(i) \(p\vee \neg t \wedge (p\vee \neg s)\) என்ற கூற்றில் p, s , t என்ற மாறிகள் அதாவது 3 உள் கூற்றுகள் இடம்பெறுகின்றன. எனவே, இதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2³ = 8 நிரைகள் இடம்பெறும்.
(ii) \(((p\wedge q)\vee (\neg r\vee \neg s))\wedge (\neg t\wedge v)\) என்ற கூற்றில் p, q, r, s,t, v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2⁶ = 64 நிரைகள் இடம்பெறும்.

(1) ¬p : குளிராக இல்லை
(2) p ∧ q : குளிராக இருக்கிறது மற்றும் மழை பெய்கிறது
(3) p ∨ q : குளிராக இருக்கிறது அல்லது மழை பெய்கிறது
(4) q ∨ ¬p : மழை பெய்கிறது அல்லது குளிராக இல்லை
¬p என்ற கூற்றில் ஒரே ஒரு தனிக்கூற்று p மட்டும் உள்ளதால் அதற்குரிய மெய்மை அட்டவணையில் 2 = (2²) நிரைகள் இருக்கும். p ∧ q மற்றும் p ∨ q என்கிற கூட்டுக் கூற்றுகள், p மற்றும் q ஆகிய இரண்டு தனிக் கூற்றுகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே அவைகளுக்குரிய மெய்மை அட்டவணைகளில் 4 = (2²) நிரைகள் இருக்கும். எனவே, இதேபோல ஒரு கூட்டுக் கூற்றில் n வெவ்வேறான உள் கூற்றுகள் இடம்பெறின் மெய்மை அட்டவணையானது 2ⁿ நிரைகளைக் கொண்டிருக்கும்.

\(U\left( x,y,z \right) =xy+sin\left( \cfrac { { y }^{ 2 }-{ 2z }^{ 2 } }{ xy } \right) \) 
\(U\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z \right) =\lambda x\lambda y+sin\left( \cfrac { { \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2{ \lambda }^{ 2 }{ z }^{ 2 } }{ \lambda x\lambda y } \right) \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }xy+sin\left( \cfrac { { \lambda }^{ 2 }\left( { y }^{ 2 }-2{ z }^{ 2 } \right) }{ { \lambda }^{ 2 }\left( xy \right) } \right) \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }xy+sin\left( \cfrac { { y }^{ 2 }-2{ z }^{ 2 } }{ xy } \right) \) 
இங்கு பொதுவான \(\lambda \) என்பது இல்லை.
எனவே,இது சமப்படித்தானது.

 g(x,y,z) = \(\frac { \sqrt { 3{ x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ 4x+7y } \)
\(g\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z \right) =\cfrac { \sqrt { { 3\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+5{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 }{ z }^{ 2 } } }{ 4\lambda x+7\lambda y } \) 
= \(\cfrac { \lambda \sqrt { { 3x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ \lambda \left( 4x+7y \right) } \) 
= \({ \lambda }^{ 0 }g\left( x,y,z \right) \) 
எனவே g என்பது படி 0 உடைய சமபடிதான சார்பு ஆகும்.

 h(x,y) = \(\frac { 6{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-\pi { y }^{ 5 }+9{ x }^{ 4 }y }{ 2020{ x }^{ 2 }+2019{ y }^{ 2 } } \)
\(h\left( \lambda x,\lambda y \right) \cfrac { { 6\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }{ \lambda }^{ 3 }{ y }^{ 3 }-\pi { \lambda }^{ 5 }{ y }^{ 3 }-{ \pi \lambda }^{ 5 }{ y }^{ 5 }+9{ \lambda }^{ 4 }{ x }^{ 4 }\lambda y }{ 2020{ \lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+2019{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { \lambda }^{ 5 }\left( { 6x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-{ \pi y }^{ 5 }+9{ x }^{ 4 }y \right) }{ { \lambda }^{ 2 }\left( 2020{ x }^{ 2 }+2019{ y }^{ 2 } \right) } \) 
= \({ \lambda }^{ 2 }h\left( x,y \right) \)

