மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q மற்றும் ( p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

U (x, y) = e^x sin y ; x = st² ; y = s²t
\(\frac { \partial U }{ \partial x } \) = e^x sin y ; \(\frac { \partial U }{ \partial y } \) = e^x cos y
\(\frac { \partial U }{ \partial x } \) = \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) sin (s²t)
\(\frac { \partial U }{ \partial y } \) = \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) cos (s²t)
\(\frac{dx}{dt}\) = 2st; \(\frac{dy}{dt}\) = s²
\(\frac{dx}{ds}\) = t²; \(\frac{dy}{ds}\) = 2 st
\(\frac { dU }{ ds } =\frac { \partial U }{ \partial x } .\frac { dx }{ ds } +\frac { \partial U }{ \partial y } .\frac { dy }{ ds } \)
= \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\). sin (s²t) (t²) + \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) cos(s^2t).(2^st)
∴ \({ \left( \frac { \partial U }{ \partial s } \right) }_{ (s=t=1) }\) = e¹ sin (1) + 2e¹ cos (1)
= e [sin (1) + 2 cos (1)] மற்றும் சங்கிலி விதிப்படி 
\(\frac { dU }{ dt } =\frac { \partial u }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } \)
=  \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) . sin (s²t)(2^st) + \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) cos (s²t). (s²)
∴ \({ \left( \frac { \partial U }{ \partial t } \right) }_{ (s=t=1) }\) = 2e¹ sin (1) + e¹ cos (1)
\({ \left( \frac { \partial U }{ \partial t } \right) }\)= e [2 sin (1) + cos (1)]

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு சமபடித்தான சமன்பாடாகும் (சரிபார்!).
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }{ x } \) எனும் வகைக்கெழு அமைப்பில் எழுதலாம்.
x -ன் ஆரம்ப மதிப்பு 1 என்றால், x > 0 என கருதுவோம்.
மேலும் \(x=\sqrt { { x }^{ 2 } } \) என எடுத்துக் கொள்வோம்.
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x } +\sqrt { 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ 2 } } \)
y = vx . என்க. பின்னர் \(v+x\frac { dv }{ dx } =v+\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } \), இதிலிருந்து \(x\frac { dv }{ dx } =\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } \) எனப் பெறுகிறோம்.
மாறிகளை பிரித்து எழுத, \(\frac { dv }{ \sqrt { { v }^{ 2 }+1 } } =\frac { dx }{ x } .\)
இச்சமன்பாட்டின் இருபக்கமும் தொகையிட,
\(log\left| v+\sqrt { { v }^{ 2 }+1 } \right| =log\left| x \right| +log\left| c \right| \)
அல்லது \(v+\sqrt { { v }^{ 2 }+1 } =xC\)
மேலும் \(\frac { y }{ x } \) க்கு v ஐப் பிரதியிட, கிடைப்பது \(​​​​\frac { y }{ x } +\sqrt { \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +1 } =Cx\) (அல்லது)  \(y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ={ Cx }^{ 2 }\) இதுவே கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வாகும்.
மேலும் x = 1 எனில், y = 0 எனும் நிபந்தனையைப் பயன்படுத்தி C = 1 எனப் பெறுகிறோம்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு \(y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ={ x }^{ 2 }\)

\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)        [1^\(\infty\) தேரப்பெறா வடிவம் 
\(g(x)=\left( \cos x \right) ^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } }\) என்க 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க 
\(\log g(x)=\cfrac { \log \cos x }{ { x }^{ 2 } } \) 
\(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ \lim } \log g(x)={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\cfrac { \log \cos x }{ { x }^{ 2 } } \) [\(\frac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம்]
லோபிதாலின் விதிப்படி பயன்படுத்த,
= \(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } -\cfrac { \tan x }{ 2x } \) [\(\cfrac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம் மீண்டும் லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த, 
= \(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } -\frac { { \sec }^{ 2 }x }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 2 } \) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற,
\(\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \lim } g(x)={ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } \)

