/வி 
t=6ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(6)+3=27\) மீ/வி 

\(z=\frac { 2-i }{ 1+i } +\frac { 1-2i }{ 1-i } \) என்க.
\(=\frac { (2-i)(1-i)+(1-2i)(1+i) }{ (1+i)(1-i) } \)
\(=\frac { 2-2i-i+{ i }^{ 2 }+1+i-2i-{ 2i }^{ 2 } }{ { 1 }^{ 2 }-{ i }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 2-3i-1+1-i+2 }{ 2 } =\frac { 4-4i }{ 2 } \)
\(=\frac { 2(2-2i) }{ 2 } =2-2i\)
\(\therefore \left| z \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-{ 2 })^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)

Im(3z + 4\(\bar { z } \) - 4i)
= Im (3(x + iy) + 4 (x - iy) - 4i)
= Im (3x + i3y + 4x - i4y - 4i)
= Im (3x + 4x + i (3y - 4y - 4)
= 7x + iy - 4i
= Im (7x + i (- y - 4))
∴ கற்பனை பகுதி என்பது - y - 4

cot^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \)  = θ என்க.
⇒ \(\sqrt { 3 } \) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
⇒ tan θ = tan \(\frac { \pi }{ 6 } \) ⇒ θ = \(\frac { \pi }{ 6 } \)   [∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ cot^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \) = \(\frac { \pi }{ 6 } \)

இங்கு A = 3, C = 2 மற்றும் F = -14
\(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C  ஒரே குறியை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு நீள்வட்டத்தை குறிக்கிறது.

இங்கு A = 1, C = -1, F = -7
இங்கு \(A\neq C\)  மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிர்குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

2-\(\sqrt { 3 } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதாலும் மற்றும் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருப்பதாலும் 2+\(\sqrt { 3 } \) என்பதும் ஒரு மூலமாகும்.
x²−(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை = 0 என்பது நமக்குத் தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடாகும். எனவே
x²-4x+1=0
என்பது நமக்குத் தேவையானப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் 1, 2 மற்றும் 3
இங்கு α=1, β=2 மற்றும் \(\gamma \)=3
α,β,\(\gamma \) என்பது மூலங்களாக உடைய ஒரு முப்படி சமன்பாடு
x³-(α+β+\(\gamma \))x² + (αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)x -αβ\(\gamma \)=0
⇒ x³-(1+2+3)x²+(2+6+3)x-6=0
⇒ x³-6x²+11x-6=0

\(2+i2\sqrt { 3 } \)
\(2+i2\sqrt { 3 } \) = \(x+iy=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க.
r = எண் மதிப்பு = \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(2{ \sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 4+12 } =\sqrt { 16 } =4\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } \right| \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \sqrt { 3 } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \) 
\(2+i2\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண் முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் [x, y இரண்டும் மிகை அதன் முதன்மை வீச்சு
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ அதன் துருவ வடிவம் \(2+i2\sqrt { 3 } \)
\(=4\left[ cos\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \) k ∈ Z

9x² - 16y² = 144 என்ற சமன்பாட்டைத் திட்டவடிவில் மாற்ற
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) எனக்கிடைக்கும்.
குறுக்கச்சு x-அச்சு, முனைகள் (-4, 0) மற்றும் (4, 0);
மற்றும் c² = a² + b² = 16 + 9 = 25, c = 5.
எனவே குவியங்கள் (-5, 0) மற்றும் (5, 0).

z = \(\frac { 2i }{ 3+4i } \) என்க
\(\left| z \right| =\left| \frac { 2i }{ 3+4i } \right| =\frac { \left| 2i \right| }{ \left| 3+4i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 9+16 } } \)
\(=\frac { 2 }{ \sqrt { 25 } } =\frac { 2 }{ 5 } \)

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

z + w
= (5 - 2i) + (-1 + 3i)
= (5 -1) + i (-2 + 3)
=4 + i(1)
= 4 + i

sec^-1\(\left( -\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) =\theta \) என்க.
எனவே, sec \(\theta\) = \(-\frac{2}{\sqrt3}\) இங்கு \(\theta\in[0,\pi]\)\{\(\frac{\pi}{2}\)} ஆகும்.
எனவே, cos \(\theta=-\frac {\sqrt3}{2}\) ஆகும்.
இனி, \(\cos\frac { 5\pi }{ 6 } =\cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) =-\cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) =-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும். 
எனவே, sec^-1\(\left( -\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) =\frac { 5\pi }{ 6 }\) ஆகும்.

= i . i ²i³ ...... i²⁰⁰⁰ = i^{1+2+3+ +2000}
= \({ i }^{ \frac { 2000\times 2001 }{ 2 } }[∵ 1+2+3+...n=\frac { n(n+1) }{ 2 } ]\)
= i^1000x2001 = i^2001000 = 1
[ \(\because\) 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுப்படும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுப்படும்]

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு 2 x 2 வரிசை அணி 
∴ ρ(A) ≤ (2, 2)-மீச்சிறு =2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்ச வரிசை 2 ஆகும்.
இது \(\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=4-4=0\)
ஆகையால், \(\rho (A)<2\)
அடுத்து 1 வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவையை தேர்வு செய்வோம் |2|=2≠0
∴ ρ(A)=1

\(\tan^{-1}(\tan\frac{5\pi}{4})\) = tan^-1 \(\left( \tan\left( \pi +\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
= tan^-1 \(\left( \tan\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
[∵ tan (π + θ) = tan θ]
= \(\frac { \pi }{ 4 } \in \left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)

x = cos^-1\((\frac{1}{2})\) என்க.
⇒ cos x = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ cos x = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \) 
[∵ \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ [0, π]]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ முதன்மை மதிப்பு cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) என்பது \(\frac { \pi }{ 3 } \)