y '' - 5y' + 6y = 0
கொடுக்கப்பட்டது \(y = emx\) 
சமன்பாடு (2) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ e }^{ mx }.m\) 
மீண்டும் xஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ e }^{ mx }.{ m }^{ 2 }\) 
m ன் மதிப்பு காண :
கொடுக்கப்பட்டது :  \(y''-5y'+6y=0\) 
\({ e }^{ mx }.{ m }^{ 2 }-5me^{ mx }+6e^{ mx }=0\) 
\({ e }^{ mx }\left[ { m }^{ 2 }-5m+6 \right] =0\) 
\({ m }^{ 2 }-5m+6=0\) 
\(\left( m-2 \right) \left( m-3 \right) =0\) 
\(\therefore m=2,3\)

y = e^{mx    ..(1)}
கொடுக்கப்பட்டது \(y={ e }^{ mx }\) ..(2) 
சமன்பாடு (2) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ e }^{ mx }.m\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =ym\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } -my=0\)   ...(3) 
ஃ சமன்பாடு (1) மற்றும் (3)ஐ ஒப்பிட நாம் பெறுவது m=-2 

கொடுக்கப்பட்டது\(y={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) 
x-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) \(\because \cfrac { d }{ dx } { e }^{ -x }={ e }^{ -x }\left( -1 \right) \) 
மீண்டும் வகைப்படுத்த, நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =y\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -y=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
\(y={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) என்பது \(y''-y=0\) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
எனவே \(y={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) என்பது \({ y }^{ '' }-y=0\) என்ற வகைகெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

\(\left( 26 \right) ^{ 1/3 }\)
\(f(x)={ x }^{ 1/3 },f({ x }_{ 0 })=\left( 27 \right) ^{ 1/3 }=3,\Delta x=-1\) 
\(f\left( { x }_{ 0 }+\Delta x \right) =f\left( { x }_{ 0 } \right) +f'\left( { x }_{ 0 } \right) \Delta x\)  என்பதை நாம் அறிவோம் 
\((26)^{ 1/3 }=3+\cfrac { 1 }{ 3\left( 27 \right) ^{ 2/3 } } \times -1\) 
 = \(3+\cfrac { 1 }{ 3\left( 27 \right) ^{ 2/3 } } \times -1\) 
= \(3+\cfrac { 1 }{ 27 } \times -1\) 
= \(3-\cfrac { 1 }{ 27 } \) 
= 3-0.370
\(\left( 26 \right) ^{ 1/3 }=2.963\)

Let \({ x }_{ 0 }=125,\Delta x=-2\) 
\(f(x)={ x }^{ 2/3 },f\left( { x }_{ 0 } \right) =25\) 
\(f\left( { x }_{ 0 }+\Delta x \right) =f\left( { x }_{ 0 } \right) +f'\left( { x }_{ 0 } \right) \Delta x\) 
என்பதை நாம் அறிவோம் 
\(\left( 123 \right) ^{ 2/3 }=25+\cfrac { 2 }{ 3x^{ 1/3 } } (-2)\) 
= \(\left( 123 \right) ^{ 2/3 }=25+\cfrac { 2 }{ 3x^{ 1/3 } } (-2)\) 
= \(25+\cfrac { 2 }{ 3\times 5 } \times -2\) 
= \(25-\cfrac { 4 }{ 15 } \) 
= \(25-0.2666\) 
\(\left( 123 \right) ^{ 2/3 }=24.7334\)

இச்சமன்பாட்டில்,உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \),எனவே இதன் வரிசை 2.
இதில் \(\cos\left( \frac { dy }{ dx } \right) \) ,எனவே இதன் வரிசை 2.
இதில் \(\cos\left( \frac { dy }{ dx } \right) \) என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 3\times 2 }=1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) \) 
\(\left( \cfrac { d^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 6 }=1+\cfrac { dy }{ dx } \) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 6.
\(\therefore \) வரிசை =2 மற்றும் படி = 6.
 