F (\(\alpha\)) = \(\left[ \begin{matrix} \cos { \alpha } & 0 & \sin { \alpha } \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin { \alpha } & 0 & \cos { \alpha } \end{matrix} \right] \) தரப்பட்டது.
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
|F(\(\alpha\))| = cos \(\alpha\) \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & cos\alpha \end{matrix} \right| -0+sin\alpha \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -sin\alpha & 0 \end{matrix} \right| \)
|F(\(\alpha\))| = cos \(\alpha\) (cos - 0) + sin \(\alpha\) (0 + sin \(\alpha\))
= cos² + sin² \(\alpha\) = 1 ≠ 0
F (\(\alpha\)) ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால், [F(\(\alpha\))]^-1 காணலாம்.
இங்கு, adj (F(\(\alpha\))) = \(\left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ -sin \space \alpha & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -sin \space \alpha & 0 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 0 & sin \space \alpha \\ 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & sin \space \alpha \\ -sin \space \alpha & cos \space \alpha \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 \\ -sin \space \alpha & 0 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 0 & sin \space \alpha \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & sin \space \alpha \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] ^{ T }\)
= \(\left[ \begin{matrix} +(cos\alpha -0) & -(0-0) & +(0+sin \space \alpha ) \\ -(0-0) & +(cos^{ 2 }\alpha +sin^{ 2 }\alpha & -(0-0) \\ +(0-sin \space \alpha ) & -(0-0) & +(cos \space \alpha-0) \end{matrix} \right] ^{ T }\)
 \(\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & +sin\space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ +sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)
∴ F(\(\alpha\))^-1 = \(\frac { 1 }{ |F(\alpha )| } \) adj (F(\(\alpha\)))
[F(\(\alpha\))]^-1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ +sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ +sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)          ....(1)
இங்கு, F(-\(\alpha\)) = \(\left[ \begin{matrix} cos(-\alpha ) & 0 & sin(-\alpha ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(-\alpha ) & 0 & cos(-\alpha ) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} cos \space \alpha & 0 & -sin \space \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ sin \space \alpha & 0 & cos \space \alpha \end{matrix} \right] \)            ....(2)
[∵ cos \(\alpha\) ஒரு இரட்டைச் சார்பு, cos (-\(\alpha\)) = cos \(\alpha\) மற்றும் sin \(\alpha\) ஒரு ஒற்றைச் சார்பு, sin (-\(\alpha\)) = -sin \(\alpha\)]
(1) மற்றும் (2) லிருந்து [F(\(\alpha\))]^-1 = F (-\(\alpha\)) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2gx+2fy+c=0\) 
புள்ளி (1, 2) என்பது வட்டத்தின் மீது அமைகிறது.
\(\therefore 1+4+2g+4f+c=0\) 
\(2g+4f+c=-5\) 
வட்டம் (1), வட்டம் \({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=9\) ஐ செங்குத்தாக வெட்டுகிறது.
\(\Rightarrow { 2g }_{ 1 }{ g }_{ 2 }+2{ f }_{ 1 }{ f }_{ 2 }={ c }_{ 1 }+{ c }_{ 2 }\) 
\(2g(0)+2f(0)=c-9\) 
\(\therefore c=9\) 
மீண்டும் வட்டம் (1) \({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2x+8y-7=0\) ஐ செங்குத்தாக வெட்டுகிறது.
\(\therefore 2g(-1)+2f(4)=c-7\) 
\(\Rightarrow -2g+8f=9-7=2\) 
\(\Rightarrow -g+4f=1\) 
சமன்பாடு (2), \(2g+4f=-14\) எனதாகிறது.
\(\therefore g+2f=-7\) 
\((4)+(5)\Rightarrow 6f=-6\Rightarrow f=-1\) 
\((5)\Rightarrow g=2=-7\Rightarrow g=-5\)
ஃ தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு 
 \({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-10x-2y+9=0\)

\(\cfrac { b }{ c } =\cfrac { cos\beta +isin\beta }{ cos\gamma +isin\gamma } \) 
= \(cos\left( \beta -\gamma \right) +isin\left( \beta -\gamma \right) \) 
இதேபோல் \(\cfrac { c }{ a } =cos\left( \gamma -\alpha \right) +isin\left( \alpha -\beta \right) \) 
மற்றும் \(\cfrac { a }{ b } =cos\left( \alpha -\beta \right) +isin\left( \alpha -\beta \right) \) 
இப்போது 
\((1)+(2)+(3)\Rightarrow \left[ cos\left( \beta -\gamma \right) +cos\left( \gamma -\alpha \right) +cos(\alpha -\beta ) \right] +i\left[ sin(\beta -\gamma )+sin\left( \gamma -\alpha \right) +sin\left( \alpha -\beta \right) \right] =1=1+10\) மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த \(cos\left( \beta -\gamma \right) +cos\left( \gamma -\alpha \right) +cos\left( \alpha -\beta \right) =1\) எனவே நிறுவப்பட்டது.
 