\({ x }^{ 2 }\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ \frac { 1 }{ 2 } }\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) =\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \) 
\({ x }^{ 4 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 2 }=1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 2.
ஃ வரிசை = 2 மற்றும் இதன் அடுக்கு 2. 

\(\frac { { d }y }{ { d }x } +xy=\cot x\) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { dy }{ dx } \) .இதன் அடுக்கு 1
ஃ வரிசை = 1 & படி = 1 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { { d }y }{ { d }x } +xy-cosx=0\) என எழுதலாம். எனவே, dy +(xy - cosx ) dx = 0 என்பது படி 1 கொண்ட முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(3{ \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right) }={ \left[ 4+{ \left( \frac { { d }y }{ { d }x } \right) }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
இருபுறமும் வர்க்கம் காண, நாம் பெறுவது \(9{ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } }={ \left[ 4+{ \left( \frac { { d }y }{ { d }x } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 3 }\)
இச்சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வரிசையுடைய வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \) ஆகும். இதன் அடுக்கு 2 ஆகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை 2 மற்றும் படி 2 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் காணப்படும் மிக உயர்ந்த வரிசை கொண்ட வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2}y }{ { dx }^{ 2} } \) ஆகும். மேலும், இதன் அடுக்கு 1 ஆகும்.
எனவே, இச்சமன்பாட்டின் வரிசை 2 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை அதனுடைய வகைக்கெழுக்களைக் கொண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடாக எழுத முடியாது. ஆகவே, இச்சமன்பாட்டின் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

(i) \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\) sin ⁴ x cos ⁶ x dx = \(\frac{(6-1)}{(6+4)}\). \(\frac{(6-3)}{(6+4-2)}\). \(\frac{(6-5)}{(6+4-4)}\).\(\frac{(4-1)}{(4)}\). \(\frac{(4-3)}{(4-2)}\). \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{(5)}{(10)}\) \(\frac{(3)}{(8)}\) \(\frac{(1)}{(6)}\)  \(\frac{(3)}{(4)}\) \(\frac{(1)}{(2)}\) \(\frac{\pi}{2}\) =  \(\frac{3\pi}{512}\)
மேலும், \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\) sin ⁴ x cos ⁶ x dx = \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ⁶ x cos ⁴ x dx = \(\frac{(3)}{(10)}\) \(\frac{(1)}{(8)}\) \(\frac{(5)}{(6)}\)\(\frac{(3)}{(4)}\)\(\frac{(1)}{(2)}\)\(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{3\pi}{512}\)
(ii) \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\) sin ⁵ x cos ⁴ x dx  = \(\frac{(3)}{(9)}\) \(\frac{(1)}{(7)}\) \(\frac{(4)}{(5)}\)\(\frac{(2)}{(3)}\) = \(\frac{(4)}{(9)}\) \(\frac{(2)}{(7)}\) \(\frac{(1)}{(5)}\) = \(\frac {8}{315}\)
மேலும், \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)sin ⁵ x cos ⁴ x dx =  \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)sin ⁵ x cos ⁴ x dx =  \(\frac{(4)}{(9)}\) \(\frac{(2)}{(7)}\) \(\frac{(1)}{(5)}\) = \(\frac {8}{315}\)

I =  \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) (3 cos ⁴ x - 7 sin⁵ x ) dx = 3  \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) cos⁴ x  dx - 7 \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) sin⁵ x dx
= 3 × \(\frac {3}{4}\) ×  \(\frac {1}{2}\) ×  \(\frac {\pi}{2}\) - 7 ×  \(\frac {4}{3}\) ×  \(\frac {2}{3}\)= \(\frac {9\pi}{16}\) - \(\frac {56}{15}\).
குறைப்புச் சூத்திரம் III -  ஐ திரும்பத் திரும்ப பயன்படுத்தி  பின்வரும் முடிவுகளை (நிரூபணமின்றி)  நாம் பெறலாம் :
(i) n  இரட்டை எண் மற்றும் m இரட்டை எண் எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ^m x cos ⁿ x dx = \(\frac {(n-1)}{m+n}\)  \(\frac {(n-3)}{m+n-2}\) \(\frac {(n-5)}{m+n-4}\) ......\(\frac {1}{m+2}\) \(\frac {m-1}{m}\) \(\frac {m-3}{m-2}\)\(\frac {m-5}{m-4}\) ... \(\frac {1}{2}\)\(\frac {\pi}{2}\)
(ii) n ஒற்றை எண் மற்றும் m மிகை முழுக்கள் (இரட்டை எண் அல்லது ஒற்றை எண்), எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ^m x cos ⁿ x dx =  \(\frac {(n-1)}{m+n}\) \(\frac {(n-1)}{m+n-2}\) \(\frac {(n-5)}{m+n-4}\) ... \(\frac {2}{m+3}\)\(\frac {2}{m+1}\)
குறிப்பு
m மற்றும் n ஏதாவது ஒன்று ஒற்றை எண் எனில் cos x சார்பின் பின் அடுக்கினை ஒற்றை எண் ஆக
மாற்ற வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக m ஒற்றை எண் மற்றும் n இரட்டை எண் எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\) sin ^m x cos ⁿ x dx  =  \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ⁿ x cos ^m x dx  =  \(\frac {(m-1)}{n+m}\) \(\frac {(m-3)}{(n+m-2)}\) \(\frac {(m-5)}{(n+m-4)}\) ... \(\frac {2}{(n+3)}\)\(\frac {1}{(n+3)}\).

I =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) ( sin² x + cos⁴ x ) dx =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) sin² x  dx + \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) cos⁴x dx = \(\frac {1}{2} \times \frac {\pi}{2} + \frac {3}{4} \times \frac {1}{2} \times \frac {\pi}{2} = \frac {7\pi}{16} \)

\(f(x)=\left| 3x+1 \right| ,x \in \left[ -1,3 \right] \) 

f(x) என்பது [-1, 3] ல் தொடர்ச்சியானது. ஆனால்,
f(x) என்பது x = -\(\frac{1}{3}\) ல் வகையிடத்தக்கதல்ல.
LHL = \(f'\left ( -\frac{1^{-}}{3} \right )=\displaystyle \lim_{ x \to \frac{-1^{-}}{3}}\frac{-(3x+1)-0}{x-\left ( -\frac{1}{3} \right )}=\) \(\displaystyle \lim_{x\to \frac{-1^{+}}{3}}\frac{3(3x+1)}{(3x+1)}\)
\(\because\)  LHL \(\neq\) RHL, \(f'\left (-\frac{1}{3} \right )\) ஐ காண இயலாது.
எனவே, லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.

\(s={ 16t }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =32t\)
தரையைத் தொடும்போது t = 5 எனில்,
கணப்பொழுது திசைவேகம் \(\cfrac { ds }{ dt } =32(5)\) 
= 160 அடி/வினாடி 

 \(\left| \frac { i(2+{ i })^{ 3 } }{ { (1+i) }^{ 2 } } \right| \) = \(\frac { \left| i \right| \left| { (2+i) }^{ 3 } \right| }{ \left| { (1+i) }^{ 3 } \right| } =\frac { 1{ \left| 2+i \right| }^{ 3 } }{ { \left| 1+i \right| }^{ 2 } } =\frac { { (\sqrt { 4+1 } })^{ 3 } }{ { (\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } } \) = \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| z_{ 2 } \right| } ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)
= \(\frac { { (\sqrt { 5 } })^{ 3 } }{ 2 } =\frac { 5\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