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= 5(2+6)+1(-3+8)+1(-9-8)
= 40+5-17=28
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 5 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & -2 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= 3(-3+8)-5(1+4)+1(4+6)
= 15-25+10=0
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= (-3+8)-5(1+4)+1(4+6)
= 15-25+10=0
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 3 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} \right| \) 
= 3(8+9)+194+6)+5(3-4)
= 51+10-5
= 56
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { 28 }{ 28 } =1\) 
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { 0 }{ 28 } =0\) 
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { 56 }{ 28 } =2\) 
தீர்வு (x ,y,z)=(1,0,2)

\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} \right] \) 
AX=B 
\(|A|=\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= 2(1+1)+1(1-1)+3(-1-1)
= \(4-6=-2\neq 0\) 
A^-1 ஐக் காண இயலும்.
\(adjA=\left[ \begin{matrix} +\left( 1+1 \right) & -(1-1) & +(-1-1) \\ -9-1+3) & +(2-3) & -(-2+1) \\ +(-1-3) & -(2-3) & +(2+1) \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 1 \\ -4 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \) 
\(adjA=\left[ \begin{matrix} 2 & -2 & -4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \) 
\({ A }^{ -1 }=\cfrac { 1 }{ |A| } \left( adjA \right) \) 
\(A^{ -1 }=-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 & -4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -4 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \) 
\(X={ A }^{ -1 }B\) 
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 & -4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} \right] \) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 18 & -12 & -8 \\ 0 & -6 & +2 \\ -18 & +6 & +6 \end{matrix} \right] \) 

= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] \) 
ஃx=1,y=2, z=3

செவ்வகத்தின் நீளம்,அகலம் முறையே x,y என்க.கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவு P என்க..
அதாவது \(2(x+y)=P\) 
\(y=\cfrac { P }{ 2 } -x\) 
செவ்வகத்தின் பரப்பு \('A'=xy\) 
\(A=x\left( \cfrac { P }{ 2 } -x \right) =\cfrac { P }{ 2 } x-{ x }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { dA }{ dx } =\cfrac { P }{ 2 } -2x\) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dA }{ dx } =0\Rightarrow \cfrac { P }{ 2 } -2x=0\) 
\(x=\cfrac { P }{ 4 } \) 
இப்போது,\(\cfrac { { d }^{ 2 }A }{ { dx }^{ 2 } } =-2\) 
\(x=\cfrac { P }{ 4 } \) ல் \(\cfrac { { d }^{ 2 }A }{ { dx }^{ 2 } } <0\) 
\(\therefore x=\cfrac { P }{ 4 } \) எனும்போது செவ்வகத்தின் பரப்பு பெருமமாகிறது.
இப்போது,\(y=\cfrac { P }{ 2 } -x=\cfrac { P }{ 2 } -\cfrac { P }{ 4 } =\cfrac { P }{ 4 } \) 
\(\therefore\) செவ்வகத்தின் நீளம் = \(\cfrac { P }{ 4 } \) 
செவ்வகத்தின் அகலம் = \(\cfrac { P }{ 4 } \) 
நீளம் = அகலம் என்பதால் செவ்வகம் ஒரு சதுரமாகும்.  
எனவே நிறுவப்பட்டது.