\(\left| \bar { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| =\left| \bar { (1+i) } \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \)  \(\left( \because \left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| \right) \)
= \(\left| (1+i) \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \) \(\left( \because \left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z } \right| \right) \)
= \(\left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { (-3) }^{ 2 }+4^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 25 } \right) =5\sqrt { 26 } \)

i i²i³ ..... i⁴⁰ = i ^{1+2+3+....+40} = i^{\(\frac { 40\times 41 }{ 2 } \)} = i⁸²⁰ = i⁰ = 1
i- ன் நான்கு தொடர்ச்சியான அடுக்குகளின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். iⁿ+ iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0

= 2 (5 - 2i) + 3 (-1 + 3i)
= 10 - 4i - 3 + 9i
=(10-3)+i(-4+9)
= 7 + 5i

\(\tan^{-1}(\tan(-\frac{\pi}{6}))\) = \(-\frac { \pi }{ 6 } \)
ஆதலால் \(\frac{-\pi}{6}\) ∈ \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட 2i+3 என்பது ஒரு மூலம்.
∴ அதனுடைய இணை 3-2i பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்
=(3+2i)(3-2i)
=3²+2²=9+4=13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(6)+13=0
⇒ x²-6x+13=0

மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில், Δ = b² - 4ac =(-2p)²- 4(p² - q² + 2qr - r²) என இருக்க வேண்டும்.
ஆனால் இதனைச் சுருக்கினால் 4(q² - 2qr + r²) அல்லது 4(q - r)² எனும் முழு வர்க்க எண்ணாகும். எனவே, மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x² + y² = 16
\(\Rightarrow\) a² = 16
மற்றும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
 \(y=2\sqrt { 2x } +c\)
\(\Rightarrow y=mx+c\)
[தொடுகோடானது y = mx + c ]
y = mx + x என்ற கோடு x² + y² = a² என்ற வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருப்பதற்கான நிபந்தனை
c² = a²(1 + m²)
\(\Rightarrow { c }^{ 2 }=16(1+2\sqrt { 2 } )^{ 2 }\)
\(\Rightarrow\) c² = 16(1 + 8)
\(\Rightarrow\) c² = 16(9)
\(\Rightarrow\)\(c=\pm 4(3)\)
\(\Rightarrow\) \(c=\pm 12\)

z = \(\frac { 2i }{ 3+4i } \) என்க
\(\left| z \right| =\left| \frac { 2i }{ 3+4i } \right| =\frac { \left| 2i \right| }{ \left| 3+4i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 9+16 } } \)
\(=\frac { 2 }{ \sqrt { 25 } } =\frac { 2 }{ 5 } \)

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

\(adj\quad (A)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } (adj\ A)\) என அறிவோம். ...(1)
|adj A| = 0 + 2(36 - 18) + 0 = 2(18) = 36
\(|adj\ A|=0+2\left| \begin{matrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right| +0\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 36 } } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\pm \frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & -6 \\ -3 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \)

\(f(x)=cos^{-1}\left [ cos\left ( -\frac{\pi}{6} \right ) \right ]\) என்க.
நாம் அறிந்தது, \(x\in [0,\pi ]\)  எனும்போது மட்டுமே cos^-1(cos x) = x.
\(\frac{-\pi}{6}\notin [0,\pi]\) என்பதால், cos^-1(cos x) = x என்றிருக்காது.
\(\therefore cos^{-1}\left ( cos\left ( \frac{-\pi}{6} \right ) \right )=cos^{-1}\left ( cos\frac{\pi }{6} \right )\)
\(=\frac{\pi }{6}\neq \frac{-\pi}{6}\)   \(\left [ \because \frac{\pi}{6}\in [0,\pi ] \right ]\)

cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1) \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z
-6π ≤ x ≤ 6π
∴ n ஆனது -5 லிருந்து 5  வரை மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளும்.
x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5

கொடுக்கப்பட்டது: sin x = sin^-1 x    ....(1)
நாம் அறிந்தது, \(sin\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\)= [-1, 1] \(\Rightarrow\) sin (0) = 0
மேலும், sin^-1[-1, 1] = \(\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\)
\(\Rightarrow\)  sin^-1(0) = 0
எனவே (1) ன் தீர்வு x = 0
மேலும் sin x மற்றும் sin^-1 xன் வரைபடங்கள் (0, 0) என்ற ஆதிப்புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கிறது.