v என்பது திசைவேகம் என்க.
கொடுக்கப்பட்டது: மின் விசை படகின் இயந்திரம் நொடிக்கு 10 மீ வேகத்தில் இயங்குகிறது.இயந்திரத்தின் இயக்கம் நிறுத்தப்பட்ட பிறகு அதன் முடுக்கம் குறை மதிப்பாக இருக்கும்.
எனவே,அது \(\cfrac { -dv }{ dt } \) ஆக இருக்கும்.
அதாவது,\(\cfrac { dv }{ dt } =-v\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிட 
\(\int { \cfrac { dv }{ v } } =\int { -dt } \) 
\(logv=-t+logc\) 
\(logv-logc=-t\) 
\(log\left( \cfrac { v }{ c } \right) =-t\) 
\(\cfrac { v }{ c } ={ e }^{ -t }\) 
\(v={ ce }^{ -t }\) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு:
கொடுக்கப்பட்டது
t=0 எனும்போது \(v=10\) மீ/நொடி 
சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,நமக்கு கிடைப்பது 
\(10={ ce }^{ -0 }\) 
\(10={ ce }^{ 0 }\) 
\(10=c\) 
\(\therefore c=10\) 
\((1)\Rightarrow v={ 10e }^{ -1 }\) 
t=2 எனும்போது v ஐக் காண வேண்டும்.
2 நொடிகளுக்கு பிறகு திசைவேகம் \(\cfrac { 10 }{ { e }^{ 2 } } \) 
அதாவது \(v=\cfrac { 10 }{ { e }^{ 2 } } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dx }{ dy } -\frac { 2 }{ y } x={ y }^{ 2 }{ e }^{ -y }\) என எழுதலாம்.
இது \(\frac { dx }{ dy } +Px=Q\) என்ற வடிவில் உள்ள நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
இங்கு \(P=-\frac { 2 }{ y } ;Q={ y }^{ 2 }{ e }^{ -y }\)
\(\int { pdy } =\int { -\frac { 2 }{ y } dy } =-2log{ \left| y \right| }^{ -2 }=log\left( \frac { 1 }{ y } \right) ,\)
 தொகையீட்டுக்காரணி = \({ e }^{ \int { pdy } }={ e }^{ log\left( \frac { 1 }{ y } \right) }=\frac { 1 }{ y^2 } .\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு  \(x{ e }^{ \int { pdy } }={ { \int { Qe } } }^{ \int { pdy } }dy+C\)
\(x\left( \frac { 1 }{ y^2 } \right) =\int { { y }^{ 2 }{ e }^{ -y } } \left( \frac { 1 }{ y } \right) dy+C={ { \int { { e }^{ -y } } dy+C={ -e }^{ -y } } }+C\)
அல்லது \(x=-{ y }^{ 2 }{ e }^{ -y }+C{ y }^{ 2 }\) இதுவே தேவையான தீர்வாகும்.

தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பு படம் -  ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. அரங்கத்தின் மேல் எல்லை  y = sin x , \(\frac {\pi}{4}\)  ≤ x  ≤  \(\frac {5\pi}{4}\) மற்றும் அரங்கத்தின் கீழ் எல்லை y = cos x,\(\frac {\pi}{4}\) ≤ x  ≤\(\frac {5\pi}{4}\).  தேவையான பரப்பு.

A = \(\int ^\frac {5}{4}_\frac{\pi}{4} (y_U - y_L) dx\) =  \(\int ^\frac {5}{4}_\frac{\pi}{4} (sin x- cos x)dx\) = [-cos  x - sin x\(]^\frac{5​​\pi}{4}_\frac{\pi}{4}\)
=  \((-sin \frac {5\pi}{4} - cos \frac{5\pi}{4})\) - \((-sin \frac {\pi}{4} - cos \frac{\pi}{4})\)
= \((-(\frac {1}{\sqrt 2}) - (\frac {1}{\sqrt 2}))\)  \(-(-\frac {1}{\sqrt 2}) - (\frac {1}{\sqrt 2}))\)
= \(\frac {2}{\sqrt 2} + \frac {2}{\sqrt 2} = 2 \sqrt 2\).

(i) f (x) ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால், அனைத்து x -க்கும், f(x) ≥ 0 மற்றும் \(\sum_{x}{f(x)}=1.\)
ஆகையால்,  \(\sum_{x}{f(x)}=1\)
c²+2c²+3c²+4c²+c+2c = 1
c = \(\frac{1}{5}\) அல்லது −\(\frac{1}{2}\).
அனைத்து x -க்கும், f(x) ≥ 0 என்பதால், c -இன் சாத்தியமான மதிப்பு \(\frac{1}{5}\) ஆகும்.
எனவே , நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது

(ii) சராசரி மற்றும் பரவற்படி காண கீழ்க்காணும் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம்.

சராசரி: \(E(X) = \sum{xf(x)}=\frac{115}{25}=4.6\)
பரவற்படி: \(V(X) = E(X^2)-E((X))^2=\sum{x^2f(x)}-(\sum{xf(x)})^2\)
= \(\frac{585}{25}-(\frac{115}{25})^2 = 23.40-21.16=2.24\)
எனவே சராசரி மற்றும் பரவற்படி முறையே 4.6 மற்றும் 2.24 ஆகும்.

X என்பது ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட  தகவல்களிலிருந்து, X பின்வரும் மதிப்புகளான −2,−1,0 மற்றும் 1 ஆகியவற்றைப் பெறும்.
வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு, f(x)=P(X = x)
எனவே F(x)-இன் x = −2-ல் இடப்பக்க எல்லை F(− 2^-) ஆகும்.
f(-2) = P(X =-2) = F(-2)-F(-2^-) = 0.25-0 = 0.25.
இதே போன்று ஏனைய துள்ளல் புள்ளிகளுக்கும்,
f(-1) = P(X =-1) = F(-1)-F(-2) = 0.60-0.25 = 0.35.
f(0) = P(X =0) = F(0)-F(-1) = 0.90-0.60 = 0.30.
f(1) = P(X =1) = F(1)-F(0) = 1-0.90 = 0.10. எனப் பெறப்படுகிறது.
எனவே நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது

ஆகும்.
F(x) எனும் பரவல் சார்பிற்கு x = -2, -1,0, மற்றும் 1-ல் துள்ளல்கள் உள்ளன. அந்த துள்ளல்கள் முறையே , 0.25, 0.35, 0.30, மற்றும் 0.1 என கீழ்க்காணும் படத்தில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.
இந்த துள்ளல்களே நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பினைத் தீர்மானிக்கின்றன.


(i) \(P(X< 0)=\sum _{ -\infty }^{ -1 }{ { P(X={ x }) }={ P(X=-2) }+P(X=-1)=0.25+0.35=0.60} .\)
(ii) \(P(X\ge -1)=\sum _{ -1 }^{ 1 }{ { P(X={ x }) }={ P(X=-1) }+P(X=0)+P(X=1)=0.35+0.30+0.10=0.75} .\)

(i) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+12t-4,t \geq 0\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
துகளின் திசைவேகம் மாறும்போது v=0
\(\therefore { 6t }^{ 2 }-18t+12=0\) 
\({ t }^{ 2 }-3t+2=0\) 
\(\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) =0\) 
\(t=1,2\) 
\(\therefore t=1\) வினாடி மற்றும் t=2 வினாடி எனும்போது,துகளின் திசை மாறுகிறது.
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
\(s(0)=-4\) 
\(s(1)=2\left( 1 \right) ^{ 3 }-9\left( 1 \right) ^{ 2 }+12(1)-4\) 
= 2-9+12-4 = 1
\(s(2)=2(2)^{ 3 }-9\left( 2 \right) ^{ 2 }+12(2)-4\) 
= \(16-36+24-4\)  = 0
\(s(3)=2\left( 3 \right) ^{ 3 }-9\left( 3 \right) ^{ 2 }+12\left( 3 \right) -4\) 
= \(54-81+36-4\)  = 5
\(s(4)=2\left( 4 \right) ^{ 3 }-9\left( 4 \right) ^{ 2 }+12(4)-4\) 
= \(128-144+48-4\)  = 28
முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
= \(|s(0)+s(1)|+|s(1)-s(2)|+|s(2)-s(3)|+|s(3)-s(4)|\) 
= \(|-4-1|+|1-0|+|0-5|+|5-28|\) 
= \(|-5|+|1|+|-5|+|-23|\) 
= 5+1+5+23 = 34 மீ .
(iii) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\)
முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல், முடுக்கம் = 12(1) - 18 = - 6 மீ/வினாடி²
t=2ல், முடுக்கம் = 12(2) - 18 = 6 மீ /வினாடி²

r ஆரமுள்ள ஊதுபையின் கன அளவானது \(V =\frac{4}{3}\pi r ^{3} \) ஆகும்.
\(\frac{dV }{dt }=1000 \) எனக்கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\frac{dr }{dt} \) - யினை r = 7 எனும் போது காணவேண்டும்.