கொடுக்கப்பட்டது \(y={ e }^{ -x }+mx+n\) ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐ x ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ e }^{ -x }\left( -1 \right) +m\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =-{ e }^{ -x }+m\) 
மீண்டும் வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ e }^{ -x }\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) ன் மதிப்பை கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\({ e }^{ x }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) -1={ e }^{ x }\left( { e }^{ -x } \right) -1\) 
= \({ e }^{ x-x }=-1\) 
= \({ e }^{ 0-1 }=1-1=0\) 
எனவே \({ y=e }^{ -x }+mx+n\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \({ e }^{ x }\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =1\)

p என்பது மின் சோதனையில் சாதனத்தின் தாங்கு திறனுக்கான நிகழ்தகவு என்க.
\(n=5,p=\cfrac { 3 }{ 4 } ,X\sim B(n,p),k=3\) 
\(q=1-p=\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
\(\mathrm{P}(X=x)={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n}\)
\(\mathrm{P}(X=3)={ }^5 \mathrm{C}_3\left(\frac{3}{4}\right)^3 \left(\frac{1}{4}\right)^2\) 
= \(\cfrac { 5\times 4\times 3 }{ 3\times 2 } \times \cfrac { { 3 }^{ 3 } }{ { 4 }^{ 5 } } =\cfrac { 270 }{ 1024 } =\cfrac { 135 }{ 512 } \)

(i) என்பது தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 
\(\Rightarrow P=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(n=100,P=\cfrac { 1 }{ 2 } ,X\sim B(n, p)\) 
\(q=1-p=\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
சராசரி = np = \(100\times \cfrac { 1 }{ 2 } \) = 50
பரவற்படி = npq = \(50\times \cfrac { 1 }{ 2 } \) = 25
(ii) p என்பது பகடையில் 4  கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்க.
\(n=240,p=\cfrac { 1 }{ 6 } ,X\sim B(n,p)\) 
\(q=1-p=\cfrac { 5 }{ 6 } \) 
சராசரி = np = \(240\times \cfrac { 1 }{ 6 } =40\) 
பரவற்படி = npq = \(40\times \cfrac { 5 }{ 6 } =\cfrac { 100 }{ 3 } \)

\(\begin{gathered} \mathrm{P}(X=x)={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \mathrm{P}(X=7)={ }^9 \mathrm{C}_7\left(\frac{1}{2}\right)^7\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9 \times 8}{2} \times \frac{1}{2^9} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} =36 \times \frac{1}{512}=\frac{9}{128} \end{gathered}\)
 

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

சராசரி:
\(\mu =E\left( X \right) =\sum { xf(x) } \) 
\(=1\times \cfrac { 1 }{ 2 } +2\times \cfrac { 1 }{ 3 } +3\times \cfrac { 1 }{ 6 } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 2 } +\cfrac { 2 }{ 3 } +\cfrac { 3 }{ 6 } =\cfrac { 10 }{ 6 } \)=\(\frac{5}{3}\) = 1.67
பரவற்படி:
\(E({ X }^{ 2 })=1^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 2 } +2^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 3 } +3^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \)
\(= \cfrac { 1 }{ 2 } +\cfrac { 4 }{ 3 } +\cfrac { 9 }{ 6 } =\cfrac { 20 }{ 6 } =\frac{10}{3}\) 
\(Var(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] ^{ 2 }\)
\(=\frac{10}{3}-\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{10}{3}-\frac{25}{9}=\frac{5}{9}=0.56\)