\(\frac{dV}{dt}=3\times\frac{4}{3}\pi r^{2}\times \frac{dr}{dt}\).
r = 7 மற்றும் \(\frac{dV}{dt}\) =1000 எனப்பிரதியிட, 1000 \(= 4\pi \times 49 \times \frac{dr}{dt}\).
ஆகையால் , \(\frac{dr}{dt}=\frac{1000}{4\times49\times \pi}=\frac{250}{49\pi}\)
ஊதுபையின் மேற்பரப்பு S=4\(\pi r^{2}\) எனவே , \(\frac{dS}{dt}=8\pi \times r \times \frac{dr}{dt}\).
\(\frac{dr}{dt}=\frac{250}{49\pi}\) மற்றும் r = 7 எனப் பிரதியிட, 
\(\frac{dS}{dt}=8\pi\times7\times \frac{250}{49\pi}=\frac{2000}{7}\) எனப் பெறுகிறோம்.
எனவே , ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் \(\frac{250}{49 \pi}\) செ மீ / வினாடி வீதம் மற்றும் பரப்பளவின் மாறுபாட்டு வீதம் \(\frac{2000}{7}\) செமீ² /வினாடி  ஆகும்.

x = a cos θ
f(x) = tan^-1 \(\sqrt { \frac { a-acos\theta }{ a+acos\theta } } ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 1+cos\theta } } \)
\(={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ 2{ cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } =tan\left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( tan\frac { \theta }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { \theta }{ 2 } \)
[∵ -a < x < a ⇒ 0 < θ < π ⇒ \(0<\frac { \theta }{ 2 } <\frac { \pi }{ 2 } \therefore \left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| =tan\frac { \theta }{ 2 } \)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } .{ cos }^{ -1 }\left( \frac { x }{ a } \right) \)
[∵ x = a cosθ ⇒ cos θ = \(\frac { x }{ a } \) ⇒ θ = cos^-1 \(\left( \frac { x }{ a } \right) \) ]

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay என்க

படத்திலிருந்து சமன்பாடு x² = 4ay என்றும் அது C(30, 13) வழிச் செல்கிறது எனவும் அறியலாம்.
\( \therefore 30^2 =4 a \times 13 \\ 4 a =\frac{30^2}{13} \)
ஃ பரவளையத்தின் சமன்பாடு \(x^2=\frac{30^2}{13} y\)
(i) VG = 6 மற்றும் GE = y என்க.
ஃ E(6, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(36=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=0.52\)
சாலையிலிருந்து கம்பி வடத்தின் நீளம் 3 + 0.52 = 3.52 மீ
(ii) VH = 12 மற்றும் HF = y
ஃ F(12, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(12^2=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=\frac{144 \times 13}{900}=\frac{208}{100}=2.08\)
சாலையிலிருந்து கம்பி தம்பி வடத்தின் நீளம் = 3 + 2.08 = 5.08 மீ
முனையிலிருந்து முதலில் உள்ள இரு கம்பி வடங்களின் உயரங்கள் 3.52 மீ மற்றும் 5.08 மீ

AS = 94.5 × 10⁶ கி.மீ, SA' = 152 × 10⁶ கி.மீ
a+c = 152 × 10⁶
a-c = 94.5 × 10⁶
கழிக்க 2c = 57.5 × 10⁶ = 575 × 10⁵ கி.மீ
மற்றொரு குவியத்திலிருந்து சூரியனுக்கு உள்ள தூரம் SS' = 575 × 10⁵ கி.மீ.

கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
\(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow arg(z-i)-arg(z+2)=\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy - i) - arg(x + iy + 2) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy- 1) - arg(x + 2) + iy) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { y-1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { y-1 }{ x } -\frac { y }{ x+2 } }{ 1+\frac { y-1 }{ x } .\frac { y }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\([\because { tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ]\)

\(\Rightarrow \frac { (x+2)(y-1)-xy }{ x(x+2)+y(y-1) } =1\)
⇒ x + 2y - 2 = x² + 2x + y² - y
⇒ x²+ 2x + y - y + x - 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேவையான தளம்  \(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகும் மற்றும்  \(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)  \(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } \) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் 
\(\vec { c } =\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
∴ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \)என்ற நிலை வெக்டர்களைக் கொண்ட இரு தனித்த புள்ளிகள் A மற்றும் B வழியாகச் செல்வதும் \(\vec { c } \) என்ற பூச்சியமற்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான தளத்தின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\vec { b } +t\vec { c } \)  இங்கு s, t ∈ R
⇒ \(\vec { r } .(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+s(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )+t(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )\) s, t  ∈ R 
கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 & y+1 & z-3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1)(-1 - 8) - (y + 1)(2 - 4) + (z - 3)(4 + 1) = 0
⇒ (x - 1)(-9) - (y + 1)(-2) + (z - 3)(5) = 0
⇒ -9x + 9 +2y + 2 + 5z - 15 = 0
⇒ -9x + 2y + 5z - 4 = 0
⇒ 9x - 2y - 5z + 4 = 0

A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை ரூ. x, ரூ.y மற்றும் ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
2x-4y+5z  = 15000
3x+y-2z  = 1000
-x+3y+z  = 4000
சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 15000 \\ 1000 \\ 4000 \end{matrix} \right] \)
AX=B \(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B\) இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 15000 \\ 1000 \\ 4000 \end{matrix} \right] \)
மற்றும் \(|A|=\left| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| +5\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| \)
=2(1+6)+4(3-2)+5(9+1)
=2(7)+4(1)+5(10)=14+4+50=68
A^-1 ஐக் காண இயலும் 
\(={ \left[ \begin{matrix} +(1+6) \\ -(-4-15) \\ +(8-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(3-2) \\ +(2+5) \\ -(-4-15) \end{matrix}\begin{matrix} +(9+1) \\ -(6-4) \\ +(2+12) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 7 \\ 19 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 7 \\ 19 \end{matrix}\begin{matrix} 10 \\ -2 \\ 14 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 19 \\ 7 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 19 \\ 7 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 19 \\ 7 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 14 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 15000 \\ 1000 \\ 4000 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 105000 \\ -15000 \\ 150000 \end{matrix}\begin{matrix} +19000 \\ +7000 \\ -2000 \end{matrix}\begin{matrix} +12000 \\ +76000 \\ +56000 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 68 } \left[ \begin{matrix} 136000 \\ 68000 \\ 204000 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2000 \\ 1000 \\ 3000 \end{matrix} \right] \)
∴ ரூ.2000, ரூ.1000, ரூ.3000 
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஒரலகு விலைகள் முறையே ரூ.2000, ரூ.1000, மற்றும் ரூ.3000 ஆகும்.

இங்கு மதிப்பிடப்பட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \) மற்றும் B =\(\left[ \begin{matrix} -9 \\ -18 \\ -27 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்டஅணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகளைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B]  = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ -18 \\ -27 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே  ρ(A) = ρ([A|B]) =  1 < 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது x - y + z = - 9, 0 = 0 =, 0 = 0
முரண்பாடான முடிவுகள் கிடைக்கப் பெறாமையினால், தரப்பட்டத் தொகுப்பு  பொருத்தமுடையது. இங்கு ஒரு வெளிப்படையற்ற சமன்பாடு மட்டுமே உள்ளது மற்றும் தொகுப்பிற்கு 3 மாறிகள் உள்ளன
y = s, z = t என தன்னிச்சையாக எடுத்துக்கொள்ள நமக்குக் கிடைப்பது x - s + t = -9; அல்லது x = -9 + s - t.
எனவே தீர்வானது (x = -9 + s - t, y = s, z = t), இங்கு s மற்றும் t என்பன மெய்யெண்  சாராமாறிகள் (parameters).
மேல் உள்ள தீர்வுக்கணம் இரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக அமைகின்றன.
இங்கு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றுள்ளது. இத்தீர்வுகள், இரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக இருக்கின்றன.

Now, \({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left[ \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right] =\frac { \pi }{ 4 } \)
எனவே, \(\frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } =1\), என்பதை சுருக்கினால் 2x²- 4 = -3 எனக்கிடைக்கிறது.
எனவே, \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \) என்பதிலிருந்து \(x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) எனப் பெறுகிறோம்.