(i) t வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி விழும் 
தூரம் s=16t²
s=400 அடி 
\(\therefore { 16t }^{ 2 }=400\) 
\({ t }^{ 2 }=\cfrac { 400 }{ 16 } =25\) 
t=5 வினாடி 
ஃ தரையைத் தொடும் முன்னர் புகைப்படக் கருவி எடுத்துக் கொண்ட நேரம் 5 வினாடிகள். 
(ii) 5 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி 400 அடியிலிருந்து விழுகிறது.(கொடுக்கப்பட்டது)
ஃ 2 வினாடியில் சராசரி திசைவேகம் 
= \(\cfrac { s\left( 5 \right) -s(3) }{ 5-3 } \) 
=  \(\cfrac { 16({ 5 }^{ 2 })-16\left( { 3 }^{ 2 } \right) }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 400-144 }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 256 }{ 2 } =128\) அடி/வினாடி 
(iii) \(s={ 16t }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =32t\)
தரையைத் தொடும்போது t = 5 எனில்,
கணப்பொழுது திசைவேகம் \(\cfrac { ds }{ dt } =32(5)\) 
= 160 அடி/வினாடி 

x²=y என பிரதியிடு (அ)
⇒ y²-14y+45=0
⇒ (y-9)(y-5)=0
⇒ y=9 (அ) y=5
⇒ x2=9 (அ) x2=5
⇒ x=±3 (அ) x=±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் -\(\sqrt{5}\). 

(i) கொடுக்கப்பட்ட குவியம் (4, 0) மற்றும் இயக்குவரை x = -4 (4, 0) குவியம் மற்றும் இயக்குநரை இயக்குவரை x = -4, ஆதலால் பரவளையத்தின் வடிவம் y² = 4ax

மேலும் a = 4
\(\therefore\) பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x
(ii) பரவளையம் (2, -3) வழி செல்கிறது மற்றும் சமச்சீர் அச்சு y-அச்சு ஆகும்.

பரவளையம் (2, -3) வழிச் செல்வதன் காரணமாக அது கீழ்நோக்கி திறப்புடையது.
\(\therefore\)  அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
(2,-3) என்ற புள்ளியை பிரதியிட கிடைப்பது
2²= -4z(-3)
\(\Rightarrow\) 4 = -12a

(1)  லிருந்து 
\(\therefore { x }^{ 2 }=-4\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) y\)
\(\Rightarrow\) 3x² = -4y
(iii) முனை (1, -2) மற்றும் குவியம் (4, -2) பரவளையம் வலது புறம் திறப்புடையது.

a =(1, -2) மற்றும் (4, 2) க்கு இடைப்பட்ட தூரம்
\(a=\sqrt { \left( 1-4 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow a=\sqrt { \left( -3 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
(y-k)² = 4a(x-h)
(y+2)² = 4(3)(x-1)
[\(\therefore\) (h, k)(1, -2)]
\(\therefore\) (y+2)² = 12(x-1)
(iv) செவ்வகலத்தின் முனை புள்ளிகள் (4, -8) மற்றும் (4, 8)
குவியம்(4, -8) மற்றும் (4, 8)ன் மையப்புள்ளி 

\(\therefore\) குவியம் = \(\left( \cfrac { 4+4 }{ 2 } ,\cfrac { -8+8 }{ 2 } \right) =(4,0)\)
\(\therefore\) a = 4 மற்றும் உச்சிப்புள்ளி (0, 0)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
\(\therefore\) y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x

(i) A= \(\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right] \) என்க 
\(|A|=\left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| =6-4=2\neq 0\)
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 காணலாம்.
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
இங்கு \(adj\quad A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right] \)என்க
= 5(25-1)-1(5-1)+1(1-5)
= 5(24)-1(4)+1(-4)
= 120-4-4 = 120 - 8 = 112 ≠ 0 
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த,
\(|A|=5\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை எனில் A^-1 சாத்தியம்
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(25-1) \\ -(5-1) \\ +(1-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(5-1) \\ +(25-1) \\ +(5-1) \end{matrix}\begin{matrix} +(1-5) \\ -(5-1) \\ +(25-1) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்து 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\ A=\frac { 1 }{ 112 } ={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 28 } \left[ \begin{matrix} 6 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
(iii) A =\(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
= 2(8-7)-3(6-3)+1(21-12)
= 2(1)-3(3)+1(9)

R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
\(|A|=2\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 சாத்தியம் 
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ +(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ +(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு, \({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\vec { r } .\vec { n } =p\) உடன் ஒப்பிடும்போது நமக்கு \(\vec { n } =6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } \) எனக் கிடைக்கிறது.
\(\vec { u } \) என்ற நிலை வெக்டரைக் கொண்ட புள்ளியிலிருந்து \(\vec { r } .\vec { n } \)= p  என்ற தளத்திற்குள்ள செங்குத்துத் தொலைவு \(\delta =\frac { |\vec { u } .\vec { n } -p| }{ |\bar { n } | } \) ஆகும். எனவே, \(\vec { u } =(2,5,-3)=2\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { n } =6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } \) என δ -ல் பிரதியிட நாம் பெறுவது
\(\delta =\frac { |\vec { u } .\vec { n } -p| }{ |\bar { n } | } =\frac { |(2\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } ).(6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } )-5| }{ |6\hat { i } -3\hat { j } +2\hat { k } | } \) = 2 அலகுகள்.

\(\vec { r } .(2\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } )=11\)மற்றும் 4x - 2y + 2z = 15 ஆகிய தளங்களின் செங்கோட்டு வெக்டர்கள் முறையே \(\vec { { n }_{ 1 } } =(2\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } )\) மற்றும் \(\vec { { n }_{ 2 } } =4\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } \) ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் θ எனில்
\(\theta =cos^{ -1 }\left( \frac { |\vec { { n }_{ 1 } } .\vec { { n }_{ 2 } } | }{ |\vec { { n }_{ 1 } } ||\vec { { n }_{ 2 } } | } \right) =cos^{ -1 }\left( \frac { |(2\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } ).(4\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } )| }{ |2\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } ||4\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } | } \right) =cos^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 2 } }{ 3 } \right) \).

தளத்தின் சமன்பாட்டிற்கான வெக்டர் வடிவம் 
\(\vec { r } .\left( 6\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \right) =12\) 
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) 
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( 6\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \right) =12\) 
\(\Rightarrow 6x+4y-3z=0\) 
12 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது \(\cfrac { 6x }{ 12 } +\cfrac { 4y }{ 12 } -\cfrac { 3z }{ 12 } =1\) 
[\(\therefore \cfrac { x }{ a } +\cfrac { y }{ b } +\cfrac { z }{ c } =1\) என்பது தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு ]
\(\Rightarrow \cfrac { x }{ 2 } +\cfrac { y }{ 3 } +\cfrac { z }{ -4 } =1\)
\(\therefore\) தளத்தின் x-வெட்டுத்துண்டு 2, y வெட்டுத்துண்டு 3 மற்றும் z-வெட்டுத்துண்டு -4.

கொடுக்கப்பட்ட   \(\vec { a } =2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \) 
\(\vec { n } =\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \) 
(\(\vec { n } \)) புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு செங்குத்தான வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \) 
= \(\vec { r } .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \right) .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) =2+18+15\) 
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) =35\) 
அதனுடைய கார்டீசியன் 
\(a(x-{ x }_{ 1 })+b(y-{ y }_{ 1 })+c(z-{ z }_{ 1 })=0\) 
\(1(x-2)+3\left( y-6 \right) +5\left( z-3 \right) =0\) 
[\(\therefore\) (x₁,y₁,z₁)=(2,6,3) மற்றும் a,b,c =1,3,5]
\(\Rightarrow -2+3y-18+5z-15=0\) 
\(\Rightarrow x+3y+5z-35=0\) 
\(\Rightarrow x+3y+5z=35\)